專題03概率（考點(diǎn)串講）高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中考點(diǎn)大串講（2019選擇性）

蘇教版（2019)選擇性必修第二冊(cè)期中考點(diǎn)大串講串講03第8章概率

考場(chǎng)練兵典例剖析010203目

錄考點(diǎn)透視01考點(diǎn)透視考點(diǎn)1.事件的相互獨(dú)立性

事件A與事件B相互獨(dú)立對(duì)任意兩個(gè)事件A與B,如果P(AB)=P(A)P(B)成立,則稱事件A與事件B相互獨(dú)立,簡(jiǎn)稱為獨(dú)立性質(zhì)若事件A與事件B相互獨(dú)立,則

也都相互獨(dú)立P(AB)=P(A)P(B)是事件A與B相互獨(dú)立的充要條件

考點(diǎn)2.條件概率

條件概率的定義設(shè)A,B為兩個(gè)隨機(jī)事件,且P(A)>0,稱P(B|A)=

為在事件A發(fā)生的條件下,事件B發(fā)生的條件概率,簡(jiǎn)稱條件概率

條件概率的性質(zhì)設(shè)P(A)>0,則(1)P(Ω|A)=1;(2)如果B和C是兩個(gè)互斥事件,則P(B∪C|A)=

;

(3)當(dāng)P(A)=0時(shí),我們不定義條件概率

P(B|A)+P(C|A)考點(diǎn)3.全概率公式一般地,設(shè)A1,A2,…,An是一組兩兩互斥的事件,A1∪A2∪…∪An=Ω,且P(Ai)>0,i=1,2,…,n,則對(duì)任意事件B?Ω,有

.我們稱這個(gè)公式為全概率公式.指的是對(duì)目標(biāo)事件B有貢獻(xiàn)的全部原因

常用結(jié)論1.若事件A1,A2,…,An相互獨(dú)立,那么這n個(gè)事件同時(shí)發(fā)生的概率等于每個(gè)事件發(fā)生的概率的積,即P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An).2.當(dāng)P(A)>0時(shí),事件A與B相互獨(dú)立?P(B|A)=P(B).3.貝葉斯公式:設(shè)A1,A2,…,An是一組兩兩互斥的事件,A1∪A2∪…∪An=Ω,且(1)隨機(jī)變量一般地,對(duì)于隨機(jī)試驗(yàn)樣本空間Ω中的每個(gè)樣本點(diǎn)ω,都有唯一的實(shí)數(shù)X(ω)與之對(duì)應(yīng),我們稱X為隨機(jī)變量.通常用大寫(xiě)英文字母表示,例如X,Y,Z;用小寫(xiě)英文字母表示隨機(jī)變量的取值,例如x,y,z.分兩類:離散型隨機(jī)變量和連續(xù)型隨機(jī)變量

(2)離散型隨機(jī)變量:可能取值為有限個(gè)或可以

的隨機(jī)變量.

微點(diǎn)撥離散型隨機(jī)變量X的每一個(gè)可能取值為實(shí)數(shù),其實(shí)質(zhì)代表的是“事件”,即事件是用一個(gè)反映結(jié)果的實(shí)數(shù)表示的.一一列舉

考點(diǎn)4.隨機(jī)變量的有關(guān)概念考點(diǎn)5.離散型隨機(jī)變量的分布列及性質(zhì)(1)一般地,設(shè)離散型隨機(jī)變量X的可能取值為x1,x2,…,xn,我們稱X取每一個(gè)值xi的

為X的概率分布列,簡(jiǎn)稱分布列.(2)離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)①pi

0,i=1,2,…,n;

②

=1.

有表格、圖形和解析式三種形式

概率P(X=xi)=pi,i=1,2,…,n≥p1+p2+…+pn考點(diǎn)6.離散型隨機(jī)變量的均值與方差離散型隨機(jī)變量X的分布列為Xx1x2…xnPp1p2…pn(1)均值稱E(X)=

=

為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望,數(shù)學(xué)期望簡(jiǎn)稱期望.

反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平

x1p1+x2p2+…+xnpn(2)方差稱D(X)=

為隨機(jī)變量X的方差,并稱

為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差,記為σ(X).

用來(lái)度量隨機(jī)變量X取值與其均值E(X)的偏離程度

4.均值與方差的性質(zhì)(1)E(aX+b)=

.(a,b為常數(shù))

(2)D(aX+b)=

.(a,b為常數(shù))

aE(X)+ba2D(X)常用結(jié)論1.E(k)=k,D(k)=0,其中k是常數(shù).2.E(X1+X2)=E(X1)+E(X2).3.D(X)=E(X2)-[E(X)]2.4.若X1,X2相互獨(dú)立,則E(X1X2)=E(X1)E(X2).(1)n重伯努利試驗(yàn)把只包含兩個(gè)可能結(jié)果的試驗(yàn)叫做

.

將一個(gè)伯努利試驗(yàn)獨(dú)立地重復(fù)進(jìn)行n次所組成的隨機(jī)試驗(yàn)稱為n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn).(2)二項(xiàng)分布一般地,在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中,設(shè)每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p(0<p<1),用X表示事件A發(fā)生的次數(shù),則X的分布列為P(X=k)=,k=0,1,2,…,n,如果隨機(jī)變量X的分布列具有上式的形式,則稱隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布,記作

.

獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)

X~B(n,p)考點(diǎn)7.n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布(3)兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布的均值、方差如果隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布,那么E(X)=

,D(X)=

.

如果X~B(n,p),那么E(X)=

,D(X)=

.

微點(diǎn)撥判斷一個(gè)隨機(jī)變量是否服從二項(xiàng)分布的兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn):(1)在一次試驗(yàn)中,事件A發(fā)生與不發(fā)生,二者必居其一,且A發(fā)生的概率不變;(2)試驗(yàn)可以獨(dú)立重復(fù)進(jìn)行n次.pp(1-p)

np

np(1-p)考點(diǎn)8.超幾何分布一般地,假設(shè)一批產(chǎn)品共有N件,其中有M件次品.從N件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取n件(不放回),用X表示抽取的n件產(chǎn)品中的次品數(shù),則X的分布列為其中n,M,N∈N*,M≤N,n≤N,m=max{0,n-N+M},r=min{n,M}.如果隨機(jī)變量X的分布列具有上式的形式,那么稱隨機(jī)變量X服從超幾何分布.考點(diǎn)9.超幾何分布與二項(xiàng)分布的關(guān)系

不同點(diǎn)聯(lián)系假設(shè)一批產(chǎn)品共有N件,其中有M件次品.從N件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取n件,用X表示抽取的n件產(chǎn)品中的次品數(shù),若采用有放回抽樣的方法抽取,則隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布,即X~B(n,p)(其中p=);若采用不放回抽樣的方法抽取,則隨機(jī)變量X服從超幾何分布二項(xiàng)分布和超幾何分布都可以描述隨機(jī)抽取n件產(chǎn)品中次品的分布規(guī)律,并且二者的均值相同.對(duì)于不放回抽樣,當(dāng)n遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于N時(shí),每抽取一次后,對(duì)N的影響很小,此時(shí),超幾何分布可以用二項(xiàng)分布近似考點(diǎn)10.正態(tài)分布(1)正態(tài)曲線函數(shù)f(x)=,x∈R,其中μ∈R,σ>0為參數(shù),我們稱f(x)為正態(tài)密度函數(shù),稱它的圖象為正態(tài)密度曲線,簡(jiǎn)稱正態(tài)曲線.(2)正態(tài)曲線特點(diǎn)①曲線位于x軸上方,與x軸不相交.當(dāng)|x|無(wú)限增大時(shí),曲線無(wú)限接近x軸.②曲線與x軸之間的區(qū)域的面積為1.③曲線是單峰的,它關(guān)于直線x=μ對(duì)稱.⑤當(dāng)σ一定時(shí),曲線的位置由μ確定,曲線隨著μ的變化而沿x軸平移.⑥當(dāng)μ取定值時(shí),正態(tài)曲線的形狀由σ確定,σ較小時(shí),峰值高,正態(tài)曲線“瘦高”,表示隨機(jī)變量X的分布比較集中,如圖1所示;σ較大時(shí),峰值低,正態(tài)曲線“矮胖”,表示隨機(jī)變量X的分布比較分散,如圖2所示.圖1圖2(3)定義及表示若隨機(jī)變量X的概率分布密度函數(shù)為f(x)=,x∈R,則稱隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布,記為

.特別地,當(dāng)μ=0,σ=1時(shí),稱隨機(jī)變量X服從

.

服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量是一種連續(xù)型隨機(jī)變量

X~N(μ,σ2)

標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布

(4)3σ原則假設(shè)X~N(μ,σ2),可以證明:對(duì)給定的k∈N*,P(μ-kσ≤X≤μ+kσ)是一個(gè)只與k有關(guān)的定值.特別地,①P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827.②P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545.③P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973.(5)正態(tài)分布的均值與方差若X~N(μ,σ2),則X的均值與方差分別為E(X)=

,D(X)=

.

μσ2常用結(jié)論

02典例剖析知識(shí)點(diǎn)1條件概率【例1】某校航天科技小組決定從甲、乙等6名同學(xué)中選出4名同學(xué)參加該市舉行的“我愛(ài)火星”知識(shí)競(jìng)賽,已知甲同學(xué)被選出,則乙同學(xué)也被選出的概率為(

)A規(guī)律方法條件概率的三種求法定義法先求P(A)和P(AB),再由P(B|A)=求P(B|A)樣本點(diǎn)法借助古典概型概率公式,先求事件A包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)n(A),再求事件AB包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)n(AB),得P(B|A)=縮樣法縮小樣本空間的方法,就是去掉第一次抽到的情況,只研究剩下的情況,用古典概型求解,它能化繁為簡(jiǎn)知識(shí)點(diǎn)2全概率公式【例2】某批產(chǎn)品來(lái)自A,B兩條生產(chǎn)線,A生產(chǎn)線占60%,次品率為4%;B生產(chǎn)線占40%,次品率為5%,現(xiàn)隨機(jī)抽取一件產(chǎn)品進(jìn)行檢測(cè),若抽到的是次品,則它來(lái)自A生產(chǎn)線的概率是(

)B解析

因?yàn)槌榈降拇纹房赡軄?lái)自A,B兩條生產(chǎn)線,設(shè)M=“抽到的產(chǎn)品來(lái)自A生產(chǎn)線”,N=“抽到的產(chǎn)品來(lái)自B生產(chǎn)線”,C=“抽到的一件產(chǎn)品是次品”,則P(M)=0.6,P(N)=0.4,P(C|M)=0.04,P(C|N)=0.05,由全概率公式,得P(C)=P(M)P(C|M)+P(N)P(C|N)=0.6×0.04+0.4×0.05=0.044,所以它來(lái)自A知識(shí)點(diǎn)3離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)4離散型隨機(jī)變量的分布列及數(shù)字特征【例4】甲、乙兩個(gè)學(xué)校進(jìn)行體育比賽,比賽共設(shè)三個(gè)項(xiàng)目,每個(gè)項(xiàng)目勝方得10分,負(fù)方得0分,沒(méi)有平局.三個(gè)項(xiàng)目比賽結(jié)束后,總得分高的學(xué)校獲得冠軍,已知甲學(xué)校在三個(gè)項(xiàng)目中獲勝的概率分別為0.5,0.4,0.8,各項(xiàng)目的比賽結(jié)果相互獨(dú)立.(1)求甲學(xué)校獲得冠軍的概率;(2)用X表示乙學(xué)校的總得分,求X的分布列與期望.(3)設(shè)用Y表示甲學(xué)校的總得分,比較D(X)和D(Y)的大小.解

(1)甲學(xué)校在三個(gè)項(xiàng)目中獲勝的概率分別為0.5,0.4,0.8,可以得到兩個(gè)學(xué)校每場(chǎng)比賽獲勝的概率如下表:比賽第一場(chǎng)比賽第二場(chǎng)比賽第三場(chǎng)比賽甲學(xué)校獲勝的概率0.50.40.8乙學(xué)校獲勝的概率0.50.60.2甲學(xué)校要想獲得冠軍,需要在3場(chǎng)比賽中至少獲勝2場(chǎng),①甲學(xué)校3場(chǎng)比賽全勝,概率為P1=0.5×0.4×0.8=0.16,②甲學(xué)校3場(chǎng)比賽獲勝2場(chǎng)敗1場(chǎng),概率為P2=0.5×0.4×0.2+0.5×0.6×0.8+0.5×0.4×0.8=0.44,所以甲學(xué)校獲得冠軍的概率為P=P1+P2=0.6.(2)乙學(xué)校的總得分X的可能取值為0,10,20,30,其概率分別為P(X=0)=0.5×0.4×0.8=0.16,P(X=10)=0.5×0.4×0.2+0.5×0.6×0.8+0.5×0.4×0.8=0.44,P(X=20)=0.5×0.6×0.8+0.5×0.4×0.2+0.5×0.6×0.2=0.34,P(X=30)=0.5×0.6×0.2=0.06,則X的分布列為X0102030P0.160.440.340.06X的期望E(X)=0×0.16+10×0.44+20×0.34+30×0.06=13.(3)甲學(xué)校的總得分Y的可能取值為0,10,20,30,其概率分別為P(Y=0)=P(X=30)=0.06,P(Y=10)=P(X=20)=0.34,P(Y=20)=P(X=10)=0.44,P(Y=30)=P(X=0)=0.16,則Y的分布列為Y0102030P0.060.340.440.16Y的期望E(Y)=0×0.06+10×0.34+20×0.44+30×0.16=17;故D(Y)=(0-17)2×0.06+(10-17)2×0.34+(20-17)2×0.44+(30-17)2×0.16=65,由(2)可得D(X)=(0-13)2×0.16+(10-13)2×0.44+(20-13)2×0.34+(30-13)2×0.06=65,故D(X)=D(Y).知識(shí)點(diǎn)5均值與方差中的決策問(wèn)題【例5】(2021·新高考Ⅰ,18)某學(xué)校組織“一帶一路”知識(shí)競(jìng)賽,有A,B兩類問(wèn)題.每位參加比賽的同學(xué)先在兩類問(wèn)題中選擇一類并從中隨機(jī)抽取一個(gè)問(wèn)題回答,若回答錯(cuò)誤則該同學(xué)比賽結(jié)束;若回答正確則從另一類問(wèn)題中再隨機(jī)抽取一個(gè)問(wèn)題回答,無(wú)論回答正確與否,該同學(xué)比賽結(jié)束.A類問(wèn)題中的每個(gè)問(wèn)題回答正確得20分,否則得0分;B類問(wèn)題中的每個(gè)問(wèn)題回答正確得80分,否則得0分.已知小明能正確回答A類問(wèn)題的概率為0.8,能正確回答B(yǎng)類問(wèn)題的概率為0.6,且能正確回答問(wèn)題的概率與回答次序無(wú)關(guān).(1)若小明先回答A類問(wèn)題,記X為小明的累計(jì)得分,求X的分布列;(2)為使累計(jì)得分的期望最大,小明應(yīng)選擇先回答哪類問(wèn)題?并說(shuō)明理由.所以X的分布列為

(2)若小明先回答A類問(wèn)題,期望為E(X).若小明先回答B(yǎng)類問(wèn)題,Y為小明的累計(jì)得分,Y=0,80,100,因?yàn)镋(X)<E(Y),所以小明應(yīng)選擇先回答B(yǎng)類問(wèn)題.知識(shí)點(diǎn)6二項(xiàng)分布及其應(yīng)用【例6】已知某學(xué)校的校排球隊(duì)來(lái)自高一、高二、高三三個(gè)年級(jí)的學(xué)生人數(shù)分別為7人、6人、2人.(1)若從該校排球隊(duì)隨機(jī)抽取3人拍宣傳海報(bào),求抽取的3人中恰有1人來(lái)自高三年級(jí)的概率;(2)現(xiàn)該校的排球教練對(duì)“發(fā)球、墊球、扣球”這3個(gè)動(dòng)作技術(shù)進(jìn)行訓(xùn)練,且在訓(xùn)練階段進(jìn)行了多輪測(cè)試,規(guī)定:在一輪測(cè)試中,這3個(gè)動(dòng)作至少有2個(gè)動(dòng)作達(dá)到“優(yōu)秀”,則該輪測(cè)試記為“優(yōu)秀”.已知在某一輪測(cè)試的3個(gè)動(dòng)作中,甲解

(1)設(shè)A表示事件“抽取的3人中恰有1人來(lái)自高三年級(jí)”,則有

知識(shí)點(diǎn)7超幾何分布及其應(yīng)用【例7】某機(jī)構(gòu)針對(duì)延遲退休這一想法進(jìn)行了網(wǎng)上調(diào)查,所有參與調(diào)查的人中,持“支持”“保留”和“不支持”態(tài)度的人數(shù)如下表所示.年齡支持保留不支持50歲以下80004000200050歲及以上100020003000(1)在所有參與調(diào)查的人中,用分層抽樣的方法抽取n個(gè)人,已知從持“不支持”態(tài)度的人中抽取了30人,求n的值;(2)在持“不支持”態(tài)度的人中,用分層抽樣的方法抽取10人,并將這10人看成一個(gè)總體,從這10人中任意選取3人,求50歲以下人數(shù)ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望.解

(1)參與調(diào)查的總?cè)藬?shù)為8

000+4

000+2

000+1

000+2

000+3

000=20

000,其中從持“不支持”態(tài)度的人數(shù)2

000+3

000=5

000中抽取了30人,所以n=20

000=120.(2)在持“不支持”態(tài)度的人中,50歲以下和50歲及以上的人數(shù)之比為2∶3,因此抽取的10人中,50歲以下與50歲及以上的人數(shù)分別為4人,6人,故ξ的ξ的分布列為

知識(shí)點(diǎn)

8正態(tài)分布及其應(yīng)用考向1正態(tài)分布的概率計(jì)算【例8】已知X服從正態(tài)分布N(2,σ2),且P(1≤X≤2)=0.4,則P(X>3)=

.

0.1解析

由題知μ=2,故P(X≥2)=0.5,又P(2≤X≤3)=P(1≤X≤2)=0.4,故P(X>3)=P(X≥2)-P(2≤X≤3)=0.5-0.4=0.1.【例9】某校高三年級(jí)近期進(jìn)行一次數(shù)學(xué)考試,參加考試的學(xué)生人數(shù)有1000人,考試成績(jī)X~N(80,25),則該年級(jí)學(xué)生中數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?0分以上的人數(shù)約為

.(運(yùn)算結(jié)果四舍五入到整數(shù))

(參考數(shù)據(jù):P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827,P(μ+2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545)23解析

由成績(jī)X~N(80,25)知,μ=80,σ=5,μ-σ=75,μ+σ=85,μ-2σ=70,μ+2σ=90,所以P(75≤X≤85)≈0.682

7,P(70≤X≤90)≈0.954

5,所以P(X>90)(1-0.954

5)=0.022

75,則該年級(jí)學(xué)生中數(shù)學(xué)考試成績(jī)?cè)?0分以上的人數(shù)為1

000×0.022

75≈23.考向2正態(tài)分布的實(shí)際應(yīng)用【例10】某商場(chǎng)在五一假期期間開(kāi)展了一項(xiàng)有獎(jiǎng)闖關(guān)活動(dòng),并對(duì)每一關(guān)根據(jù)難度進(jìn)行賦分,闖關(guān)活動(dòng)共五關(guān),規(guī)定:上一關(guān)不通過(guò)則不進(jìn)入下一關(guān),本關(guān)第一次未通過(guò)有再挑戰(zhàn)一次的機(jī)會(huì),兩次均未通過(guò),則闖關(guān)失敗,且各關(guān)能否通過(guò)相互獨(dú)立,已知甲、乙、丙三人都參加了該項(xiàng)闖關(guān)活動(dòng).(2)已知該闖關(guān)活動(dòng)累計(jì)得分服從正態(tài)分布,且滿分為450分,現(xiàn)要根據(jù)得分給2500名參加者中得分前400名發(fā)放獎(jiǎng)勵(lì).①假設(shè)該闖關(guān)活動(dòng)平均分?jǐn)?shù)為171分,351分以上共有57人,已知甲的得分為270分,問(wèn)甲能否獲得獎(jiǎng)勵(lì),請(qǐng)說(shuō)明理由;②丙得知他的分?jǐn)?shù)為430分,而乙告訴丙:“這次闖關(guān)活動(dòng)平均分?jǐn)?shù)為201分,351分以上共有57人”,請(qǐng)結(jié)合統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)幫助丙辨別乙所說(shuō)信息的真?zhèn)?附:若隨機(jī)變量Z~N(μ,σ2),則P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827;P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545;P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973.解

(1)設(shè)Ai表示事件“第i次通過(guò)第一關(guān)”,Bi表示事件“第i次通過(guò)第二關(guān)”,甲可以進(jìn)入第三關(guān)的概率為P,由題意知(2)設(shè)此次闖關(guān)活動(dòng)的分?jǐn)?shù)記為X~N(μ,σ2).03考場(chǎng)練兵1.假設(shè)有兩箱零件,第一箱內(nèi)裝有5件,其中有2件次品;第二箱內(nèi)裝有10件,其中有3件次品.現(xiàn)從兩箱中隨機(jī)挑選1箱,然后從該箱中隨機(jī)取1個(gè)零件,若取到的是次品,則這件次品是從第一箱中取出的概率為(

)D

解析

設(shè)A表示事件“從第一箱中取一個(gè)零件”,B表示事件“取出的零件是次

2.已知顏色分別是紅、綠、黃的三個(gè)大小相同的口袋,紅色口袋內(nèi)裝有兩個(gè)紅球、一個(gè)綠球和一個(gè)黃球;綠色口袋內(nèi)裝有兩個(gè)紅球、一個(gè)黃球;黃色口袋內(nèi)裝有三個(gè)紅球、兩個(gè)綠球(球的大小、質(zhì)地完全相同).若第一次先從紅色口袋內(nèi)隨機(jī)抽取一個(gè)球,然后將取出的球放入與球同顏色的口袋內(nèi),第二次從該口袋內(nèi)任取一個(gè)球,則第二次取到黃球的概率為(

)D3.為了解高中學(xué)生的體質(zhì)健康水平,某市教育局分別從身體形態(tài)、身體機(jī)能、身體素質(zhì)等方面對(duì)該市高中學(xué)生的體質(zhì)健康水平進(jìn)行綜合測(cè)評(píng),并根據(jù)2018年版的《國(guó)家學(xué)生體質(zhì)健康標(biāo)準(zhǔn)》評(píng)定等級(jí),經(jīng)過(guò)統(tǒng)計(jì),甲校有30%的學(xué)生的等級(jí)為良好,乙校有60%的學(xué)生的等級(jí)為良好,丙校有50%的學(xué)生的等級(jí)為良好,且甲、乙、丙這三所學(xué)校參加測(cè)評(píng)的學(xué)生人數(shù)之比為5∶8∶7.從甲、乙、丙這三所學(xué)校參加測(cè)評(píng)的學(xué)生中隨機(jī)抽取1名學(xué)生,則該學(xué)生的等級(jí)為良好的概率為(

)A.0.40 C解析

從甲、乙、丙這三所學(xué)校參加測(cè)評(píng)的學(xué)生中隨機(jī)抽取1名學(xué)生,記“該學(xué)生來(lái)自甲?！睘槭录嗀1,“該學(xué)生來(lái)自乙?！睘槭录嗀2,“該學(xué)生來(lái)自丙?！睘橛洝霸搶W(xué)生的等級(jí)為良好”為事件B,則P(B|A1)=0.3,P(B|A2)=0.6,P(B|A3)=0.5,所以P(B)=P(A1)·P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)·P(B|A3)=0.25×0.3+0.4×0.6+0.35×0.5=0.49.4.某中學(xué)高一(2)班物理課外興趣小組在最近一次課外探究學(xué)習(xí)活動(dòng)中,測(cè)量某種物體的質(zhì)量X服從正態(tài)分布N(10,0.04),則下列判斷錯(cuò)誤的是(

)A.P(X>10)=0.5B.P(X>10.2)=P(X<9.8)C.P(X>9.6)<P(X<10.2)D.P(9.4<X<10.2)=P(9.8<X<10.6)ABD

解析

因?yàn)閄服從正態(tài)分布N(10,0.04),所以μ=10,σ=0.2,所以P(X>10)=P(X<10)=0.5,P(X>10.2)=P(X<9.8),P(9.4<X<10.2)=P(9.8<X<10.6),故A,B,D正確;根據(jù)正態(tài)分布密度曲線的對(duì)稱性可得P(X>9.6)=P(X<10.4)>P(X<10.2),C錯(cuò)誤.故選ABD.5.甲、乙兩名同學(xué)與同一臺(tái)智能機(jī)器人進(jìn)行象棋比賽,計(jì)分規(guī)則如下:在一輪比賽中,如果甲贏而乙輸,則甲得1分;如果甲輸而乙贏,則甲得-1分;如果甲和乙同時(shí)贏或同時(shí)輸,則甲得0分.設(shè)甲贏機(jī)器人的概率為0.7,乙贏機(jī)器人的概率為0.6.求:(1)在一輪比賽中,甲的得分ξ的分布列;(2)在兩輪比賽中,甲的得分η的期望和方差.解

(1)由題意可知,ξ的可能取值為-1,0,1,P(ξ=-1)=0.3×0.6=0.18,P(ξ=0)=0.7×0.6+0.3×0.4=0.54,P(ξ=1)=0.7×0.4=0.28,所以ξ的分布列為ξ-101P0.180.540.28(2)由題意可知,η的可能取值為-2,-1,0,1,2,P(η=-2)=0.18×0.18=0.032

4,P(η=-1)=2×0.18×0.54=0.194

4,P(η=0)=2×0.18×0.28+0.54×0.54=0.392

4,P(η=1)=2×0.54×0.28=0.302

4,P(η=2)=0.28×0.28=0.078

4.所以η的分布列為η-2-1012P0.032

40.194

40.392

40.302

40.078

4所以E(η)=(-2)×0.032

4+(-1)×0.194

4+0×0.392

4+1×0.302

4+2×0.078

4=0.2,D(η)=(-2-0.2)2×0.032

4+(-1-0.2)2×0.194

4+(0-0.2)2×0.392

4+(1-0.2)2×0.302

4+(2-0.2)2×0.078

4=0.9.6.某地有一家知名蛋糕房根據(jù)以往某種蛋糕在100天里的銷售記錄,繪制了以下頻數(shù)分布表:日銷售量(單位:個(gè))[0,50)[50,100)[100,150)[150,200)[200,250)頻數(shù)1525302010將日銷售量落入各組的頻率視為概率,并假設(shè)每天的銷售量相互獨(dú)立.(1)求在未來(lái)連續(xù)3天里,有連續(xù)2天的日銷售量都不低于100個(gè)且另一天的日銷售量低于50個(gè)的概率;(2)用ξ表示在未來(lái)3天里日銷售量不低于150個(gè)的天數(shù),求隨機(jī)變量ξ的分布列、均值E(ξ)和方差D(ξ).續(xù)2天的日銷售量都不低于100個(gè)且另一天的日銷售量低于50個(gè)”,則P(A)=0.62×0.15+0.15×0.62=0.108.ξ的分布列為

ξ0123P0.3430.4410.1890.027E(ξ)=3×0.3=0.9,D(ξ)=3×0.3×(1-0.3)=0.63.7.某校為了調(diào)查網(wǎng)課期間學(xué)生在家鍛煉身體的情況,隨機(jī)抽查了150名學(xué)生,并統(tǒng)計(jì)出他們?cè)诩业腻憻挄r(shí)長(zhǎng),得到頻率分布直方圖如圖所示.(1)求a的值,并估計(jì)鍛煉時(shí)長(zhǎng)的平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替);(2)從鍛煉時(shí)長(zhǎng)分布在[20,30),[30,40),[40,50),[50,60]的學(xué)生中按分層抽樣的方法抽出7名學(xué)生,再?gòu)倪@7名學(xué)生中隨機(jī)抽出3人,記3人中鍛煉時(shí)長(zhǎng)不少于40分鐘的學(xué)生人數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.解

(1)由題意可得(0.006+0.010+2a+0.024+0.036)×10=1,解得a=0.012,樣本數(shù)據(jù)在[0,10),[10,20),[20,30),[30,40),[40,50),[50,60]內(nèi)的頻率分別為0.06,0.10,0.12,0.36,0.24,0.12,則平均值為0.06×5+0.10×15+0.12×25+0.36×35+0.24×45+0.12×55=34.8,故估計(jì)鍛煉時(shí)長(zhǎng)的平均數(shù)為34.8.所以X的分布列為

8.為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過(guò)程,檢驗(yàn)員每天從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取16個(gè)零件,并測(cè)量其尺寸(單位:cm).根據(jù)長(zhǎng)期生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn),可以認(rèn)為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布N(μ,σ2).(1)假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常,記X表示一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件中其尺寸在[μ-3σ,μ+3σ]之外的零件數(shù),求P(X≥1)及X的數(shù)學(xué)期望;(2)一天內(nèi)抽檢零件中,如果出現(xiàn)了尺寸在[μ-3σ,μ+3σ]之外的零件,就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過(guò)程中可能出現(xiàn)了異常情況,需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查.①試說(shuō)明上述監(jiān)控生產(chǎn)過(guò)程方法的合理性;②下面是檢