2022年北師大版八年級數(shù)學(xué)上冊第一章勾股定理章節(jié)測試試卷（含答案詳解版）

北師大版八年級數(shù)學(xué)上冊第一章勾股定理章節(jié)測試

考試時間：90分鐘；命題人：數(shù)學(xué)教研組

考生注意：

1、本卷分第I卷（選擇題）和第H卷（非選擇題）兩部分，滿分100分，考試時間90分鐘

2、答卷前，考生務(wù)必用0.5亳米黑色簽字筆將自己的姓名、班級填寫在試卷規(guī)定位置上

3、答案必須寫在試卷各個題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)的位置，如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新

的答案；不準(zhǔn)使用涂改液、膠帶紙、修正帶，不按以上要求作答的答案無效。

第I卷（選擇題30分）

一、單選題（10小題，每小題3分，共計30分）

1、如圖，2BC中,ZAC8=90,以其三邊分別向外側(cè)作正方形，然后將整個圖形放置于如圖所示

的長方形中，若要求圖中兩個陰影部分面積之和，則只需知道（）

A.以宛為邊的正方形面積B.以力。為邊的正方形面積

C.以48為邊的正方形面積D.△/8C的面積

2、如圖是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成的一個大正方形，設(shè)直角三角形的兩直角邊

分別是a、b,且（°+?2=15,大正方形的面積是9,則小正方形的面積是（）

D.6

3、有一個面積為1的正方形，經(jīng)過一次“生長”后，在他的左右肩上生出兩個小正方形，其中，三

個正方形圍成的三角形是直角三角形，再經(jīng)過一次“生長”后，變成了上圖，如果繼續(xù)“生長”下

去，它將變得“枝繁葉茂”，請你算出“生長”了2020次后形成的圖形中所有的正方形的面積和是

（）

A.1B.2021C.2020D.2019

4、以下列各組數(shù)的長為邊作三角形，不能構(gòu)成直角三角形的是（）

A.3,4,5B.4,5,6C.6,8,10D.9,12,15

5、如圖，小巷左右兩側(cè)是豎直的墻，一架梯子斜靠在左墻時，梯子底端到左墻角的距離為0.7米，

頂端距離地面2.4米，如果保持梯子底端位置不動，將梯子斜靠在右墻時，頂端距離地面2米，那么

小巷的寬度為（）

A.0.7米B.1.5米（；.2.2米口.2.4米

6、如圖，中，/B=90°,AB=4,BC=6,將折疊，使點。與43的中點。重合，折痕交

AC于點必，交于點M則線段CN的長為（）.

7、如圖，在由邊長為1的7個正六邊形組成的網(wǎng)格中，點48在格點上.若再選擇一個格點C,使

△力比是直角三角形，且每個直角三角形邊長均大于1,則符合條件的格點。的個數(shù)是

（）

A.2B.4C.5D.6

8、如圖，有一只小鳥從小樹頂飛到大樹頂上，它飛行的最短路程是（）

A.13米B.12米C.5米D."將米

9、《九章算術(shù)》“勾股”章有一題：“今有戶高多于廣六尺八寸，兩隅相去適一丈.問戶高、廣各幾

何.”大意是說：已知長方形門的高比寬多6尺8寸，門的對角線長1丈，那么門的高和寬各是多少

（1丈=10尺，1尺=10寸）？若設(shè)門的寬為x寸，則下列方程中，符合題意的是（）

A./+12=（戶0.68）2B./+（戶0.68）2=12

C./+1002=(戶68)D./+(a68)2=KMT

10、如圖，將AABC放在正方形網(wǎng)格圖中（圖中每個小正方形的邊長均為1）,點A,B,C恰好在網(wǎng)格

圖中的格點上，那么4ABC中BC邊上的高是（）

A.叵B.巫C.巫D.宕

245

第II卷（非選擇題70分）

二、填空題（5小題，每小題4分，共計20分）

1、如圖，在RtAAAC中，ZACB=90°,分別以AE,BC,AC動為直徑作半圓，圖中陰影部分在數(shù)學(xué)

史上稱為“希波克拉底月牙”，當(dāng)48=10,8c=6時，陰影部分的面積為.

2、附加題：觀察以下幾組勾股數(shù)，并尋找規(guī)律：

①3,4,5；

②5,12,13；

③7,24,25；

@9,40,41；…

請你寫出有以上規(guī)律的第⑤組勾股數(shù)：.

3、勾股定理最早出現(xiàn)在商高的《周髀算經(jīng)》：“勾廣三，股修四，經(jīng)隅五”.觀察下列勾股數(shù)：3,

4,5；5,12,13；7,24,25；…，這類勾股數(shù)的特點是：勾為奇數(shù)，弦與股相差為1,柏拉圖研究

了勾為偶數(shù)，弦與股相差為2的一類勾股數(shù)，如：6,8,10：8,15,17；…，若此類勾股數(shù)的勾為

2次（加23,0為正整數(shù)），則其弦是（結(jié)果用含初的式子表示）.

4、如圖，已知四邊形ABC。中，448c=90,A8=3,8C=4,CO=13,D4=12,則四邊形48C。的面積

等于.

5、如圖所示，在△力6c中，N#90°,AB=3,AC=5t將△44。折疊，使點。與點力重合，折痕為

DE,則△板的周長為.

三、解答題（5小題，每小題10分，共計50分）

1、我們知道，到線段兩端距離相等的點在線段的垂直平分線上.由此，我們可以引入如下新定義:

到三角形的兩個頂點距離相等的點，叫做此三角形的準(zhǔn)外心.

（1）如圖L點尸在線段比上，/ABP=/APD=/PCD=90°,BP=CD,求證：點尸是少的準(zhǔn)外

心；

（2）如圖2,在Rt△力比'中，/物C=90°,BC=5,AB=3,△?1%的準(zhǔn)外心乃在△[8。的直角邊

上，試求力〃的長.

2、（1）圖1是由有20個邊長為1的正方形組成的，把它按圖1的分割方法分割成5部分后可拼接成

一個大正方形（內(nèi)部的粗實線表示分割線），請你在圖2的網(wǎng)格中畫出拼接成的大正方形.

（2）如果（1）中分割成的直角三角形兩直角邊分別為a,6斜邊為c.請你利用圖2中拼成的大正

方形證明勾股定理.

（3）應(yīng)用：測量旗桿的高度：校園內(nèi)有一旗桿，小希想知道旗桿的高度，經(jīng)觀察發(fā)現(xiàn)從頂端垂下一

根拉繩，于是他測出了下列數(shù)據(jù)：①測得拉繩垂到地面后，多出的長度為0.5米；②他在距離旗桿4

米的地方拉直繩子，拉繩的下端恰好距離地面0.5米.請你根據(jù)所測得的數(shù)據(jù)設(shè)計可行性方案，解決

這一問題.（畫出示意圖并計算出這艱旗桿的高度）.

3、如圖，在四邊形ABCD中，ZB=ZD=90°ZC=60°,AD=1,BC=2,求AB、CD的長.

4、下圖是某“飛越叢林”俱樂部新近打造的一款兒童游戲項目，工作人員告訴小敏，該項目48段和

比段均由不銹鋼管材打造，總長度為26米，長方形的為一木質(zhì)平臺的主視圖.小敏經(jīng)過現(xiàn)場測

量得知：米，4我15米，于是小敏大膽猜想立柱4?段的長為10米，請判斷小敏的猜想是否正

確？如果正確，請寫出理由，如果錯誤，請求出立柱/18段的正確長度.

B

ADE

5、勾股定理被譽(yù)為“幾何明珠”，在數(shù)學(xué)的發(fā)展歷程中占有舉足輕重的地位.它是初中數(shù)學(xué)中的重

要知識點之一，也是初中學(xué)生以后解決數(shù)學(xué)問題和實際問題中常常運(yùn)用到的重要知識，因此學(xué)好勾股

定理非常重要.學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)“不僅要知其然，更要知其所以然"，所以，我們要學(xué)會勾股定理的各種證

明方法.請你利用如圖圖形證明勾股定理：

已知：如圖，四邊形4貶中，BD1CD,力反1_劭于點￡,且△力牘△仇力.

求證：A"=BP+A必.

-參考答案-

一、單選題

1、D

【解析】

【分析】

如圖所示，過點C作。歸_48于M延長18、物分別交正方形兩邊于〃、E,證明△/〃陛△。川得到

S“OE=S3,力層0V同理可證△及廬△微V,得到?.”=，立叩，BItCM貝U

S&DE+$△8cH=$△0bY+SMAV=S&8C，即可推出S陰影=554ABC由此即可得到答案.

【詳解】

解：如圖所示，過點。作制J_/15于M延長力反物分別交正方形兩邊于〃、E,

???/。//的=/的俏90°,

:"DAE+NEDA=/DAE+/CAMM,

:"AD-CAN,

乂??"歷。，

:?△ADE94CAN（卜4,

**?SMDE=S，AE=CN

同理可證△667星△⑦M(jìn)

:.S4BGH=S&CBN，BH^CN

?*?SAADE+^^BGH=^^CAN+S?CBN=^ZM?C?

???S陰影=4BAE+ABBH+S^ABC

=2ABCN”MBC

=5SdABC，

，只需要知道△力的面積的面積即可求出陰影部分的面積，

故選D

【考點】

本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵在于能夠正確作出輔助線，構(gòu)造全等三角形.

2、A

【解析】

【分析】

觀察圖形可知，小正方形的面積:大正方形的面積Y個直角三角形的面積，利用已知(>6)2=15,大正

方形的面積為9,可以得出直角三角形的面積，進(jìn)而求出答案.

【詳解】

解：???(>6)2=15,

.,?/+2曲代15,

??,大正方形的面積為：,+6?=9,

???2d斤15~9=6,艮|Jab=3,

???直角三角形的面積為：-1^=|3,

3

???小正方形的面積為：9-4X|=3,

故選：A.

【考點】

此題主要考查了完全平方公式及勾股定理的應(yīng)用，熟練應(yīng)用完全平方公式及勾股定理是解題關(guān)鍵.

3、B

【解析】

【分析】

根據(jù)勾股定理求出“生長”了1次后形成的圖形中所有的正方形的面積和，結(jié)合圖形總結(jié)規(guī)律，根據(jù)

規(guī)律解答即可.

【詳解】

解：由題意得，正方形力的面積為1,

由勾股定理得，正方形3的面積+正方形C的面積=1,

???“生長”了1次后形成的圖形中所有的正方形的面積和為2,

同理可得，“生長”了2次后形成的圖形中所有的正方形的面積和為3,

???“生長”了3次后形成的圖形中所有的正方形的面積和為4,

??.“生長”了2020次后形成的圖形中所有的正方形的面積和為2021,

故選：B.

【考點】

本題考查了勾股定理，如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a,b,斜邊長為c,那么/+//=/

4、B

【解析】

【分析】

先求出兩小邊的平方和，再求出最長邊的平方，最后看看是否相等即可.

【詳解】

解：A、32+42=5、故是直角三角形，不符合題意；

B.42+5V62,故不是直角三角形，符合題意；

C、62+82=102,故是直角三角形，不符合題意；

D、92+122=152,故是直角三角形，不符合題意；

故選:B.

【考點】

此題主要考查了勾股定理逆定理，關(guān)鍵是掌握如果三角形的三邊長a,b,。滿足/+"=/,那么這個

三角形就是直角三角形.

5、C

【解析】

【分析】

在直角三角形中利用勾股定理計算出直角邊，即可求出小巷寬度.

【詳解】

在RtZXA'BD中,VZA/DB=90°,AzD=2米,BD2+A/D2=AZB'2,

.-.BD2+22=6,25,

/.BD2=2.25,

VBD>0,

???BD=L5米,

ACD=BC+BD=O.7+1.5=2.2米.

故選：C.

MCBD

【考點】

本題考查勾股定理的運(yùn)用，利用梯子長度不變找到斜邊是關(guān)鍵.

6、D

【解析】

【分析】

由折疊的性質(zhì)可得加邑。。根據(jù)勾股定理可求ZW的長，即可得出結(jié)果.

【詳解】

解：???〃是力5中點，AB=4f

."大除2,

??,將△46C折疊，使點。與力6的中點〃重合，

:,D2CN,

:冊BC-CNNrDN,

在.RtADBN中,DN=BN+DE,

工DN=(6-ZZV)?+4,

3

故選：D.

【考點】

本題考查了翻折變換、折疊的性質(zhì)、勾股定理，熟練運(yùn)用折疊的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵.

7、D

【解析】

【分析】

分三種情況討論，當(dāng)/斤90°,或/生90°,或N小90°時，分別畫出符合條件的圖形，即可解答.

【詳解】

解：分三種情況討論，當(dāng)/月=90°,或/比90°,或/G90°如圖

符合條件的格點。的個數(shù)是6個

故選：D.

【考點】

本題考查正多邊形和圓的性質(zhì)、直角三角形的判定與性質(zhì)、直徑所對的圓周角是90°等知識，是基

礎(chǔ)考點，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵.

8、A

【解析】

【分析】

根據(jù)題意，畫出圖形，構(gòu)造直角三角形，用勾股定理求解即限

【詳解】

如圖所示，過D點作DE_LAB,垂足為E,

VAB=13,CD=8,

又?.?BE=CD,DE=BC,

???AE=AB-BE=AB-CD=13-8=5,

???在RtZXADE中，DE=BC=12,

:.AD2=AE2+D￡2=52+122=169,

/.AD=13（負(fù)值舍去）,

故小鳥飛行的最短路程為13m,

故選A.

【考點】

考查勾股定理，畫出示意圖，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵.

9、D

【解析】

【分析】

1丈=100寸，6尺8寸=68寸，設(shè)'1的寬為X寸，則門的高度為（戶68）寸，利用勾股定理及門的

對角線長1丈（100寸），即可得出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解.

【詳解】

解：1丈=100寸，6尺8寸=68寸.

設(shè)門的寬為x寸，則門的高度為（『68）寸，

依題意得：/（戶68）2=100；

故選：D.

【考點】

本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用、由實際問題抽象出一元二次方程，準(zhǔn)確計算是解題的關(guān)鍵.

10、A

【解析】

【詳解】

先用勾股定理耨出三角形的三邊，再根據(jù)勾股定理的逆定理判斷出△回是直角三角形，最后設(shè)紀(jì)

邊上的高為方，利用三角形面積公式建立方程即可得出答案.

解：由勾股定理得：

AC=Jf+22=6,48=4+22=5BC=712+32=Vio?

?.?I>/5）2+（V5）2=（VlO）2,AB2+AC2=BC2

???△48C是直角三角形，

設(shè)比邊上的高為h,

.,ABAC75x75V1O

BCVio2

故選A.

點睛：本題主要考查勾股埋及其逆定埋.借助網(wǎng)格利用勾股定埋求邊長，并用勾股定埋的逆定埋來判

斷三角形是否是直角三角形是解題的關(guān)鍵.

二、填空題

1、24

【解析】

【分析】

根據(jù)勾股定理得到力〃=力"-小，先求解4C,再根據(jù)陰影部分的面積等于直角三角形的面積加上以

AG■為直徑的半圓面積，再減去以力8為直徑的半圓面積即可.

【詳解】

解：由勾股定理得，AC二席-B盤64,

AC=8,

則陰影部分的面積

二24,

故答案為24.

【考點】

本題考查的是勾股定理、半圓面積計算，掌握勾股定理和半圓面積公式是解題的關(guān)鍵.

2、11,60,61

【解析】

【分析】

由所給勾股數(shù)發(fā)現(xiàn)第一個數(shù)是奇數(shù)，且逐步遞增2,知第5組第一個數(shù)是11,第二、第三個數(shù)相差為

1，設(shè)第二個數(shù)為％則第三個數(shù)為（T+1）,由勾股定理得：計算求解即可

【詳解】

解：由所給勾股數(shù)發(fā)現(xiàn)第一個數(shù)是奇數(shù)，且逐步遞增2,

???知第5組第一個數(shù)是11,

第二、第三個數(shù)相差為1,

設(shè)第二個數(shù)為X,則第三個數(shù)為（x+1）,

由勾股定理得：112+彳2=（彳+］）2,

解得x=60,

???第5組數(shù)是：11、60、61

故答案為：11、60、61.

【考點】

本題考查了數(shù)字類規(guī)律，勾股定理等知識.解題的關(guān)鍵在于推導(dǎo)規(guī)律.

3、nf+1

【解析】

【分析】

2次為偶數(shù)，設(shè)其股是a,則弦為卅2,根據(jù)勾股定理列方程即可得到結(jié)論.

【詳解】

???20為偶數(shù),

?,?設(shè)其股是&則弦為A2,

根據(jù)勾股定理得，（2勿）2+^=（＞2）2,

解得a=nf-\,

???弦長為相4,

故答案為："+1.

【考點】

本題考查了勾股數(shù)，勾股定理，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵.

4、36

【解析】

【分析】

連接AC，先根據(jù)勾股定理求出AC的長度，再根據(jù)勾股定理的逆定理判斷出4ACD的形狀，最后利用

三角形的面積公式求解即可.

【詳解】

連接AC,如下圖所示：

VZABC=90°,AB=3,BC=4,

AC=dAB2+BC2=5/32+42=5,

在aACD中，AC2+AD2=25+144=169=Clf,

???△ACD是直角三角形，

?'?Sn地形皿=7AB?BC+!AC?AD=5X3X4+!X5X12=36.

2222

【考點】

本題考查了勾股定理及勾股定埋的逆定理，止確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

5、7

【解析】

【分析】

根據(jù)勾股定理求得比；再根據(jù)折疊性質(zhì)得到/后值進(jìn)而由三角形的局長4班比求解即可.

【詳解】

???在△［比'中，N后90°,力后3,〃=5,

??,除JAC2_A*=疹于=4.

???△力宏是△碗'翻折而成，

:.AFCE,

???小叱叱4,

???△4斯的周長=4加除3+4=7.

故答案是：7.

【考點】

本題考查勾股定理、折疊性質(zhì)，熟練掌握勾股定理是解答的關(guān)鍵.

三、解答題

1、(1)見解析；(2)種的長為?或2或高

2o

【解析】

【分析】

(1)利用AAS證明△仍名△閱9,得到力々加，由定義可知點戶是乙小9的準(zhǔn)外心;

(2)先利用勾股定理計算ACE,再進(jìn)行討論：當(dāng)尸點在"上，PA=PB,當(dāng)P點在力。上，PA=PC,

易得對應(yīng)AP的值；當(dāng)P點在4c上,PB=PC,設(shè)力Q3則公歷=4-必利用勾股定理得到3?+/

=(4-力2,然后解方程得到此時AP的長.

【詳解】

(1)證明：VZABP=ZAPD=ZPCD=90°,

1/A幀/PAB=gy,ZAPm/DPC=gq0,

:./PAB=/DPC,

在△/!斷和券中，

NPAB=NDPC

?ZABP=/PCD,

BP=CD

：?l\AB2l\PCD(A4S),

:?AP=PD,

，點〃是44少的準(zhǔn)外心；

(2)解：???/物C=90°,BC=5,AB=3,

：.AC=4^^=4,

當(dāng)P點在AB上,PA=PB,貝ij"=g曲I；

當(dāng)產(chǎn)點在47上，PA=PC,貝I」?!尸月0=2,

當(dāng)。點在力。上，PB=PC,如圖2,

設(shè)在=心則尸。=如=4-必

7

在Rt△力即中，32+^=(4-t)\解得f=-,

O

即此時力?=:,

8

綜上所述，/IP的長為彳3或2或7

2o

【考點】

本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理及新定義的運(yùn)用能力.理解題中給的定義是解題的關(guān)

鍵.

2、(1)見解析；(2)見解析；(3)在四邊形力町中，AB1BGDC1BC,力〃比力占長0.5米，30=4

米，小0.5米，求力6的長；8米

【解析】

【分析】

⑴將圖1分割成五塊：四個直角邊分別為1、2的直角三角形，一個邊長為2的正方形，再在圖2

中，拼成邊長為癡的正方形即可.

⑵根據(jù)20個小正方形的面積的和等于拼成的正方形的面積，根據(jù)勾股定理確定截線的長度即可；

⑶根據(jù)題意，畫出圖形，可將該問題抽象為解直角三角形問題，該直角三角形的斜邊比其中一條直

角邊多1加，而另一條直角邊長為5朗可以根據(jù)勾股定理求出斜邊的長即可.

【詳解】

解：(1)如圖

⑵S大正方形=4xg"+(b-a)2

=2ah+b2-2ah+a2

=a2+b2

S大正方形=f2

a2+b2=c2

⑶如圖，在四邊形力四9中，AB工BC,DC1BC,力〃比48長0.5米，除4米，⑺=0.5米，求48的

長.

解：過點〃作龐垂足為萬

A

???ABLBC,DC1BC

???/斤/eN龍/90°

???四邊形式如是矩形

:?ED=BC=4,BE=DC=0.5

設(shè)力分x,則力"=x+0.5,J/F^-0.5

在RtkAED中

Alf=AE+E爐

(K+0.5)2=(X-O.5尸+42

解得：x=8

答：旗桿的高為8米.

【考點】

本題考查作圖的運(yùn)用及設(shè)計作圖和勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問

題，屬于中考?？碱}型.

3、AB=273-2,CD=4—G.

【解析】

【分析】

此題為幾何題，看題目只是一個四邊形，要求兩條未知邊，那肯定要添輔助線.過點D作DH_LBA延長

線于H,作DMJ_BC于M.構(gòu)建矩形HBMD.利用矩形的性質(zhì)和解直角三角形來求AB、CD的長度.

【詳解】

如圖，過點D作DH_LBA延長線于H,作DM_LBC于點M.

VZB=90°,

???四邊形HBMD是矩形.

/.HD=BM,BH=MD,ZABM=ZADC=90°,

又???NC=6(T,

.*.ZADH=ZMDC=30o,

???在RtZXAHD中，AD=1,ZADH=30°,貝l」AH=；AD=；,DH=—.

222

.*.MC=BC-BM=BC-DII=2-B=上叵.

22

???在Rt^CMD中，CD=2MC=4-6,DM=-.CD=4^-3.