2024年秋新北師大版七年級上冊數(shù)學(xué)教學(xué)課件 第3章 問題解決策略-歸納

第三章整式及其加減問題解決策略—歸納七上數(shù)學(xué)BSD例1

“低多邊形風(fēng)格”是一種數(shù)字藝術(shù)設(shè)計風(fēng)格.它將整個區(qū)域分割為若干三角形，通過把相鄰三角形涂上不同顏色，產(chǎn)生立體及光影的效果，隨著三角形數(shù)量增加，效果更為斑斕絢麗(如圖1).新知探究知識點

問題解決策略—歸納

圖1新知探究知識點

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將長方形區(qū)域分割成三角形的過程是：在長方形內(nèi)取一定數(shù)量的點，連同長方形的4個頂點，逐步連接這些點，保證所有連線不再相交產(chǎn)生新的點，直到長方形內(nèi)所有區(qū)域都變成三角形.如圖2，當(dāng)長方形內(nèi)有1個點時，可分得4個三角形；當(dāng)長方形內(nèi)有2個點時，可分得6個三角形(不計被分割的三角形).

當(dāng)長方形內(nèi)有35個點時，可分得多少個三角形?1個點2個點圖2長方形內(nèi)點的個數(shù)12…三角形的個數(shù)46…新知探究知識點

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【理解問題】(1)先動手畫一畫，感受分割三角形的過程.(2)已知條件是什么?目標(biāo)是什么?已知條件:目標(biāo):當(dāng)長方形內(nèi)有35個點時，可分得多少個三角形?新知探究知識點

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【擬定計劃】(1)直接研究“長方形內(nèi)有35個點”的情形，你遇到了什么困難?難以畫出，無法求得其三角形數(shù).(2)哪些情形容易研究?從中你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律?長方形內(nèi)較少點時容易研究.新知探究知識點

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1個點2個點3個點4個點10個三角形8個三角形新知探究知識點

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【擬定計劃】(2)哪些情形容易研究?從中你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律?長方形內(nèi)較少點時容易研究.長方形內(nèi)點的個數(shù)1234…三角形的個數(shù)46810…

長方形內(nèi)點的個數(shù)增加1，三角形的個數(shù)增加2.新知探究知識點

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解：猜想是合理的.在長方形內(nèi)已經(jīng)有n個點的情況下，新增的一個點要么在某個三角形內(nèi)部，要么在某條線段上.點在某個三角形內(nèi)部時：連接該點和三角形的頂點，原來的1個三角形分成3個小三角形，三角形的個數(shù)增加2；點在某條線段上時，連接該點和它所在兩個三角形的頂點，三角形的個數(shù)同樣增加2.(3)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律正確嗎?你能給出合理的解釋嗎?新知探究知識點

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【實施計劃】長方形內(nèi)點的個數(shù)增加1，三角形的個數(shù)增加2.長方形內(nèi)點的個數(shù)1234…三角形的個數(shù)46810…當(dāng)長方形內(nèi)有35個點時，分得的三角形的個數(shù)是4+2×34=72.新知探究知識點

問題解決策略—歸納

【回顧反思】(1)如果長方形內(nèi)有100個點呢?一般地，如果長方形內(nèi)有n個點呢?長方形內(nèi)有100個點：長方形內(nèi)有n個點：4+2×（100-1）=202.4+2×（n-1）=2n+2.新知探究知識點

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【回顧反思】(2)從簡單的情形開始思考有什么好處?通過簡單情形歸納一般性結(jié)論，你有哪些經(jīng)驗?從簡單情形入手往往更易看清問題的本質(zhì)，便于揭示問題的規(guī)律.新知探究知識點

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在運用歸納策略尋找規(guī)律時，要先在若干簡單情形中尋找相應(yīng)的規(guī)律.初步發(fā)現(xiàn)規(guī)律后，可以通過更多的情形驗證，再考慮一般情況.最后，試著給出合理的解釋，并用數(shù)學(xué)語言簡潔地表達(dá)規(guī)律.新知探究知識點

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例22022年北京冬奧會開幕式主火炬臺由96塊小雪花形態(tài)和6塊橄欖枝構(gòu)成的巨型“雪花”形態(tài)，在數(shù)學(xué)上，我們可以通過“分形”近似地得到雪花的形狀.將一個邊長為1的等邊三角形(如圖①)的每一邊三等分，以居中那條線段為底邊向外作等邊三角形，并去掉所作的等邊三角形的一條邊，得到一個六角星(如圖②)，稱為第1次分形.圖①圖②新知探究知識點

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接著對每個等邊三角形凸出的部分繼續(xù)上述過程，即在每條邊三等分后的中段向外畫等邊三角形，得到一個新的圖形(如圖③)，稱為第2次分形.不斷重復(fù)這樣的過程，就得到了“科赫雪花曲線”.猜想第4次分形后得到的“雪花曲線”的邊數(shù)是多少?圖①圖②

圖③新知探究知識點

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【解決方案】(1)先研究第1次和第2次分形的情形.分形次數(shù)012…圖形邊數(shù)31248…(2)幾種簡單情形的數(shù)據(jù)如下表：12條邊48條邊新知探究知識點

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分形次數(shù)012…圖形邊數(shù)31248…發(fā)現(xiàn)的規(guī)律:每一次分形后，得到的“雪花曲線”的邊數(shù)是前一個“雪花曲線”邊數(shù)的4倍.新知探究知識點

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(3)驗證猜想是否正確.正確.首先，每條邊上的分形變化是相同的，因此只需關(guān)注一條邊的變化規(guī)律即可.每條邊分形時，首先被等分為3條邊，而中間的一條邊凸出變成2條邊，因此是原來邊數(shù)的4倍，每條邊都是如此因此分形1次后總邊數(shù)是上一次總邊數(shù)的4倍.圖①圖②圖③新知探究知識點

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(4)計算.根據(jù)分析，第4次分形后得到的“雪花曲線”的邊數(shù)為3×4×4×4×4=768.圖①圖②圖③新知探究知識點

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【回顧反思】你還能提出并解決哪些問題?答案不唯一，如:若圖①中等邊三角形的邊長為1，根據(jù)以上步驟進(jìn)行操作，第n次分形后得到的“雪花曲線”的邊長是多少?(用含n的代數(shù)式表示)新知探究知識點

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圖①圖②圖③

隨堂練習(xí)1.32024的個位數(shù)字是多少?解:31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187，…根據(jù)規(guī)律可知，3n的個位數(shù)字以3，9，7，1為一個循環(huán).又因為2024÷4=506，所以32024的個位數(shù)字是1.隨堂練習(xí)2.某類簡單化合物中前6種化合物的分子結(jié)構(gòu)模型如圖所示，按照這一規(guī)律，第60種化合物的分子結(jié)構(gòu)模型中有多少個氫原子(H)?隨堂練習(xí)解:第1種化合物的分子結(jié)構(gòu)模型中有4個氫原子；第2種化合物的分子結(jié)構(gòu)模型中有4+2=6(個)氫原子；第3種化合物的分子結(jié)構(gòu)模型中有4+2+2=8(個)氫原子；第4種化合物的分子結(jié)構(gòu)模型中有4+2×(4﹣1)=10(個)氫原子；……第60種化合物的分子結(jié)構(gòu)模型中有4+2×(60﹣1)=122(個)氫原子.隨堂練習(xí)3.如圖，將一根繩子折成三段，然后按如圖所示的方式剪開，剪1刀，繩子變?yōu)?段；剪2刀，繩子變?yōu)?段.(1)剪12刀，繩子變?yōu)槎嗌俣?解:剪1刀，繩子變成4段；剪2刀，繩子變成4+3=7(段)；剪3刀，繩子變成4+3+3=10(段)；……剪12刀，繩子變成4+3×（12﹣1）=37(段).隨堂練習(xí)3.如圖，將一根繩子折成三段，然后按如圖所示的方式剪開，剪1刀，繩子變?yōu)?段；剪2刀，繩子變?yōu)?段.(2)有可能正好剪得101段嗎?

隨堂練習(xí)4.由1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，…組成的三角形數(shù)陣如圖所示，則第10行的10個數(shù)的和是多少?13579111315171923252729……隨堂練/p>