山東省惠民縣第二中學(xué)2025屆高三下學(xué)期四模考試數(shù)學(xué)試題含解析_第1頁
山東省惠民縣第二中學(xué)2025屆高三下學(xué)期四??荚嚁?shù)學(xué)試題含解析_第2頁
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文檔簡介

山東省惠民縣第二中學(xué)2025屆高三下學(xué)期四??荚嚁?shù)學(xué)試題注意事項1.考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知正項數(shù)列滿足:,設(shè),當(dāng)最小時,的值為()A. B. C. D.2.定義,已知函數(shù),,則函數(shù)的最小值為()A. B. C. D.3.定義在R上的函數(shù),,若在區(qū)間上為增函數(shù),且存在,使得.則下列不等式不一定成立的是()A. B.C. D.4.已知函數(shù),,若成立,則的最小值是()A. B. C. D.5.函數(shù)y=sin2x的圖象可能是A. B.C. D.6.某裝飾公司制作一種扇形板狀裝飾品,其圓心角為120°,并在扇形弧上正面等距安裝7個發(fā)彩色光的小燈泡且在背面用導(dǎo)線相連(弧的兩端各一個,導(dǎo)線接頭忽略不計),已知扇形的半徑為30厘米,則連接導(dǎo)線最小大致需要的長度為()A.58厘米 B.63厘米 C.69厘米 D.76厘米7.命題“”的否定是()A. B.C. D.8.如圖所示,用一邊長為的正方形硬紙,按各邊中點垂直折起四個小三角形,做成一個蛋巢,將體積為的雞蛋(視為球體)放入其中,蛋巢形狀保持不變,則雞蛋(球體)離蛋巢底面的最短距離為()A. B.C. D.9.音樂,是用聲音來展現(xiàn)美,給人以聽覺上的享受,熔鑄人們的美學(xué)趣味.著名數(shù)學(xué)家傅立葉研究了樂聲的本質(zhì),他證明了所有的樂聲都能用數(shù)學(xué)表達(dá)式來描述,它們是一些形如的簡單正弦函數(shù)的和,其中頻率最低的一項是基本音,其余的為泛音.由樂聲的數(shù)學(xué)表達(dá)式可知,所有泛音的頻率都是基本音頻率的整數(shù)倍,稱為基本音的諧波.下列函數(shù)中不能與函數(shù)構(gòu)成樂音的是()A. B. C. D.10.將函數(shù)圖象上每一點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍,再將圖像向左平移個單位長度,得到函數(shù)的圖象,則函數(shù)圖象的一個對稱中心為()A. B. C. D.11.已知復(fù)數(shù),,則()A. B. C. D.12.已知,,,是球的球面上四個不同的點,若,且平面平面,則球的表面積為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.如圖,兩個同心圓的半徑分別為和,為大圓的一條直徑,過點作小圓的切線交大圓于另一點,切點為,點為劣弧上的任一點(不包括兩點),則的最大值是__________.14.已知向量,,則______.15.若,則_________.16.已知一組數(shù)據(jù),1,0,,的方差為10,則________三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知的圖象在處的切線方程為.(1)求常數(shù)的值;(2)若方程在區(qū)間上有兩個不同的實根,求實數(shù)的值.18.(12分)已知為橢圓的左、右焦點,離心率為,點在橢圓上.(1)求橢圓的方程;(2)過的直線分別交橢圓于和,且,問是否存在常數(shù),使得成等差數(shù)列?若存在,求出的值;若不存在,請說明理由.19.(12分)已知函數(shù).(1)當(dāng)時,試求曲線在點處的切線;(2)試討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.20.(12分)設(shè)函數(shù),,.(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2)若函數(shù)有兩個零點,().(i)求的取值范圍;(ii)求證:隨著的增大而增大.21.(12分)試求曲線y=sinx在矩陣MN變換下的函數(shù)解析式,其中M,N.22.(10分)超級病菌是一種耐藥性細(xì)菌,產(chǎn)生超級細(xì)菌的主要原因是用于抵抗細(xì)菌侵蝕的藥物越來越多,但是由于濫用抗生素的現(xiàn)象不斷的發(fā)生,很多致病菌也對相應(yīng)的抗生素產(chǎn)生了耐藥性,更可怕的是,抗生素藥物對它起不到什么作用,病人會因為感染而引起可怕的炎癥,高燒、痙攣、昏迷直到最后死亡.某藥物研究所為篩查某種超級細(xì)菌,需要檢驗血液是否為陽性,現(xiàn)有n()份血液樣本,每個樣本取到的可能性均等,有以下兩種檢驗方式:(1)逐份檢驗,則需要檢驗n次;(2)混合檢驗,將其中k(且)份血液樣本分別取樣混合在一起檢驗,若檢驗結(jié)果為陰性,這k份的血液全為陰性,因而這k份血液樣本只要檢驗一次就夠了,如果檢驗結(jié)果為陽性,為了明確這k份血液究竟哪幾份為陽性,就要對這k份再逐份檢驗,此時這k份血液的檢驗次數(shù)總共為次,假設(shè)在接受檢驗的血液樣本中,每份樣本的檢驗結(jié)果是陽性還是陰性都是獨立的,且每份樣本是陽性結(jié)果的概率為p().(1)假設(shè)有5份血液樣本,其中只有2份樣本為陽性,若采用逐份檢驗方式,求恰好經(jīng)過2次檢驗就能把陽性樣本全部檢驗出來的概率;(2)現(xiàn)取其中k(且)份血液樣本,記采用逐份檢驗方式,樣本需要檢驗的總次數(shù)為,采用混合檢驗方式,樣本需要檢驗的總次數(shù)為.(i)試運用概率統(tǒng)計的知識,若,試求p關(guān)于k的函數(shù)關(guān)系式;(ii)若,采用混合檢驗方式可以使得樣本需要檢驗的總次數(shù)的期望值比逐份檢驗的總次數(shù)期望值更少,求k的最大值.參考數(shù)據(jù):,,,,

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.B【解析】

由得,即,所以得,利用基本不等式求出最小值,得到,再由遞推公式求出.【詳解】由得,即,,當(dāng)且僅當(dāng)時取得最小值,此時.故選:B本題主要考查了數(shù)列中的最值問題,遞推公式的應(yīng)用,基本不等式求最值,考查了學(xué)生的運算求解能力.2.A【解析】

根據(jù)分段函數(shù)的定義得,,則,再根據(jù)基本不等式構(gòu)造出相應(yīng)的所需的形式,可求得函數(shù)的最小值.【詳解】依題意得,,則,(當(dāng)且僅當(dāng),即時“”成立.此時,,,的最小值為,故選:A.本題考查求分段函數(shù)的最值,關(guān)鍵在于根據(jù)分段函數(shù)的定義得出,再由基本不等式求得最值,屬于中檔題.3.D【解析】

根據(jù)題意判斷出函數(shù)的單調(diào)性,從而根據(jù)單調(diào)性對選項逐個判斷即可.【詳解】由條件可得函數(shù)關(guān)于直線對稱;在,上單調(diào)遞增,且在時使得;又,,所以選項成立;,比離對稱軸遠(yuǎn),可得,選項成立;,,可知比離對稱軸遠(yuǎn),選項成立;,符號不定,,無法比較大小,不一定成立.故選:.本題考查了函數(shù)的基本性質(zhì)及其應(yīng)用,意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.4.A【解析】分析:設(shè),則,把用表示,然后令,由導(dǎo)數(shù)求得的最小值.詳解:設(shè),則,,,∴,令,則,,∴是上的增函數(shù),又,∴當(dāng)時,,當(dāng)時,,即在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,是極小值也是最小值,,∴的最小值是.故選A.點睛:本題易錯選B,利用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的最值,解題時學(xué)生可能不會將其中求的最小值問題,通過構(gòu)造新函數(shù),轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值問題,另外通過二次求導(dǎo),確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間也很容易出錯.5.D【解析】分析:先研究函數(shù)的奇偶性,再研究函數(shù)在上的符號,即可判斷選擇.詳解:令,因為,所以為奇函數(shù),排除選項A,B;因為時,,所以排除選項C,選D.點睛:有關(guān)函數(shù)圖象的識別問題的常見題型及解題思路:(1)由函數(shù)的定義域,判斷圖象的左、右位置,由函數(shù)的值域,判斷圖象的上、下位置;(2)由函數(shù)的單調(diào)性,判斷圖象的變化趨勢;(3)由函數(shù)的奇偶性,判斷圖象的對稱性;(4)由函數(shù)的周期性,判斷圖象的循環(huán)往復(fù).6.B【解析】

由于實際問題中扇形弧長較小,可將導(dǎo)線的長視為扇形弧長,利用弧長公式計算即可.【詳解】因為弧長比較短的情況下分成6等分,所以每部分的弦長和弧長相差很小,可以用弧長近似代替弦長,故導(dǎo)線長度約為63(厘米).故選:B.本題主要考查了扇形弧長的計算,屬于容易題.7.D【解析】

根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題,對命題進(jìn)行改寫即可.【詳解】全稱命題的否定是特稱命題,所以命題“,”的否定是:,.故選D.本題考查全稱命題的否定,難度容易.8.D【解析】因為蛋巢的底面是邊長為的正方形,所以過四個頂點截雞蛋所得的截面圓的直徑為,又因為雞蛋的體積為,所以球的半徑為,所以球心到截面的距離,而截面到球體最低點距離為,而蛋巢的高度為,故球體到蛋巢底面的最短距離為.點睛:本題主要考查折疊問題,考查球體有關(guān)的知識.在解答過程中,如果遇到球體或者圓錐等幾何體的內(nèi)接或外接幾何體的問題時,可以采用軸截面的方法來處理.也就是畫出題目通過球心和最低點的截面,然后利用弦長和勾股定理來解決.球的表面積公式和體積公式是需要熟記的.9.C【解析】

由基本音的諧波的定義可得,利用可得,即可判斷選項.【詳解】由題,所有泛音的頻率都是基本音頻率的整數(shù)倍,稱為基本音的諧波,由,可知若,則必有,故選:C本題考查三角函數(shù)的周期與頻率,考查理解分析能力.10.D【解析】

根據(jù)函數(shù)圖象的變換規(guī)律可得到解析式,然后將四個選項代入逐一判斷即可.【詳解】解:圖象上每一點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍,得到再將圖像向左平移個單位長度,得到函數(shù)的圖象,故選:D考查三角函數(shù)圖象的變換規(guī)律以及其有關(guān)性質(zhì),基礎(chǔ)題.11.B【解析】分析:利用的恒等式,將分子、分母同時乘以,化簡整理得詳解:,故選B點睛:復(fù)數(shù)問題是高考數(shù)學(xué)中的常考問題,屬于得分題,主要考查的方面有:復(fù)數(shù)的分類、復(fù)數(shù)的幾何意義、復(fù)數(shù)的模、共軛復(fù)數(shù)以及復(fù)數(shù)的乘除運算,在運算時注意符號的正、負(fù)問題.12.A【解析】

由題意畫出圖形,求出多面體外接球的半徑,代入表面積公式得答案.【詳解】如圖,取BC中點G,連接AG,DG,則,,分別取與的外心E,F(xiàn),分別過E,F(xiàn)作平面ABC與平面DBC的垂線,相交于O,則O為四面體的球心,由,得正方形OEGF的邊長為,則,四面體的外接球的半徑,球O的表面積為.故選A.本題考查多面體外接球表面積的求法,考查空間想象能力與思維能力,是中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】

以為坐標(biāo)原點,所在的直線為軸,的垂直平分線為軸,建立平面直角坐標(biāo)系,從而可得、,,,然后利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算可得,再根據(jù)輔助角公式以及三角函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】以為坐標(biāo)原點,所在的直線為軸,的垂直平分線為軸,建立平面直角坐標(biāo)系,則、,由,且,所以,所以,即又平分,所以,則,設(shè),則,,所以,所以,,所以的最大值是.故答案為:本題考查了向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算、利用向量解決幾何問題,同時考查了輔助角公式以及三角函數(shù)的性質(zhì),屬于中檔題.14.【解析】

求出,然后由模的平方轉(zhuǎn)化為向量的平方,利用數(shù)量積的運算計算.【詳解】由題意得,.,.,,.故答案為:.本題考查求向量的模,掌握數(shù)量積的定義與運算律是解題基礎(chǔ).本題關(guān)鍵是用數(shù)量積的定義把模的運算轉(zhuǎn)化為數(shù)量積的運算.15.【解析】

因為,所以.因為,所以,又,所以,所以..16.7或【解析】

依據(jù)方差公式列出方程,解出即可.【詳解】,1,0,,的平均數(shù)為,所以解得或.本題主要考查方差公式的應(yīng)用.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1);(2)或.【解析】

(1)求出,由,建立方程求解,即可求出結(jié)論;(2)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,極值,做出函數(shù)在的圖象,即可求解.【詳解】(1),由題意知,解得(舍去)或.(2)當(dāng)時,故方程有根,根為或,+0-0+極大值極小值由表可見,當(dāng)時,有極小值0.由上表可知的減函數(shù)區(qū)間為,遞增區(qū)間為,.因為,.由數(shù)形結(jié)合可得或.本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,應(yīng)用函數(shù)的圖象是解題的關(guān)鍵,意在考查直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)計算能力,屬于中檔題.18.(1);(2)存在,.【解析】

(1)由條件建立關(guān)于的方程組,可求得,得出橢圓的方程;(2)①當(dāng)直線的斜率不存在時,可求得,求得,②當(dāng)直線的斜率存在且不為0時,設(shè)聯(lián)立直線與橢圓的方程,求出線段,再由得出線段,根據(jù)等差中項可求得,得出結(jié)論.【詳解】(1)由條件得,所以橢圓的方程為:;(2),①當(dāng)直線的斜率不存在時,,此時,②當(dāng)直線的斜率存在且不為0時,設(shè),聯(lián)立消元得,設(shè),,直線的斜率為,同理可得,所以,綜合①②,存在常數(shù),使得成等差數(shù)列.本題考查利用橢圓的離心率求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,直線與橢圓的位置關(guān)系中的弦長公式的相關(guān)問題,當(dāng)兩直線的斜率具有關(guān)系時,可能通過斜率的代換得出另一條線段的弦長,屬于中檔題.19.(1);(2)見解析【解析】

(1)對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo),可以求出曲線在點處的切線,利用直線的斜截式方程可以求出曲線的切線方程;(2)對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo),對實數(shù)進(jìn)行分類討論,可以求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【詳解】(1)當(dāng)時,函數(shù)定義域為,,所以切線方程為;(2)當(dāng)時,函數(shù)定義域為,在上單調(diào)遞增當(dāng)時,恒成立,函數(shù)定義域為,又在單調(diào)遞增,單調(diào)遞減,單調(diào)遞增當(dāng)時,函數(shù)定義域為,在單調(diào)遞增,單調(diào)遞減,單調(diào)遞增當(dāng)時,設(shè)的兩個根為且,由韋達(dá)定理易知兩根均為正根,且,所以函數(shù)的定義域為,又對稱軸,且,在單調(diào)遞增,單調(diào)遞減,單調(diào)遞增本題考查了曲線切線方程的求法,考查了利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性問題,考查了分類思想.20.(1)見解析;(2)(i)(ii)證明見解析【解析】

(1)求出導(dǎo)函數(shù),分類討論即可求解;(2)(i)結(jié)合(1)的單調(diào)性分析函數(shù)有兩個零點求解參數(shù)取值范圍;(ii)設(shè),通過轉(zhuǎn)化,討論函數(shù)的單調(diào)性得證.【詳解】(1)因為,所以當(dāng)時,在上恒成立,所以在上單調(diào)遞增,當(dāng)時,的解集為,的解集為,所以的單調(diào)增區(qū)間為,的單調(diào)減區(qū)間為;(2)(i)由(1)可知,當(dāng)時,在上單調(diào)遞增,至多一個零點,不符題意,當(dāng)時,因為有兩個零點,所以,解得,因為,且,所以存在,使得,又因為,設(shè),則,所以單調(diào)遞增,所以,即,因為,所以存在,使得,綜上,;(ii)因為

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