2022-2023學年江蘇高一年級下冊數(shù)學同步講義蘇教版2019必修第二冊第01講 基本立體圖形解析版

第13章立體幾何

第01講基本立體圖形

0目標導航

課程標準重難點

1.利用實物模型、計算機軟件等觀察空間

圖形，認識柱、錐、臺的結構特征，能運

用這些特征描述現(xiàn)實生活中簡單物體的結

1直.觀圖的面積

構.

2.簡單幾何體的結構特征

2.能用斜二測畫法畫出簡單空間圖形(長

方體、球、圓柱、圓錐、棱柱及其簡單組

合)的直觀圖.

?知識精講

知識點一棱柱、棱錐和棱臺-----------------------------------------------------------------------

i.可以從以下幾個方面理解棱柱

(1)棱柱的兩個主要結構特征：

①有兩個面互相平行;

②各側棱都互相平行,各側面都是平行四邊形.

通俗地講，棱柱”兩頭一樣平，上下一樣粗

(2)有兩個面互相平行，并不表明只有兩個面互相平行,如長方體，有三組對面互相平行，其中任意一

組對面都可以作為底面.

(3)從運動的觀點來看,棱柱也可以看成是一個平面多邊形從一個位置沿一條不與其共面的直線運動到

另一位置時，其運動軌跡所形成的幾何體.

(4)棱柱可按底面多邊形的邊數(shù)進行分類，如底面是三角形的棱柱叫做三棱柱.

注意：棱柱概念的推廣

①斜棱柱:側棱不垂直于底面的棱柱?

②直棱柱:側棱垂直于底面的棱柱.

③正棱柱:底面是正多邊形的直棱柱.

④平行六面體:底面是平行四邊形的四棱柱，即平行六面體的六個面都是平行四邊形.

⑤長方體:底面是矩形的直棱柱.

⑥正方體:棱長都相等的長方體.

2.棱錐的兩個本質(zhì)特征

(1)有一個面是多邊形;

(2)其余各面都是有二個公共頂點的三角形,

注意：底面是正多邊形，并且頂點與底面中心的連線垂直于底面的棱錐叫做的鍍，棱錐還可按底面

多邊形邊數(shù)進行分類.

3.正確認識棱臺的結構特征

(1)上底面與下底面是互相平行的相似多邊形；

(2)側面都是梯形；

(3)側棱延長線必交于一點.

注意：各側面是全等的等腰梯形的是棱臺稱為.正援食一棱臺還可按底面多邊形的邊數(shù)進行分類.

知識點二圓錐、圓錐、圓臺和球

1.圓柱的結構特征

(1)圓柱有無數(shù)條母線,它們平行且相等.

(2)平行于底面的截面是與底面大小相同的圓.

(3)過軸的截面(軸截面)都是全等的矩形.

(4)過任意兩條母線的截面是蟀一

2.圓錐的結構特征

(1)圓錐有無數(shù)條母線,它們有公共點即圓錐的頂點,且長度相等.

(2)平行于底面的截面都是圓「

(3)過軸的截面是全等的等腰三角形.

(4)過任意兩條母線的截面是等腰量角形.

3.圓臺的結構特征

(1)圓臺有無數(shù)條母線,且它們相等，延長后相交于一點

(2)平行于底面的截面是圓二

(3)過軸的截面是全等的等腰梯形.

(4)過任意兩條母線的截面是等腰梯形.

4.球的結構特征

(1)球是旋轉(zhuǎn)體,球的表面是旋轉(zhuǎn)形成的曲面，球是球面及其內(nèi)部空間組成的幾何體?

(2)根據(jù)球的定義，鉛球是一個球，而足球、乒乓球、籃球、排球等，雖然它們的名字中有“球”字，

但它們都是空心的，不符合球的定義，因而都不是球.

5.簡單組合體

由簡單幾何體組合而成的幾何體稱為簡單組合體，構成簡單組合體的兩種基本形式：

①由簡單幾何體拼接而成；

②由簡單幾何體裁去或挖去一部分組成.

知識點三直觀圖的斜二測畫法

Q能力拓展

考法01旋轉(zhuǎn)體的結構特征

例

判斷下列各命題是否正確：

(1)圓柱上底面圓上任一點與下底面圓上任一點的連線都是圓柱的母線；

(2)一直角梯形繞下底所在直線旋轉(zhuǎn)一周，所形成的曲面圍成的幾何體是圓臺；

(3)圓錐、圓臺中過軸的截面是軸截面，圓錐的軸截面是等腰三角形，圓臺的軸截面是等腰梯形;

(4)到定點的距離等于定長的點的集合是球.

【解析】(1)錯.由圓柱母線的定義知，圓柱的母線應平行于軸.

(2)錯.直角梯形繞下底所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體是由一個圓柱與一個圓錐組成的簡單組合體,

如圖所示.

(3)正確.

(4)錯.應為球面.

【方法技巧】

簡單旋轉(zhuǎn)體結構特征問題的解題策略

(1)準確掌握圓柱、圓錐、圓臺和球的生成過程及其特征性質(zhì)是解決此類概念問題的關鍵.

(2)解題時要注意明確兩點：

①明確由哪個平面圖形旋轉(zhuǎn)而成；

②明確旋轉(zhuǎn)軸是哪條直線.

【跟蹤訓練】

1.下列敘述中，正確的個數(shù)是()

①以直角三角形的一邊為軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐；

②以直角梯形的一腰為軸旋轉(zhuǎn)所得的幾何體是圓臺；

③用一個平面去截圓錐，得到一個圓錐和一個圓臺；

④圓面繞它的任一直徑旋轉(zhuǎn)形成的幾何體是球.

A.0B.1

C.2D.3

解析：選B①應以直角三角形的一條直角邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)才可得到圓錐，故①錯；②

以直角梯形垂直于底邊的一腰所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)可得到圓臺，故②錯；③用平行于圓錐底面的平面去

截圓錐，可得到一個圓錐和一個圓臺，用不平行于圓錐底面的平面不能得到，故③錯：④正確.故選B.

2.下列命題中正確的是（）

①過球面上任意兩點只能作一個經(jīng)過球心的圓；

②以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體叫做球體，半圓的直徑叫做球的直徑；

③用不過球心的截面截球，球心和截面圓心的連線垂直于截面；

④球面上任意三點可能在一條直線上；

⑤球的半徑是連接球面上任意一點和球心的線段.

A.①②③B.②③④

C.②③⑤D.①④⑤

解析：選C任意兩點與球心在一條直線上時，可作無數(shù)個圓，故①錯，②正確，③正確：球面上任意三點

一定不共線，故④錯誤：根據(jù)球的半徑的定義可知⑤正確.故選C.

考法02簡單組合體的結構特征

■目?如圖①②所示的圖形繞虛線旋轉(zhuǎn)一周后形成的立體圖形分別是由哪些簡單兒何體組成的？

【解析】旋轉(zhuǎn)后的圖形如圖所示.其中圖①是由一個圓柱0|。2和兩個圓臺。2。3,。3。4組成的；圖②是由

一個圓錐。5。4,一個圓柱。3。4及一個圓臺。1。3中挖去圓錐。2。1組成的.

【方法技巧】

簡單組合體的識別

1.明確組合體的結構特征，主要弄清它是由哪些簡單幾何體組成的，必要時也可以指出棱數(shù)、面數(shù)和頂點

數(shù).

2.會識別較復雜的圖形是學好立體幾何的第一步，因此我們應注意觀察周圍的物體，然后將它們“分拆”

成幾個簡單的幾何體，進而培養(yǎng)我們的空間想象能力和識圖能力.

【跟蹤訓練】

描述下列幾何體的結構特征.

二二二q六■*、、

(3)

【解析】圖(1)所示的幾何體是由兩個圓臺拼接而成的組合體：圖(2)所示的幾何體是由一個圓臺挖去一個圓

錐得到的組合體：圖(3)所示的幾何體是在一個圓柱中間挖去一個三棱柱后得到的組合體.

考法03圓柱、圓錐、圓臺側面展開圖問題

如圖所示,已知圓柱的高為80cm,底面半徑為10cm,軸截面上有P,。兩點，且以=40cm.

89=30cm,若一只螞蟻沿著側面從尸點爬到。點，問：螞蟻爬過的最短路徑長是多少？

【解析】將圓柱側面沿用線AA展開，得如圖所示矩形.

J.A\B\=^-2Ttr=nr=107t(cni).

過點。作QS-LA4|于點5,

在RtAP05中，PS=80-40-30=10(cm),

05=48]=lOjt(cm).

:.PQ=yjPS2+QS2=1(hj7t2+l(cm).

即螞蟻爬過的最短路徑長是1cm.

【方法總結】

準確畫出向量的方法是先確定向量的起點，再確定向量的方向，然后根據(jù)向量的大小確定向量的終點.

【跟蹤訓練】在如圖的方格紙上，已知向量。，每個小正方形的邊長為1.

(1)試以8為終點畫一個向量6,使b=a；

(2)在圖中畫一個以A為起點的向量c,使依=小，并說出向量c的終點的軌跡是什么？

【解析】(1)根據(jù)相等向量的定義，所作向量與向量。平行，且長度相等(作圖略).

(2)由平面幾何知識可知所有這樣的向量c的終點的軌跡是以4為圓心，半徑為小的圓(作圖咯).

考法04棱柱的結構特征

下列說法中，正確的是()

A.棱柱中所有的側棱都相交于一點

B.棱柱中互相平行的兩個面叫做棱柱的底面

C.棱柱的側面是平行四邊形，而底面不是平行四邊形

D.棱柱的側棱相等，側面是平行四邊形

【答案】D

【解析】A選項不符合棱柱的結構特征；B選項中，如圖①，構造四棱柱A8CD4由JCICI,令四邊形ABC。

是梯形，可知平面平面DCC\D\,但這兩個面不能作為棱柱的底面；C選項中，如圖②，底面ABCD

可以是平行四邊形；D選項是棱柱的結構特征.故選D.

【方法技巧】

棱柱結構特征問題的解題策略

(1)有關棱柱概念辨析問題應緊扣棱柱定義：

①兩個面互相平行；

②其余各面是平行四邊形；

③相鄰兩個四邊形的公共邊互相平行.求解時，首先看是否有兩個面平行，再看是否滿足其他特征.

(2)多注意觀察一些實物模型和圖片便于反例排除.

【跟蹤訓練】

I多選］下列關于棱柱的說法正確的是()

A.所有的棱柱兩個底面都平行

B.所有的棱柱一定有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，每相鄰兩個四邊形的公共邊互相平行

C.有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形的幾何體一定是棱柱

D.棱柱至少有五個面

【答案】ABD

【解析】對于A、B、D,顯然是正確的；對于C,棱柱的定義是這樣的：有兩個面互相人.9

平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面圍成下辛彳

的幾何體叫做棱柱，顯然題中漏掉了“并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行”這一

B

條件，因此所圍成的幾何體不一定是棱柱.如圖所示的幾何體就不是棱柱，所以C錯誤.故選A、B、D.

考法05棱錐、棱臺的結構特征

下列關于棱錐、棱臺的說法:

①棱臺的側面一定不會是平行四邊形；②由四個平面圍成的封閉圖形只能是三棱錐；③棱錐被平面截成的

兩部分不可能都是棱錐.

其中說法正確的序號是.

【答案】①②

【解析】①正確，棱臺的側面一定是梯形，而不是平行四邊形：

②正確，由四個平面圍成的封閉圖形只能是三棱錐；

③錯誤，如圖所示四棱錐被平面截成的兩部分都是棱錐.

判斷棱錐、棱臺形狀的兩個方法

(1)舉反例法：

結合棱錐、棱臺的定義舉反例直接判斷關于棱錐、棱臺結構特征的某些說法不正確.

(2)直接法：

棱錐棱臺

定底面只有一個面是多邊形，此面即為底面兩個互相平行的面，即為底面

看側棱相交于一點延長后相交于一點

【跟蹤訓練】

下列說法中，正確的是()

①棱錐的各個側面都是三角形；

②有一個面是多邊形，其余各面都是三角形，由這些面圍成的幾何體是棱錐；

③四面體的任何一個面都可以作為三棱錐的底面；

④棱錐的各側棱長相等.

A.①②B.①③

C.②③D.②④

【答案】B

【解析】由棱錐的定義，知棱錐的各側面都是三角形，故①正確；有一個面是多邊形，其余各面都是三角

形，如果這些三角形沒有一個公共頂點，那么這個幾何體就不是棱錐，故②錯：四面體就是由四個三角形

所圍成的幾何體，因此四面體的任何一個面作底面的幾何體都是三棱錐，故③正確；棱錐的側棱長可以相

等，也可以不相等，故④錯.故選B.

考法06多面體的平面展開圖問題

(1)某同學制作了一個對面圖案均相同的正方體禮品盒，如圖所示，則這個正方體禮品盒的平面

展開圖應該為(對面是相同的圖案)()

(2)如圖是三個幾何體的平面展開圖，請問各是什么幾何體?

［解析］(1)由選項臉證可知選A.

(2)圖①中，有5個平行四邊形，而且還有兩個全等的五邊形,符合棱柱特點；圖②中，有5個三南形，且

具有共同的頂點，還有一個五邊形，符合棱錐特點；圖③中，有3個梯形，且其腰的延長線交于一點，還

有兩個相似的三角形，符合棱臺的特點.把平面展開圖還原為原幾何體，如圖所示：所以①為五棱柱，②

為五棱錐，③為三棱臺.

［答案1(DA(2)①為五棱柱，②為五棱錐，③為三棱臺

【方法技巧】

多面體展開圖問題的解題策略

(1)繪制展開圖：繪制多面體的表面展開圖要結合多面體的幾何特征，常常給多面體的頂點標上字母，先把

多面體的底面畫出來，然后依次畫出各側面，便可得到其表面展開圖.

(2)由展開圖復原幾何體：若是給出多面體的表面展開圖，來判斷是由哪一個多面體展開的，則可把上述過

程逆推.同一個幾何體的表面展開圖可能是不一樣的，也就是說，一個多面體可有多個表面展開圖.

【跟蹤訓練】

1.［變條件，變設問］將本例(1)中改為：水平放置的正方體的六個面分別用“前面、后面、上面、下面、左

面、右面”表示，如圖是一個正方體的平面展開圖(圖中數(shù)字寫在正方體的外表面上)，若圖中“0”上方的“2”

在正方體的上面，則這個正方體的下面是()

A.1B.9

C.快D.樂

解析：選B將圖形折成正方體知選B.

2.［變條件，變設問］將本例(2)的條件改為：一個幾何體的平面展開圖如圖所示.

(1)該幾何體是哪種幾何體？

(2)該幾何體中與“?！弊置嫦鄬Φ氖悄膫€面？“你”字面相對的是哪個面?

解：(1)該幾何體是四棱臺.

(2)與“?！毕鄬Φ拿媸恰扒啊保c“你”相對的面是“程

考法07水平放置的平面圖形的直觀圖

畫水平放置的直角梯形的直觀圖，如圖所示.

［解J(1)在已知的直角梯形OBCD中，以底邊08所在直線為x軸，垂直于08的腰0力所在直線為)，軸建

立平面直角坐標系.畫相應的/軸和軸，使O'yf=45°,如圖①②所示.

(2)在『軸上截取O'B'=OB,在y'軸上截取O'D'=：?！?gt;,過點Q'作/軸的平行線/，在/上沿『

軸正方向取點C'使得》C=DC.連接夕C,如圖②.

(3)所得四邊形O'B'CD'就是直角梯形O8C。的直觀圖.如圖③.

【方法技巧】

畫平面圖形的直觀圖的技巧

(1)在畫水平放置的平面圖形的直觀圖時，選取恰當?shù)淖鴺讼凳顷P鍵，一般要使得平面多邊形盡可能多的頂

點在坐標軸上，以便于畫點.

(2)畫平面圖形的直觀圖，首先畫與坐標軸平行的線段(平行性不變)，與坐標軸不平行的線段通過與坐標軸平

行的線段確定它的兩個端點，然后連接成線段.B

I變式訓練］

用斜二測畫法畫如圖所示邊長為4cm的水平放置的正三角形的直觀圖.3----

【解析】(1)如圖①所示，以8c邊所在的直線為x軸，以8c邊上的高線A。所在的直線為軸.

(2)畫對應的『軸、y'軸，使Nx'O'y'=45°.

在x'軸上截取。'B'=0'C=0B=0C=2cm,在y'軸上取O'=joA,連接A'B',A'C',

則三角形A'B'C即為正三角形ABC的直觀，圖，如圖②所示.

考法08空間圖形直觀圖的畫法

畫出底面是正方形，側棱均相等的四棱錐的直觀圖.

【解析】畫法：⑴畫軸.畫Ox軸，軸，Oz軸，NxOy=45°(或135°),NxOz=90°,如圖.

(2)畫底面.以。為中心在平面內(nèi)，畫出正方形的直觀圖A8CD

(3)畫頂點.在Oz軸上截取OP使。尸的長度等于原四棱錐的高.

(4)成圖.順次連接以，PB,PC,PD,并擦去輔助線，將被遮住的部分改為虛線，得四棱錐的直觀圖.

【方法技巧】

畫空間圖形的直觀圖的原則

(1)首先在原幾何體上建立空間直角坐標系Oxyz,并且把它們畫成對應的尤'軸與y'軸，兩軸交于點O',

且使O'y'=45。(或135。)，它們確定的平面表示水平面，再作z'軸與平面『O'y'垂直.

(2)作空間圖形的直觀圖時平行于x軸的線段畫成平行于x'軸的線段并且長度不變.

(3)平行于y軸的線段畫成平行于<軸的線段，且線段長度畫成原來的一半.

(4)平行于z軸的線段畫成平行于z'軸的線段并且長度不變.

【跟蹤訓練】

用斜二測畫法畫出正五棱柱的直觀圖.

解：(1)畫軸.畫/軸、y'軸和z'軸，使Nx'O"y'=45°(或135°),乙x'O'z'=90°,如圖①所示.

①②

(2)畫底面.按/軸、y'軸畫正五邊形的直觀圖A8CDE.

(3)畫側棱.過點A,B,C,D,￡分別作z'軸的平行線，并在這些平行線上分別截取AA',BB',CC,

DD',EE'都相等.

(4)成圖.順次連接A',8',C',O',E',去掉輔助線，改被擋部分為虛線，如圖②所示.

考法09直觀圖的還原與計算

(1)如圖①，RtAO,A'B'是一個平面圖形的直觀圖，若O'B'=6,則這個平面圖形的面

積是（）

A.1B.V2

C.2^2

2

(2)如圖②所示，梯形AIBGDI是一平面圖形ABC。的直觀圖.若4以〃?！?lt;,A陽〃G。，

=2,A\D\=Of￡>］=1.試畫出原四邊形，并求原圖形的面積.

［解析］(1)由題圖知，△048為直角三角形.「。'夕=陋，???A‘夕=,，O'N=2.

在原△04B中，0B="04=4,..4人。"：!X啦X4=241故選C.

［答案］C

(2)如圖，建立直南坐標系xOy,在x軸上截取0。=0'D,=l;OC=O'Ci=2.

在過點D與)，軸平行的直線上截取。4=2。4=2.

在過點A與x軸平行的直線上截取A8=A/i=2.連接BC,便得到了原圖形(如圖).

由作法可知，原四邊形A8CO是直角梯形，上、下底長度分別為A8=2,CD=3,直角腰長度為AO=2.

2+3

所以面積為S=-7二義2=5.

【方法技巧】

1.直觀圖的還原技巧

由直觀圖還原為平面圖的關鍵是找與『軸，y'軸平行的直線或線段，且平行于『軸的線段還原時長度不

變，平行于<軸的線段還原時放大為直觀圖中相應線段長的2倍，由此確定圖形的各個頂點，順次連接即

可.

2.直觀圖與原圖面積之間的關系

若一個平面多邊形的面積為S,其直觀圖的面積為S',則有S'=條或S=2/S'.利用這一公式可由原

圖形面積求其直觀圖面積或由直觀圖面積求原圖形面積.

［變式訓練］

1.［變條件］本例(2)中的條件改為如圖所示的直角梯形，NABC=45。，AB=AD^l,DC

-LBC,求原圖形的面積.

解：如圖①，在直觀圖中，過點A作AE-L8C,垂足為點E,則在RtZXABE中，AB=\,

NABE=45°,

所以BE=^.

而四邊形AECO為矩形，AD=\,所以EC=A力=1.所以BC=8E+EC=^+1.

由此可還原原圖形如圖②，是一個直角梯形.

在原圖形中，D'=1,A'B'=2,B'C=V+1,且A'D'//B'C,A'B'A.B'C',

所以原圖形的面積為

S=T（A，D'+8，C）-A'B'=|xh+l義2=2+坐

2.［變條件，變設問］本例⑴若改為“已知△ABC是邊長為a的正三角形，求其直觀圖B'C

的面積”，應如何求?

解：由斜二測畫法規(guī)則可知，直觀圖△A'夕C一底邊上的高為坐〃*3*坐=乎用

所以SA4ZB'c

Lo10

3.［變設問］本例（1）中直觀圖中△0'4'B'的面積與原圖形面積之比是多少？

解：由（1）中直觀圖可得SAOA，夕=gxgx/=1,

原圖形面積為SAOAB=2啦.所以S"：八"=，仁=^^.

OAQ4B2\24

羔分層提分

題組A基礎過關練

一、單選題

1.用斜二測畫法畫一個水平放置的平面圖形的直觀圖為如圖所示的直角梯形，其中BC=AB=2,則原平面圖

形的面積為（）

【解析】直觀圖中，/ADC=45°,AB=BC=2,DC1BC,：.AD=2^2,DC=4,

原來的平面圖形上底長為2,下底為4,高為4&的直角梯形，

,該平面圖形的面積為（2+4）x40xg=12應.故選：C

2.已知正A4?C的邊長為忘，則AABC的直觀圖7月G的面積為（）

A.邁B.3C.一百D,如

248

【答案】D

【解析】由題意S“BC='X（血＞xsin工=@,

262

所以直觀圖"BC的面積為5=立乂"=逅.故選：D.

248

3.已知圓錐的底面半徑為1,其側面展開圖為一個半圓，則該圓錐的母線長為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】由題設，若母線長為/,則加=2萬，可得/=2.故選：B

4.下列結論中正確的是（）

A.各個面都是三角形的幾何體是三棱錐

B.以三角形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成幾何體叫圓錐

C.當正棱錐的側棱長與底面多邊形的邊長相等時該棱錐可能是正六棱錐

D.圓錐的頂點與底面圓周上的任一點的連線都是母線

【答案】D

【解析】對于A,正八面體的各個面都是三角形，但不是三棱錐，所以A錯誤，

對于B,若以銳角三角形的一邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體是兩個圓錐

形成的組合體，所以B錯誤，

對于C,正六棱錐的底面六邊形的外接圓半徑與底面邊長相等，而正棱錐的側棱長大于底面多邊形外接圓半

徑，所以正六棱錐的側棱長大于底面邊長，所以C錯誤，

對于D,圓錐的頂點與底面圓周上的任一點的連線都是母線，所以D正確，故選：D

5.下列說法正確的有（）

①兩個面平行且相似，其余各面都是梯形的多面體是棱臺：

②以直角三角形的一邊為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐；

③各側面都是正方形的四棱柱一定是正方體；

④圓錐的軸截而是等腰三角形.

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】A

【解析】對于①：棱臺是棱錐過側棱上一點作底面的平行平面分割而得到的.而兩個面平行且相似，其余各

面都是梯形的多面體中，把梯形的腰延長后，有可能不交于一點，就不是棱臺.故①錯誤；

對于②：以直角三角形的斜邊為軸旋轉(zhuǎn)調(diào)所得的旋轉(zhuǎn)體不是圓錐.故②錯誤；

對于③：各側面都是正方形的四棱柱中，如果底面的菱形，一定不是正方體.故③錯誤；

對于④：圓錐的軸截面是等腰三角形.是正確的.故④正確.

故選：A

6.21世紀以來，中國鋼鐵工業(yè)進入快速發(fā)展階段，某工廠要加工一種如圖所示的圓錐體容器，圓錐的高和

母線長分別為4m和5m,該容器需要在圓錐內(nèi)部挖出一個正方體槽，則可以挖出的正方體的最大棱長為

（）

A.36-21>/2mB.40-21&mC.4O-240mD.36-24血m

【答案】D

【解析】因為圓錐的高和母線長分別為〃=4m和/=5m,

則圓錐的底面半徑為r=廬下=3m，

過圓錐的頂點和正方體底面對角線作圓錐的軸截面，如下圖所示：

此時正方體的棱長最大，設正方體的棱長為。，則=

作A。垂直地面于。，則AO=〃,EO=r

因為A￡CG~AEOA,所以4=擔，

AOEO

r-^-a2rh

即qL2即叫E所以a=（36-240）m.故選：D.

工r

二、多選題

7.下列說法中不正確的是（）

A.各個面都是三角形的幾何體是三棱錐

B.以三角形的一條邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體叫圓錐

C.棱錐的側棱長與底面多邊形的邊長相等，則該棱錐可能是六棱錐

D.圓錐的頂點與底面圓周上的任一點的連線都是母線

【答案】ABC

【解析】A、如圖（1）所示，由兩個結構相同的三棱錐疊放在一起構成的幾何體，各面都是三角形，但它

不是棱錐，故A錯誤；

B、如圖（2）（3）所示，若AABC不是直角三角形，或是直角三角形但旋轉(zhuǎn)軸不是直角邊，所得的幾何體都

不是圓錐，故B錯誤；

C、若六棱錐的所有棱長都相等，則底面多邊形是正六邊形.由過中心和定點的截面知，若以正六邊形為底

面，側棱長必然要大于底面邊長，故C錯誤；

D、根據(jù)圓錐母線的定義知，故D正確.

故選：ABC.

(1)(2)(3)

8.（多選題）對如圖中的組合體的結構特征有以下幾種說法，其中說法正確的是（）

A.由一個長方體割去一個四棱柱所構成的

B.由一個長方體與兩個四棱柱組合而成的

C.由一個長方體挖去一個四棱臺所構成的

D.由一個長方體與兩個四棱臺組合而成的

【答案】AB

【解析】如圖，該組合體可由一個長方體割去一個四棱柱所構成，也可以由一個長方體與兩個四棱柱組合

而成，如下圖所示：

囹整

故選:AB.

三、填空題

9.如圖，O'A'8'C'是平面四邊形O43C的直觀圖，若O'45'C'是邊長為2的正方形，則四邊形。43c的周

長為.

【答案】16

【解析】?.?。'4=2,

O'B'=2A/2

還原回原圖形后，

OA=OA'=2,OB=20'B'=472.

AB=y/OB2+OA2=j32+4=6，

原圖形的面積周長為2x（6+2）=16故答案為：16.

10.達?芬奇認為：和音樂一樣，數(shù)學和幾何"包含了宇宙的一切"，從年輕時起，他就本能地把這些主題運

用在作品中，布達佩斯的伊帕姆維澤蒂博物館收藏的達?芬奇方磚，在正六邊形上畫了具有視覺效果的正方

體圖案（如圖1）,把三片這樣的達?芬奇方磚形成圖2的組合，這個組合表達了圖3所示的幾何體.若圖3

中每個正方體的邊長為1,則點F到直線QC的距離是.

【答案】O

【解析】根據(jù)題意，延長QM8A交于點M,連接QEFC,如下所示:

在AQ/C中，容易知：QF=JQN?+NF。=Jl?+（廚=6；

同理FC=Ji?+（6y=R,QC=JQM2+MC2=5+（可=3,

滿足QF+FC2=QC2,設點F到直線QC的距離為d,由等面積法可知：

QF*FC=QCxd,解得"=1；二=夜,即點尸到直線QC的距離是

故答案為：V2.

四、解答題

11.在一張硬卡紙上，將圖中給出的圖形放大，然后按實線剪紙，再按虛線折痕折起并黏合，說出得到的

【答案】三棱臺

【解析】上底面和下底面是大小不同的三角形，故粘合后上底面與下底面平行，側面與底面不垂直，所以

該兒何體為三棱臺.

12.用斜二測畫法畫出下列平面圖形水平放置的直觀圖.

【答案】詳見解析

【解析】（1）如圖所示,

過A'作AC"軸，且A'C'=,C=1,連接此，則VAFC即為“BC的直觀圖;

（2）如圖所示，

畫出坐標系x'O'y',使Zx'O'y'=45,

在軸作線段O'B'=O8=2,在y'軸作線段0'4'=g0A=g,

再作出點C',O',連接B，C',C'Zy,D'A',即可得出該平面圖形的直觀圖.

題組B能力提升練

一、單選題

1,埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個正四棱錐，以該四棱錐的高為邊長的正

方形面積等于該四棱錐一個側面三角形的面積，則其底面正方形的邊長與其側面三角形底邊上的高的比值

石-1cD.與

,2

【答案】B

【解析】

由已知，可畫出正四棱錐的圖像，底面715c。是邊長為a的正方形，頂點P在底面的投影為O,OP=h,H

為8c中點，P”為側面APBC的高，設尸”=",由已知可得：

h2——*a?h,h2=(h)2—(—)2=—,即h2——=—?a?h,

22242

貝打-￡=[，，即｝:)2+!母_1=0,解得

4/122h4h2h

二=6_1或二=_石一1(舍去).故選：B.

hh

2.已知球。為正方體ABCO-AqGR的內(nèi)切球，平面AGB截球。的面積為24],則正方體

ABC。-ABCA的棱長為()

A.4B.6C.8D.12

【答案】D

設正方體的棱長為“，則AG=缶，內(nèi)切球的半徑為設內(nèi)切球的球心。在平面AGB上的投影為0-

由△4CB為等邊三角形

知。I為等邊三角形AG8的重心，則。4=|x*AG=^a,又0%=%,所以球心。到平面AG8的

又。01，平面AGB，所以截面圓的半徑為:

解得a=12.故選：D.

3.如圖，在一個正方體中，E,G分別是棱A8,CC'的中點，F(xiàn)為棱C?？拷麮的四等分點.平面EFG截正

【答案】D

【解析】

D

連接EB',GB'

因為E,G分別是棱A8,CC'的中點，F(xiàn)為楂CO靠近C的四等分點

所以EB'HFG,所以平面EFG經(jīng)過點B'

所以多面體ADDA-EFGCB'的正視圖為?故選：D

4.下列命題正確的是（）

A.與平面內(nèi)無數(shù)條直線垂直的直線與該平面垂直

B.過直線外一點可以作無數(shù)條直線與該直線平行

C.各面都是正三角形的四面體的外接球球心和內(nèi)切球球心恰好重合

D.各面都是等腰三角形的三棱錐一定是正三棱錐

【答案】C

【解析】對于A,一條直線與平面內(nèi)的任意直線垂直，則直線與平面垂直，而無數(shù)條直線可以是一組平行直

線，A不正確；

對于B,由平行公理知，過直線外一點有且只有一條直線與該直線平行，B不正確；

對于C,因各面都是正三角形的四面體是正四面體，而正四面體的外接球球心和內(nèi)切球球心重合，C正確；

對于D,三棱錐中，AB=BC=CA=PA=2,PB=PC=3,

顯然三棱錐P-ABC各面都是等腰三角形，而三棱錐P-43c不是正三棱錐，D不正確.

故選：C

5.已知過8%的平面與正方體ABC。相交，分別交棱AA，CC,于"，N.則下列關于截面的說法中,

不正確的是（）

A.截面8MAN可能是矩形B.截面可能是菱形

C.截面可能是梯形D.截面的WRN不可能是正方形

【答案】C

【解析】如下圖，當M,N分別與對角頂點重合時，顯然是矩形；

如卜圖，當〃，N為44,CG的中點時，顯然是菱形，由正方體的性質(zhì)及勾股定理易知：BMD、N不

可能為正方形；

根據(jù)對稱性，其它情況下BMD、N為平行四邊形；

綜上，C不正確.故選：C.

6.從一個底面圓半徑與高均為2的圓柱中挖去一個正四棱錐（以圓柱的上底面為正四棱錐底面的外接圓，

下底面圓心為頂點）而得到的幾何體如圖所示，今用一個平行于底面且距底面為1的平面去截這個幾何體,

則截面圖形的面積為（）

A.4萬一4B.44C.4萬一2D.21一2

【答案】C

【解析】截面圖形應為圓面中挖去?個正方形，且圓的半徑是2,

則截面圓的面積為：4萬

設正四棱錐的底面正方形邊長為。，則2/=16,所以a=2夜

正四棱錐的底面正方形的面積為卜加『=8

由圓錐中截面的性質(zhì)，可得圓面中挖去一個正方形與正四棱錐的底面正方形相似

設圓面中挖去一個正方形的面積為S',正四棱錐的底面正方形為S

S'q'1

則卷=g=7從而S'=2

S84

所以截面圖形的面積為4萬-2.

故選：C.

二、多選題

7.已知正方體ABCO-ABCIR的棱長為2,P是正方體表面一動點，下列說法正確的是（）

A.若AP=2,則點P的軌跡長度為3萬

B.若AP=C]P,則點P的軌跡長度為6

C.若點P到直線8區(qū)的距離為1,則點尸的軌跡長度為4

D.若點P到直線A4,BB-C。的距離相等，則滿足條件的點P僅有2個

【答案】AD

【解析】對A,如圖，點P在以A為球心，2為半徑的球面上，該球面與正方體表面的交線為三段半徑為2

的四分之一圓，故軌跡長度為±x2;rx2=3;r,故A正確；

對B,如圖，點P在過線段4G中點且與A&垂直的平面內(nèi)，該平面與正方體表面的交線是邊長為正的正

六邊形，軌跡長度為6夜，故B錯誤；

對C,如圖，點尸在以線段為軸，底面半徑為1的圓柱面內(nèi)，該圓柱面與正方體衣面的交線為兩段圓弧

和兩條線段，故軌跡長度為2x1x2萬+4=%+4,故C錯誤；

對D,如圖,因為點P到伍,8用的距離相等,故點尸在過線段4B,A冉中點，且與垂直的平面內(nèi)，在平

面ABCD和平面A瓦GR內(nèi)個存在?點滿足要求，即滿足條件的P點有2個，故D正確.

故選：AD.

8.下列說法中不正確的是（）

A.所有幾何體的表面都能展成平面圖形

B.各側棱都相等的棱錐為正棱錐

C.用一個平面去截一個幾何體，截面的形狀是三角形，那么該幾何體可能是棱柱

D.上、下底面是等邊三角形的三棱臺一定存在外接球

【答案】ABD

【解析】對于A選項，球的表面不能展成平面圖形，故錯誤；

對于B選項，各側棱都相等的棱錐為正棱錐不能保證底面為正多邊形，只能得到頂點在底面上的射影為多

邊形的外心，故錯誤；

對于C選項，用一個平面去截一個幾何體，截面的形狀是三角形，那么該幾何體可能是三棱柱，故正確；

對于D選項，上、下底面是等邊三角形的三棱臺，側面梯形不一定有外接圓，比如有一條側棱垂直于底面的

情況，故錯誤.

故選：ABD

三、填空題

9.水平放置的平面四邊形0A8C,用斜二測畫法畫出它的直觀圖OABC'如圖所示，此直觀圖恰好是個邊

長為2的正方形，則原平面四邊形OABC的面積為.

【答案】8&

【解析】-：O'A!=2,:.O'B'=2>/2

還原回原圖形后,

OA=OA'=2,08=20?=40

?.?原圖形的面積為2x4正=80

故答案為：8夜

10.球冠是球面被平面所截后剩下的曲面，與截面垂直的球體直徑被截得的部分稱作球冠的高.若半徑為R的

球面被一個平面截成兩個球冠，這兩個球冠的表面積之差等于截面面積的2倍，則球心到截面的距離為

.(球冠的表面積公式：S=2M,其中R是球的半徑，/?是球冠的高)

【答案】(t-l)R

【解析】設球心到截面的距離為d,則2乃R(R+d)-2%R(R-d)=2"店一")，

d'+ldR-R1d=?-l)R(舍去負值).

故答案為：(應-1)R.

四、解答題

11.如圖，已知點A(-U),8(1,3),C(3,l),用斜二測畫法作出該水平放置的四邊形A8CO的直觀圖，并求

13

【解析】由斜二測畫法可知，在直觀圖中，4。'=1,0q=1,GO'=3,8c=2,B再=j,

GG=；，B\BJ/CJ、NA40'=N482c2=45。，

所以月G。'=m與+SCQ由一S"&o,—Sa。。2G

(/4A+^B)ABsin45°(qC+^,B)CBsin45°444。'-sin45。GCCO'sin45。

----1--2----1-2------2--------1------2-----2----2--2------------=------------------------------

2222

近1I&1,y/2

—xlx———x3x——

2__22223應.

22~2~

12.用厚紙按如下三個圖樣畫好后剪下，再沿圖中虛線折起來粘好，得到的分別是什么空間圖形？

沿圖中虛線折起來粘好得到下列圖形:

它們分別是正三棱柱，圓錐，正四棱臺.

題組C培優(yōu)拔尖練

一、單選題

1.已知一圓錐底面圓的直徑是3,圓錐的母線長為3,在該圓錐內(nèi)放置一個棱長為。的正四面體（每條棱長

都為"的三棱錐），并且正四面體可以在該圓錐內(nèi)任意轉(zhuǎn)動，則。的最大值為（）

A.1B.歷C.6D.2

【答案】B

【解析】依題意，四面體可以在圓錐內(nèi)任意轉(zhuǎn)動，故該四面體內(nèi)接于圓錐的內(nèi)切球，

設球心為P,球的半徑為r,卜底面半徑為R,軸截面上球與圓錐母線的切點為Q,圓錐的軸截面如圖:

由已知A8=SA=SB=3

所以三角形弘8為等邊三角形，故P是ASAB的中心,

連接BP,則BP平分NSBA,ZPSO=30"；

所以tan3(T=￡,即上=&=旦之=走,

R3322

即四面體的外接球的半徑為r=".

2

另正四面體可以從正方體中截得，如圖：

從圖中可以得到，當正四面體的棱長為。時，截得它的正方體的棱長為也a,

2

而正四面體的四個頂點都在正方體上，

故正四面體的外接球即為截得它的正方體的外接球，

所以2r=GA4,=>/3xa=a,

22

所以〃=即。的最大值為正.故選：B.

2.魯班鎖是中國傳統(tǒng)的智力玩具，起源于古代漢族建筑中首創(chuàng)的柳卯結構，這種三維的拼插器具內(nèi)部的凹

凸部分（即梯卯結構）嚙合，十分巧妙，外觀看是嚴絲合縫的十字立方體，其上下、左右、前后完全對稱,

從外表上看，六根等長的正四棱柱分成三組，經(jīng)90。樣卯起來，如圖，若正四棱柱的高為8,底面正方形的

邊長為2,現(xiàn)將該魯班鎖放進一個球形容器內(nèi)，則該球形容器的表面積的最小值為（）（容器壁的厚度

忽略不計）

A.21笈B.40乃C.41萬D.844

【答案】D

【解析】由題意知，當該球為底面邊長分別為4、2,高為8的長方體的外接球時，球的半徑取最小值，所

以，該球形容器的半徑的最小值為宣=，>/64+16+4=恒,因此，該球形容器的表面積的最小值為S=84?.

2