概率統(tǒng)計解答題（解析版）

2013-2022十年全國高考數(shù)學真題分類匯編

專題13概率統(tǒng)計解答題

一、解答題

1.(2022年全國甲卷理科?第19題)甲、乙兩個學校進行體育比賽，比賽共設(shè)三個項目，每個項目勝方得10

分，負方得0分，沒有平局.三個項目比賽結(jié)束后，總得分高的學校獲得冠軍.已知甲學校在三個項

目中獲勝的概率分別為0.5,0.4,0.8,各項目的比賽結(jié)果相互獨立.

(1)求甲學校獲得冠軍的概率；

(2)用X表示乙學校的總得分，求X的分布列與期望.

【答案】(1)0.6；(2)分布列見解析：，E(X)=13.

解析：(1)設(shè)甲在三個項目中獲勝的事件依次記為所以甲學校獲得冠軍的概率為

P=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)

=0.5x0.4x0.8+0.5x0.4x0.8+0.5x0.6x0.8+0.5x0.4x0.2

=0.16+0.16+0.24+0.04=0.6.

(2)依題可知，X的可能取值為0,10,20,30,所以，

p(X=0)=0.5x0.4x0.8=0.16,

X=10)=0.5x0.4x0.8+0.5x0.6x0.8+0.5x0.4x0.2=0.44,

產(chǎn)(X=20)=0.5x0.6x0.8+0.5x0.4x0.2+0.5x0.6x0.2=0.34,

p(X=30)=0.5x0.6x0.2=0.06.

即X的分布列為

X0102030

P0.160.440.340.06

期望E(X)=0x0.16+10x0.44+20x0.34+30x0.06=13.

【題目欄目】概率'相互獨立事件'相互獨立事件同時發(fā)生的概率

【題目來源】2022年全國甲卷理科?第19題

2.(2022年全國乙卷理科?第19題)某地經(jīng)過多年的環(huán)境治理，已將荒山改造成了綠水青山.為估計一林區(qū)

某種樹木的總材積量，隨機選取了10棵這種樹木，測量每棵樹的根部橫截面積（單位：m?）和材積量（單

位：n?），得到如下數(shù)據(jù)：

樣

本總

12345678910

號和

i

根

部

橫

截0.040.060.040.080080.050.050.070.070.060.6

面

積

不

材

積

0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9

量

y,

101010

并計算得2年=oo38，Z4=1.6158,2他=0.2474.

i=li=Ii=l

（1）估計該林區(qū)這種樹木平均一棵的根部橫截面積與平均一棵的材積量；

（2）求該林區(qū)這種樹木的根部橫截面積與材積量的樣本相關(guān)系數(shù)（精確到0.01）；

（3）現(xiàn)測量了該林區(qū)所有這種樹木的根部橫截面積，并得到所有這種樹木的根部橫截面積總和為

186m2.已知樹木的材積量與其根部橫截面積近似成正比.利用以上數(shù)據(jù)給出該林區(qū)這種樹木的總材

積量的估計值.

七（七一君（乂一/____

附：相關(guān)系數(shù)「=廠“，V1-896工1.377.

忙（七一元茂（凹一處

Vi=li=l

【答案】⑴0.06m\0.39m3

(2)0.97

(3)1209m3

解析：【小問1詳解】

樣本中10棵這種樹木的根部橫截面積的平均值土=辭=0.06

樣本中10棵這種樹木的材積量的平均值丁=需39=0.39

據(jù)此可估計該林區(qū)這種樹木平均?棵的根部橫截面積為006m2,

平均一棵的材積量為0.390?

【小問2詳解】

1010

￡(%-可(￥-方Z尤iX-105

hoi='i=l

店(%一元)3(另一到一10x21

Vi=li=l

=0.247470x0.06x0.39=。。34,0.0134.

7(0.038-10x0.062)(1.6158-10x0.392)V0.00018960.01377

則r*0.97

小問3詳解】

設(shè)該林區(qū)這種樹木的總材積量的估計值為Ym3，

又已知樹木的材積量與其根部橫截面積近似成正比，

可得黑=寫，解之得丫=1209m3.

則該林區(qū)這種樹木的總材積量估計為1209m3

【題目欄目】統(tǒng)計'相關(guān)關(guān)系、回歸分析與獨立性檢驗'線性回歸方程

【題目來源】2022年全國乙卷理科?第19題

3.(2022新高考全國II卷.第19題)在某地區(qū)進行流行病學調(diào)查，隨機調(diào)查了100位某種疾病患者的年齡,

得到如下的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖：

(1)估計該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表);

(2)估計該地區(qū)一位這種疾病患者的年齡位于區(qū)間［20,70)的概率；

(3)己知該地區(qū)這種疾病的患病率為0.1%,該地區(qū)年齡位于區(qū)間［40,50)的人口占該地區(qū)總?cè)丝诘?/p>

16%.從該地區(qū)中任選一人，若此人的年齡位于區(qū)間［40,50),求此人患這種疾病的概率.(以樣本數(shù)

據(jù)中患者的年齡位于各區(qū)間的頻率作為患者的年齡位于該區(qū)間的概率，精確到0.0001).

【答案】(1)47.9歲；

(2)0.89；

(3)0.0014.

解析：（1）平均年齡元=（5x0.001+15x0.002+25x0.012+35x0.017+45x0.023

+55x0.020+65x0.017+75x0.006+85x0.002)x10=47.9(歲).

(2)設(shè)A=｛一人患這種疾病的年齡在區(qū)間［20,70)｝,所以

P(A)=l-P(A)=l-(0.001+0.002+0.006+0.002)x10=1-0.11=0.89.

(3)設(shè)B=｛任選人年齡位于區(qū)間［40,50)｝,C=｛任選人患這種疾?。?

則由條件概率公式可得

PC⑷=但=°」％x°310=0皿皿23=00014375。0.0014.

P(B)16%0.16

【題目欄目】統(tǒng)計'用樣本估計總體'頻率分布直方圖

【題目來源】2022新高考全國II卷?第19題

4.(2022新高考全國I卷?第20題)一醫(yī)療團隊為研究某地的一種地方性疾病與當?shù)鼐用竦男l(wèi)生習慣(衛(wèi)生習

慣分為良好和不夠良好兩類)的關(guān)系，在已患該疾病的病例中隨機調(diào)查了100例(稱為病例組)，同時在

未患該疾病的人群中隨機調(diào)查了100人(稱為對照組)，得到如下數(shù)據(jù)：

不夠良好良好

病例組4060

對照組1090

(1)能否有99%的把握認為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習慣有差異？

(2)從該地的人群中任選一人，A表示事件“選到的人衛(wèi)生習慣不夠良好”，3表示事件“選到的人患有該

P(B\A)-P(B|A)

疾病...-----與----=--ZZ-的比值是衛(wèi)生習慣不夠良好對患該疾病風險程度的一項度量指標，記該

P(B|A)P(B|A)

指標為R.

P(A|8)P(A\B)

(i)證明:

(ii)利用該調(diào)查數(shù)據(jù)，給出P(A|B),P(AM)的估計值，并利用(i)的結(jié)果給出R的估計值.

n(ad-hc)2

附K?

(a+h)(c+d)(a+c)(h+d)

P(K2>%5°

0.0100.001

k3.8416.63510.828

【答案】(1)答案見解析

(2)⑴證明見解析；(ii)R=6;

n(ad-bc￥_200(40>90-60>10>

解析：(1)由已知K2

(a4-b)(c+d)(a+c)(b+d)50x150x100x100

又P(K?26.635)=0.01,24>6.635,

所以有99%的把握認為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習慣有差異.

⑵⑴因為八理四迪@=烈肛3?跡

P{B\A)P(B|A)P(A)P(AB)P(A)P(A3)

?遜?皿所以

P(B)P(AB)P(B)P(AB)P(A|8)P(A\B)

(ii)由已知P(A|B)=WC,P(A|豆)=里，

100100

又尸(,曲=里，2皿耳)=里，所以R=?小也=6

100100P(A|B)P(A\B)

【題目欄目】概率'條件概率

【題目來源】2022新高考全國I卷?第20題

5.(2021年新高考全國II卷?第21題)一種微生物群體可以經(jīng)過自身繁殖不斷生存下來，設(shè)一個這種微生物

為第0代，經(jīng)過一次繁殖后為第1代，再經(jīng)過一次繁殖后為第2代……，該微生物每代繁殖的個數(shù)是

相互獨立的且有相同的分布列，設(shè)X表示1個微生物個體繁殖下一代的個數(shù)，P(X=i)=pg=0,1,2,3).

(1)己知Po=0.4,A=0.3,0=02P3=0.1,求E(X)；

23

(2)設(shè)p表示該種微生物經(jīng)過多代繁殖后臨近滅絕概率，p是關(guān)于x的方程：為+Plx+p2x+P3X=X

的一個最小正實根，求證：當E(X)V1時，p=\,當E(X)>1時，p<\.

(3)根據(jù)你的理解說明(2)問結(jié)論的實際含義.

【答案】解析:(1)E(X)=0X0.4+1X0.3+2X0.2+3X0.1=1,

2

⑵設(shè)f(x)=小/+PM+(p(-l)x+p0,

因為。3+用+Pi+%=11，故〃x)=+P/2-(P]+%+P3)x+Po,

2

若E(X)41,則月+2生+3烏41,故Pz+2p34Po.f'^)=3p3-r+2p2x-(/?,+pH+p}),

因為廣(0)=-(。2+為+。3)<°，f'^=P2+2Pi-Po<O,故;(x)有兩個不同零點和々，且

,

x,<0<1<x2,且xe(-8,xju(x2，+oo)時，/(x)>0；X?再,電)時,尸(x)<0；

故f(x)在(-8,X|),(々,+8)上為增函數(shù)，在(%,當)上為減函數(shù)，若9=1，因為“X)在(％,+8)為增

函數(shù)且"1)=0,而當xw(O，w)時,因為/(x)在(和乙)上為減函數(shù),故〃力>〃電)=/(1)=0,

故1為00+四犬+02》2=》的?個最小正實根，

若天>1,因為/⑴=。且在(0,芻)上為減函數(shù)，故1為%+pd+p/2+p3V=x的一個最小正實根,

綜上，若E(X)41,則p=l.

若E（X）＞1,則P[+2P2+3。3＞1,故P2+2°3＞%.此時尸（O）=-（P2+為+生）＜0,

/'（1）=。2+2。3-00＞°，故/'（x）有兩個不同零點X3/4,且

且工?-8,%）1.（匕,+00）時，/，（%）＞0;苫￡（巧,々）時，/'（X）＜O；故/（x）在（Y0,X3）,（%,+8）上為

增函數(shù)，在（￡，匕）上為減函數(shù)，而"1）=0,故/（Z）＜0,又f（0）=%＞0,故/（X）在（O,xJ存在一

個零點兒且P＜1.所以P為0。+/^+〃2/+2%3=》的個最小正實根，此時。＜1,故當E（X）＞1

時，”1.

（3）意義：每一個該種微生物繁殖后代的平均數(shù)不超過1,則若干代必然滅絕，若繁殖后代的平均數(shù)超過

1,則若干代后被滅絕的概率小于I.

【題目欄目】概率'離散型隨機變量的均值、方差

【題目來源】2021年新高考全國II卷.第21題

6.（2021年新高考I卷.第18題）某學校組織“一帶一路”知識競賽，有A,8兩類問題，每位參加比賽的同學

先在兩類問題中選擇一類并從中隨機抽取一個問題回答，若回答錯誤則該同學比賽結(jié)束：若回答正確

則從另一類問題中再隨機抽取一個問題回答，無論回答正確與否，該同學比賽結(jié)束.A類問題中的每個

問題回答正確得20分，否則得。分：B類問題中的每個問題回答正確得80分，否則得0分，己知小明

能正確回答A類問題的概率為0.8,能正確回答B(yǎng)類問題的概率為0.6,且能正確回答問題的概率與

回答次序無關(guān).

（1）若小明先回答A類問題，記X為小明的累計得分，求X的分布列；

（2）為使累計得分期望最大，小明應選擇先回答哪類問題？并說明理由.

【答案】解析：（1）由題可知，X的所有可能取值為0，20,100.

p（X=0）=l-0.8=0.2；

P（X=20）=0.8（1-0.6）=0.32；

P（X=100）=0.8x0.6=0.48.

所以X的分布列為

X020100

P0.20.320.48

(2)由(1)知，￡(%)=Ox0.2+20x0.32+100x0.48=54.4.

若小明先回答5問題，記y為小明的累計得分，則y的所有可能取值為o，so,loo.

p(y=0)=l-0.6=0.4；

p(y=80)=0.6(l-0.8)=0.12；

P(X=100)=0.8x0.6=0.48.

所以￡(丫)=0x0.4+80x0.12+100x0.48=57.6.

因為54.4<57.6,所以小明應選擇先回答5類問題.

【題目欄目】概率'離散型隨機變量的均值、方差

【題目來源】2021年新高考I卷?第18題

7.(2020年新高考I卷(山東卷)?第19題)為加強環(huán)境保護，治理空氣污染，環(huán)境監(jiān)測部門對某市空氣質(zhì)量進

行調(diào)研，隨機抽查了100天空氣中的PM2.5和SO2濃度(單位：ng/m1).得下表：

so2

[0,501(50,150](150,475]

PM2.5

[0,35]32184

(35,75]6812

(75,115]3710

(1)估計事件“該市一天空氣中PM2.5濃度不超過75,且SO2濃度不超過150”的概率;

(2)根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的2x2列聯(lián)表：

SO2

[0,150](150,475]

PM2.5

[0,75]

(75,1151

(3)根據(jù)(2)中列聯(lián)表，判斷是否有99%的把握認為該市一天空氣中PM2.5濃度與SO?濃度有關(guān)？

n(ad-bc)2

附:

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2>k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

【答案】（1）0.64；⑵答案見解析；（3）有.

解析：（1）由表格可知，該市100天中，空氣中的PM2.5濃度不超過75,且SO?濃度不超過150的天

數(shù)有32+6+18+8=64天，

64

所以該市一天中，空氣中的PM2.5濃度不超過75,旦SO2濃度不超過150的概率為礪=0.64；

（2）由所給數(shù)據(jù)，可得2x2列聯(lián)表為：

SO,

[0,150](150,475]合計

PM2.5

[0,75]641680

(75,115]101020

合計7426100

（3）根據(jù)2x2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)可得

n(ad-bc)2100x(64x10-16x10)23600

?7.4844>6.635,

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)80x20x74x26481

因為根據(jù)臨界值表可知，有99%的把握認為該市一天空氣中尸M2.5濃度與SO2濃度有關(guān).

【題目欄目】統(tǒng)計'相關(guān)關(guān)系、回歸分析與獨立性檢驗,獨立性檢驗

【題目來源】2020年新高考I卷（山東卷）?第19題

8.（2020新高考n卷（海南卷）.第19題）為加強環(huán)境保護，治理空氣污染，環(huán)境監(jiān)測部門對某市空氣質(zhì)量進

行調(diào)研，隨機抽查了100天空氣中的PM2.5和SC）2濃度（單位：gg/m1）,得下表:

[0.50](50450](150,475]

PM25

[0,35]32184

"75]6812

(75,115]3710

(1)估計事件“該市一天空氣中PM2.5濃度不超過75,且S0?濃度不超過15()”的概率;

(2)根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的2x2列聯(lián)表：

[0,150](150,475]

@7習

(75,115]

(3)根據(jù)(2)中的列聯(lián)表，判斷是否有99%的把握認為該市一天空氣中PM2.5濃度與SO?濃度有關(guān)?

2

“2n(ad-bc)

K~=-----------------

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2>k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

【答案】(1)0.64；(2)答案見解析；(3)有.

解析：(1)由表格可知，該市100天中，空氣中的PA/2.5濃度不超過75,且SO?濃度不超過150的天

數(shù)有32+6+18+8=64天，

64

所以該市一天中，空氣中的尸河2.5濃度不超過75,且SC)2濃度不超過150的概率為一=0.64：

(2)由所給數(shù)據(jù)，可得2x2列聯(lián)表為:

so2

[0,150](150,475]合計

PM2.5

[0,75]641680

(75,115]101020

合計7426100

⑶根據(jù)2x2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)可得

n(ad-he)2100x(64x10-16x10)23600

?7.4844>6.635,

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)80x20x74x26481

因為根據(jù)臨界值表可知，有99%的把握認為該市一天空氣中PM2.5濃度與SO2濃度有關(guān).

【題目欄目】統(tǒng)計'相關(guān)關(guān)系、回歸分析與獨立性檢驗,獨立性檢驗

【題目來源】2020新高考II卷（海南卷）?第19題

9.（2021年高考全國乙卷理科?第17題）某廠研制了一種生產(chǎn)高精產(chǎn)品的設(shè)備，為檢驗新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的某

項指標有無提高，用一臺舊設(shè)備和一臺新設(shè)備各生產(chǎn)了10件產(chǎn)品，得到各件產(chǎn)品該項指標數(shù)據(jù)如下:

舊設(shè)備9.810.31001029.99.810.010.110.29.7

新設(shè)備10110.410.110.010.110.310.610.510.410.5

舊設(shè)備和新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標的樣本平均數(shù)分別記為1和亍，樣本方差分別記為s：和S）

⑴求"7，s：,s；；

（2）判斷新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標的均值較舊設(shè)備是否有顯著提高（如果9-元22戶薩，則認為

新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標的均值較舊設(shè)備有顯著提高，否則不認為有顯著提高）.

【答案】（1）7=10,1=10.3,5；=0.036,S；=0.04；（2）新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標的均值較舊設(shè)備有

顯著提高.

…-9.8+10.3+10+10.2+9.9+9.8+10+10.1+10.2+9.7.八

解析：（l）x=--------------------------------------------------=10,

10.1+10.4+10.1+10+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5

=10.3，

10

0.22+0.32+0+0.22+0.12+0.22+0+0.12+0.22+0.32

=0.036，

222222222

。20.2+0.1+0.2+0.3+0.2+0+0.3+0.2+0.1+0.2A

-=0.04?

210

(2)依題意，y-x=0.3=2x0.15=2V0.152=270.025-2^0-03^0'04=270.0076,

亍一［22后京，所以新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標的均值較舊設(shè)備有顯著提高.

【題目欄目】統(tǒng)計'用樣本估計總體'用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征

【題目來源】2021年高考全國乙卷理科?第17題

10.(2021年高考全國甲卷理科?第17題)甲、乙兩臺機床生產(chǎn)同種產(chǎn)品，產(chǎn)品按質(zhì)量分為一級品和二級品,

為了比較兩臺機床產(chǎn)品的質(zhì)量，分別用兩臺機床各生產(chǎn)了200件產(chǎn)品，產(chǎn)品的質(zhì)量情況統(tǒng)計如下表：

一級品二級品合計

甲機床15050200

乙機床12080200

合計270130400

(1)甲機床、乙機床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級品的頻率分別是多少？

(2)能否有99%的把握認為甲機床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異?

*“2n(ad-bcf

附：K=--------------

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2>k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

【答案】(1)75%；60%；

(2)能.

解析：(1)甲機床生產(chǎn)的產(chǎn)品中的一級品的頻率為然=75%,

乙機床生產(chǎn)的產(chǎn)品中的?級品的頻率為上12？0=60%.

200

(2)K=400050x80720x50)2=400>1()>.

270x130x200x20039

故能有99%的把握認為甲機床的產(chǎn)品與乙機床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異.

【題目欄目】統(tǒng)計'相關(guān)關(guān)系、回歸分析與獨立性檢驗'獨立性檢驗

【題目來源】2021年高考全國甲卷理科?第17題

11.(2020年高考數(shù)學課標I卷理科?第19題)甲、乙、丙三位同學進行羽毛球比賽，約定賽制如下：累計負

兩場者被淘汰；比賽前抽簽決定首先比賽的兩人，另一人輪空；每場比賽的勝者與輪空者進行下一場

比賽，負者下一場輪空，直至有一人被淘汰；當一人被淘汰后，剩余的兩人繼續(xù)比賽，直至其中一人

被淘汰，另一人最終獲勝，比賽結(jié)束.經(jīng)抽簽，甲、乙首先比賽，丙輪空.設(shè)每場比賽雙方獲勝的概

率都為—,，

2

(1)求甲連勝四場的概率；

(2)求需要進行第五場比賽的概率；

(3)求丙最終獲勝的概率.

137

【答案】(I)—；(2)-；(3)—.

16416

<1VI

【解析】⑴記事件甲連勝四場，則P(M)=-;

(2)16

(2)記事件A為甲輸，事件8為乙輸，事件。為丙輸，

則四局內(nèi)結(jié)束比賽的概率為

P'=P(ABAB)+P(ACAC)+P(BCBC)+P(BABA)=4x^=；,

3

所以，需要進行第五場比賽的概率為P=l—P'=二；

4

(3)記事件A為甲輸，事件3為乙輸，事件C為丙輸，

記事件M:甲贏，記事件N:丙贏，

則甲贏的基本事件包括：BCBC、ABCBC.ACBCB、

BABCC、BACBC、BCACB、BCABC、BCBAC，

所以，甲贏概率為P(M)

由對稱性可知，乙贏的概率和甲扁的概率相等,

97

所以丙贏的概率為P(N)=1-2X——=——

3216

【點睛】本題考查獨立事件概率的計算，解答的關(guān)鍵就是列舉出符合條件的基本事件，考查計算能力,

屬于中等題.

【題目欄目】概率'相互獨立事件'相互獨立事件同時發(fā)生的概率

【題目來源】2020年高考數(shù)學課標I卷理科?第19題

12.(2020年高考數(shù)學課標H卷理科?第18題)某沙漠地區(qū)經(jīng)過治理，生態(tài)系統(tǒng)得到很大改善，野生動物數(shù)量

有所增加.為調(diào)查該地區(qū)某種野生動物數(shù)量，將其分成面積相近的200個地塊，從這些地塊中用簡

單隨機抽樣的方法抽取20個作為樣區(qū),調(diào)查得到樣本數(shù)據(jù)(如M)(i=l,2,20),其中H和y分別表

2020

示第，個樣區(qū)的植物覆蓋面積(單位：公頃)和這種野生動物的數(shù)量，并計算得2玉=60，Z%=1200，

i=]/=1

202020

工（%一元）2=80,一歹）2=9000,七一無）（>，?一刃=800.

/=1/=1i=l

(1)求該地區(qū)這種野生動物數(shù)量的估計值(這種野生動物數(shù)量的估計值等于樣區(qū)這種野生動物數(shù)量的平

均數(shù)乘以地塊數(shù))；

(2)求樣本(H,>>,)(/■=1,2,20)的相關(guān)系數(shù)(精確到0.01)；

(3)根據(jù)現(xiàn)有統(tǒng)計資料，各地塊間植物覆蓋面積差異很大.為提高樣本的代表性以獲得該地區(qū)這種野生

動物數(shù)量更準確的估計，請給出一種你認為更合理的抽樣方法，并說明理由.

f(%-君(丫.一力

附：相關(guān)系數(shù)尸“=,72-1-414.

￡(%一君2f(y_刃2

V/=1/=1

【答案】⑴12000；(2)0.94；(3)詳見解析

1201

解析：⑴樣區(qū)野生動物平均數(shù)為m1200=60,

地塊數(shù)為200,該地區(qū)這種野生動物的估計值為200x60=12000

(2)樣本(玉,%)?=1,2....20)的相關(guān)系數(shù)為

自（.一初/一切8002血nQ4

r=,i=/=-----?0.94

~780x90003

VZ=1/=1

（3）由（2）知各樣區(qū)的這種野生動物的數(shù)量與植物覆蓋面積有很強的正相關(guān)性，

由于各地塊間植物覆蓋面積差異很大，從俄各地塊間這種野生動物的數(shù)量差異很大,

采用分層抽樣的方法較好地保持「樣本結(jié)構(gòu)與總體結(jié)構(gòu)得以執(zhí)行，提高「樣本的代表性，

從而可以獲得該地區(qū)這種野生動物數(shù)量更準確的估計.

【點晴】本題主要考查平均數(shù)的估計值、相關(guān)系數(shù)的計算以及抽樣方法的選取，考查學生數(shù)學運算能

力，是一道容易題.

【題目欄目】統(tǒng)計'相關(guān)關(guān)系、回歸分析與獨立性檢驗'兩個變量間的相關(guān)關(guān)系

【題目來源】2020年高考數(shù)學課標11卷理科.第18題

13.（2020年高考數(shù)學課標HI卷理科?第18題）某學生興趣小組隨機調(diào)查了某市100天中每天的空氣質(zhì)量等級

和當天到某公園鍛煉的人次，整理數(shù)據(jù)得到下表（單位：天）：

鍛煉人次

[0,200](200,400](400,600]

空氣質(zhì)量等級

1（優(yōu)）21625

2（良）51012

3（輕度污染）678

4（中度污染）720

（1）分別估計該市一天的空氣質(zhì)量等級為1，2,3,4的概率；

（2）求一天中到該公園鍛煉的平均人次的估計值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）；

（3）若某天的空氣質(zhì)量等級為1或2,則稱這天“空氣質(zhì)量好”；若某天的空氣質(zhì)量等級為3或4,則稱這

天“空氣質(zhì)量不好”.根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的2x2列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表，判斷是否有95%的把握

認為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當天的空氣質(zhì)量有關(guān)?

人次W400人次＞400

空氣質(zhì)量好

空氣質(zhì)量不好

n(ad-bcY

(〃+/?)(c+d)(a4-c)3+d)

P(心X)0.0500.0100.001

3841

k6.63510.828

【答案】（1）該市一天的空氣質(zhì)量等級分別為1、2、3、4的概率分別為0.43、0.27、0.21、0.09；

⑵350；⑶有，理由見解析.

解析：（1）由頻數(shù)分布表可知，該市一天的空氣質(zhì)量等級為1的概率為紀0.43,等級為2的

100

概率為5+10+12=027,等級為3的概率為9±*=0.21,等級為4的概率為±9=0.09；

100100100

（2）由頻數(shù)分布表可知，一天中至IJ該公園鍛煉的人次的平均數(shù)為++

100

（3）2x2列聯(lián)表如下:

人次4400人次＞400

空氣質(zhì)量不好3337

空氣質(zhì)量好228

胃_100x(33x8-37x22)2

*5.820>3.841>

55x45x70x30

因此，有95%的把握認為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當天的空氣質(zhì)量有關(guān).

【點睛】本題考查利用頻數(shù)分布表計算頻率和平均數(shù)，同時也考查了獨立性檢驗的應用，考查數(shù)據(jù)處

理能力，屬于基礎(chǔ)題.

【題目欄目】統(tǒng)計'相關(guān)關(guān)系、回歸分析與獨立性檢驗'獨立性檢驗

【題目來源】2020年高考數(shù)學課標HI卷理科?第18題

14.（2019年高考數(shù)學課標IH卷理科?第17題）為了解甲、乙兩種離子在小鼠體內(nèi)的殘留程度，進行如下試驗：

將200只小鼠隨機分成兩組，每組100只，其中A組小鼠給服甲離子溶液，8組小鼠給服乙離子

溶液.每只小鼠給服的溶液體積相同、摩爾濃度相同.經(jīng)過一段時間后用某種科學方法測算出殘留在

小鼠體內(nèi)離子的百分比.根據(jù)試驗數(shù)據(jù)分別得到如下直方圖：

記C為事件：“乙離子殘留在體內(nèi)的百分比不低于5.5”,根據(jù)直方圖得到P(c)的估計值為0.70.

(1)求乙離子殘留百分比直方圖中“，6的值；

(2)分別估計甲、乙離子殘留百分比的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表).

【答案】(1)4=0.35，8=0.10；(2)4.05，6.00.

【官方解析】

(1)由已知得Q71Q=ci+0.20+0.15，故a=0.35>b-1-0.05-0.15-0.70=0.10.

(2)甲離子殘留百分比的平均值的估計值為

2x0.15+3x0.20+4x0.30+5x0.20+6x().10+7x0.05=4.05.

乙離子殘留百分比的平均值的估計值為

3x0.05+4x0.10+5x0.15+6x0.35+7x0.20+8x0.15=6.00.

【點評】本題考查頻率分布直方圖的相關(guān)概念和頻率分布直方圖中平均數(shù)法人計算，屬于基礎(chǔ)題.

【題目欄目】統(tǒng)計'用樣本估計總體'用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征

【題目來源】2019年高考數(shù)學課標III卷理科?第17題

15.(2019年高考數(shù)學課標全國II卷理科?第18題)11分制乒乓球比賽，每贏一球得1分，當某局打成1()：1()

平后，每球交換發(fā)球權(quán)，先多得2分的一方獲勝，該局比賽結(jié)束.甲、乙兩位同學進行單打比賽，假設(shè)

甲發(fā)球時甲得分的概率為0.5,乙發(fā)球時甲得分的概率為0.4,各球的結(jié)果相互獨立.在某局雙方10:10

平后，甲先發(fā)球，兩人又打了X個球該局比賽結(jié)束.

(I)求P(X=2)；

(2)求事件“X=4且甲獲勝”的概率.

【答案】(1)().5；(2)0.1.

【官方解析】

(1)X=2就是10:10平后，兩人又打了2個球該局比賽結(jié)束，則這2個球均由甲得分，或者均由乙得

分.因此P(X=2)=0.5x0.4+(l—0.5)x(l—0.4)=0.5.

(2)X=4且甲獲勝，就是10:10平后，兩人又打了4個球該局比賽結(jié)束，且這4個球的得分情況為:

前兩球是甲、乙各得1分，后兩球均為甲得分.

因此所求概率為

[0.5x(l-0.4)+(1-0.5)x0.4]x0.5x0.4=0.1.

【分析】

(1)本題首先可以通過題意推導事P(X=2)所包含的事件為“甲連贏兩球或乙連贏兩球”，然后計算;II

每種事件的概率并求和即可得出結(jié)果；

(2)本題首先可以通過題意推導出P(X=4)所包含的事件為“前兩球甲乙各得1分，后兩球均為甲得

分”，然后計算出每種事件的概率并求和即可得出結(jié)果.

【解析】(1)由題意可知，P(X=2)所包含的事件為“甲連贏兩球或乙連贏兩球”，

所以P(X=2)=0.5?0.40.5?0.60.5.

(2)由題意可知，尸(X=4)包含的事件為“前兩球甲乙各得1分，后兩球均為甲得分”

所以P(X=4)=0.5倉。60.5倉。4+0.50.4倉0.50.4=0.1.

【點評】本題考查古典概型的相關(guān)性質(zhì)，能否通過題意得出尸(X=2)以及尸(X=4)所包含的事件

是解決本題的關(guān)鍵，考查推理能力，考查學牛從題目中獲取所需信息的能力，是中檔題.

【題目欄目】概率'相互獨立事件'相互獨立事件同時發(fā)生的概率

【題目來源】2019年高考數(shù)學課標全國II卷理科?第18題

16.(2019年高考數(shù)學課標全國I卷理科?第21題)為治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種

新藥更有效，為此進行動物試驗.試驗方案如下：每一輪選取兩只白鼠對藥效進行對比試驗.對于兩

只白鼠，隨機選一只施以甲藥，另一只施以乙藥.一輪的治療結(jié)果得出后，再安排下一輪試驗.當其

中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時，就停止試驗，并認為治愈只數(shù)多的藥更有效.為

了方便描述問題，約定，對于每輪試驗，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則中藥得1

分，乙藥得一1分；若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分，甲藥得一1分；若

都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分.甲、乙兩種藥的治愈率分別記為a和萬，一輪試驗中甲藥的得

分記為X.

(1)求X的分布列；

(2)若甲藥、乙藥在試驗開始時都賦予4分，p,々=0,1,…,8)表示“甲藥的累計得分為i時，最終認為甲

藥比乙藥更有效''的概率，則p0=0,ps=1,Pj=apj_i+bpi+cpi+l(i=\,2,,7),

其中a=P(X=—l),0=P(X=0),c=P(X=l).假設(shè)a=0.5,尸=0.8.

⑴證明：｛2HI—化｝(i=0,1,2,,7)為等比數(shù)列；

(ii)求p&,并根據(jù)p&的值解釋這種試驗方案的合理性.

【答案】(1)解：X的所有可能取值為-1,0,1,

p(x=-1)=(1_?)/7,p(x=O)=a]3+(l-a)(l-p),P(X=Y)=a(l-j3).

所以X的分布列為

X-101

P(1一a)￡叫+(1—0)(—)a(l—0

(2)(i)由(1)得a=0.4,h-0.5,c=0.1.

因此Pi=0.4p-+0.5p,+0.Ip,*]，故0.1(Pm-R.)=0.4(p,.-Pi),即pM-pi=4(p]pQ.

又因為p「Po=Pi#O,所以｛丹+1—pJ(i=0,l,2,…,7)為公比為4,首項為p1的等比數(shù)列.

(ii)由⑴可得

,、/、48-1

〃8=Ps-PT+PT-Po++Pt-Po+Po=(P8—〃7)+(P7—〃6)++(A-Po)=-^—Pl-

3

由于P8=l，故用=不一f，所以

44-11

A=(P4—P3)+(P3-，2)+(P2-0)+(P|-%)=-^—Pl=-?

P4表示最終認為甲藥更有效的概率，由計算結(jié)果可以看出，在甲藥治愈率為0.5,乙藥治愈率為0.8時，

認為甲藥更有效的概率為*0.0039,此時得出錯誤結(jié)論的概率非常小，說明這種試驗方案合

理.

【題目欄目】概率'離散型隨機變量的均值、方差

【題目來源】2019年高考數(shù)學課標全國I