高中數(shù)學(xué)重點難點

一、《集合與函數(shù)》

內(nèi)容子交并補集,還有'幕指對函數(shù)。性質(zhì)奇偶與增減,觀察圖象最明顯

復(fù)合函數(shù)式出現(xiàn),性質(zhì)乘法法則辨,若要詳細證明它,還須將那定義抓

指數(shù)與對數(shù)函數(shù),兩者互為反函數(shù)。底數(shù)非1的正數(shù),1兩邊增減變故

函數(shù)定義域好求。分母不能等于0,偶次方根須非負,零和負數(shù)無對數(shù)

正切函數(shù)角不直,余切函數(shù)角不平;其余函數(shù)實數(shù)集,多種情況求交集

兩個互為反函數(shù),單調(diào)性質(zhì)都相同;圖象互為軸對稱,Y=X是對稱軸

求解非常有規(guī)律,反解換元定義域;反函數(shù)的定義域,原來函數(shù)的值域

‘幕函數(shù)性質(zhì)易記,指數(shù)化既約分數(shù);函數(shù)性質(zhì)看指數(shù),奇母奇子奇函數(shù)，

奇母偶子偶函數(shù)，偶母非奇偶函數(shù);圖象第一象限內(nèi)，函數(shù)增減看正負。

二、《三角函數(shù)》

三角函數(shù)是函數(shù),象限符號坐標注。函數(shù)圖象單位圓，周期奇偶增減現(xiàn)。

同角關(guān)系很重要,化簡證明都需要。正六邊形頂點處，從上到下弦切割；

中心記上數(shù)字1,連結(jié)頂點三角形;向下三角平方和，倒數(shù)關(guān)系是對角，

頂點任意一函數(shù),等于后面兩根除。誘導(dǎo)公式就是好,負化正后大化小，

變成稅角好查表,化簡證明少不了。二的一半整數(shù)倍,奇數(shù)化余偶不變，

將其后者視銳角，符號原來函數(shù)判。兩角和的余弦值,化為單角好求值，

余弦積減正弦積，換角變形眾公式。和差化積須同名＞互余角度變名稱。

計算證明角先行,注意結(jié)構(gòu)函數(shù)名,保持基本量不變,繁難向著簡易變。

逆反原則作指導(dǎo),升暴降次和差積。條件等式的證明，方程思想指路明。

萬能公式不一般,化為有理式居先。公式順用和逆用，變形運用加巧用；

1加余弦想余弦,1減余弦想正弦暴升一次角減半升幕降次它為范;

三角函數(shù)反函數(shù),實質(zhì)就是求角度,先求三角函數(shù)值,再判角取值范圍：

利用直角三角形,形象直觀好換名,簡單三角的方程,化為最簡求解集：

三、《不等式》

解不等式的途徑,利用函數(shù)的性質(zhì)。對指無理不等式,化為有理不等式。

高次向著低次代,步步轉(zhuǎn)化要等價。數(shù)形之間互轉(zhuǎn)化,幫助解答作用大。

證不等式的方法,實數(shù)性質(zhì)威力大。求差與0比大小,作商和1爭高下。

直接困難分析好，思路清晰綜合法。非負常用基本式,正面難則反證法。

還有重要不等式,以及數(shù)學(xué)歸納法。圖形函數(shù)來幫助，畫圖建模構(gòu)造法。

四、《數(shù)列》

等差等比兩數(shù)列,通項公式N項和。兩個有限求極限,四則運算順序換。

數(shù)列問題多變幻,方程化歸整體算。數(shù)列求和比較難,錯位相消巧轉(zhuǎn)換，

取長補短高斯法,裂項求和公式算。歸納思想非常好,編個程序好思考：

?算二看三聯(lián)想,猜測證明不可少。還有數(shù)學(xué)歸納法,證明步驟程序化：

首先驗證再假定,從K向著K加1,推論過程須詳盡,歸納原理來肯定。

五、《復(fù)數(shù)》

虛數(shù)單位i一出,數(shù)集擴大到復(fù)數(shù)。一個復(fù)數(shù)一對數(shù),橫縱坐標實虛部。

對應(yīng)復(fù)平面上點,原點與它連成箭。箭桿與X軸正向,所成便是輻角度。

箭桿的長即是模,常將數(shù)形來結(jié)合。代數(shù)幾何三角式,相互轉(zhuǎn)化試一試。

代數(shù)運算的實質(zhì),有i多項式運算。i的正整數(shù)次慕,四個數(shù)值周期現(xiàn)。

一些重要的結(jié)論,熟記巧用得結(jié)果。虛實互化本領(lǐng)大,復(fù)數(shù)相等來轉(zhuǎn)化。

利用方程思想解,注意整體代換術(shù).幾何運算圖上看,加法平行四邊形,

減法三角法則判;乘法除法的運算,逆向順向做旋轉(zhuǎn),伸縮全年模長短。

三角形式的運算，須將輻角和模辨。利用棣莫弗公式,乘方開方極方便。

輻角運算很奇特，和差是由積商得。四條性質(zhì)離不得,相等和模與共扼,

兩個不會為實數(shù)，比較大小要不得。復(fù)數(shù)實數(shù)很密切,須注意本質(zhì)區(qū)別。

六、《排列、組合、二項式定理》

加法乘法兩原理，貫穿始終的法則。與序無關(guān)是組合，要求有序是排列。

兩個公式兩性質(zhì)，兩種思想和方法。歸納出排列組合,應(yīng)用問題須轉(zhuǎn)化。

排列組合在一起，先選后排是常理。特殊元素和位置,首先注意多考慮。

不重不漏多思考，捆綁插空是技巧。排列組合恒等式,定義證明建模試。

關(guān)于二項式定理，中國楊輝三角形。兩條性質(zhì)兩公式,函數(shù)賦值變換式。

七、《立體幾何》

點線面三位一體，柱錐臺球為代表。距離都從點出發(fā),角度皆為線線成。

垂直平行是重點，證明須弄清概念。線線線面和面面、三對之間循環(huán)現(xiàn)。

方程思想整體求,化歸意識動割補。計算之前須證明，畫好移出的圖形。

立體幾何輔助線,常用垂線和平面。射影概念很重要，對于解題最關(guān)鍵。

異面直線二面角,體積射影公式活。公理性質(zhì)三垂線，解決問題一大片。

八、《平面解析幾何》

有向線段直線圓,橢圓雙曲拋物線,參數(shù)方程極坐標，數(shù)形結(jié)合稱典范。

笛卡爾的觀點對,點和有序?qū)崝?shù)對,兩者—來對應(yīng),開創(chuàng)幾何新途徑。

兩種思想相輝映,化歸思想打前陣;都說待定系數(shù)法,實為方程組思想。

三種類型集大成,畫出曲線求方程，給了方程作曲線,曲線位置關(guān)系判。

四件工具是法寶,坐標思想?yún)?shù)好；平面幾何不能丟,旋轉(zhuǎn)變換復(fù)數(shù)求。

解析幾何是幾何，得意忘形學(xué)不活。圖形直觀數(shù)入微,數(shù)學(xué)本是數(shù)形學(xué)。

數(shù)學(xué)必修11.集合（約4課時）

（1）集合的含義與表示

①通過實例，了解集合的含義，體會元素與集合的“屬于”關(guān)系。

②能選擇自然語言、圖形語言、集合語言（列舉法或描述法）描述不同的具體問題，感

受集合語言的意義和作用。

(2)集合間的基本關(guān)系

①理解集合之間包含與相等的含義，能識別給定集合的子集。

②在具體情境中，了解全集與空集的含義。

(3)集合的基本運算

①理解兩個集合的并集與交集的含義，會求兩個簡單集合的并集與交集。

②理解在給定集合中一個子集的補集的含義，會求給定子集的補集。

③能使用Venn圖表達集合的關(guān)系及運算，體會直觀圖示對理解抽象概念的作用。

2.函數(shù)概念與基本初等函數(shù)I(約32課時)

(1)函數(shù)

①進一步體會函數(shù)是描述變量之間的依賴關(guān)系的重要數(shù)學(xué)模型，在此基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)用集合

與對應(yīng)的語言來刻畫函數(shù)，體會對應(yīng)關(guān)系在刻畫函數(shù)概念中的作用；了解構(gòu)成函數(shù)的要素，

會求一些簡單函數(shù)的定義域和值域；了解映射的概念。

②在實際情境中，會根據(jù)不同的需要選擇恰當?shù)姆椒?如圖象法、列表法、解析法)表

示函數(shù)。

③了解簡單的分段函數(shù)，并能簡單應(yīng)用。

④通過已學(xué)過的函數(shù)特別是二次函數(shù)，理解函數(shù)的單調(diào)性、最大(小)值及其幾何意義;

結(jié)合具體函數(shù)，了解奇偶性的含義。

⑤學(xué)會運用函數(shù)圖象理解和研究函數(shù)的性質(zhì)(參見例1)。

(2)指數(shù)函數(shù)

①(細胞的分裂，考古中所用的C的衰減，藥物在人體內(nèi)殘留量的變化等)，了解指數(shù)

函數(shù)模型的實際背景。

②理解有理指數(shù)幕的含義，通過具體實例了解實數(shù)指數(shù)幕的意義，掌握累的運算。

③理解指數(shù)函數(shù)的概念和意義，能借助計算器或計算機畫出具體指數(shù)函數(shù)的圖象，探索

并理解指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點。

④在解決簡單實際問題的過程中，體會指數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型(參見例2)。

(3)對數(shù)函數(shù)

①理解對數(shù)的概念及其運算性質(zhì)，知道用換底公式能將一般對數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對數(shù)或常用

對數(shù)；通過閱讀材料，了解對數(shù)的產(chǎn)生歷史以及對簡化運算的作用。

②通過具體實例，直觀了解對數(shù)函數(shù)模型所刻畫的數(shù)量關(guān)系,初步理解對數(shù)函數(shù)的概念,

體會對數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型；能借助計算器或計算機畫出具體對數(shù)函數(shù)的圖象，探

索并了解對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點。

③知道指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)(a>0,a#l)。

(4)幕函數(shù)

通過實例，了解暴函數(shù)的概念；結(jié)合函數(shù)的圖象，了解它們的變化情況。

(5)函數(shù)與方程

①結(jié)合二次函數(shù)的圖象，判斷一元二次方程根的存在性及根的個數(shù)，從而了解函數(shù)的零

點與方程根的聯(lián)系。

②根據(jù)具體函數(shù)的圖象，能夠借助計算器用二分法求相應(yīng)方程的近似解，了解這種方法

是求方程近似解的常用方法。

(6)函數(shù)模型及其應(yīng)用

①利用計算工具，比較指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)以及基函數(shù)增長差異；結(jié)合實例體會直線上

升、指數(shù)爆炸、對數(shù)增長等不同函數(shù)類型增長的含義。

②收集一些社會生活中普遍使用的函數(shù)模型(指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、基函數(shù)、分段函數(shù)

等）的實例，了解函數(shù)模型的廣泛應(yīng)用。

（7）實習(xí)作業(yè)

根據(jù)某個主題，收集17世紀前后發(fā)生的一些對數(shù)學(xué)發(fā)展起重大作用的歷史事件和人物

（開普勒、伽利略、笛卡兒、牛頓、萊布尼茨、歐拉等）的有關(guān)資料或現(xiàn)實生活中的函數(shù)實

例，采取小組合作的方式寫一篇有關(guān)函數(shù)概念的形成、發(fā)展或應(yīng)用的文章，在班級中進行交

流。具體要求參見數(shù)學(xué)文化的要求。

數(shù)學(xué)必修21.立體幾何初步（約18課時）

（1）空間幾何體

①利用實物模型、計算機軟件觀察大量空間圖形，認識柱、錐、臺、球及其簡單組合體

的結(jié)構(gòu)特征，并能運用這些特征描述現(xiàn)實生活中簡單物體的結(jié)構(gòu)。

②能畫出簡單空間圖形（長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等的簡易組合）的三視圖，能

識別上述的三視圖所表示的立體模型，會使用材料（如紙板）制作模型，會用斜二側(cè)法畫出

它們的直觀圖。

③通過觀察用兩種方法（平行投影與中心投影）畫出的視圖與直觀圖，了解空間圖形的

不同表示形式。

④完成實習(xí)作業(yè)，如畫出某些建筑的視圖與直觀圖（在不影響圖形特征的基礎(chǔ)上，尺寸、

線條等不作嚴格要求）。

⑤了解球、棱柱、棱錐、臺的表面積和體積的計算公式（不要求記憶公式）。

（2）點、線、面之間的位置關(guān)系

①借助長方體模型，在直觀認識和理解空間點、線、面的位置關(guān)系的基礎(chǔ)上，抽象出空

間線、面位置關(guān)系的定義，并了解如下可以作為推理依據(jù)的公理和定理。

?公理1：如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)。

?公理2：過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面。

?公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一-條過該點的公共

直線。

?公理4：平行于同一條直線的兩條直線平行。

?定理：空間中如果兩個角的兩條邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補。

②以立體幾何的上述定義、公理和定理為出發(fā)點，通過直觀感知、操作確認、思辨論證，

認識和理解空間中線面平行、垂直的有關(guān)性質(zhì)與判定。

操作確認，歸納出以下判定定理。

?平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行。

?一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行。

?一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，則該直線與此平面垂直。

?一個平面過另一個平面的垂線，則兩個平面垂直。

操作確認，歸納出以下性質(zhì)定理，并加以證明。

?一條直線與一個平面平行，則過該直線的任一個平面與此平面的交線與該直線平行。

?兩個平面平行，則任意一個平面與這兩個平面相交所得的交線相互平行。

?垂直于同一個平面的兩條直線平行。

?兩個平面垂直，則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直。

③能運用已獲得的結(jié)論證明一些空間位置關(guān)系的簡單命題。

2.平面解析幾何初步（約18課時）

（1）直線與方程

①在平面直角坐標系中，結(jié)合具體圖形，探索確定直線位置的兒何要素。

②理解直線的傾斜角和斜率的概念，經(jīng)歷用代數(shù)方法刻畫直線斜率的過程，掌握過兩點

的直線斜率的計算公式。

③能根據(jù)斜率判定兩條直線平行或垂直。

④根據(jù)確定直線位置的幾何要素，探索并掌握直線方程的幾種形式（點斜式、兩點式及

一般式），體會斜截式與一次函數(shù)的關(guān)系。

⑤能用解方程組的方法求兩直線的交點坐標。

⑥探索并掌握兩點間的距離公式、點到直線的距離公式，會求兩條平行直線間的距離。

（2）圓與方程

①回顧確定圓的幾何要素，在平面直角坐標系中,探索并掌握圓的標準方程與?一般方程。

②能根據(jù)給定直線、圓的方程，判斷直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系。

③能用直線和圓的方程解決一些簡單的問題。

（3）在平面解析兒何初步的學(xué)習(xí)過程中，體會用代數(shù)方法處理兒何問題的思想。

（4）空間直角坐標系

①通過具體情境，感受建立空間直角坐標系的必要性，了解空間直角坐標系，會用空間

直角坐標系刻畫點的位置。

②通過表示特殊長方體（所有棱分別與坐標軸平行）頂點的坐標，探索并得出空間兩點

間的距離公式。

數(shù)學(xué)必修31.算法初步（約12課時）

（1）算法的含義、程序框圖

①通過對解決具體問題過程與步驟的分析（如二元一次方程組求解等問題），體會算法

的思想，了解算法的含義。

②通過模仿、操作、探索，經(jīng)歷通過設(shè)計程序框圖表達解決問題的過程。在具體問題的

解決過程中（如三元一次方程組求解等問題），理解程序框圖的三種基本邏輯結(jié)構(gòu)：順序、

條件分支、循環(huán)。

（2）基本算法語句：經(jīng)歷將具體問題的程序框圖轉(zhuǎn)化為程序語句的過程，理解兒種基

本算法語句——輸入語句、輸出語句、賦值語句、條件語句、循環(huán)語句，進一步體會算法的

基本思想。

（3）通過閱讀中國古代數(shù)學(xué)中的算法案例，體會中國古代數(shù)學(xué)對世界數(shù)學(xué)發(fā)展的貢獻。

2.統(tǒng)計（約16課時）

（1）隨機抽樣

①能從現(xiàn)實生活或其他學(xué)科中提出具有一定價值的統(tǒng)計問題。

②結(jié)合具體的實際問題情境，理解隨機抽樣的必要性和重要性。

③在參與解決統(tǒng)計問題的過程中，學(xué)會用簡單隨機抽樣方法從總體中抽取樣本；通過對

實例的分析，了解分層抽樣和系統(tǒng)抽樣方法。

④能通過試驗、查閱資料、設(shè)計調(diào)查問卷等方法收集數(shù)據(jù)。

（2）用樣本估計總體

①通過實例體會分布的意義和作用，在表示樣本數(shù)據(jù)的過程中，學(xué)會列頻率分布表、畫

頻率分布直方圖、頻率折線圖、莖葉圖（參見例1）,體會它們各自的特點。

②通過實例理解樣本數(shù)據(jù)標準差的意義利作用，學(xué)會計算數(shù)據(jù)標準差。

③能根據(jù)實際問題的需求合理地選取樣本，從樣本數(shù)據(jù)中提取基本的數(shù)字特征（如平均

數(shù)、標準差），并作出合理的解釋。

④在解決統(tǒng)計問題的過程中，進一步體會用樣本估計總體的思想，會用樣本的頻率分布

估計總體分布，會用樣本的基本數(shù)字特征估計總體的基本數(shù)字特征；初步體會樣本頻率分布

和數(shù)字特征的隨機性。

⑤會用隨機抽樣的基本方法和樣本估計總體的思想，解決一些簡單的實際問題；能通過

對數(shù)據(jù)的分析為合理的決策提供一些依據(jù)，認識統(tǒng)計的作用，體會統(tǒng)計思維與確定性思維的

差異。

⑥形成對數(shù)據(jù)處理過程進行初步評價的意識。

（3）變量的相關(guān)性

①通過收集現(xiàn)實問題中兩個有關(guān)聯(lián)變量的數(shù)據(jù)作出散點圖，并利用散點圖直觀認識變量

間的相關(guān)關(guān)系。

②經(jīng)歷用不同估算方法描述兩個變量線性相關(guān)的過程。知道最小二乘法的思想，能根據(jù)

給出的線性回歸方程系數(shù)公式建立線性回歸方程（參見例2）。

3.概率（約8課時）

（1）在具體情境中，了解隨機事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性，進一步了解概率

的意義以及頻率與概率的區(qū)別。

（2）通過實例，了解兩個互斥事件的概率加法公式。

（3）通過實例，理解古典概型及其概率計算公式，會用列舉法計算一些隨機事件所含

的基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率。

（4）了解隨機數(shù)的意義，能運用模擬方法（包括計算器產(chǎn)生隨機數(shù)來進行模擬）估計

概率，初步體會幾何概型的意義（參見例3）。

（5）通過閱讀材料，了解人類認識隨機現(xiàn)象的過程。

數(shù)學(xué)必修41.三角函數(shù)（約16課時）

（1）任意角、弧度

了解任意角的概念和弧度制，能進行弧度與角度的互化。

（2）三角函數(shù)

①借助單位圓理解任意角三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）的定義。

②借助單位圓中的三角函數(shù)線推導(dǎo)出誘導(dǎo)公式（的正弦、余弦、正切），能畫出的圖

象，了解三角函數(shù)的周期性。

③借助圖象理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在，正切函數(shù)在上的性質(zhì)（如單調(diào)性、最大和最

小值、圖象與x軸交點等）。

④理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：

⑤結(jié)合具體實例，了解的實際意義；能借助計算器或計算機畫出的圖象，觀察參數(shù)A,

3,對函數(shù)圖象變化的影響。

⑥會用三角函數(shù)解決一些簡單實際問題，體會三角函數(shù)是描述周期變化現(xiàn)象的重要函數(shù)

模型。

2.平面向量（約12課時）

（1）平面向量的實際背景及基本概念

通過力和力的分析等實例，了解向量的實際背景，理解平面向量和向量相等的含義，理

解向量的幾何表示。

（2）向量的線性運算

①掌握向量加、減法的運算，并理解其兒何意義。

②掌握向量數(shù)乘的運算，并理解其幾何意義，以及兩個向量共線的含義。

③了解向量的線性運算性質(zhì)及其幾何意義。

（3）平面向量的基本定理及坐標表示

①了解平面向量的基本定理及其意義。

②掌握平面向量的正交分解及其坐標表示。

③會用坐標表示平面向量的加、減與數(shù)乘運算。

④理解用坐標表示的平面向量共線的條件。

（4）平面向量的數(shù)量積

①通過物理中“功”等實例，理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義。

②體會平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系。

③掌握數(shù)量積的坐標表達式，會進行平面向量數(shù)量積的運算。

④能運用數(shù)量積表示兩個向量的夾角，會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系。

（5）向量的應(yīng)用

經(jīng)歷用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題、力學(xué)問題與其他一些實際問題的過程，

體會向量是一種處理幾何問題、物理問題等的工具，發(fā)展運算能力和解決實際問題的能力。

3.三角恒等變換（約8課時）

（1）經(jīng)歷用向量的數(shù)量積推導(dǎo)出兩角差的余弦公式的過程，進一步體會向量方法的作

用。

（2）能從兩角差的余弦公式導(dǎo)出兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、

余弦、正切公式，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系。

（3）能運用上述公式進行簡單的恒等變換（包括引導(dǎo)導(dǎo)出積化和差、和差化積、半角

公式，但不要求記憶）。

數(shù)學(xué)必修51.解三角形（約8課時）

（1）通過對任意三角形邊長和角度關(guān)系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解決

一些簡單的三角形度量問題。

（2）能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關(guān)的實

際問題。

2.數(shù)列（約12課時）

（1）數(shù)列的概念和簡單表示法

了解數(shù)列的概念和兒種簡單的表示方法（列表、圖象、通項公式），了解數(shù)列是一種特

殊函數(shù)。

（2）等差數(shù)列、等比數(shù)列

①理解等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念。

②探索并掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式與前n項和的公式。

③能在具體的問題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差關(guān)系或等比關(guān)系，井能用有關(guān)知識解決相應(yīng)

的問題（參見例1）?

④體會等差數(shù)列、等比數(shù)列與一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的關(guān)系。

3.不等式（約16課時）

（1）不等關(guān)系

感受在現(xiàn)實世界和日常生活中存在著大量的不等關(guān)系，了解不等式（組）的實際背景。

（2）一元二次不等式

①經(jīng)歷從實際情境中抽象出一元二次不等式模型的過程。

②通過函數(shù)圖象了解一元二次不等式與相應(yīng)函數(shù)、方程的聯(lián)系。

③會解一元二次不等式，對給定的一元二次不等式，嘗試設(shè)計求解的程序框圖。

（3）二元一次不等式組與簡單線性規(guī)劃問題

①從實際情境中抽象出二元一次不等式組。

②了解二元一次不等式的幾何意義，能用平面區(qū)域表示二元一次不等式組（參見例2）。

③從實際情境中抽象出一些簡單的二元線性規(guī)劃問題，并能加以解決（參見例3）。

（4）基本不等式：。

①探索并了解基本不等式的證明過程。

②會用基本不等式解決簡單的最大（?。┲祮栴}（參見例4）。

函數(shù)的性質(zhì)指數(shù)和對數(shù)

(1)定義域、值域、對應(yīng)法則

(2)單調(diào)性

對于任意xl,x2GD

若xl<x2f(xl)<f(x2),稱f(x)在D上一是增函數(shù)

若xlVx2f(xl)>f(x2),稱f(x)在D上是減函數(shù)

(3)奇偶性

對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任一x,若f(-x)=f(x),稱f(x)是偶函數(shù)

若f(-X)=-f(X),稱f(X)是奇函數(shù)

(4)周期性

對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任一x,若存在常數(shù)T,使得f(x+T)=f(x),則稱f(x)

是周期函數(shù)(1)分數(shù)指數(shù)累

數(shù)學(xué)選修

選修2—11.常用邏輯用語(約8課時)

(1)命題及其關(guān)系

①了解命題的逆命題、否命題與逆否命題。

②理解必要條件、充分條件與充要條件的意義，會分析四種命題的相互關(guān)系。

(2)簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞

了解邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”“且”“非”的含義。

(3)全稱量詞與存在量詞

①理解全稱量詞與存在量詞的意義。

②能正確地對含有一個量詞的命題進行否定。

2.圓錐曲線與方程(約16課時)

(1)圓錐曲線

①了解圓錐曲線的實際背景，感受圓錐曲線在刻畫現(xiàn)實世界和解決實際問題中的作用。

②經(jīng)歷從具體情境中抽象出橢圓、拋物線模型的過程，掌握它們的定義、標準方程、幾

何圖形及簡單性質(zhì)。

③了解雙曲線的定義、幾何圖形和標準方程，知道雙曲線的有關(guān)性質(zhì)。

④能用坐標法解決一些與圓錐曲線有關(guān)的簡單幾何問題(直線與圓錐曲線的位置關(guān)系)

和實際問題。

⑤通過圓錐曲線的學(xué)習(xí)，進一步體會數(shù)形結(jié)合的思想。

(2)曲線與方程

了解曲線與方程的對應(yīng)關(guān)系，進一步感受數(shù)形結(jié)合的基本思想。

(3)橢圓、雙曲線與拋物線

橢圓

標準方程x"#aA2+y"2/b"2=l(a>b>0,c"2=a"2-bJ2)(焦點在x軸上)

焦點Fl(-c,O),F2(c,0)

離心率e=c/a

雙曲線

標準方程*八2/2八2+"/13八2=1匕>0為>0,82=2八2+皿2)(焦點在x軸上)

焦點Fl(-c,O),F2(c,0)

離心率e=c/a

拋物線

標準方程yA2=2px(p>0)(焦點在x軸正半軸上)

焦點F（p/2,0）

3.空間向量?J立體幾何

（約12課時）

（1）空間向量及其運算

①經(jīng)歷向量及其運算由平面向空間推廣的過程。

②了解空間向量的概念，了解空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解

及其坐標表示。

③掌握空間向量的線性運算及其坐標表示。

④掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標表示，能運用向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直。

（2）空間向量的應(yīng)用

①理解直線的方向向量與平面的法向量。

②能用向量語言表述線線、線面、面面的垂直、平行關(guān)系。

③能用向量方法證明有關(guān)線、面位置關(guān)系的一些定理（包括三垂線定理）（參見例1、

例2、例3）。

④能用向量方法解決線線、線面、面面的夾角的計算問題，體會向量方法在研究幾何問

題中的作用。

參考案例

例1.已知直三棱柱中，ZACB=90°,ZBAC=30°,,M是棱的中點。證明：。

例2.已知矩形ABCD和矩形ADEF垂直，以AD為公共邊，但它們不在同一平面上。點

M,N分別在對角線BD,AE上，且。

證明：MN〃平面CDE。

例3.已知單位正方體，E、F分別是棱和的中點。試求：

（1）與EF所成的角：（2）AF與平面所成的角；（3）二面角的大小。

選修2—21.導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用（約24課時）

（1）導(dǎo)數(shù)概念及其幾何意義

①通過對大量實例的分析，經(jīng)歷由平均變化率過渡到瞬時變化率的過程，了解導(dǎo)數(shù)概念

的實際背景，知道瞬時變化率就是導(dǎo)數(shù)，體會導(dǎo)數(shù)的思想及其內(nèi)涵（參見選修1一1案例中

的例2、例3）。

②通過函數(shù)圖象直觀地理解導(dǎo)數(shù)的兒何意義。

（2）導(dǎo)數(shù)的運算

①能根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

②能利用給出的基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運算法則求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，能

求簡單的復(fù)合函數(shù)（僅限于形如）的導(dǎo)數(shù)。

③會使用導(dǎo)數(shù)公式表。

（3）導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用

①借助兒何直觀探索并了解函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系（參見選修案例中的例4）；

能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會求不超過三次的多項式函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。

②結(jié)合函數(shù)的圖象，了解函數(shù)在某點取得極值的必要條件和充分條件；會用導(dǎo)數(shù)求不超

過三次的多項式函數(shù)的極大值、極小值，以及閉區(qū)間上不超過三次的多項式函數(shù)最大值、最

小值；體會導(dǎo)數(shù)方法在研究函數(shù)性質(zhì)中的一般性和有效性。

（4）生活中的優(yōu)化問題舉例。

例如，通過使利潤最大、用料最省、效率最高等優(yōu)化問題，體會導(dǎo)數(shù)在解決實際問題中

的作用（參見選修案例中的例5）。

（5）定積分與微積分基本定理

①通過求曲邊梯形的面積、變力做功等，從問題情境中了解定積分的實際背景；借助幾

何直觀體會定積分的基本思想，初步了解定積分的概念。

②通過變速運動物體在某段時間內(nèi)的速度與路程的關(guān)系，直觀了解微積分基本定理的含

義（參見例l）o

2.推理與證明（約8課時）

（1）合情推理與演繹推理

①了解合情推理的含義，能利用歸納和類比等進行簡單的推理，體會并認識合情推理在

數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用（參見選修1-2案例中的例2、例3）。

②體會演繹推理的重要性，掌握演繹推理的基本模式，井能運用它們進行一些簡單推理。

③通過具體實例，了解合情推理和演繹推理之間的聯(lián)系和差異。

（2）直接證明與間接證明

①了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法：了解分析法和綜合法的思考過程、

特點。

②了解間接證明的一種基本方法——反證法；了解反證法的思考過程、特點。

（3）數(shù)學(xué)歸納法

了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的數(shù)學(xué)命題。

（4）數(shù)學(xué)文化

①通過對實例的介紹（如歐兒里得《兒何原本》、馬克思《資本論》、杰弗遜《獨立宣言》、

牛頓三定律），體會公理化思想。

②介紹計算機在自動推理領(lǐng)域和數(shù)學(xué)證明中的作用。

3.數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù)的引入（約4課時）

（1）在問題情境中了解數(shù)系的擴充過程，體會實際需求與數(shù)學(xué)內(nèi)部的矛盾（數(shù)的運算

規(guī)則、方程理論）在數(shù)系擴充過程中的作用，感受人類理性思維的作用以及數(shù)與現(xiàn)實世界的

聯(lián)系。

（2）理解復(fù)數(shù)的基本概念以及復(fù)數(shù)相等的充要條件。

（3）了解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義。

（4）能進行復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運算，了解復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加、減運算的幾何意義。。

參考案例

例1.一個物體依照規(guī)律在直線上運動，我們已經(jīng)知道，其在某一時刻的運動速度（即

瞬時速度或瞬時變化率）為在時刻的導(dǎo)數(shù)，即。今考慮在到之間位置的總變化。我們把

區(qū)間分割成n個小區(qū)間，不妨假設(shè)小區(qū)間的長度相等，其長度為。對每一個小區(qū)間，我們

假設(shè)的變化率近似為某一常量，于是我們可以說

的變化率X時間。

在第一個小區(qū)間內(nèi)，即從到，假設(shè)的變化率近似地為，于是有

同樣，對第二個小區(qū)間，即從到，假設(shè)的變化率近似地為，因此有

等等。把在所有小區(qū)間上得到的位置變化近似值全部加在一起，得到

s的總變化

我們可以把在到之間位置的總變化寫成。另一方面，當分割無限加細、n趨于無窮

時，和式

的極限就是定積分或，也就是在到之間位置的總變化。于是，我們可得到以下結(jié)

論：

也就是說，變化率的定積分給出了總的變化。

特別地，當物體作勻速運動時，即時，

當物體作勻加速運動時，即（其中是常數(shù)）時,

一般地，如果是連續(xù)函數(shù)，并且，那么

這就是微積分基本定理。這里給出的并不是非常嚴格的證明，但是，它反映了微積分基

本定理的基本思想，反映了微分（導(dǎo)數(shù)）與積分的聯(lián)系。

選修2—31.計數(shù)原理（約14課時）

（1）分類加法計數(shù)原理、分步乘法計數(shù)原理

總結(jié)分類加法計數(shù)原理、分步乘法計數(shù)原理：能根據(jù)具體問題的特征，選擇分類加法計

數(shù)原理或分步乘法計數(shù)原理解決一些簡單的實際問題。

（2）排列與組合

理解排列、組合的概念；能利用計數(shù)原理推導(dǎo)排列數(shù)公式、組合數(shù)公式，并能解決簡單

的實際問題。

（3）二項式定理

能用計數(shù)原理證明二項式定理（參見例1）;會用二項式定理解決與二項展開式有關(guān)的

簡單問題。

2.統(tǒng)計與概率（約22課時）

（1）概率

①在對具體問題的分析中，理解取有限值的離散型隨機變量及其分布列的概念，認識分

布列對于刻畫隨機現(xiàn)象的重要性。

②通過實例（如彩票抽獎），理解超兒何分布及其導(dǎo)出過程，并能進行簡單的應(yīng)用（參

見例2）。

③在具體情境中，了解條件概率和兩個事件相互獨立的概念，理解n次獨立重復(fù)試驗的

模型及二項分布，并能解決一些簡單的實際問題（參見例3）。

④理解取有限值的離散型隨機變量均值、方差的概念，能計算簡單離散型隨機變量的均

值、方差，并能解決一些實際問題（參見例4）。

⑤借助直觀（如實際問題的直方圖），認識正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義。

（2）統(tǒng)計案例

①通過對“肺癌與吸煙有關(guān)嗎”的探究，了解獨立性檢驗（只要求2X2列聯(lián)表）的基

本思想、方法及初步應(yīng)用。

②通過對“質(zhì)量控制”“新藥是否有效”的探究，了解實際推斷原理和假設(shè)檢驗的基本

思想、方法及初步應(yīng)用（參見選修1-2案例中的例1）。

③通過對“昆蟲分類”的探究，了解聚類分析的基本思想、方法及其初步應(yīng)用。

④通過對“人的體重與身高的關(guān)系”的探究，了解回歸的基本思想、方法及其初步應(yīng)

用。

參考案例

例：L二項式定理的證明。

是n個相乘，每個在相乘時，有兩種選擇，選a或b,由分步計數(shù)原理可知展開式共

有項（包括同類項），其中每一項都是的形式，0,1,……，n：對于每一項，它是由k

個選了a,個選了b得到的，它出現(xiàn)的次數(shù)相當于從n個中取k個a的組合數(shù)，將它們

合并同類項，就得二項展開式，這就是二項式定理。

例2.高三（1）班的聯(lián)歡會上設(shè)計了一項游戲。在一個口袋中裝有10個紅球，20個白

球，這些球除顏色外完全相同。游戲者一次從中摸出5個球，摸到4個紅球的就中一等獎。

求獲等獎的概率。

從30個球中摸出5個球的組合數(shù)為：；那么，

如果令X表示摸出紅球的個數(shù)，則X服從N=30,M=5,n=10,m=4的超幾何分布，

那么

例3.將一枚均勻硬幣隨機擲100次，相當于重復(fù)做了100次試驗，每次有兩個可能的

結(jié)果（出現(xiàn)正面，不出現(xiàn)正面），出現(xiàn)正面的概率為。

如果令X為硬幣正面出現(xiàn)的次數(shù)，則X服從的二項分布，那么

由此可以得到：“隨機擲100次硬幣正好出現(xiàn)50次正面”的概率為

在學(xué)習(xí)概率時會有一種誤解，認為既然出現(xiàn)正面的概率為，那么擲100次硬幣出現(xiàn)50

次正面是必然的，或者這個事件發(fā)生的概率應(yīng)該很大。但計算表明這概率只有8%左右。

例4.據(jù)氣象預(yù)報，某地區(qū)下個月有小洪水的概率為0.25,有大洪水的概率為0.01。設(shè)

工地上有一臺大型設(shè)備，為保護設(shè)備有以下三種方案。

方案1：運走設(shè)備，此時需花費3800元。

方案2：建一保護圍墻，需花費2000元。但圍墻無法防止大洪水，當大洪水來臨，設(shè)

備受損，損失費為60000元。

方案3：不采取措施，希望不發(fā)生洪水。此時大洪水來臨損失60000元，小洪水來臨損

失10000元。試比較哪一種方案好。

選修3—1數(shù)學(xué)史數(shù)學(xué)史選講

1,早期算術(shù)與幾何——計數(shù)與測量

?紙草書中記錄的數(shù)學(xué)（古代埃及）。

?泥板書中記錄的數(shù)學(xué)（兩河流域）。

?中國《周髀算經(jīng)》、勾股定理（趙爽的圖）。

?十進位值制的發(fā)展。

2.古希臘數(shù)學(xué)

?畢達哥拉斯多邊形數(shù)，從勾股定理到勾股數(shù)，不可公度問題。

?歐幾里得與《幾何原本》，演繹邏輯系統(tǒng)，第五公設(shè)問題，尺規(guī)作圖，公理化思想對

近代科學(xué)的深遠影響。

?阿基米德的工作：求積法.

3.中國古代數(shù)學(xué)瑰寶

?《九章算術(shù)》中的數(shù)學(xué)（方程術(shù)、加減消元法、正負數(shù)）。

?大衍求一術(shù)（孫子定理）。

?中國古代數(shù)學(xué)家介紹。

4.平面解析兒何的產(chǎn)生——數(shù)與形的結(jié)合

?函數(shù)與曲線。

?笛卡兒方法論的意義。

5.微積分的產(chǎn)生——劃時代的成就

6.近代數(shù)學(xué)兩巨星——歐拉與高斯

?歐拉的數(shù)學(xué)直覺。

?高斯時代的特點（數(shù)學(xué)嚴密化）。

7.千古謎題——伽羅瓦的解答

?從阿貝爾到伽羅瓦（一個中數(shù)學(xué)家）。

?幾何作圖三大難題。

?近世代數(shù)的產(chǎn)生。

8.康托的集合論——對無限的思考

?無限集合與勢。

?羅素悖論與數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（哥德爾不完備定理）。

9.隨機思想的發(fā)展

?概率論溯源。

?近代統(tǒng)計學(xué)的緣起。

10.算法思想的歷程

?算法的歷史背景。

?計算機科學(xué)中的算法。

11.中國現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展

?現(xiàn)代中國數(shù)學(xué)家奮發(fā)拼搏，趕超世界數(shù)學(xué)先進水平的光輝歷程。

說明與建議

1.本專題不必追求數(shù)學(xué)發(fā)展歷史的系統(tǒng)性和完整性，通過生動活潑的語言與喜聞樂見的

事例呈現(xiàn)內(nèi)容，使體會數(shù)學(xué)的重要思想和發(fā)展軌跡。本專題的內(nèi)容安排可以采取多種形式，

既可以由古到今，追尋數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史；也可以從現(xiàn)實的、熟悉的數(shù)學(xué)問題出發(fā)，追根溯源,

回眸數(shù)學(xué)發(fā)展中的重要事件和人物。例如，可以從“我們現(xiàn)在有多少種記數(shù)方法”出發(fā)，追

溯歷史上的記數(shù)法（巴比倫的60進制、英國的12進制、計算機的二進制以及10進制，二

進制與中國的八卦）。又如，可以從熟悉的“入手，漫談祖沖之的成果，用隨機數(shù)方法計算

n,介紹古希臘和中國古代如何對待無理數(shù)、目前計算機可以算“到小數(shù)點后多少位等問題。

2.以上所提供的內(nèi)容僅僅是一種選擇，本專題內(nèi)容的安排可以根據(jù)具體情況，作適當

調(diào)整。內(nèi)容應(yīng)突出所蘊涵的思想性，突出數(shù)學(xué)發(fā)展的軌跡，突出數(shù)學(xué)家刻苦鉆研的科學(xué)精神。

內(nèi)容的選擇要符合的接受水平，呈現(xiàn)方式應(yīng)圖文并茂、豐富多彩，引起的興趣。

3.教學(xué)方式應(yīng)靈活多樣，可采取講故事、討論交流、查閱資料、撰寫報告等方式進行。

教師應(yīng)鼓勵對數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史軌跡。自己感興趣的歷史事件與人物，寫出自己的研究報告。

選修3-2信息安全與密碼1.初等數(shù)論的有關(guān)知識

（1）了解整除和同余，模m的完全同余系和簡化剩余系，歐拉定理和費馬小定理，大

數(shù)分解問題。

（2）了解歐拉函數(shù)的定義和計算公式，威爾遜定理及在素數(shù)判別中的應(yīng)用，原根與指

數(shù)，模p的原根存在性，離散對數(shù)問題。

2.數(shù)論在信息安全中的應(yīng)用

（1）了解通訊安全中的有關(guān)概念（如明文、密文、密鑰）和通訊安全中的基本問題（如

保密、數(shù)字簽名、密鑰管理、分配和共享）。

（2）了解古典密碼的一個例子：流密碼（利用模m同余方式）。

（3）理解公鑰體制（單向函數(shù)概念），以及加密和數(shù)字簽名的方法（基于大數(shù)分解的

RSA方案）。

（4）理解離散對數(shù)在密鑰交換和分配中的應(yīng)用——棣弗一赫爾曼（Diffi-Hellman）方案。

（5）理解離散對數(shù)在加密和數(shù)字簽名中的應(yīng)用——蓋莫爾（EIGamal）算法。

（6）了解拉格朗日插值公式在密鑰共享中的應(yīng)用。

選修3—3球面上的幾何1.通過豐富的實際問題（如測量、航空、衛(wèi)星定位），體會引

入球面幾何知識的必要性。

2.通過球面圖形與平面圖形的比較，感受球面兒何與歐氏平面幾何的異同。例如，球

面上的大圓相當于平面上的直線，球面上兩點之間的最短距離是大圓弧的劣弧部分，球幕定

理。

3.體會球面具有類似平面的對稱性質(zhì)。

4.了解球面上的一些基本圖形：大圓、小圓、球面角、球面二角形（月形）、極與赤道、

球面三角形、球面三角形的極對稱三角形（簡稱球極三角形）。

5.通過球面兒何與歐氏平面兒何比較，探索歐氏平面圖形的哪些性質(zhì)能推廣到球面匕

并說明理由,由此理解球面三角形的全等定理S.S.S,s.a.s,a.s.a?

6,理解單位球面三角形的面積公式（），由此體會球面三角形內(nèi)角和大于180°。

7.了解球面三角形全等的aaa定理。

8.利用球面三角形面積公式證明歐拉公式，體驗球面幾何與拓撲學(xué)的關(guān)系。

9.利用向量的叉乘(向量積)探索并證明球面余弦定理()和球面上的勾股定理(即

當時的球面余弦定理)，能從球面的余弦定理推導(dǎo)出球面的正弦定理。

10.體會當球面半徑無限增大時，球面接近于平面，球面的三角公式就變成相應(yīng)的平面

三角公式。

11.初步了解另一種非歐幾何模型一一龐加萊模型。

選修3-4對稱與?群1.通過豐富的對稱圖形，體驗日常生活和現(xiàn)實世界中存在著大量對

稱現(xiàn)象與總的特點。

2.了解剛體運動的基本性質(zhì)和規(guī)律。

3.通過分析圖形的不同對稱性和剛體運動，尋求刻畫不同圖形對稱性的思想，逐步形

成圖形對稱變換的概念。

4.找出其所有對稱變換。

5.逐步形成對稱變換合成的概念，理解對稱變換合成的封閉性。

6.通過操作認識對稱變換滿足結(jié)合律。

7.通過操作，理解恒等變換的概念，逆變換的概念及其性質(zhì)，針對具體的圖形能找出一

個對稱變換的逆變換。

8.建立變換群的概念，并初步了解抽象群的概念。

9.能借助幾何直觀求出一些幾何圖形和具有一定對稱性的簡單化學(xué)分子模型的對稱

群。

10.了解一種群的表示方法——乘法表示法。

11.了解一種由較為簡單群構(gòu)造出較為復(fù)雜群的方法——直積。

12.了解群論在現(xiàn)實生活中的重要應(yīng)用，如晶體分類定理。

13.考察其他形式的對稱變換，如代數(shù)式。通過二次、三次方程的求解過程，了解代數(shù)

方程根的對稱群的含義，并了解伽羅瓦利用群論方法解決方程根式解問題的科學(xué)史實，感受

群論在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的重大作用。

選修3—5歐拉公式與閉曲面分類1.復(fù)習(xí)已學(xué)過的變換，并使用它們對平面圖形分類

(1)復(fù)習(xí)平移、旋轉(zhuǎn)、平面運動、反射、全等、位似、伸縮、相似變換，以及對平面

圖形分類。

(2)在上述變換下，探索什么幾何性質(zhì)是不變的。

(3)體會變換的一些基本特征：對應(yīng)，連續(xù)。

2.歐拉公式

(1)通過探索發(fā)現(xiàn)歐拉公式的過程，理解歐拉公式。

(2)理解歐拉公式的拓撲證明。

(3)使用歐拉公式解決一些問題(如探索正多面體的個數(shù))。

(4)探索非歐拉多面形的面數(shù)、棱數(shù)、頂點數(shù)的關(guān)系。

3.理解曲面三角剖分的概念。

4.會對一些曲面進行三角剖分，并能計算它們的歐拉示性數(shù)。

5.了解拓撲變換的直觀含義。

6.知道一些拓撲不變量，并能用它們對一些曲線、閉曲面進行分類，了解一些曲線、

閉曲面的分類結(jié)果。

7.了解拓撲思想的?些應(yīng)用(如平面布線問題、一筆畫問題、布勞威爾不動點定理與

經(jīng)濟穩(wěn)定點問題、四色問題)。

選修3—5三等分角與數(shù)域擴充1.了解古希臘三大幾何作圖問題,通過三等分角問題了

解它們的正確提法。在不限于圓規(guī)和直尺的前提下，了解三等分角的幾種不同作法。

2.理解解決三等分角問題的基本思路——刻畫尺規(guī)作圖的范圍。

3.給定線段a,b,會用尺規(guī)作圖方法作出長為的線段。

4.對于給定的任何已知線段，若把它作為單位長，則任一（正）有理數(shù)是可作圖的（即

僅用圓規(guī)和直尺可作出該有理數(shù)長的線段）。

5.通過有理數(shù)對加、減、乘、除運算的封閉性，了解有理數(shù)域和一般數(shù)域的概念。

6.設(shè)F是一數(shù)域，且。證明：集合也是一個數(shù)域，且F是集合的子集合。了解擴

域的概念。

7.給出一些數(shù)域、擴域的具體實例。

8.給定長為a的線段，會用尺規(guī)作圖方法作出長為的線段。

9.學(xué)會把三等分角問題代數(shù)化。

10.證明：不能用尺規(guī)作圖的方法三等分60度角。

11.用上述方法討論“倍方問題”或“用圓規(guī)和直尺不可能作出正七邊形”。

12.體會解決古希臘三大作圖問題的思想方法和它在人們思想認識上的作用。

13.了解復(fù)數(shù)乘法的棣莫弗公式，會用代數(shù)方法討論正十七邊形是可作圖的（即可用尺

規(guī)作圖方法作出正十七邊形）。

選修4-1幾何證明選講1.復(fù)習(xí)相似三角形的定義與性質(zhì)，了解平行截割定理，證明直

角三角形射影定理。

2.證明圓周角定理、圓的切線的判定定理及性質(zhì)定理。

3.證明相交弦定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理與判定定理、切割線定理。

4.了解平行投影的含義，通過圓柱與平面的位置關(guān)系，體會平行投影；證明平面與圓

柱面的截線是橢圓（特殊情形是圓）。

5.通過觀察平面截圓錐面的情境，體會下面定理：

定理在空間中，取直線為軸，直線與相交于。點，其夾角為a,圍繞旋轉(zhuǎn)得到

以。為頂點，為母線的圓錐面，任取平面”，若它與軸交角為B（”與平行，記住B=

0）,則:

（1）B>a,平面n與圓錐的交線為橢圓；

（2）B=a,平面Ji與圓錐的交線為拋物線；

（3）3<a,平面n與圓錐的交線為雙曲線。

6.利用Dandelin雙球（這兩個球位于圓錐的內(nèi)部，?個位于平面人的上方，一個位于

平面"的下方，并且與平面”及圓錐均相切）證明上述定理（1）情況。

7.試證明以下結(jié)果：①在6中，一個Dandelin球與圓錐面的交線為一個圓，并與圓錐的

底面平行，記這個圓所在平面為「'；②如果平面B與平面n，的交線為m,在5（1）中橢圓

上任取一點A,該Dandelin球與平面n的切點為F,則點A到點F的距離與點A到直線m

的距離比是小于1的常數(shù)e。稱點F為這個橢圓的焦點，直線m為橢圓的準線，常數(shù)e為

離心率。）

8.探索定理中（3）的證明，體會當6無限接近a時平面n的極限結(jié)果。

選修4-2矩陣與變換內(nèi)容與要求

1,引入二階矩陣

2.二階矩陣與平面向量（列向量）的乘法、平面圖形的變換

（1）以映射和變換的觀點認識矩陣與向量乘法的意義。

（2）證明矩陣變換把平面上的直線變成直線（或點），即證明

（3）通過大量具體的矩陣對平面上給定圖形（如正方形）的變換，認識到矩陣可表示

如下的線性變換：恒等、反射、伸壓、旋轉(zhuǎn)、切變、投影。

3.變換的復(fù)合——二階方陣的乘法

(1)通過變換的實例，了解矩陣與矩陣的乘法的意義。

(2)通過具體的幾何圖形變換，說明矩陣乘法不滿足交換律。

(3)驗證二階方陣乘法滿足結(jié)合律。

(4)通過具體的兒何圖形變換，說明乘法不滿足消去律。

4.逆矩陣與二階行列式

(1)通過具體圖形變換，理解逆矩陣的意義；通過具體的投影變換，說明逆矩陣可能

不存在。

(2)會證明逆矩陣的唯一性和等簡單性質(zhì)，并了解其在變換中的意義。

(3)了解二階行列式的定義，會用二階行列式求逆矩陣。

5.二階矩陣與二元一次方程組

(1)能用變換與映射的觀點認識解線性方程組的意義。

(2)會用系數(shù)矩陣的逆矩陣解方程組。

(3)會通過具體的系數(shù)矩陣，從幾何上說明線性方程組解的存在性，唯一性。

6.變換的不變量

(1)掌握矩陣特征值與特征向量的定義，能從幾何變換的角度說明特征向量的意義。

(2)會求二階方陣的特征值與特征向量(只要求特征值是兩個不同實數(shù)的情形)。

7.矩陣的應(yīng)用

(1)利用矩陣A的特征值、特征向量給出簡單的表示，并能用它來解決問題。

(2)初步了解三階或高階矩陣。

(3)了解矩陣的應(yīng)用。

選修4—3數(shù)列與差分1.數(shù)列的差分

(1)通過一些具體實例，理解數(shù)列差分的概念。

(2)理解數(shù)列的一、二階差分以及它們對描述數(shù)列變化的意義，結(jié)合數(shù)列(作為函數(shù))

的圖象，了解差分與數(shù)列的增減、極值、數(shù)列圖象的凹凸的關(guān)系。

2.一階線性差分方程

(1)通過一些具體實例，體會方程是十分有用的數(shù)學(xué)模型。

(2)理解方程中，當b=0(即方程為齊次方程)時，其解為等比數(shù)列；當k=l(即

差分為常數(shù))時，其解為等差數(shù)列。

(3)認識方程的通解、特解，了解方程的解與相應(yīng)的齊次方程通解的關(guān)系；能給出

方程的通解公式。

3.(二元)一階線性差分方程組

(1)通過一些實例，認識一階線性差分方程組是描述現(xiàn)實世界的一個重要模型。

(2)了解-階線性差分方程組的通解、特解與其相應(yīng)齊次方程組通解的關(guān)系。

(3)給定初值，會用迭代法求一階線性差分方程組的解；能寫出求解的算法框圖。

(4)對給定的具體方程組，能初步討論當n-8時，解(數(shù)列)的變化趨勢(收斂、

發(fā)散、周期)。

4.通過具體實例(如種群增長等)，體會方程是十分有用的數(shù)學(xué)模型。借助計算工具,

用迭代法分別對k取一些特殊值(如0<kWl,lVkW3,k=3,4,k=3.55,k=3.7)的情形,

討論的變化，初步了解非線性問題的復(fù)雜性。

5.應(yīng)用

(1)學(xué)會用差分方程和差分方程組解決一些簡單的實際問題。

(2)初步體會連續(xù)變量離散化的思想，能用它來討論一些簡單的問題。

選修4一4坐標系與參數(shù)方程1.坐標系

(1)回顧在平面直角坐標系中刻畫點的位置的方法，體會坐標系的作用。

(2)通過具體例子，了解在平面直角坐標系伸縮變換作用下平面圖形的變化情況。

(3)能在極坐標系中用極坐標刻畫點的位置，體會在極坐標系和平面直角坐標系中刻

畫點的位置的區(qū)別，能進行極坐標和直角坐標的互化。

(4)能在極坐標系中給出簡單圖形(如過極點的直線、過極點或圓心在極點的圓)的

方程。通過比較這些圖形在極坐標系和平面直角坐標系中的方程，體會在用方程刻畫平面圖

形時選擇適當坐標系的意義。

(5)借助具體實例(如圓形體育場看臺的座位、地球的經(jīng)緯度等)了解在柱坐標系、

球坐標系中刻畫空間中點的位置的方法，井與空間直角坐標系中刻畫點的位置的方法相比

較，體會它們的區(qū)別。

2.參數(shù)方程