高斯數(shù)學(xué)五年級(jí)

第一講巧算小數(shù)運(yùn)算

知識(shí)導(dǎo)航

(1)小數(shù)的加法、減法、乘法、除法的運(yùn)算法則，力口、減、乘、除混合運(yùn)算的運(yùn)算順序。

(2)運(yùn)算定律：加法交換律、加法結(jié)合律、乘法交換律和乘法分配律。

(3)商不變性質(zhì)。

(4)積不變的性質(zhì)：若一個(gè)因數(shù)擴(kuò)大若干倍，另一個(gè)因數(shù)縮小相同倍數(shù)，則積不變。

(5)補(bǔ)數(shù)定義：如果兩數(shù)的和恰好能湊成10,100,1000,…那么，其中的一個(gè)數(shù)就叫做另一個(gè)數(shù)的

補(bǔ)數(shù)，且這兩個(gè)數(shù)互為補(bǔ)數(shù)。

(6)會(huì)用a?—人2=(a+/?)x(a-b)

例題精講

例1：計(jì)算：72.19+6.48+27.81-1.38-5.48-0.62

練習(xí)

計(jì)算：176.2+348.3+42.47+252.5+382.23

例2：計(jì)算：1.25x67.875+125x6.7875+1250x0.053375

練習(xí)：計(jì)算：4.65x32+2.5x46.5+0.465x430

例3：計(jì)算:

1999+199.9+19.99+1.999

練習(xí)

1888+188.8+18.88+1.888

例4：計(jì)算:

(1+0.33+0.44)x(0.33+0.44+0.55)-(1+0.33+0.44+0.55)x(0.33+0.44)

練習(xí)

(1+0.23+0.45)x(0.45+0.67+0.89)-(1+0.45+0.67+0.89)x(0.23+0.45)

例5：計(jì)算：I2-22+32-42+52-62+----1002+1012

練習(xí)

計(jì)算：21234-42+62-82+102-122----482+502

課堂練習(xí)：

1,(0.1+0.12+0.123+0.1234)X(0.12+0.123+0.1234+0.12345)-(0.1+0.12+0.123+0.1234

+0.12345)X(0.12+0.123+0.1234)

2、2.32.14+64.28X0.5378X0.25+0.5378X64.28X0.75-8X64.28X0.125X0.5378

3、32-42+52-62+---2002+2012

家庭作業(yè)

1.3.49+4.47+3.51+2.38+4.53+2.62

2.0.9+0.99+0.999+0.9999+0.99999

3.0.035x935+0.035+3x0.035+0.07x61x0.5

4.19.98x37-199.8x1.9+1998x0.82

5.3.14x6.5+4.5x3.14-3.14

6.26.25+73.75x0.35+0.65x73.75

挑戰(zhàn)自我：★★★★★

計(jì)算:A=0.000---0125,B=0.000--08,求A+B,AXB的值。

、、，J、________J

10個(gè)0

第二講平均數(shù)問(wèn)題

知識(shí)導(dǎo)航

(1)用“總數(shù)量?總分?jǐn)?shù)=平均數(shù)”直接求平均數(shù)。

(2)借助“整體思考法”巧解題。

(3)用“移多補(bǔ)少法”巧解題。

(4)借助“整數(shù)化”巧解題。

例1：小張、小李兩人的平均身高是1.70米，小李、小王兩人的平均身高是1.74米，小王、小張兩

人的平均身高是1.60米。問(wèn)：小李、小張、小王三人的平均身高是多少米？

練習(xí)

A、B、C、D四位小朋友在一次測(cè)試中，A、B、C三人的平均成績(jī)是80分；B、C、D三人的平均分

是85分；A、C、D三人的平均分是83分；A、B、D三人的平均成績(jī)是82分。問(wèn)：A、B、C、D四

人的平均成績(jī)是多少分？

例2：趙錢孫李四個(gè)小朋友，每?jī)扇撕戏Q一次體重，一共稱了6次，其平均體重分別是34.5,33.5,

36.0,35.0,37.5,36.5（單位：千克）。問(wèn)：這四位小朋友的平均體重是多少千克？

練習(xí)：甲乙丙三個(gè)物體，兩兩合稱一次，一共稱三次，分別是30千克、28千克、26千克。問(wèn)：這三

個(gè)物體平均重多少千克？

例3：有1000名大學(xué)畢業(yè)生參加公務(wù)員考試，錄取了150人。錄取者的平均成績(jī)與未錄取的平均成

績(jī)相差38分，全體考生的平均成績(jī)是55分。已知錄取分?jǐn)?shù)線比錄取者的平均成績(jī)少6.3分，問(wèn)：錄

取分?jǐn)?shù)線是多少分？

練習(xí)

200名小學(xué)生參加英語(yǔ)競(jìng)賽，有24名學(xué)生獲獎(jiǎng)。獲獎(jiǎng)?wù)叩钠骄煽?jī)與未獲獎(jiǎng)的平均成績(jī)相差35分，

全體參賽的學(xué)生平均成績(jī)是60分。已知獲獎(jiǎng)分?jǐn)?shù)線比獲獎(jiǎng)?wù)叩钠骄煽?jī)少5.8分，問(wèn)：獲獎(jiǎng)分?jǐn)?shù)線

是多少分?

例4：A、B、C、D四個(gè)數(shù)，每次去掉一個(gè)數(shù)，將其余三個(gè)數(shù)求平均數(shù)，這樣算了4次，得到這樣的4

個(gè)數(shù)：45,60,65,70o問(wèn)：A、B、C、D這四個(gè)數(shù)的平均數(shù)是多少？

練習(xí)

有五個(gè)數(shù)A、B、C、D、E每次去掉一個(gè)數(shù)，將其余4個(gè)數(shù)求平均數(shù)，這樣計(jì)算5次，得到這樣5個(gè)數(shù):

17,25,27,32,390求A、B、C、D、E這五個(gè)數(shù)的平均數(shù)。

例5：某次考試，甲，乙，丙，丁四個(gè)人的成績(jī)統(tǒng)計(jì)如下：甲、乙、丙三人的平均成績(jī)?yōu)?4分，乙、

丙、丁三人的成績(jī)?yōu)?2分，甲、丁兩人的平均成績(jī)是96分。問(wèn)：甲得了多少分？

練習(xí)

某次考試，A、B、C、D、E五人成績(jī)統(tǒng)計(jì)如下：A、B、C、D四人的平均分75分；A、C、D、E四人平

均分為70分；A、D、E三人的平均分為60分；B、D兩人的平均分為65分。求A得了多少分？

課堂練習(xí)：

1、小明騎自行車從甲地到乙地，去時(shí)平均每小時(shí)行10千米，沿原路返回時(shí)平均每小時(shí)行15千米,

小明騎自行車從甲地到乙地往返的平均速度是多少？

2、某校數(shù)學(xué)競(jìng)賽原定一等獎(jiǎng)10人，二等獎(jiǎng)20人?，F(xiàn)在將一等獎(jiǎng)中最后4人調(diào)整為二等獎(jiǎng)，這樣得

二等獎(jiǎng)的學(xué)生平均分提高了1分，得一等獎(jiǎng)的學(xué)生平均分提高了3分，那么原來(lái)一等獎(jiǎng)平均分比二等

獎(jiǎng)平均分多多少分？

3、有A、B、C、D、E、F、G、H八個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，已知D、E兩數(shù)的平均數(shù)是9,則有A、B、C、D、

E、F、G、H這八個(gè)數(shù)的平均數(shù)是多少？它們的和是多少？

家庭作業(yè)

1、設(shè)有A、B、C三個(gè)數(shù)，其中A和B相加是200,A和C相加是150,B和C相加是160.求A、B、C

這三個(gè)數(shù)的平均值。

2、甲、乙、丙、丁四個(gè)數(shù)，每次去掉一個(gè)數(shù)，將其余三個(gè)數(shù)平均，這樣計(jì)算4次，得到50、38、52、

46。求四個(gè)數(shù)的平均數(shù)。

3、甲數(shù)是240,乙數(shù)是甲數(shù)的3倍少30,丙數(shù)比乙數(shù)的2倍少180,求這三個(gè)數(shù)的平均數(shù)是多少？

4、有40個(gè)數(shù)的平均數(shù)是36。若劃去其中兩個(gè)數(shù)，劃去的兩個(gè)數(shù)的和是110,那么剩下的數(shù)的平均數(shù)

是多少？

5.李明在一次考試中，數(shù)學(xué)得90分，語(yǔ)文得92分，英語(yǔ)得87分，政治因病缺考，他要使自己的4

科的平均分達(dá)到90分，在補(bǔ)考政治時(shí)，至少要得多少分？

6.已知甲、乙、丙、丁四個(gè)數(shù)的平均數(shù)是10,甲、乙兩數(shù)的平均數(shù)是8,求丙、丁兩數(shù)的平均數(shù)？

挑戰(zhàn)自我：★★★★★

有四個(gè)數(shù)，每次選取其中三個(gè)數(shù)，算出它們的平均數(shù)，再加上另一個(gè)數(shù)。用這樣的方法計(jì)算了4次,

分別得到以下四個(gè)數(shù)：26、30、36、40,那么原來(lái)的四個(gè)數(shù)中最大的一個(gè)數(shù)是多少？

第三講容斥原理

知識(shí)導(dǎo)航

容斥問(wèn)題涉及到一個(gè)重要原理一一包含與排除原理，也叫容斥原理。即當(dāng)兩個(gè)計(jì)數(shù)部分有重復(fù)

包含時(shí)，為了不重復(fù)計(jì)數(shù)，應(yīng)從它們的和中排除重復(fù)部分。

容斥原理：對(duì)n個(gè)事物，如果采用不同的分類標(biāo)準(zhǔn)，按性質(zhì)a分類與性質(zhì)b分類（如圖），那么

具有性質(zhì)a或性質(zhì)b的事物的個(gè)數(shù)=也十凡一心。

例題精講

例1：某班40名同學(xué)都在做語(yǔ)文和數(shù)學(xué)作業(yè)，其中，26人做完了語(yǔ)文作業(yè)，18人做完了數(shù)學(xué)作業(yè)。

現(xiàn)在已經(jīng)有5人兩門作業(yè)都做完了，求這兩門作業(yè)都沒(méi)有做完的有多少名同學(xué)？

練習(xí)

36個(gè)學(xué)生在回答兩個(gè)問(wèn)題時(shí)，答對(duì)第一題的有23人，答對(duì)第二題的有25人，兩題都答對(duì)的有14人,

問(wèn)：兩題都沒(méi)有答對(duì)的有多少人？

例2：在1至U100的自然數(shù)中，能被5或7整除的數(shù)共有多少個(gè)?

練習(xí)：在1到500這500個(gè)數(shù)中，既不是完全平方數(shù)，又不是立方數(shù)的數(shù)共有多少個(gè)?

例3：希望小學(xué)的318名學(xué)生去游樂(lè)園玩耍。其中參加劃船的有156人，乘電動(dòng)飛機(jī)的有196人，坐

碰碰車的130人；既參加劃船又坐碰碰車的有74人，既參加劃船又乘電動(dòng)飛機(jī)的有80人，既乘電動(dòng)

飛機(jī)又坐碰碰車的有40人。問(wèn)：三種活動(dòng)都參加的有多少人？

練習(xí)

某班50名學(xué)生手中分別拿紅黃藍(lán)三種旗做游戲。已知34人手中有紅旗，26人手中有黃旗，18人手

中有藍(lán)旗，15人手中有紅黃兩種旗，10人手中有黃、藍(lán)兩種旗，9人手中有紅藍(lán)兩種旗。求手中有

紅、黃、藍(lán)三種旗的有多少人？

例4：某個(gè)班的全體學(xué)生進(jìn)行了短跑、游泳、籃球三個(gè)項(xiàng)目，有4名學(xué)生在這三個(gè)項(xiàng)目都沒(méi)有達(dá)到優(yōu)

秀，其余每人至少有一個(gè)項(xiàng)目達(dá)到優(yōu)秀。這部分學(xué)生達(dá)到優(yōu)秀的項(xiàng)目如圖所示：求這個(gè)班的學(xué)生人數(shù)。

短跑游泳籃球短跑、游游泳、籃籃球、短游泳、短

泳球跑跑、籃球

1718156652

練習(xí)

某班在一次達(dá)標(biāo)測(cè)試中，測(cè)得26人短跑達(dá)標(biāo)，30人鉛球達(dá)標(biāo)。其中短跑和鉛球都達(dá)標(biāo)的有12人,

另外有8人這兩項(xiàng)都沒(méi)有達(dá)標(biāo)。問(wèn)：這個(gè)班一共有多少名學(xué)生？

例5：50名學(xué)生面向老師站成一排，按從左往右的順序報(bào)數(shù)：1,2,3,…，50o報(bào)完后，老師讓所

有報(bào)數(shù)的4的倍數(shù)的學(xué)生向后轉(zhuǎn)，接著又讓所有報(bào)數(shù)是6的倍數(shù)的學(xué)生向后轉(zhuǎn)。問(wèn)：此時(shí)還有多少名

學(xué)生面向老師？

課堂練習(xí)：

1、在1到100的自然數(shù)中，能被2整除，或能被3整除，或能被5整除的數(shù)共有多少個(gè)?

2、某學(xué)校五年級(jí)共有110人，參加語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)三科活動(dòng)小組，每人至少參加一組。已知參

加語(yǔ)文小組的有52人，只參加語(yǔ)文小組的有16人；參加英語(yǔ)小組的有61人，只參加英語(yǔ)小組的

有15人；參加數(shù)學(xué)小組的有63人，只參加數(shù)學(xué)小組的有21人。那么三組都參加的有多少人。

家庭作業(yè)

1、學(xué)校小星星藝術(shù)團(tuán)的32名同學(xué)中，有14人會(huì)拉小提琴，有21人會(huì)彈鋼琴，小提琴和鋼琴都會(huì)演

奏的有8人，既不會(huì)拉小提琴又不會(huì)彈鋼琴的有多少人？

2、六年級(jí)有60人愛(ài)好數(shù)學(xué)，50人愛(ài)好語(yǔ)文，42人愛(ài)好體育，30人既愛(ài)好數(shù)學(xué)又愛(ài)好語(yǔ)文，20人既

愛(ài)好語(yǔ)文又愛(ài)好體育，35人既愛(ài)好體育又愛(ài)好數(shù)學(xué)，有18人則三方面都愛(ài)好。請(qǐng)問(wèn)這個(gè)年級(jí)中數(shù)學(xué)、

語(yǔ)文、體育三方面至少愛(ài)好一項(xiàng)的學(xué)生有多少名？

3、外語(yǔ)實(shí)驗(yàn)學(xué)校有英語(yǔ)、法語(yǔ)、日語(yǔ)教師共27人。其中只能教英語(yǔ)的有8人，只能教日語(yǔ)的有6

人，能教英、日語(yǔ)的有5人，能教法、日語(yǔ)的有3人，能教英、法語(yǔ)的有4人，能教英、法、日語(yǔ)的

只有2人。只能教法語(yǔ)的教師有多少人？

4、五年級(jí)100名同學(xué)，每人至少愛(ài)好體育、文藝和科學(xué)三項(xiàng)中的一項(xiàng)。其中，愛(ài)好體育的有58人,

愛(ài)好文藝的有60人，愛(ài)好科學(xué)的有54人，三項(xiàng)都愛(ài)好的有20人，只愛(ài)好體育和科學(xué)的有15人，只

愛(ài)好體育和文藝的有8人。問(wèn)：多少人只愛(ài)好科學(xué)和文藝兩項(xiàng)？只愛(ài)好科學(xué)的有多少人？

5、在1到100的自然數(shù)中，能被5或6整除的數(shù)共有多少個(gè)?

挑戰(zhàn)自我：★★★★★

100名學(xué)生面向老師站成一排，按從左往右的順序報(bào)數(shù)：1,2,3,…，100。老師讓所有報(bào)數(shù)的3的倍數(shù)

的學(xué)生向后轉(zhuǎn)，接著又讓所有報(bào)數(shù)是7的倍數(shù)的學(xué)生向后轉(zhuǎn)。問(wèn)：此時(shí)還有多少名學(xué)生背對(duì)老師？

第四講計(jì)算與推理

知識(shí)導(dǎo)航

推理由一個(gè)或幾個(gè)已知的判斷，推導(dǎo)出一個(gè)未知的結(jié)論的思維過(guò)程，其作用是從已知的知識(shí)得

到未知的知識(shí)，特別是可以得到不可能通過(guò)感覺(jué)經(jīng)驗(yàn)掌握的未知知識(shí)。很多數(shù)學(xué)問(wèn)題就是要從一些簡(jiǎn)

單的已知的知識(shí)中得到未知的知識(shí)，從而解決問(wèn)題。

例題精講

例1：房間里有12個(gè)人，其中有些人總說(shuō)假話，其余的人是老實(shí)人，總說(shuō)真話。其中一個(gè)人說(shuō)：“這

里沒(méi)有一個(gè)老實(shí)人。”第二個(gè)人說(shuō)：“這里有一個(gè)老實(shí)人?！钡谌齻€(gè)人說(shuō)：“這里有兩個(gè)老實(shí)人?！比绱?/p>

往下，至第十二個(gè)人說(shuō)：“這里有11個(gè)老實(shí)人?！眴?wèn)房間里究竟有多少個(gè)老實(shí)人？

練習(xí)

30名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，已知參賽者中任何10人里都至少有一名男生，那么男生至少有多少人？

例2：有六箱水果，其中只有一箱是香蕉，其余都是蘋果或梨，已知六只箱里所放水果的重量分別是

1、3、12、21、17、35千克，并且蘋果的重量是梨的5倍。求香蕉有多少千克？

例3：六個(gè)人參加乒乓球比賽，每?jī)蓚€(gè)人都要賽一場(chǎng)，勝者得2分，負(fù)者得0分。比賽結(jié)果，第二名

和第五名都是兩人并列。問(wèn)：第一名和第四名各得多少分？

練習(xí)

A、B、C、D四個(gè)隊(duì)舉行足球比賽循環(huán)賽(即每?jī)申?duì)都要賽一場(chǎng))，勝一場(chǎng)得3分，平一場(chǎng)得1分負(fù)

一場(chǎng)得0分，已知：(1)比賽結(jié)束后四個(gè)隊(duì)的得分都是奇數(shù)；

(2)A隊(duì)總分第一；

(3)B隊(duì)恰有兩場(chǎng)平局，并且其中一場(chǎng)是與C隊(duì)平局。

那么，D隊(duì)得多少分？

例4：甲、乙、丙、丁與小明5位同學(xué)一起比賽象棋，每?jī)扇硕家愐粓?chǎng)。到現(xiàn)在為止，甲已經(jīng)賽了

4盤，乙賽了3盤，丙賽了2盤，丁賽了1盤。問(wèn)小明已經(jīng)賽了多少盤？

練習(xí)

五個(gè)足球隊(duì)進(jìn)行循環(huán)比賽。每場(chǎng)比賽勝者得2分，負(fù)者得0分、打平各得1分，比賽結(jié)果各隊(duì)得分互

不相同。已知：

(1)第一名的隊(duì)沒(méi)有平過(guò)；

(2)第二名的隊(duì)沒(méi)有負(fù)過(guò)；

(3)第四名的隊(duì)沒(méi)有勝過(guò)；

問(wèn)：全部比賽共打平了幾場(chǎng)？

☆☆☆☆☆例5：某商品的編號(hào)是一個(gè)三位數(shù)，現(xiàn)在五個(gè)三位數(shù)：874、765、123、364、925,其中

每個(gè)數(shù)與商品編號(hào)恰好在同一個(gè)數(shù)位上有一個(gè)相同的數(shù)字。這件商品的編號(hào)是多少？

1、8個(gè)球編號(hào)是①至⑧，其中有6個(gè)球一樣重，另外兩個(gè)球都輕1克。為了找出這兩個(gè)輕球，用天

平秤了3次，結(jié)果如下：

(1)①+②比③+④重

(2)⑤+⑥比⑦+⑧輕

⑶①+③+⑤和②+④+⑧一樣重。

求那兩個(gè)球較輕？

2、甲、乙兩數(shù)的和是231.已知甲數(shù)的末位是0.如果把甲數(shù)末位的0去掉，正好等于乙數(shù)。乙數(shù)是多

少？

3、十三個(gè)魚(yú)盆里魚(yú)的條數(shù)分別是2、3、5,7、9、10、11、13、14、17、21、24、24條。已知同一

盆里的魚(yú)的是同一種類，只有一盆是刀魚(yú)，其余都是青魚(yú)和鯽魚(yú)，并且鯽魚(yú)的條數(shù)是青魚(yú)的6倍，刀

魚(yú)有幾條？

4、圖書管理員把7類書疊成了7疊，其中只有一疊舊連環(huán)畫，其余都是故事書和科技書，且故事書

是科技書的6倍。如果這7疊書的本數(shù)分別是：3、4、5、16、21、25、38本，問(wèn)：連環(huán)畫有多少本？

5.某班44人要從A、B、C、D、E五位候選人中選出一位班長(zhǎng)，已知A得選票23張，B得選票占第二

位，C、D得票相同而E選票最少，只得了4票，那么B得了幾張選票？

第五講分?jǐn)?shù)與循環(huán)小數(shù)

知識(shí)導(dǎo)航

同學(xué)們?cè)谟?jì)算分?jǐn)?shù)的時(shí)候一定碰到過(guò)除不盡的情況。比如計(jì)算1+3,我們會(huì)發(fā)現(xiàn)商在0和小數(shù)

點(diǎn)之后一直出現(xiàn)3,怎么也計(jì)算不完；再比如在計(jì)算3+7的時(shí)候，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)商在0和小數(shù)點(diǎn)之后

不停的出現(xiàn)428571。像這樣的某一位起，一個(gè)數(shù)字或幾個(gè)數(shù)字依次不斷重復(fù)出現(xiàn)的小數(shù)，叫做循環(huán)

小數(shù)。

下面我們來(lái)學(xué)習(xí)一下分?jǐn)?shù)與小數(shù)之間的互化。把分?jǐn)?shù)化成小數(shù)非常簡(jiǎn)單，直接用分子除以分母即

可。但是循環(huán)小數(shù)又該怎樣化成分?jǐn)?shù)呢？

例題精講

例1：將下列分?jǐn)?shù)化成小數(shù)：-

869713

練習(xí)

17142257

將下列分?jǐn)?shù)化成小數(shù)：—>—.—>-

20253711

例2：把循環(huán)小數(shù)轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)：0.4,0.24,0.185>0.56>6.36513

練習(xí)：把循環(huán)小數(shù)轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)：0.1,0.12、0.123、0.245

71422113

例3：把下列分?jǐn)?shù)化成循環(huán)小數(shù)：、亍

1T101'45'35

練習(xí)

把下列分?jǐn)?shù)化成循環(huán)小數(shù)：—,—>->—

33271436

例4：計(jì)算:(1)0.12+0.31；(2)0.12+0.434；(3)0.75-0.4

練習(xí)

計(jì)算：0.56+0.8760.123+0.456

例5：把真分?jǐn)?shù)三化成小數(shù)后,小數(shù)點(diǎn)后第2013位上的數(shù)字是1,則a是多少？

練習(xí)

把真分?jǐn)?shù)1化成小數(shù)后，從小數(shù)點(diǎn)后第一位開(kāi)始的連續(xù)n位數(shù)之和是9006,則a和n分別是多少？

課堂練習(xí)：

1、0.12345+0.23451+0.34512+0.45123+0.51234

2、將算式0.3+0.6-0.3x0.6+0.3+0.6的計(jì)算結(jié)果用循環(huán)小數(shù)表示是多少？

1、把下列分?jǐn)?shù)化為小數(shù):

小31313”、234印557小234

⑴王甘石；⑵5r玄⑶了西后⑷于?，淳

2、把下列循環(huán)小數(shù)轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)：

(1)0.i,0.4;(2)0.01,0.35;(3)0.08,0.38.

3、把下列循環(huán)小數(shù)轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)：0.7,0.12,O.i23,0.123

4、計(jì)算:(1)0.i+0.2+0.3;(2)0.2+03+0.4;(3)0.3+0.5+0.7;

(4)0.1+0.12+0.123;(5)0.12+0.23.

5.o.i2345+0.23451+0.34512+0.45123+0.51234.

挑戰(zhàn)自我：★★★★★

冬冬將0.3力乘以一個(gè)數(shù)a時(shí)，看丟了一個(gè)循環(huán)點(diǎn)，使得乘積比正確結(jié)果減少了0.63正確結(jié)果應(yīng)該是

多少？

第六講解方程及方程組

知識(shí)導(dǎo)航

同學(xué)們我們已經(jīng)會(huì)解簡(jiǎn)單的一元一次方程，下面我們先對(duì)相關(guān)的概念做一個(gè)簡(jiǎn)要的復(fù)習(xí)。

我們將用等號(hào)連接，表示相等關(guān)系的式子，叫做等式。而方程就是含有未知數(shù)的等式。等

式有兩個(gè)基本性質(zhì)：

性質(zhì)1：等式兩邊加上或減去一個(gè)數(shù)，結(jié)果仍相等。

性質(zhì)2、等式兩邊乘上一個(gè)，或除以一個(gè)不為0的數(shù)，結(jié)果仍相等。

利用等式的性質(zhì)我們可以解一些簡(jiǎn)單的方程。

在解方程時(shí)，我們需要將含有未知數(shù)的項(xiàng)一起算，也就是合并同類項(xiàng)。有的時(shí)候，當(dāng)含有未知數(shù)

的項(xiàng)不在等式的同一側(cè)時(shí)，我們還需要將這樣的項(xiàng)從等式的一側(cè)移到另一側(cè)，也就是所謂的移項(xiàng)。注

意方程中的每一項(xiàng)都包括數(shù)值與符號(hào)兩個(gè)部分，移項(xiàng)的時(shí)候要改變符號(hào)。

例1：解F列方程：（1）4x+3=3x+8(2)15—3x=19—4x(3)12—3x=7x—18

練習(xí)

(1)6+5x=10+3x(2)5—6x=17—9x(3)10-2x=5x-ll

例2：解下列方程：(1)5x+3(19—x)=65(2)7x—(3x—2)=22

練習(xí)：解下列方程：16+2（x-4）=3x18-(3x-6)=x

3x+57x-5

例3：解下列方程：（1）⑵=l

2-3

練習(xí)

3x+18x—2/c、3x+l5x-5,

(1)(2)-----+------=1

2548

，x+3y=7

例4：解下列方程組：(1)匕％+5y=32

(2)(2x+7y=15

練習(xí)

fx-2y=3fx+2y=7

(1)(3x+4y=29(2)(2x+5y=16

例5：解下列方程

(1)=(2)^11=2

48x+22

課堂練習(xí)：

1、x2+3x-5=x(x+2)

，5x+2y=16

2、(2x+3y=13

7家庭作業(yè)

1、求下列方程的解：（1）x-6=15(2)3x+5=17

2、求下列方程的解：（1）5x+8=3x+20(2)6—5x=8x—20

3、求下列方程的解：（1）3x+2（15-x）=45(2)9x-2(2x-2)=19

3x+76x-7

4、解方程:

4-5

fx-4y=0，5x+4y=33

5.(1)(3x+y=26(2)l5x-3y=19

第七講抽屜原理

知識(shí)導(dǎo)航

在《簡(jiǎn)單抽屜原理》中，我們學(xué)習(xí)了運(yùn)用抽屜原理處理一些簡(jiǎn)單問(wèn)題，以及最不利原則的一些簡(jiǎn)

單應(yīng)用。

抽屜原理：

把m個(gè)蘋果放入n個(gè)抽屜（m大于n）,結(jié)果有兩種可能：

如果m+n沒(méi)有余數(shù)，那么一定有抽屜至少放了“m+n”個(gè)蘋果；

如果m+n有余數(shù)，那么一定有抽屜至少放了“m+n的商再加1”個(gè)蘋果。

一例題精講

例1:（1）口袋里有四種顏色的球，每種顏色足夠多，一次至少要取幾個(gè)球，才能保證其中一定有兩

個(gè)顏色相同？

（2）口袋里有四種顏色的球，每種顏色足夠多，一次至少要取幾個(gè)球，才能保證其中一定有四個(gè)顏

色相同？

練習(xí)

箱子里有12種形狀不同的積木，每種都足夠多，一次至少要取幾個(gè)，才能保證其中一定有三個(gè)形狀

相同？

例2：盒子里有四色球各100個(gè)，每次從中摸出2個(gè)球，請(qǐng)問(wèn)：至少要摸幾次，才能保證其中有三次

摸出球的顏色情況是相同的？

練習(xí)：小王把一副圍棋混裝在一個(gè)盒子里，然后每次從盒子中摸出4枚棋子，請(qǐng)問(wèn)：她至少要摸幾次,

才能保證其中有三次摸出的顏色情況是相同的？（有黑白兩種顏色）

例3：將下圖3行7列的方格紙的每格染成紅色、黃色或綠色，要求每列的三個(gè)方格所染的顏色互不

相同。請(qǐng)說(shuō)明不管怎么染，至少有兩列染色方式是一樣的。

練習(xí)

將2行5列的方格紙每一格染成黑色或白色，請(qǐng)說(shuō)明不管怎么染，至少有兩列染色方式是一樣的。

例4：1至30這30個(gè)自然數(shù)中，至少取出多少個(gè)數(shù)，才能保證其中一定有兩個(gè)數(shù)的和等于31?至少

取出多少個(gè)數(shù)，才能保證其中一定有兩個(gè)數(shù)的差等于3?

練習(xí)

1至20這20個(gè)自然數(shù)中，至少取出多少個(gè)數(shù)，才能保證其中一定有兩個(gè)數(shù)的和等于21?是找取出多

少個(gè)數(shù)，才能保證其中一定有兩個(gè)數(shù)的差等于5?

課堂練習(xí)：

1、五年級(jí)有47名學(xué)生參加一次數(shù)學(xué)競(jìng)賽，成績(jī)都是整數(shù)，滿分是100分。已知3名學(xué)生的成績(jī)?cè)?/p>

60分以下，其余學(xué)生的成績(jī)均在75?95分之間。問(wèn)：至少有幾名學(xué)生的成績(jī)相同？

2、三（二）班有44名學(xué)生，他們至少都訂了甲、乙、丙三種報(bào)刊中的一種，問(wèn)至少有多少名學(xué)生訂的報(bào)刊是相同

的？

家庭作業(yè)

1、箱子里有5種顏色相同的積木，每種都足夠多，那么一次至少要取多少個(gè)，才能保證一定有5個(gè)

顏色相同？

2、某校五年級(jí)一班有54名學(xué)生，其中至少有多少同學(xué)是在同一周過(guò)生日？

3、有紅、黃、藍(lán)、白四種顏色的小球混合放在一個(gè)布袋里，一次摸出9個(gè)小球，至少有多少個(gè)小球

的顏色相同？

4、圖書館有甲、乙、丙、丁四類圖書，規(guī)定每個(gè)同學(xué)最多可以借兩本不同類的圖書，至少有多少個(gè)

同學(xué)借書，才能保證有兩個(gè)人所借的圖書類別相同？

5.一副撲克54張，至少要取出多少?gòu)?，才能保證其中必有4張點(diǎn)數(shù)相同？

6、一個(gè)口袋里裝有紅球10顆，黃球3顆，綠球12顆。從中至少摸出多少顆球，才能保證摸出的球

中3種顏色球都有

挑戰(zhàn)自我：★★★★★

從1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11和12至多能選出多少個(gè)數(shù)，使得在選出的數(shù)中，每一個(gè)數(shù)

都不是另一個(gè)數(shù)的2倍。

第八講列方程解應(yīng)用題

知識(shí)導(dǎo)航

方程：含有未知數(shù)的等式叫方程

列方程解分?jǐn)?shù)問(wèn)題：有一些數(shù)量關(guān)系比較復(fù)雜的分?jǐn)?shù)應(yīng)用題，列算式解答比較繁瑣，甚至無(wú)法

求出，這時(shí)我們可根據(jù)題中的等量關(guān)系來(lái)列方程解答。

列方程解應(yīng)用題的一般步驟：

1、讀清題意，設(shè)未知數(shù)；（當(dāng)出現(xiàn)兩個(gè)或兩個(gè)以上的未知量時(shí)，一般用設(shè)的這個(gè)未知數(shù)去表示其

它的未知量）

2、根據(jù)題意，找準(zhǔn)數(shù)量關(guān)系；

3、利用數(shù)量關(guān)系，建立等量關(guān)系；

例1：一次考試，小高比萱萱高6分，但是比卡麗低3分，他們3人的平均分為91分。請(qǐng)問(wèn)：小高

考了多少分?

練習(xí)

甲數(shù)比乙數(shù)的3倍少6,兩數(shù)的平均數(shù)是43。那么乙數(shù)是多少？

例2：阿范和阿統(tǒng)吃餃子，阿范一共要吃90個(gè)，而阿統(tǒng)一共要吃100個(gè)。如果阿范每分鐘吃3個(gè)餃

子，阿統(tǒng)每分鐘吃5個(gè)餃子，經(jīng)過(guò)若干分鐘后，阿范剩下的餃子數(shù)比阿統(tǒng)剩下的餃子數(shù)的2倍少5

個(gè)。請(qǐng)問(wèn)：這時(shí)阿范和阿統(tǒng)各吃了多少個(gè)餃子？

練習(xí)：箱子里有紅、白兩種玻璃球，紅球數(shù)比白球數(shù)的3倍多2個(gè)，每次從箱子里取出7個(gè)白球和

15個(gè)紅球。經(jīng)過(guò)若干次以后，箱子里剩下3個(gè)白球和53個(gè)紅球。那么箱子里原有紅、白球各多少個(gè)？

例3：給某班分蘋果，第一組每人3個(gè)，第二組每人4個(gè)，第三組每人5個(gè)，第四組每人6個(gè)。已知

第二組和第三組共有22人，第一組人數(shù)是第二組的2倍，第三組和第四組人數(shù)相等，總共分出去230

個(gè)蘋果。問(wèn)該班一共有多少人？

練習(xí)

司機(jī)小王身上帶有1元、2元、5元、10元四種面值的紙幣共82元，其中1元與2元紙幣共22張，

5元和10元紙幣共7張，2元紙幣的張數(shù)是5元紙幣張數(shù)的2.5倍。問(wèn)：小王身上有多少?gòu)?0元紙

幣？

例4：小楊去超市里買了一些士力架和德芙，共重266克，共花了30元。已知士力架每塊價(jià)格3元,

德芙每塊價(jià)格為2元。每塊士力架重35克，每塊德芙重14克。那么小楊各買了多少塊士力架和德芙？

練習(xí)

王老師抓了一群外星人，其中火星人有2個(gè)頭3個(gè)腳，金星人有3個(gè)頭5個(gè)腳，王老師數(shù)了數(shù)，發(fā)現(xiàn)

總共有34個(gè)頭，54個(gè)腳。那么請(qǐng)問(wèn)王老師分別抓了多少個(gè)火星人和金星人？

例5：一個(gè)分?jǐn)?shù)，分子與分母的和是122,如果分子、分母都減去19,得到的分?jǐn)?shù)約分后是：，那么

原分?jǐn)?shù)是多少？

課堂練習(xí)：

1、一個(gè)兩位數(shù)，十位數(shù)字是個(gè)位數(shù)字的3倍。如果把這個(gè)兩位數(shù)減少36,所得到的數(shù)等于原數(shù)的十

位數(shù)字和個(gè)位數(shù)字對(duì)調(diào)后的數(shù)。原數(shù)是多少？

2、一個(gè)長(zhǎng)方形，如果長(zhǎng)增加2厘米，寬增加5厘米，那么面積就增加60平方厘米，并且這時(shí)恰好變

成一個(gè)正方形，原來(lái)長(zhǎng)方形的面積是多少？

只家庭作業(yè)

4x+34

1、解方程:(1)2(x+2)=3x+l(2)

4x+l3

(6x+7y=23(3x+2y=19

2、解方程：(1)(14x+17y=55(2)bx-18y=33

3、一個(gè)數(shù)的5倍加上3等于這個(gè)數(shù)的8倍減去6,這個(gè)數(shù)是多少？

4、哥哥有180元，弟弟有100元?，F(xiàn)在兩人花去同樣多的錢后，剩下的錢數(shù)，哥哥是弟弟的3倍。

哥哥和弟弟各花去多少錢？

5.五一班同學(xué)合買一件禮物送給敬老院的老爺爺和老奶奶。如果每人出6元，則多48人；如果每人

出4.5元，則少27元。五一班學(xué)生有多少人？

挑戰(zhàn)自我：★★★★★

一個(gè)兩位數(shù)，十位數(shù)字是個(gè)位數(shù)字的3倍。如果把這個(gè)兩位數(shù)減少36,所得到的數(shù)等于原數(shù)的十位

數(shù)字和個(gè)位數(shù)字對(duì)調(diào)后的數(shù)。原數(shù)是多少？

第九講牛吃草問(wèn)題

知識(shí)導(dǎo)航

牛吃草問(wèn)題是英國(guó)大物理學(xué)家牛頓提出來(lái)的數(shù)學(xué)名題,也叫牛頓問(wèn)題。這類題是講牛在一片勻速

生長(zhǎng)的草地上吃草，假設(shè)每頭牛每天的吃草量相同，那么草地上除了原有的草，還有新長(zhǎng)出來(lái)的草，

而且又被牛每天消耗一部分，也就是說(shuō)隨著時(shí)間的變化，我們考察的量也在不斷的變化，這就給我們

解答這類應(yīng)用題帶來(lái)了難度。此類問(wèn)題，由于解題思路具有一定的規(guī)律和模式，只要認(rèn)真學(xué)習(xí)，仔細(xì)

分析，就能掌握這類問(wèn)題的特點(diǎn)和解答方法，正確解答。

解答這類問(wèn)題，困難在于草的總量在變，它每天、每周都在均勻地生長(zhǎng)，時(shí)間愈長(zhǎng)，草的總量越

多。草的總量是由兩部分組成的：①某個(gè)時(shí)間期限前草場(chǎng)上原有的草量；②一段時(shí)間內(nèi)草場(chǎng)均勻生長(zhǎng)

而新增的草量。因此，我們?cè)诮獯疬@類題時(shí)必須設(shè)法找出這兩個(gè)量來(lái)：即原有的草量和牧場(chǎng)上新增的

草量。然后將牛分出一部分吃新生長(zhǎng)的草，另一部分牛吃原有的草，吃原有草所用的時(shí)間就是這片草

地能吃多少時(shí)間。

同一片牧場(chǎng)中的牛吃草問(wèn)題。一般的解法是：

兩種吃草方式的草總量之差小時(shí)間差=生長(zhǎng)速度

一種吃法的草總量-一段時(shí)間草生長(zhǎng)總量=原有草量

原有草量土（牛的頭數(shù)-吃新生草牛頭數(shù)）=能吃的時(shí)間

或：原有草量所需牛的頭數(shù)+吃新草頭數(shù)=所需牛的頭數(shù)

列猿a例題精講

例1：英國(guó)大科學(xué)家牛頓提出過(guò)一個(gè)極有趣味的問(wèn)題：“一片勻速生長(zhǎng)的草地，10頭牛20天吃完，或

者15頭牛10天吃完。問(wèn)：可供25頭牛吃幾天？”

練習(xí)

牧場(chǎng)上有一片勻速生長(zhǎng)的草地，27頭牛6天吃完，或者23頭牛9天吃完。如果是21頭牛，幾天可

以吃完？

例2：有一片牧場(chǎng)，草每天都在均勻的生長(zhǎng)（即每天增長(zhǎng)的草相等），如果放牧24頭牛，則6天吃完

牧草；如果放牧21頭牛，則8天吃完牧草；如果有一群牛12天把牧草吃完，那么這群牛有多少頭？

練習(xí)：一水池有一根進(jìn)水管，有若干根相同的抽水管，進(jìn)水管不間斷地進(jìn)水，當(dāng)水池裝滿時(shí)，若用

24根抽水管抽水，6小時(shí)即可把池中的水抽干；若用21根水管抽水，8小時(shí)可將池中的水抽干，那

么用16根抽水管，多少小時(shí)可將水池中的水抽干？

例3：畫展9點(diǎn)開(kāi)門，但早有人來(lái)排隊(duì)等候，從第一個(gè)觀眾到時(shí)起，每分鐘來(lái)的觀眾一樣多。如果開(kāi)

3個(gè)入場(chǎng)口，9點(diǎn)9分就不再有人排隊(duì)等候；如果開(kāi)5個(gè)入場(chǎng)口，9點(diǎn)5分就沒(méi)有人排隊(duì)等候。那么

第一個(gè)觀眾到的時(shí)間是8點(diǎn)多少分？

練習(xí)

畫展8:30開(kāi)門，但早有人來(lái)排隊(duì)入場(chǎng)，從第一個(gè)觀眾來(lái)到時(shí)起，若每分鐘來(lái)的觀眾一樣多，如果開(kāi)

3個(gè)入場(chǎng)口，9點(diǎn)就不再有人排隊(duì)；如果開(kāi)5個(gè)入場(chǎng)口，8點(diǎn)45分就沒(méi)有人排隊(duì)。求第一個(gè)觀眾到達(dá)

的時(shí)間。

例4：某村有一塊草場(chǎng)，假設(shè)每天草都勻速生長(zhǎng)，這片草場(chǎng)經(jīng)過(guò)測(cè)算可供100只羊吃200天，或供150

只羊吃100天。問(wèn)：放牧250只羊可以吃多少天？放牧這么多羊?qū)?？為防止草?chǎng)沙漠化，這片草場(chǎng)

最多可以放牧多少只羊？

練習(xí)

有一片牧場(chǎng)，每天生長(zhǎng)的速度相同?，F(xiàn)在這片牧場(chǎng)可供16頭大牛吃20天，或者可供80頭小牛吃10

天。如果一頭大牛的吃草量等于3頭小牛的吃草量，那么12頭大牛與60頭小牛一起吃草可以吃多少

天？

例5：兩個(gè)頑皮的孩子逆著自動(dòng)扶梯行駛的方向行走，男孩每秒可走3級(jí)梯級(jí)，女孩每秒可走2級(jí)梯

級(jí)，結(jié)果從扶梯的一端到達(dá)另一端男孩走了100秒，女孩走了300秒。問(wèn)：該扶梯共有多少級(jí)梯級(jí)？

練習(xí)、自動(dòng)扶梯以均勻的速度由下向上行駛，兩個(gè)頑皮的孩子從自動(dòng)扶梯行駛的方向行走上樓，男孩

每分鐘可走20級(jí)梯級(jí)，女孩每分鐘可走15級(jí)梯級(jí)，結(jié)果男孩上樓用了5分鐘，女孩上樓用了6分鐘。

問(wèn)：該自動(dòng)扶梯共有多少梯級(jí)？

課堂練習(xí)：

1、一水庫(kù)原有存水量一定，河水每天入庫(kù)。5臺(tái)抽水機(jī)連續(xù)20天抽干，6臺(tái)同樣的抽水機(jī)連續(xù)15

天可抽干，若要6天抽干，要多少臺(tái)同樣的抽水機(jī)？

2、現(xiàn)在欲將一池塘的水全部抽干，但同時(shí)有水勻速流入池塘。若用8臺(tái)抽水機(jī)10天可以抽完，用6

臺(tái)抽水機(jī)20天可以抽干。問(wèn)：；若要5天抽干池塘，需要多少臺(tái)同樣的抽水機(jī)來(lái)抽水？

1、一片均勻生長(zhǎng)的草地，可供27頭牛吃6天，或者供23頭牛吃9天，那么可供多少頭牛吃3天?

2、有一片牧場(chǎng)，草每天都在均勻地生長(zhǎng)（即每天增長(zhǎng)的草相等），如果放牧5頭牛，則30天吃完牧

草；如果放牧8頭牛，則12天吃完牧草；如果放牧6頭牛，多少天可以吃完牧草？

3、有一眼泉水，用功率一樣的3部抽水機(jī)去抽，同時(shí)打開(kāi)40分鐘可以抽完；用這樣的6部抽水機(jī),

同時(shí)打開(kāi)16分鐘可以抽干。用這樣的9部抽水機(jī)同時(shí)抽多少分鐘可以抽干？

4、有一片牧場(chǎng)，草每天都在均勻的生長(zhǎng)（即每天增長(zhǎng)的草相等），如果放牧10頭牛，則20天吃完牧

草；如果放牧15頭牛，則10天吃完牧草；如果牛5天把牧草吃完，那么牧場(chǎng)上放了多少頭牛？

5.食堂里有一批糧食，并且每天運(yùn)進(jìn)的糧食一樣多，如果50人吃，10天可以吃完；如果45人吃,

20天可以吃完。那么多少人25天可以吃完？

6、一只船有一個(gè)漏洞，水以均勻的速度流進(jìn)船內(nèi)，發(fā)現(xiàn)漏洞時(shí)已經(jīng)進(jìn)了一些水，如果用12人淘水3

小時(shí)，可以淘完，如果只用5個(gè)人淘水要10小時(shí)才能淘完?，F(xiàn)在要想2小時(shí)淘完，需要多少人？

挑戰(zhàn)自我：★★★★★

由于天氣逐漸變冷，牧場(chǎng)上的草不僅不長(zhǎng)，反而每天以固定速度在減少。已知草地上的草可供20頭

牛吃5天，或者15頭牛吃6天，那么可供多少頭牛吃10天？

第十講環(huán)形路線

知識(shí)導(dǎo)航

行程問(wèn)題是專門講物體運(yùn)動(dòng)的速度、時(shí)間、路程三者關(guān)系的應(yīng)用題。速度是在單位時(shí)間內(nèi)所行的

路程。行程問(wèn)題的主要數(shù)量關(guān)系是：路程=速度X時(shí)間。知道三個(gè)量中的兩個(gè)量就能求出第三個(gè)量。

“相遇問(wèn)題”是行程問(wèn)題中的一種，它研究的對(duì)象是兩個(gè)物體相向行駛的運(yùn)動(dòng)，所包含的內(nèi)容豐富、千

變?nèi)f化。相遇問(wèn)題的基本關(guān)系式是：

路程和=速度和X相遇時(shí)間

相遇時(shí)間=路程和?速度和

速度和=路程和+相遇時(shí)間

兩個(gè)同向運(yùn)動(dòng)的物體，速度慢的在前，速度快的過(guò)了一段時(shí)間就能追上他，這就產(chǎn)生了”追及問(wèn)

題“。追及問(wèn)題的基本關(guān)系式是：

路程差=速度差X追及時(shí)間

追及時(shí)間=路程差小速度差

速度差=路程差?追及時(shí)間

在環(huán)形跑道上，快者從背后追上慢者時(shí)路程差就是一圈。第幾次追上路程差就是幾圈。

一例題精講

例1：黑白兩只小貓沿著周長(zhǎng)為300米的湖邊跑步，黑貓的速度是每秒5米，白貓的速度是每秒7米。

若兩只貓同時(shí)從同一點(diǎn)出發(fā)，背向而行那么多少秒后第一次相遇？如果它們繼續(xù)不停的跑下去，2分

鐘內(nèi)一共會(huì)相遇多少次？最后一次相遇時(shí)距離出發(fā)點(diǎn)多遠(yuǎn)？

練習(xí)

在420米的圓形跑道上，甲乙兩人從同一點(diǎn)出發(fā)，背向而行，甲的速度是每秒8米，乙的速度是每秒

6米；那么兩人第8次相遇時(shí)，距離出發(fā)點(diǎn)多遠(yuǎn)？

例2：一個(gè)周長(zhǎng)是40米的圓形跑道，甲沿著水池散步，每秒鐘走1米；甲乙沿著水池跑步，每秒鐘

走3.5米；甲乙兩人從同一地點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，同向而行。當(dāng)乙第8次追上甲時(shí)，他還要跑多少米才能回

到出發(fā)點(diǎn)？

練習(xí)：一環(huán)形跑道周長(zhǎng)為400米，甲乙兩名運(yùn)動(dòng)員同時(shí)順時(shí)針自起點(diǎn)出發(fā)，甲每分鐘跑300米，乙每

分鐘跑275米。甲第4次追上乙時(shí)距離起點(diǎn)多少米？

例3：甲乙兩人在400米的環(huán)形跑道上，甲以每分鐘300米的速度從起點(diǎn)跑出，1分鐘后，乙以每分

鐘280米的速度從起點(diǎn)通向跑出。請(qǐng)問(wèn)：甲出發(fā)后多少分鐘第一次追上乙？如果追上后他們的速度保

持不變，甲還需要再經(jīng)過(guò)多少分鐘后才能第10次追上乙？

練習(xí)

周長(zhǎng)為400米的圓形跑道上跑步，有相距100米的AB兩點(diǎn)。甲乙兩人分別從A、B兩點(diǎn)同時(shí)相背而

行，速度分別是每秒3米和每秒2米。多少秒后兩人第一次相遇？如果相遇后兩人的速度保持不變，

再過(guò)多少秒兩人第10次相遇？

例4：甲乙兩人分別從一圓形場(chǎng)地的直徑兩端點(diǎn)A、B開(kāi)始，同時(shí)勻速反向繞此圓形路線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)乙

走了100米后，他們第一次相遇，在甲走完一周前60米處第二次相遇。求此圓形場(chǎng)地的周長(zhǎng)。

練習(xí)

如圖，有一個(gè)環(huán)形跑道，甲乙兩人分別從A、B兩地出發(fā)相向而行，且乙的速度快于甲，第一次相遇

在距離A點(diǎn)100米處的C點(diǎn)，第二次相遇在距離B地200米處的D點(diǎn)。已知A、B長(zhǎng)是跑道總長(zhǎng)的四

分之一，請(qǐng)問(wèn)跑道周長(zhǎng)為多少米？

例5：小鹿和小山羊在某個(gè)環(huán)形跑道上練習(xí)跑步，小鹿比小山羊稍快。如果從同一起點(diǎn)出發(fā)背向而行,

1小時(shí)后正好第5次相遇；如果從同一起點(diǎn)出發(fā)同向而行，那么經(jīng)過(guò)1小時(shí)才第一次追上。請(qǐng)問(wèn)：小

鹿和小山羊跑一圈各需要多少時(shí)間？

練習(xí)

一個(gè)正方形水池，阿呆和阿瓜兩人分別從水池的兩個(gè)墻角出發(fā)，阿呆每秒鐘行5米，阿瓜每秒鐘行3

米，問(wèn)：阿呆第一次見(jiàn)到阿瓜時(shí)，阿瓜距離出發(fā)點(diǎn)多少米？

課堂練習(xí)：

1、甲、乙兩車同時(shí)從A、B兩地出發(fā)相向而行，兩車在離B地64千米處第一次相遇.相遇后兩車仍以

原速繼續(xù)行駛，并且在到達(dá)對(duì)方出發(fā)點(diǎn)后，立即沿原路返回，途中兩車在距A地48千米處第二次相

遇，問(wèn)兩次相遇點(diǎn)相距多少千米？

2、學(xué)校操場(chǎng)一圈是400米。小明和小聰同時(shí)從操場(chǎng)上同地同向跑步，小明過(guò)10分鐘第一次從小聰身

后追上小聰。若二人同時(shí)從同一點(diǎn)反向而行，只要2分鐘就相遇，求兩人的速度各是多少

家庭作業(yè)

1、甲乙兩人在600米長(zhǎng)的環(huán)形跑道上各自以不變的速度慢跑。如果兩人同時(shí)從同地相背而行，4分

鐘后兩人第一次相遇。已知甲跑一周需要6分鐘，那么乙跑一周需要多少時(shí)間？

2、甲乙兩人在一個(gè)周長(zhǎng)為180米的環(huán)形跑道上跑步。甲每秒跑5米，乙每秒跑4米。如果兩人從同

一點(diǎn)同時(shí)出發(fā)反向跑步，多少秒后第一次相遇？再經(jīng)過(guò)多少秒，兩人第二次相遇？在10分鐘內(nèi)兩人

相遇多少次？

3、有一個(gè)圓形跑道，甲乙二人同時(shí)從同一點(diǎn)沿同一方向出發(fā)。當(dāng)甲跑完7圈到達(dá)出發(fā)點(diǎn)時(shí)恰好第二

次追上乙。如果甲的速度是每秒14米，那么乙每秒跑多少米？

4、有一個(gè)周長(zhǎng)是80米的圓形水池。甲沿著水池散步，速度是每秒1米；乙沿著水池跑步，速度為每

秒2.2米，并且與甲的方向相反。如果他倆從同一地點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，那么當(dāng)乙第八次遇到甲時(shí)，還要跑

多少米才能回到出發(fā)點(diǎn)？

5.甲乙兩人分別從一圓形場(chǎng)地的直徑兩端AB開(kāi)始，同時(shí)勻速反向繞此圓形路線運(yùn)動(dòng)。當(dāng)甲走了160

米以后，他們第一次相遇；在乙走過(guò)A后20米的D處又第二次相遇。求此圓形場(chǎng)地的周長(zhǎng)。

6.兩名運(yùn)動(dòng)員在湖周圍環(huán)形道上練長(zhǎng)跑，甲每分跑250米，乙每分跑200米，兩人同時(shí)同地同向出發(fā),

經(jīng)過(guò)45分甲追上乙。如果兩人同時(shí)同地反方向出發(fā)，經(jīng)過(guò)多少分兩人相遇？

挑戰(zhàn)自我：★★★★★

甲乙丙三人，甲每分行80米，乙每分行70米，丙每分行60米。如果甲從A地，乙，丙從B地，三

人同時(shí)出發(fā)相向而行，途中甲與乙先相遇，后再經(jīng)過(guò)10分鐘甲、丙相遇。那么，A,B之間的路程是

多少米？

第十一講整數(shù)裂項(xiàng)

知識(shí)導(dǎo)航

有些較長(zhǎng)的復(fù)雜的數(shù)列求和，單靠硬算是很難計(jì)算得到結(jié)果的，同時(shí)也沒(méi)有公式可以直接用來(lái)計(jì)算結(jié)

果，例如計(jì)算所以Ix2+2x3+3x4+…+9x10,這時(shí)就可以用“裂項(xiàng)”的方法進(jìn)行求解，裂項(xiàng)的本質(zhì)

是“湊、抵、消”，通過(guò)把一項(xiàng)分拆成兩項(xiàng)的差，使得相鄰兩項(xiàng)有共同可以抵消的部分，相加抵消運(yùn)

算。例如上題，可以如下操作：

1X2=(1X2X3-0X1X2)+3

2x3=(2x3x4-lx2x3)+3

3x4=(3x4x5-2x3x4)+3

8X9=(8X9X10-7X8X9)4-3

9x10=(9x10x11-8x9x10)+3

將上述所有算式相加后提取公除數(shù)，括號(hào)內(nèi)前后一加一減相互抵消，最后得到

原式=Ix2+2x3+3x4+—1-9x10=(9x10x11-0x1x2)4-3

所皿x2+2x3+3x4+…+9x10=9x10x11+3=330

例1：計(jì)算：Ix2+2x3+3x4+…+19x20

練習(xí)

計(jì)算：Ix2+2x3+3x4+…+49x50

例2：計(jì)算：11x12+12x134-13x144--+99x100

練習(xí)：計(jì)算：7x8+8x9+9x10+…+49x50

例3：計(jì)算：⑴2x4+4*6+6x8+…+28x30

練習(xí)

⑴2x4+4x6+6x8+…+22x24

例4：計(jì)算：⑴4x7+7x10+10x13+…+40x43

練習(xí)

⑴5x10+10x15+15x20+…+50x55

課堂練習(xí)：

1、1X3+3X5+5X7H-----F27x29

2、1X3+3X5+5X7H-----F-9xl1

1、計(jì)算：Ix2+2x3+3x4+…+10x11

2、計(jì)算：2x4+4x6+6x8+…+20x22

3、計(jì)算：Ix3+3x5+5x7+…+11x13

4、計(jì)算：4x7+7x10+10*13+…+22x25

挑戰(zhàn)自我：★★★★★

1x2x3+2x3x4+3x4x5H----1-18x19x20

第十二講數(shù)的整除

1、整除的性質(zhì)(用a,b,c表示不為0的任意整數(shù))

(1)若c能整除a,又能整除b,則c能整除(a士b)。

⑵若b能整除a,c能整除a,且b、C互質(zhì)，則be能整除a。

⑶若b能整除a,c能整除b,則c能整除a。

2、數(shù)的整除特征：

(1)2、5、3倍數(shù)的特征.

(2)一個(gè)整數(shù)各數(shù)位上數(shù)字之和是9的倍數(shù)，則這個(gè)整數(shù)是9的倍數(shù)。

⑶一個(gè)整數(shù)的未兩位數(shù)是4或25的倍數(shù)，則這個(gè)數(shù)就是4或25的倍數(shù)。

(4)一個(gè)整數(shù)的末三位數(shù)是8或125的倍數(shù)，則這個(gè)數(shù)能是8或125的倍數(shù)。

(5)一個(gè)整數(shù)奇數(shù)位上的數(shù)字與偶數(shù)位上的數(shù)字之差是11的倍數(shù)，則這個(gè)數(shù)是11的倍數(shù)。

(6)一個(gè)整數(shù)末三位與前幾位的差(如果還大于三位又繼續(xù)進(jìn)行)，是7、11、13的倍數(shù)，則這

個(gè)數(shù)就是7、11、13的倍數(shù)。

(7)因?yàn)槭?詼義1001,7X11X13=1001,所以而說(shuō)是7、11、13的倍數(shù)。

例1：求出下面各題的未知數(shù)所表示的數(shù)字，使得

(1)2581-4,能被2整除，又能被3整除；

(2)3604x,能被3整除，又能被5整除；

(3)278取,能同時(shí)被2,3,5整除；

(4)43x8y,能同時(shí)被5,9整除；

練習(xí)

在下面各題字母填上適當(dāng)?shù)臄?shù)字，使得

(1)3247x,能同時(shí)被2,3整除；

(2)436孫,能同時(shí)被2,3,5整除。

例2：如果有一類六位數(shù)569盯z能同時(shí)被3,4,5整除，那么這類數(shù)中最小的一個(gè)是多少？

練習(xí)：在358后面添上三個(gè)數(shù)字，組成一個(gè)六位數(shù)，使它分別能被3,4,5整除。那么，這樣的六位

數(shù)中最大的一個(gè)是多少？

例3：。8919匕能被66整除，這個(gè)六位數(shù)是多少？

練習(xí)

在724左邊添一個(gè)數(shù)字a,右邊添一個(gè)數(shù)字b,組成五位數(shù)。724項(xiàng)如果這個(gè)五位數(shù)是12的倍數(shù)，那

么的最大值是多少？

例4：一位采購(gòu)員買了72只同樣的水桶，洗衣服時(shí)不慎將購(gòu)貨發(fā)票洗爛了，只能依稀看到：72只水

桶，共口67.9口元（口內(nèi)的數(shù)字洗爛了），請(qǐng)你幫他算一算，□內(nèi)的數(shù)字是幾？每只水桶到底多少錢？

練習(xí)

陳老師一共為學(xué)校買了