四川省仁壽縣鏵強(qiáng)中學(xué)2025屆高三數(shù)學(xué)12月月考試題理

PAGEPAGE11四川省仁壽縣鏵強(qiáng)中學(xué)2025屆高三數(shù)學(xué)12月月考試題理選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是符合題目要求。1．已知集合，集合，則＝（）A． B． C． D．2.若，則（）A． B．0 C．1 D．23．記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，則（）A．15 B．16 C．19 D．204．己知?jiǎng)ta，b，c的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．5．已知非零向量滿意，且，則與的夾角為（）A． B． C． D．6．函數(shù)的圖象大致為（）A．B．C． D．7.某多面體的三視圖如圖所示，其中正視圖是一個(gè)直角邊為2的等腰直角三角形，側(cè)視圖是兩直角邊分別為2和1的直角三角形，俯視圖為一矩形，則該多面體的外接球的表面積為（）A.7πB.8πC.9π D.10π8．在《九章算術(shù)》中，將底面為矩形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽(yáng)馬．如圖，若四棱錐P﹣ABCD為陽(yáng)馬，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝AD，E為棱PA的中點(diǎn)，則異面直線AB與CE所成角的正弦值為（）A．B．C．D．9．已知函數(shù)（且）的圖象恒過(guò)定點(diǎn)A，若點(diǎn)A在直線上，其中，則的最小值為（）A． B． C．2 D．410.設(shè)焦點(diǎn)、分別是橢圓左右焦點(diǎn)，若橢圓上存在異于頂點(diǎn)的一點(diǎn)P使得是頂角為的等腰三角形，則該橢圓的離心率為（）A． B． C． D．11.已知函數(shù)，其中，其圖象關(guān)于直線對(duì)稱，對(duì)滿意的，有，將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)的圖象，則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（）A．（k∈Z） B．（k∈Z） C．（k∈Z） D．（k∈Z）12.若函數(shù)，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A．3 B．4 C．5 D．6二、填空題（每小題5分，共4小題，共20分）13.將一顆質(zhì)地勻稱的正方體骰子先后拋擲2次，視察向上的點(diǎn)數(shù)，則點(diǎn)數(shù)和為5的概率是_____.14.若實(shí)數(shù)滿意約束條件，則的最小值是____.15.已知F為拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F的直線l與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，與拋物線C的準(zhǔn)線交于點(diǎn)D，若F是AD的中點(diǎn)，則|FB|＝________．16.已知定義在上的函數(shù)，當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_________．三、解答題（本大題共6個(gè)題，共70分）17.（本小題滿分12分）已知是數(shù)列的前項(xiàng)和，且（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.18.（本小題滿分12分）設(shè)（1）求的單調(diào)增區(qū)間；（2）在銳角△ABC中角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，求△ABC面積的最大值．19.（本小題滿分12分）如圖甲，在中，，，，，分別在，上，且滿意，將沿折到位置，得到四棱錐，如圖乙．（1）已知，為，上的動(dòng)點(diǎn)，求證：；（2）在翻折過(guò)程中，當(dāng)二面角為60°時(shí)，求直線與平面所成角的正弦值．20.（本小題滿分12分）基于移動(dòng)互聯(lián)技術(shù)的共享單車被稱為“新四大獨(dú)創(chuàng)”之一，短時(shí)間內(nèi)就風(fēng)靡全國(guó)，帶給人們新的出行體驗(yàn)，某共享單車運(yùn)營(yíng)公司的市場(chǎng)探討人員為了解公司的經(jīng)營(yíng)狀況，對(duì)該公司最近六個(gè)月內(nèi)的市場(chǎng)占有率進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，設(shè)月份代碼為，市場(chǎng)占有率為（%），得結(jié)果如表年月2024.102024.112024.122024.12024.22024.3x123456y111316152021（1）視察數(shù)據(jù)看出，可用線性回來(lái)模型擬合與的關(guān)系，請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)加以說(shuō)明（精確到0.001）；（2）求關(guān)于的線性回來(lái)方程，并預(yù)料該公司2024年4月份的市場(chǎng)占有率；（3）依據(jù)調(diào)研數(shù)據(jù)，公司確定再選購(gòu) 一批單車擴(kuò)大市場(chǎng)，現(xiàn)有選購(gòu) 成本分別為1000元/輛和800元/輛的甲，乙兩款車型報(bào)年限各不相同．考慮到公司的經(jīng)濟(jì)效益，該公司確定先對(duì)兩款單車各100輛行科學(xué)模擬測(cè)試，得到兩款單車運(yùn)用壽命表如下車型報(bào)廢年限1年2年3年4年總計(jì)甲款10304020100乙測(cè)算，平均每輛單車每年可以為公司帶來(lái)收入500元，不考慮除選購(gòu) 成本之外的其他成本，假設(shè)每輛單車的運(yùn)用壽命都是整數(shù)年，且用頻率估計(jì)每單車運(yùn)用壽命的概率，以每輛單車產(chǎn)生利潤(rùn)的期望值為決策依據(jù)．假如你是該公司的負(fù)責(zé)人，你會(huì)選擇選購(gòu) 哪款車型？參考數(shù)據(jù)： 參考公式：相關(guān)系數(shù),回來(lái)方程中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為,.21.（本小題滿分12分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，探討函數(shù)的單調(diào)性；（2）若不等式在時(shí)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）證明：.（二）選考題：22．【選修4-4坐標(biāo)系與參數(shù)方程】（本小題滿分10分）

在直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為．（1）為曲線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且滿意，求點(diǎn)的軌跡的直角坐標(biāo)方程；（2）曲線上兩點(diǎn)與點(diǎn)，求面積的最大值．23．【選修4-5不等式選講】（本小題滿分10分）

已知函數(shù)．（1）求不等式的解集；（2）若函數(shù)的最大值為，且，求的最小值．理科數(shù)學(xué)(參考答案)題號(hào)123456789101112答案CDBDAACBCAAB13.14.15.16.1.Ｃ：解：A＝{x|﹣2＜x＜3}，?RA＝{x|x≤﹣2或x≥3}，（?RA）∩B＝{x|x≥3}＝[3，+∞）．２.D解：因?yàn)椋?，所以，所?.B設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由S5＝5，a6＝10，可得：5a1＋eq\f(5×4,2)d＝5，a1+5d＝10，解出即可得出。設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，∵S5＝5，a6＝10，∴5a1＋eq\f(5×4,2)d＝5，a1+5d＝10，解得：a1＝－5，d＝3，則a8＝－5+7×3＝16．４.D解：∵，∴1＜b＜a，又，∴c＜b＜a．故選：D．５..A解：因?yàn)椋?0，所以，所以=，所以與的夾角為，故選A．６.A解：函數(shù)的定義域?yàn)?，因?yàn)?，所以為偶函?shù)，所以解除C,D,又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以解除B，故選：A.７.C由三視圖可得，該幾何體為一個(gè)三棱錐，如圖三棱錐P－ABC，放在長(zhǎng)、寬、高分別為2，1，2的長(zhǎng)方體中，易知外接球的直徑2R＝eq\r(22＋12＋22)＝3，故S球＝4πR2＝9π.８.Ｂ解：因?yàn)锳B∥CD，即∠ECD為所求，連接ED，則三角形CDE為直角三角形，不妨設(shè)AB＝2a，則DE＝a，EC＝3a，則sin∠ECD＝＝，故選：B．９.C解：令，，，∴，點(diǎn)在直線上，則，即，∵，，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立．故選：C．１０.A【分析】設(shè)，因?yàn)槭琼斀菫榈牡妊切?，從而求出，再利用橢圓的定義即可求解.【詳解】不妨設(shè)，且，則，由橢圓的定義可得，所以.故選：A１１.A解：已知函數(shù)f（x）＝sin（ωx+θ），其中ω＞0，θ∈（0，），其圖象關(guān)于直線x＝對(duì)稱，對(duì)滿意|f（x1）﹣f（x2）|＝2的x1，x2，有|x1﹣x2|min＝＝?，∴ω＝2．再依據(jù)其圖象關(guān)于直線x＝對(duì)稱，可得2×+φ＝kπ+，k∈Z．∴φ＝，∴f（x）＝sin（2x+）．將函數(shù)f（x）的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)g（x）＝sin（2x++）＝cos2x的圖象．令2kπ≤2x≤2kπ+π，求得kπ≤x≤kπ+，則函數(shù)g（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是[kπ，kπ+]，k∈Z，B解：函數(shù)，的零點(diǎn)即的根，設(shè)，則，先解方程的根t，再計(jì)算的解.時(shí)得；時(shí)得.如圖所示，函數(shù)的圖像，方程和方程各有兩個(gè)解，即方程共有4個(gè)解，故的零點(diǎn)有4個(gè).故選：B.二．填空題13.依據(jù)題意可得基本領(lǐng)件數(shù)總為個(gè).點(diǎn)數(shù)和為5的基本領(lǐng)件有，，，共4個(gè).∴出現(xiàn)向上的點(diǎn)數(shù)和為5的概率為.14.－ln3解:由實(shí)數(shù)x，y滿意約束條件作出可行域如圖所示，聯(lián)立，解得B（3,1），由目標(biāo)函數(shù)z＝lny﹣lnx＝ln，而的最小值為＝，∴z＝lny﹣lnx的最小值是﹣ln3．故答案為﹣ln3．15.【分析】做出圖像，依據(jù)焦準(zhǔn)距為4，F(xiàn)是AD的中點(diǎn)，可求得AM的長(zhǎng)度，利用拋物線定義，可得AF的長(zhǎng)度，即可求出，在中，利用定義可得FB＝BN，即可求得答案.【詳解】如圖所示：過(guò)點(diǎn)A，B，F(xiàn)分別向準(zhǔn)線引垂線，交準(zhǔn)線于點(diǎn)M，N，E，由題意得FE＝2，且F是AD的中點(diǎn)，則EF為的中位線，所以AM＝4，則AF=DF＝4，所以，即,又由拋物線定義可得：FB＝BN，且BD＝2BN，所以3BF=DF=4，即，故答案為：16.解:由，可得，即.因?yàn)?，所以?wèn)題可轉(zhuǎn)化為恒成立，記，所以在上單調(diào)遞增.又，所以當(dāng)時(shí)，恒成立，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.三、解答題（本大題共6個(gè)題，共70分）17．解：（1）因?yàn)椋?相減得，2分所以，所以.又，解得，所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，即的通項(xiàng)公式為.6分（2）由（1）可得.8分所以.12分18.解：（1）f（x）＝cos2x﹣2cos2（x+）+1＝cos2x﹣cos2（x+）＝cos2x﹣cos（2x+）＝cos2x﹣cos2x+sin2x＝cos2x+sin2x＝sin（2x+）， 3分 3分則由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ﹣，kπ+]，k∈Z． 3分 6分（2）若f（）＝1，則sin（2×+）＝sin（A+）＝1，∵A是銳角，∴A+＝，得A＝． 2分 8分∵a＝1，∴由余弦定理得a2＝b2+c2﹣2bccosA，即1＝b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc＝bc，∴bc≤1，當(dāng)且僅當(dāng)b＝c時(shí)取等號(hào)， 2分 10分則三角形的面積S＝bcsinA≤＝，即三角形面積的最大值為． 2分 12分19.【詳解】（1）證明：在圖甲中，∵，∴，又∵，∴且，即在圖乙中，，，又，故有平面，而平面，故有；（2）解：∵，，所以為二面角的平面角，則，在中，，，，由余弦定理，可知，滿意，則有，由（1）知，平面，則，如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，為，，軸正方向建立坐標(biāo)系，則，，，，則，，，設(shè)平面的法向量為，則，取，所以直線與平面所成角滿意．20.解：（1）由參考數(shù)據(jù)可得，接近1，∴y與x之間具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，可用線性回來(lái)模型進(jìn)行擬合； 4分 4分（2）∵，，．，∴y關(guān)于x的線性回來(lái)方程為．2024年4月份代碼x＝7，代入線性回來(lái)方程得，于是2024年4月份的市場(chǎng)占有率預(yù)報(bào)值為23%； 4分 8分（3）用頻率估計(jì)概率，甲款單車的利潤(rùn)X的分布列為X﹣50005001000P0.10.30.40.2E（X）＝﹣500×0.1+0×0.3+500×0.4+1000×0.2＝350（元）．乙款單車的利潤(rùn)Y的分布列為Y﹣3002007001200P0.150.40.350.1E（Y）＝﹣300×0.15+200×0.4+700×0.35+1200×0.1＝400（元）．以每輛單車產(chǎn)生利潤(rùn)的期望值為決策依據(jù)，故應(yīng)選擇乙款車型． 4分 12分21.解：（1）因?yàn)閍=12所以y=fx在區(qū)間0，（2）求導(dǎo)數(shù)可得，當(dāng)a≥1時(shí)，fx≥0，函數(shù)當(dāng)時(shí)，由fx>0可得，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；5分①當(dāng)a≥1時(shí)，函數(shù)y=f∴fx≥f0②當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，存在使得fx0綜上可知實(shí)數(shù)的取值范圍為，；7分（3）由（2）得當(dāng)a=1時(shí)，不等式fx>1在即，，．9分即，，，，，將上述式子相加可得1原不等式得證12分若有其他解法，可酌情給分！（二）選考題：22．【選修4-4坐標(biāo)系與參數(shù)方程】（本小題滿分10分）

解：（1）設(shè)的極坐標(biāo)為（），的極坐標(biāo)為（）．…1分

由題設(shè)知，．

由， ……3分

得，

所以的極坐標(biāo)方程（），

因此的直角