2023-2024學年高二數(shù)學2019選擇性試題6.1.3共面向量定理

6.1.3共面向量定理一、單選題1．下面關(guān)于空間向量的說法正確的是（

）.A．若向量，平行，則，所在直線平行B．若向量，所在直線是異面直線，則，不共面C．若，，，四點不共面，則向量，不共面D．若，，，四點不共面，則向量，，不共面【答案】D【分析】根據(jù)空間向量共面的定義判斷B，C，D，由向量平行與直線平行的區(qū)別判斷A.【解析】我們可以通過平移將空間中任意兩個向量平移到一個平面內(nèi)，因此空間任意兩個向量都是共面的，故B，C都不正確.由向量平行與直線平行的區(qū)別，可知A不正確.因為，，是空間中共端點但不共面的三條線段，所以向量，，不共面.故選：D【點睛】本題主要考查了判斷空間向量是否共面，屬于基礎(chǔ)題.2．若構(gòu)成空間的一個基底，則（

）A．不共面 B．不共面C．不共面 D．不共面【答案】A【分析】根據(jù)空間向量共面定理依次判斷各選項即可得答案.【解析】解：由題知不共面，對于A，因為不存在實數(shù)使得成立，故不共面，A正確；對于B，因為，故共面，B錯誤；對于C，因為，故共面，C錯誤；對于D，因為，故共面，D錯誤.故選：A3．已知，，，為空間不共面的四點，且向量，向量，則與，必共面的向量為（

）A． B． C． D．或【答案】B【分析】判斷是否存在唯一的有序?qū)崝?shù)對，使選項中的向量等于即可.【解析】由已知，與不共線，對于A，若與，共面，則存在唯一的有序?qū)崝?shù)對，使，即，該方程組無解，故選項A錯誤；對于B，若與，共面，則存在唯一的有序?qū)崝?shù)對，使，即，解得，即，與，共面，故選項B正確；對于C，若與，共面，則存在唯一的有序?qū)崝?shù)對，使，即，該方程組無解，故選項C錯誤；對于D，由選項A及選項C的判斷知，選項D錯誤.故選：B.4．在下列條件中，使與，，一定共面的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)空間共面向量定理以及其結(jié)論一一判斷各選項，即可得答案.【解析】對于A選項，,由于，所以不能得出共面.對于B選項，由于，則為共面向量，所以共面.對于C選項,，由于，所以不能得出共面.對于D選項，由得，而，所以不能得出共面,故選：B5．已知點為所在平面內(nèi)一點，為平面外一點，若則的值為（

）A．1 B． C．2 D．【答案】B【分析】根據(jù)空間向量的四點共面定理即可求解.【解析】因為，且四點共面，所以，所以，故選:B.6．對于空間中的三個向量，，，它們一定是（

）A．共面向量 B．共線向量 C．不共面向量 D．無法判斷【答案】A【分析】根據(jù)平面向量基本定理分析判斷.【解析】若共線，則，，共線，，，共面；若不共線，則可作為基底向量，可以用基底向量線性表示，根據(jù)平面向量基本定理可知：，，共面；綜上所述：，，共面.故選：A.7．空間四點共面，但任意三點不共線，若為該平面外一點且，則實數(shù)的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先設(shè)，然后把向量，，分別用向量，，，表示，再把向量用向量，，表示出，對照已知的系數(shù)相等即可求解．【解析】解：因為空間，，，四點共面，但任意三點不共線，則可設(shè)，又點在平面外，則，即，則，又，所以，解得，，故選：C．8．下列條件中一定使點P與A，B，C共面的有（

）個①②③④A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】根據(jù)向量共面的充要條件判斷即可.【解析】①因為，所以，，為共面向量，所以點與，，共面，故①正確；②，所以，，為共面向量，所以點與，，共面，故②正確；對于③④顯然不滿足，故③④錯；故選：C.9．對于空間一點和不共線三點，且有，則（

）A．O，A，B，C四點共面 B．P，A，B，C四點共面C．O，P，B，C四點共面 D．O，P，A，B，C五點共面【答案】B【分析】若四點共面，則四點所構(gòu)成的三個共起點的向量中，其中一個向量能用另外兩個向量表示.即把轉(zhuǎn)化成3個共起點的向量即可.【解析】

四點共面故選:B.10．已知為空間任一點，，，，四點滿足任意三點不共線，但四點共面，且，則的值為（

）A．1 B． C．2 D．【答案】B【分析】根據(jù)空間向量共面定理的推論求解．【解析】解：，，又，，，四點滿足任意三點不共線，但四點共面，，，故選：B．11．已知點不共線，是空間任意一點，點在平面內(nèi)，且，則（

）A．有最小值 B．有最大值 C．有最小值1 D．有最大值1【答案】A【分析】因為四點共面，則，即，從而得出答案．【解析】因為四點共面，則，即，所以當時，有最小值．故選：A．12．在一個正方體中，為正方形四邊上的動點，為底面正方形的中心，分別為中點，點為平面內(nèi)一點，線段與互相平分，則滿足的實數(shù)的值有A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】C【解析】因為線段D1Q與OP互相平分，所以四點O，Q，P，D1共面，且四邊形OQPD1為平行四邊形．若P在線段C1D1上時，Q一定在線段ON上運動，只有當P為C1D1的中點時，Q與點M重合，此時λ＝1，符合題意．若P在線段C1B1與線段B1A1上時，在平面ABCD找不到符合條件Q；在P在線段D1A1上時，點Q在直線OM上運動，只有當P為線段D1A1的中點時，點Q與點M重合，此時λ＝0符合題意，所以符合條件的λ值有兩個故選C.二、多選題13．已知是空間的一個基底，則下列向量不共面的有（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】AD【分析】根據(jù)空間向量共面定理依次判斷選項即可?！窘馕觥繉τ贏，，故不共面；對于B，，故共面；對于C，，故共面；對于D，，故D不共面.故選：AD14．給出下列四個命題，其中是真命題的有（

）A．若存在實數(shù)，，使，則與，共面；B．若與，共面，則存在實數(shù)，，使；C．若存在實數(shù)，，使則點，，A，共面；D．若點，，A，共面，則存在實數(shù)，，使．【答案】AC【分析】由向量共面定理可判斷AC；取，為零向量可判斷B；取，A，三點共線，點P與，A，不共線可判斷D.【解析】由向量共面定理可知A正確；當，為零向量可知B錯誤；由向量共面定理可知共面，又因為共始點，所以點，，A，共面，故C正確；當，A，三點共線，點P與，A，不共線時可知D錯誤.故選：AC15．已知下列四種條件，空間中四點A，B，C，D不一定共面的是（

）A． B．=32C． D．【答案】ABD【分析】根據(jù)空間中四點A，B，C，D共面的充要條件，逐一判斷可得選項.【解析】解：根據(jù)空間中A，B，C，D四點共面的充要條件是滿足，且，對于A：因為，又，所以空間中四點A，B，C，D不一定共面；對于B：因為=32，又，所以空間中四點A，B，C，D不一定共面；對于C：因為，所以，所以向量共面，即四點A，B，C，D共面，對于D：因為，所以，又，所以空間中四點A，B，C，D不一定共面.故選：ABD.16．已知點為三棱錐的底面所在平面內(nèi)的一點，且，則下列說法正確的是（

）A． B． C．的最大值為 D．的最大值為【答案】AD【分析】根據(jù)空間四點共面可得，即，判斷A,B;利用均值不等式可求得的最大值，判斷C,D.【解析】由題意知，即共面，則為基底表示時，系數(shù)和為1，由，可知，，即，A正確；由，，可知僅當時，有，比如當時，即不成立，故B錯誤；又由基本不等式可得，，當且僅當，時等號成立，故C錯誤，D正確．故選：AD．三、填空題17．已知，，是空間三個不共面的向量，下列各組向量：①，，；②，，；③，，.其中不共面的是____（填序號）.【答案】①③##③①【分析】利用空間共面向量定理判斷即可【解析】解：對于①，因為是空間三個不共面的向量，且，所以不共面，所以①符合題意；對于②，因為，所以是共面向量，所以②不符合題意；、對于③，若是共面向量，則存在實數(shù)，使，即，因為是空間三個不共面的向量，所以，矛盾，所以不共面，所以③符合題，故答案為：①③18．下列命題中錯誤的是______．（填序號）①若A、B、C、D是空間任意四點，則有；②是、共線的充要條件；③若、共線，則；④對空間任意一點O與不共線的三點A、B、C，若（其中x、y、）則P、A、B、C四點共面．【答案】②③④【分析】直接由向量的運算、向量的共線及向量的共面依次判斷4個命題即可.【解析】對于①，，正確；對于②，或是、共線的充要條件，錯誤；對于③，若、共線，則或重合，錯誤；對于④，若（其中x、y、），當且僅當時，P、A、B、C四點共面，錯誤.故答案為：②③④.19．已知A，B，C三點不共線，O是平面ABC外任意一點，若由確定的一點P與A，B，C三點共面，則_________．【答案】【分析】推導(dǎo)出空間四點共面定理的推論，再根據(jù)推論進行求解.【解析】因為P，A，B，C四點共面，所以存在不全為0的使得，O是平面ABC外任意一點，則，即，若A，B，C三點共線，則，即，整理得：，所以，此時若，則，因為A，B，C三點不共線，，所以，所以，令，則，所以，所以．故答案為：20．如圖，已知四棱柱的底面為平行四邊形，E為棱的中點，，與平面交于點M，則＝________.【答案】【分析】設(shè)，根據(jù)向量線性運算的幾何表示可得，然后向量共面的推論即得.【解析】由題可設(shè)，因為，所以，因為M，E，F(xiàn)，G四點共面，所以，解得.故答案為：.四、解答題21．已知為兩個不共線的非零向量，且，，，求證：四點共面．【答案】證明見解析【分析】用共面向量定理證明共面，即可得四點共面．【解析】設(shè)，則，，又為兩個不共線的非零向量，，，，四點共面，故原命題得證．22．如圖所示，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別在B1B和D1D上，且BE＝BB1，DF＝DD1.求證：A，E，C1，F(xiàn)四點共面.【答案】證明見解析.【分析】根據(jù)空間向量定義及運算法則，用，表示出，從而證得四點共面.【解析】證明:因為＝＝＋＝，所以，，共面，所以A，E，C1，F(xiàn)四點共面.23．已知三點不共線，對于平面外的任意一點，判斷在下列各條件下的點與點是否共面．(1)；(2)．【答案】(1)共面(2)不共面【分析】（1）根據(jù)空間向量的共面定理及推論，即可求解；（2）根據(jù)空間向量的共面定理及推論，即可求解；(1)解：因為三點不共線，可得三點共面，對于平面外的任意一點，若，即，又因為，根據(jù)空間向量的共面定理，可得點與共面.(2)解：因為三點不共線，可得三點共面，對于平面外的任意一點，若，此時，根據(jù)空間向量的共面定理，可得點與不共面．24．如圖所示，四面體中，G，H分別是的重心，設(shè)，點D，M，N分別為BC，AB，OB的中點．(1)試用向量表示向量；(2)試用空間向量的方法證明MNGH四點共面．【答案】(1)，(2)證明見解析【分析】（1）結(jié)合空間向量的線性運算即可求出結(jié)果；（2）證得，即可得出結(jié)論.（1）因為，而，又D為的中點，所以，所以．（2）因為，，所以，，所以．所以四點共面．25．已知為空間9個點(如圖)，并且，，．，求證：(1)四點共面；(2)；(3)．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)證明見解析【分析】（1）根據(jù)向量的共面定理，即可求解；（2）根據(jù)空間向量的運算法則，準確運算，即可求解；（3）根據(jù)空間向量的運算法則，準確運算，即可求解.（1）解：因為，由共面向量的基本定理，可得是共面向量又因為有公共點，所以四點共面.（2）解：因為，則，所以.（3）解：由（1）及，可得，所以