2022-2023學年北京市101中學石油分校八年級（上）期中數學試卷【含解析】

第1頁（共1頁）2022-2023學年北京市101中學石油分校八年級（上）期中數學試卷一、選擇題1．（3分）下列長度的三條線段能組成三角形的是（）A．1，2，3 B．2，2，4 C．3，4，5 D．3，4，82．（3分）不一定在三角形內部的線段是（）A．三角形的角平分線 B．三角形的中線 C．三角形的高 D．以上皆不對3．（3分）張師傅不小心將一塊三角形玻璃打破成如圖中的三塊，他準備去店里重新配置一塊與原來一模一樣的，最省事的做法是（）A．帶Ⅰ去 B．帶Ⅱ去 C．帶Ⅲ去 D．三塊全帶去4．（3分）已知圖中的兩個三角形全等，則∠1等于（）A．50° B．58° C．60° D．72°5．（3分）如圖，如果△ABC≌△FED，那么下列結論錯誤的是（）A．EC＝BD B．EF∥AB C．DF＝BD D．AC∥FD6．（3分）在△ABC中，∠A＝55°，∠B比∠C大25°，則∠B等于（）A．50° B．75° C．100° D．125°7．（3分）下列條件，可以確定△ABC是直角三角形的是（）A．∠A+∠B+∠C＝180° B．∠A+∠B＝∠C C．∠A＝∠B＝∠C D．∠A＝∠B＝2∠C8．（3分）如圖，在△ABC中，P為BC上一點，PR⊥AB，垂足為R，PS⊥AC，垂足為S，∠CAP＝∠APQ，PR＝PS．下列結論：其中結論正確的序號是（）①AS＝AR；②QP∥AR；③△BRP≌△CSPA．①② B．②③ C．①③ D．①②③9．（3分）如圖，在五邊形ABCDE中，∠A+∠B+∠E＝α，DP，CP分別平分∠EDC，∠BCD，則∠P的度數是（）A．90°+α B．﹣90° C． D．540°10．（3分）如圖，正方形ABCD的邊長為4，將一個足夠大的直角三角板的直角頂點放于點A處，該三角形板的兩條直角邊與CD交于點F，與CB延長線交于點E，四邊形AECF的面積是（）A．16 B．12 C．8 D．4二、填空題11．（3分）已知△ABC的一個外角為50°，則△ABC一定是三角形．12．（3分）如圖，在△ABC中，BD是角平分線，BE是中線，若AC＝24cm，則AE＝cm，若∠ABC＝72°，則∠ABD＝度．13．（3分）若等腰三角形兩邊長分別為3和5，則它的周長是．14．（3分）一個正多邊形每一個外角為36°，則這個多邊形的內角和為．15．（3分）如圖，直線AB∥CD，∠1＝55°，∠2＝32°，則∠3＝．16．（3分）如圖所示：要測量河岸相對的兩點A、B之間的距離，先從B處出發(fā)與AB成90°角方向，向前走50米到C處立一根標桿，然后方向不變繼續(xù)朝前走50米到D處，在D處轉90°沿DE方向再走17米，到達E處，使A、C與E在同一直線上，那么測得A、B的距離為．17．（3分）在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分線與AC所在的直線相交所得到銳角為50°，則∠B等于．18．（3分）在△ABC中，AD是中線，已知AB＝7，AC＝4，則中線AD的取值范圍是．三、解答題：19．（5分）已知：如圖，∠1＝∠2，∠C＝∠D．求證：AC＝AD．20．（5分）尺規(guī)作圖：校園有兩條路OA、OB，在交叉路口附近有兩塊宣傳牌C、D，學校準備在這里安裝一盞路燈，要求燈柱的位置P離兩塊宣傳牌一樣遠，并且到兩條路的距離也一樣遠，請你幫助畫出燈柱的位置P．（不寫畫圖過程，保留作圖痕跡）21．（6分）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB于E，F在AC上，BD＝DF．說明：（1）CF＝EB；（2）AB＝AF+2EB．22．（6分）如圖，△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線交于點F，過點F作DE∥BC，交AB于點E，交AC于點D．（1）試確定BE、ED、CD之間的數量關系；（2）若AB+AC＝a，求△AED的周長．23．（5分）如圖，在平面直角坐標系中，將四邊形ABCD稱為“基本圖形”，且各點的坐標分別為A（4，4），B（1，3），C（3，3），D（3，1）．（1）畫出四邊形A1B1C1D1，使它與“基本圖形”關于x軸成軸對稱，并求出A1，B1的坐標．A1（，），B1（，）；（2）畫出四邊形A2B2C2D2，使它與“基本圖形”關于y軸成軸對稱；并求出C2，D2的坐標C2（，），D2（，）；（3）畫出四邊形A3B3C3D3，使之與前面三個圖形組成的圖形是軸對稱圖形．24．（5分）如圖，AD平分∠BAC，EF垂直平分AD交BC的延長線于F，交AD于E，連接AF，試判斷∠B、∠CAF的大小關系，并說明理由．25．（7分）【問題提出】學習了三角形全等的判定方法（即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL”）后，我們繼續(xù)對“兩個三角形滿足兩邊和其中一邊的對角對應相等”的情形進行研究．【初步思考】我們不妨將問題用符號語言表示為：在△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，然后，對∠B進行分類，可分為“∠B是直角、鈍角、銳角”三種情況進行探究．【深入探究】第一種情況：當∠B是直角時，△ABC≌△DEF．（1）如圖①，在△ABC和△DEF，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E＝90°，根據，可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF．第二種情況：當∠B是鈍角時，△ABC≌△DEF．（2）如圖②，在△ABC和△DEF，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，且∠B、∠E都是鈍角，求證：△ABC≌△DEF．第三種情況：當∠B是銳角時，△ABC和△DEF不一定全等．（3）在△ABC和△DEF，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，且∠B、∠E都是銳角，請你用尺規(guī)在圖③中作出△DEF，使△DEF和△ABC不全等．（不寫作法，保留作圖痕跡）（4）∠B還要滿足什么條件，就可以使△ABC≌△DEF？請直接寫出結論：在△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，且∠B、∠E都是銳角，若，則△ABC≌△DEF．26．（7分）在平面直角坐標系中，△ABC是等腰直角三角形，且∠ACB＝90°，AC＝BC，頂點A、C分別在y軸、x軸上．（1）如圖1，已知點A（0，﹣2），C（1，0），點B在第四象限時，則點B的坐標為；（2）如圖2，點C、A分別在x軸、y軸的負半軸上，BC邊交y軸于點D，AB邊交x軸于點E，若AD平分∠BAC，點B坐標為（m，n）．探究線段AD、OC、OD之間的數量關系．請回答下列問題：①點B到x軸的距離為，到y軸的距離為；②寫出點C的坐標為，點A的坐標為，點D的坐標為；③直接寫出線段AD、OC、OD之間的數量關系：．

2022-2023學年北京市101中學石油分校八年級（上）期中數學試卷參考答案與試題解析一、選擇題1．（3分）下列長度的三條線段能組成三角形的是（）A．1，2，3 B．2，2，4 C．3，4，5 D．3，4，8【分析】根據三角形的三邊滿足兩邊之和大于第三邊來進行判斷．【解答】解：A、1+2＝3，不能構成三角形，故A錯誤；B、2+2＝4，不能構成三角形，故B錯誤；C、3+4＞5，能構成三角形，故C正確；D、3+4＜8，不能構成三角形，故D錯誤．故選：C．【點評】考查三角形的邊時，要注意三角形形成的條件：任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊．2．（3分）不一定在三角形內部的線段是（）A．三角形的角平分線 B．三角形的中線 C．三角形的高 D．以上皆不對【分析】根據三角形的角平分線、中線、高線的定義解答即可．【解答】解：三角形的角平分線、中線一定在三角形的內部，直角三角形的高線有兩條是三角形的直角邊，鈍角三角形的高線有兩條在三角形的外部，所以，不一定在三角形內部的線段是三角形的高．故選：C．【點評】本題考查了三角形的角平分線、中線和高，是基礎題，熟記概念是解題的關鍵．3．（3分）張師傅不小心將一塊三角形玻璃打破成如圖中的三塊，他準備去店里重新配置一塊與原來一模一樣的，最省事的做法是（）A．帶Ⅰ去 B．帶Ⅱ去 C．帶Ⅲ去 D．三塊全帶去【分析】根據全等三角形的判定方法結合圖形判斷出帶Ⅱ去．【解答】解：由圖形可知，Ⅱ有完整的兩角與夾邊，根據“角邊角”可以作出與原三角形全等的三角形，所以，最省事的做法是帶Ⅱ去．故選：B．【點評】本題考查了全等三角形的應用，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關鍵．4．（3分）已知圖中的兩個三角形全等，則∠1等于（）A．50° B．58° C．60° D．72°【分析】根據已知數據找出對應角，根據全等得出∠A＝∠D＝50°，∠F＝∠C＝72°，根據三角形內角和定理求出即可．【解答】解：∵△ABC和△DEF全等，AC＝DF＝b，DE＝AB＝a，∴∠1＝∠B，∠A＝∠D＝50°，∠F＝∠C＝72°，∴∠1＝180°﹣∠D﹣∠F＝58°，故選：B．【點評】本題考查了三角形內角和定理，全等三角形的性質的應用，能根據全等三角形的性質得出∠A＝∠D＝50°，∠F＝∠C＝72°是解此題的關鍵，注意：全等三角形的對應邊相等，對應角相等．5．（3分）如圖，如果△ABC≌△FED，那么下列結論錯誤的是（）A．EC＝BD B．EF∥AB C．DF＝BD D．AC∥FD【分析】根據全等三角形的性質得出DF＝AC，∠E＝∠B，∠EDF＝∠ACB，FD＝AC，推出EF∥AB，AC∥DF，EC＝BD，即可得出答案．【解答】解：∵△ABC≌△EFD，∴DF＝AC，∠E＝∠B，∠EDF＝∠ACB，ED＝BC；∴EF∥AB，AC∥DF，FD﹣CD＝BC﹣DC，∴EC＝BD，故選項A、B、D正確，選項C錯誤；故選：C．【點評】本題考查了全等三角形的性質和平行線的判定的應用，注意：全等三角形的對應角相等，對應邊相等．6．（3分）在△ABC中，∠A＝55°，∠B比∠C大25°，則∠B等于（）A．50° B．75° C．100° D．125°【分析】根據三角形內角和定理計算．【解答】解：設∠C＝x°，則∠B＝x°+25°．根據三角形的內角和定理得x+x+25＝180﹣55，x＝50．則x+25＝75．故選：B．【點評】能夠用一個未知數表示其中的未知角，然后根據三角形的內角和定理列方程求解．7．（3分）下列條件，可以確定△ABC是直角三角形的是（）A．∠A+∠B+∠C＝180° B．∠A+∠B＝∠C C．∠A＝∠B＝∠C D．∠A＝∠B＝2∠C【分析】根據三角形內角和定理計算，根據直角三角形的定義判斷．【解答】解：∠A+∠B+∠C＝180°，∠A，∠B，∠C的度數不確定，A不能確定△ABC是直角三角形；∠A+∠B＝∠C，根據三角形內角和定理得到∠C＝90°，B可以確定△ABC是直角三角形；∠A＝∠B＝∠C，則△ABC是等邊三角形，C不能確定△ABC是直角三角形；∠A＝∠B＝2∠C，則△ABC是等腰三角形，D不能確定△ABC是直角三角形；故選：B．【點評】本題考查的是三角形內角和定理，掌握三角形內角和等于180°是解題的關鍵．8．（3分）如圖，在△ABC中，P為BC上一點，PR⊥AB，垂足為R，PS⊥AC，垂足為S，∠CAP＝∠APQ，PR＝PS．下列結論：其中結論正確的序號是（）①AS＝AR；②QP∥AR；③△BRP≌△CSPA．①② B．②③ C．①③ D．①②③【分析】先利用“HL”證明Rt△APR≌Rt△APS，則AR＝AS，∠PAR＝∠PAS，則可對①進行判斷；由于∠CAP＝∠APQ，所以∠PAR＝∠APQ，則根據平行線的判定方法可對②進行判斷；因為只有∠PRB＝∠PSC＝90°，PR＝PS，所以不能判斷△BRP≌△CSP．【解答】解：∵PR⊥AB，PS⊥AC，∴∠PRA＝∠PSA＝90°，∵AP＝AP，PR＝PS，∴Rt△APR≌Rt△APS（HL），∴AR＝AS，所以①正確；∠PAR＝∠PAS，∵∠CAP＝∠APQ，∴∠PAR＝∠APQ，∴QP∥AR，所以②正確；在△BRP和△CSP中，因為只有∠PRB＝∠PSC＝90°，PR＝PS，所以不能判斷這兩和三角形全等，所以③錯誤．故選：A．【點評】本題考查了全等三角形的判定：靈活運用全等三角形的判定是解決此類問題的關鍵．9．（3分）如圖，在五邊形ABCDE中，∠A+∠B+∠E＝α，DP，CP分別平分∠EDC，∠BCD，則∠P的度數是（）A．90°+α B．﹣90° C． D．540°【分析】根據五邊形的內角和等于540°，由∠A+∠B+∠E＝α，可求∠BCD+∠CDE的度數，再根據角平分線的定義可得∠PDC與∠PCD的角度和，進一步求得∠P的度數．【解答】解：∵五邊形的內角和等于540°，∠A+∠B+∠E＝α，∴∠BCD+∠CDE＝540°﹣α，∵∠BCD、∠CDE的平分線在五邊形內相交于點P，∴∠PDC+∠PCD＝（∠BCD+∠CDE）＝270°﹣α，∴∠P＝180°﹣（270°﹣α）＝α﹣90°，故選：B．【點評】本題主要考查了多邊形的內角和公式，角平分線的定義，熟記公式是解題的關鍵．注意整體思想的運用．10．（3分）如圖，正方形ABCD的邊長為4，將一個足夠大的直角三角板的直角頂點放于點A處，該三角形板的兩條直角邊與CD交于點F，與CB延長線交于點E，四邊形AECF的面積是（）A．16 B．12 C．8 D．4【分析】由四邊形ABCD為正方形可以得到∠D＝∠B＝90°，AD＝AB，又∠ABE＝∠D＝90°，而∠EAF＝90°由此可以推出∠DAF+∠BAF＝90°，∠BAE+∠BAF＝90°，進一步得到∠DAF＝∠BAE，所以可以證明△AEB≌△AFD，所以S△AEB＝S△AFD，那么它們都加上四邊形ABCF的面積，即可四邊形AECF的面積＝正方形的面積，從而求出其面積．【解答】解：∵四邊形ABCD為正方形，∴∠D＝∠ABC＝90°，AD＝AB，∴∠ABE＝∠D＝90°，∵∠EAF＝90°，∴∠DAF+∠BAF＝90°，∠BAE+∠BAF＝90°，∴∠DAF＝∠BAE，在△AEB和△AFD中∴△AEB≌△AFD（ASA），∴S△AEB＝S△AFD，∴它們都加上四邊形ABCF的面積，可得到四邊形AECF的面積＝正方形的面積＝16．故選：A．【點評】此題主要考查了全等三角形的判定與性質，本題需注意：在旋轉過程中一定會出現全等三角形，應根據所給條件找到．二、填空題11．（3分）已知△ABC的一個外角為50°，則△ABC一定是鈍角三角形．【分析】根據三角形的外角與相鄰的內角互為鄰補角求出內角，再根據三角形的形狀定義判斷即可．【解答】解：∵△ABC的一個外角為50°，∴與它相鄰的內角為180°﹣50°＝130°，∴△ABC一定是鈍角三角形．故答案為：鈍角．【點評】本題考查了三角形的外角性質，求出與它相鄰的內角是鈍角是解題的關鍵．12．（3分）如圖，在△ABC中，BD是角平分線，BE是中線，若AC＝24cm，則AE＝12cm，若∠ABC＝72°，則∠ABD＝36度．【分析】根據中線的性質以及已知條件即可得出AE的長，再根據角平分線的性質即可得出∠ABD的度數．【解答】解：∵BE是中線，AC＝24cm，∴AC＝AE+CE＝2AE＝24，∴AE＝12cm，∵BD是角平分線，∠ABC＝72°，∴∠ABC＝2∠ABD＝72°，∴∠ABD＝36°，故答案為12，36．【點評】本題主要考查了三角形的中線、角平分線的性質，難度適中．13．（3分）若等腰三角形兩邊長分別為3和5，則它的周長是11或13．【分析】題目給出等腰三角形有兩條邊長為3和5，而沒有明確腰、底分別是多少，所以要進行討論，還要應用三角形的三邊關系驗證能否組成三角形．【解答】解：有兩種情況：①腰長為3，底邊長為5，三邊為：3，3，5可構成三角形，周長＝3+3+5＝11；②腰長為5，底邊長為3，三邊為：5，5，3可構成三角形，周長＝5+5+3＝13．故答案為：11或13．【點評】本題考查了等腰三角形的性質和三角形的三邊關系；已知沒有明確腰和底邊的題目一定要想到兩種情況，分類進行討論，還應驗證各種情況是否能構成三角形進行解答，這點非常重要，也是解題的關鍵．14．（3分）一個正多邊形每一個外角為36°，則這個多邊形的內角和為1440°．【分析】本題首先根據多邊形外角和定理，即任意多邊形外角和為360°，可求出此正多邊形的邊數為10．然后再根據三角形的內角和定理求出它的內角和．【解答】解：∵此正多邊形每一個外角都為36°，360°÷36°＝10，∴此正多邊形的邊數為10．則這個多邊形的內角和為（10﹣2）×180°＝1440°．【點評】本題主要考查了多邊形內角和及外角和定理，任何多邊形的外角和是360°．15．（3分）如圖，直線AB∥CD，∠1＝55°，∠2＝32°，則∠3＝87°．【分析】利用平行線的性質先求出∠C，再利用三角形外角與內角的關系求出∠3．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠C＝∠1＝55°，∴∠3＝∠C+∠2＝55°+32°＝87°，故答案為：87°．【點評】本題考查平行線的性質及三角形外角與內角的關系，掌握“兩直線平行，內錯角相等”、“三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角的和”是解決本題的關鍵．16．（3分）如圖所示：要測量河岸相對的兩點A、B之間的距離，先從B處出發(fā)與AB成90°角方向，向前走50米到C處立一根標桿，然后方向不變繼續(xù)朝前走50米到D處，在D處轉90°沿DE方向再走17米，到達E處，使A、C與E在同一直線上，那么測得A、B的距離為17m．【分析】根據已知條件求證△ABC≌△EDC，利用其對應邊相等的性質即可求得AB．【解答】解：∵先從B處出發(fā)與AB成90°角方向，∴∠ABC＝90°，∵BC＝50m，CD＝50m，∠EDC＝90°∴△ABC≌△EDC，∴AB＝DE，∵沿DE方向再走17米，到達E處，即DE＝17∴AB＝17．故答案為：17m【點評】本題考查了全等三角形對應邊相等的性質，考查了全等三角形的判定，難度不大，屬于基礎題．17．（3分）在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分線與AC所在的直線相交所得到銳角為50°，則∠B等于70°或20°．【分析】此題根據△ABC中∠A為銳角與鈍角分為兩種情況，當∠A為銳角時，∠B等于70°，當∠A為鈍角時，∠B等于20°．【解答】解：根據△ABC中∠A為銳角與鈍角，分為兩種情況：①當∠A為銳角時，∵AB的垂直平分線與AC所在的直線相交所得到銳角為50°，∴∠A＝40°，∴∠B＝＝＝70°；②當∠A為鈍角時，∵AB的垂直平分線與AC所在的直線相交所得到銳角為50°，∴∠1＝40°，∴∠BAC＝140°，∴∠B＝∠C＝＝20°．故答案為：70°或20°．【點評】此題考查了等腰三角形的性質及線段垂直平分線的性質；分類討論的應用是正確解答本題的關鍵．18．（3分）在△ABC中，AD是中線，已知AB＝7，AC＝4，則中線AD的取值范圍是．【分析】通過倍長中線，構造△ABD≌△ECD，從而得到AB＝CE＝7，利用三角形三邊關系可得CE﹣AC＜AE＜CE+AC，再通過即可求解．【解答】解：如圖，延長AD至E，令DE＝AD，連接CE，∵AD是△ABC的中線，∴BD＝CD，在△ABD和△ECD中，，∴△ABD≌△ECD（SAS），∴AB＝CE＝7，在△AEC中，根據三角形的三邊關系可得CE﹣AC＜AE＜CE+AC，即7﹣4＜AE＜7+4，∴3＜AE＜11，∵DE＝AD，∴，∴．故答案為：．【點評】本題考查全等三角形的判定與性質，三角形三邊關系的應用等，通過倍長中線構造全等三角形是解題的關鍵．三、解答題：19．（5分）已知：如圖，∠1＝∠2，∠C＝∠D．求證：AC＝AD．【分析】可以利用AAS判定△CAB≌△DAB，根據全等三角形的對應邊相等即可得到AC＝AD．【解答】證明：∵AB＝AB，∠1＝∠2，∠C＝∠D，∴△CAB≌△DAB（AAS）；∴AC＝AD．【點評】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、AAS、ASA、HL．注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應相等時，角必須是兩邊的夾角．20．（5分）尺規(guī)作圖：校園有兩條路OA、OB，在交叉路口附近有兩塊宣傳牌C、D，學校準備在這里安裝一盞路燈，要求燈柱的位置P離兩塊宣傳牌一樣遠，并且到兩條路的距離也一樣遠，請你幫助畫出燈柱的位置P．（不寫畫圖過程，保留作圖痕跡）【分析】分別作線段CD的垂直平分線和∠AOB的角平分線，它們的交點即為點P．【解答】解；如圖，點P為所作．【點評】本題考查了作圖﹣應用與設計作圖，熟知角平分線的性質與線段垂直平分線的性質是解答此題的關鍵．21．（6分）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB于E，F在AC上，BD＝DF．說明：（1）CF＝EB；（2）AB＝AF+2EB．【分析】（1）根據直角三角形的全等的判定和性質解答即可；（2）根據AAS證明全等三角形的判定，進而利用全等三角形的性質解答即可．【解答】證明：（1）∵AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB，DC⊥AC，∴DE＝DC，在Rt△CFD和Rt△EBD中，，∴Rt△CFD≌Rt△EBD（HL），∴CF＝EB；（2）在△ACD和△AED中，，∴△ACD≌△AED（AAS），∴AC＝AE，由（1）知，CF＝EB，∴AB＝AE+EB＝AC+EB＝AF+FC+EB＝AF+2EB．【點評】此題考查全等三角形的判定和性質，關鍵是根據全等三角形的判定和性質解答．22．（6分）如圖，△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線交于點F，過點F作DE∥BC，交AB于點E，交AC于點D．（1）試確定BE、ED、CD之間的數量關系；（2）若AB+AC＝a，求△AED的周長．【分析】（1）根據角平分線的定義和平行線的性質可得△BEF和△DCF是等腰三角形，從而可得BE＝EF，CD＝DF，然后根據線段的和差關系即可解答；（2）利用（1）中結論，通過等量代換可得AE+AD+ED＝a，即可解答．【解答】解：（1）DE＝BE+CD，理由：BF平分∠ABC，CF平分∠ACB，∴∠EBF＝∠CBF，∠DCF＝∠BCF，∵DE∥BC，∴∠EFB＝∠CBF，∠DFC＝∠BCF，∴∠EFB＝∠EBF，∠DFC＝∠DCF，∴BE＝EF，CD＝DF，∴DE＝EF+DF，∴DE＝BE+CD；（2）∵AB+AC＝a，∴AE+BE+AD+CD＝a，由（1）得：ED＝BE+CD，∴AE+AD+ED＝a，∴△AED的周長為a．【點評】本題考查了平行線的性質，等腰三角形的判定與性質，熟練掌握根據角平分線的定義和平行線的性質可得等腰三角形是解題的關鍵．23．（5分）如圖，在平面直角坐標系中，將四邊形ABCD稱為“基本圖形”，且各點的坐標分別為A（4，4），B（1，3），C（3，3），D（3，1）．（1）畫出四邊形A1B1C1D1，使它與“基本圖形”關于x軸成軸對稱，并求出A1，B1的坐標．A1（4，﹣4），B1（1，﹣3）；（2）畫出四邊形A2B2C2D2，使它與“基本圖形”關于y軸成軸對稱；并求出C2，D2的坐標C2（﹣3，3），D2（﹣3，1）；（3）畫出四邊形A3B3C3D3，使之與前面三個圖形組成的圖形是軸對稱圖形．【分析】（1）根據關于x軸對稱的點橫坐標相等、縱坐標互為相反數，即可得到對應點的坐標，描點連線即可；（2）根據關于y軸對稱的點縱坐標相等、橫坐標互為相反數，即可得到對應點的坐標，描點連線即可；（3）根據軸對稱圖形的特點可知，四邊形A1B1C1D1關于y軸的軸對稱圖形即為四邊形A3B3C3D3．【解答】解：（1）根據四邊形A1B1C1D1與四邊形ABCD關于x軸對稱，可知對應點的橫坐標相等、縱坐標互為相反數，因此A1（4，﹣4），B1（1，﹣3），C1（3，﹣3），D1（3，﹣1），描點連線可得四邊形A1B1C1D1；故答案為：4，﹣4，1，﹣3；（2）根據四邊形A2B2C2D2與四邊形ABCD關于y軸對稱，可知對應點的縱坐標相等、橫坐標互為相反數，因此A2（﹣4，4），B2（﹣1，3），C2（﹣3，3），D2（﹣3，1），描點連線可得四邊形A2B2C2D2；故答案為：﹣3，3，﹣3，1；（3）如圖所示，作四邊形A1B1C1D1關于y軸的軸對稱圖形，該圖形即為四邊形A3B3C3D3．【點評】本題考查作軸對稱圖形，解題的關鍵是熟練掌握關于x軸，y軸成軸對稱圖形的對應點坐標的特點．24．（5分）如圖，AD平分∠BAC，EF垂直平分AD交BC的延長線于F，交AD于E，連接AF，試判斷∠B、∠CAF的大小關系，并說明理由．【分析】根據垂直平分線的性質得FA＝FD，再根據等邊對等角得∠FAD＝∠FDA，利用外角的性質得∠FDA＝∠B+∠BAD，再利用角平分線的定義和角的和差關系，即可推出∠CAF＝∠B．【解答】解：∠CAF＝∠B．理由如下：∵EF垂直平分AD，∴FA＝FD，∴∠FAD＝∠FDA，∵∠FDA＝∠B+∠BAD，∠FAD＝∠CAF+∠DAC，又∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC，∴∠CAF＝∠B．【點評】本題考查角平分線的定義，垂直平分線的性質，三角形外角的定義和性質等，難度不大，解題的關鍵是通過等量代換得出∠B與∠CAF的聯系．25．（7分）【問題提出】學習了三角形全等的判定方法（即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL”）后，我們繼續(xù)對“兩個三角形滿足兩邊和其中一邊的對角對應相等”的情形進行研究．【初步思考】我們不妨將問題用符號語言表示為：在△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，然后，對∠B進行分類，可分為“∠B是直角、鈍角、銳角”三種情況進行探究．【深入探究】第一種情況：當∠B是直角時，△ABC≌△DEF．（1）如圖①，在△ABC和△DEF，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E＝90°，根據HL，可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF．第二種情況：當∠B是鈍角時，△ABC≌△DEF．（2）如圖②，在△ABC和△DEF，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，且∠B、∠E都是鈍角，求證：△ABC≌△DEF．第三種情況：當∠B是銳角時，△ABC和△DEF不一定全等．（3）在△ABC和△DEF，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，且∠B、∠E都是銳角，請你用尺規(guī)在圖③中作出△DEF，使△DEF和△ABC不全等．（不寫作法，保留作圖痕跡）（4）∠B還要滿足什么條件，就可以使△ABC≌△DEF？請直接寫出結論：在△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，且∠B、∠E都是銳角，若∠B≥∠A或∠A＝90°，則△ABC≌△DEF．【分析】（1）直接利用HL定理得出Rt△ABC≌Rt△DEF；（2）首先得出△CBG≌△FEH（AAS），則CG＝FH，進而得出Rt△ACG≌Rt△DFH，再求出△ABC≌△DEF；（3）利用已知圖形再做一個鈍角三角形即可得出答案；（4）利用（3）中方法可得出當∠B≥∠A時，則△ABC≌△DEF．【解答】（1）解：如圖①，∵∠B＝∠E＝90°，∴在Rt△ABC和Rt△DEF中，，∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），故答案為：HL；（2）證明：如圖②，過點C作CG⊥AB交AB的延長線于G，過點F作FH⊥DE交DE的延長線于H，∵∠ABC＝∠DEF，且∠ABC、∠DEF都是鈍角，∴180°﹣∠ABC＝180°﹣∠DEF，即∠CBG＝∠FEH，在△CBG和△FEH中，，∴△CBG≌△FEH（AAS），∴CG＝FH，在Rt△ACG和Rt△DFH中，，∴Rt△ACG≌Rt△DFH（HL），∴∠A＝∠D，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（AAS）；（3）解：如圖③中，在△ABC和△DEF，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，△DEF和△ABC不全等；（4）解：由圖③可知，∠A＝∠CDA＝∠B+∠BCD，∴∠A＞∠B，∴當∠B≥∠A時，△ABC就唯一確定了，則△ABC≌△DEF．另外∠A＝90°時，兩三角形全等．故答案為：∠B≥∠A或∠A＝90°．【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質，應用與設計作圖，熟練掌握三角形全等的判定方法是解題的關鍵，閱讀量較大，審題要認真仔細．26．（7分）在平面直角坐標系中，△ABC是等腰直角三角形，且∠ACB＝90°，AC＝BC，頂點A、C分別在y軸、x軸上．（1）如圖1，已知點A（0，﹣2），C（1，0），點B在第四象限時，則點B的坐標為（3，﹣1）；（2）如圖2，點C、A分別在x軸、y軸的負半軸上，BC邊交y軸