八年級(jí)數(shù)學(xué)人教版（上冊(cè)）第12章 小結(jié)與復(fù)習(xí)

小結(jié)與復(fù)習(xí)第十二章全等三角形要點(diǎn)梳理教學(xué)目標(biāo)教學(xué)重點(diǎn)學(xué)習(xí)目標(biāo)1．知道全等三角形的性質(zhì)、判定.2．能說出角平分線性質(zhì)、判定以及它與全等三角形知識(shí)的聯(lián)系.3．靈活地運(yùn)用全等三角形的性質(zhì)、判定解決幾何問題.重、難點(diǎn)：重點(diǎn)：全等三角形的性質(zhì)、判定.難點(diǎn)：全等三角形的性質(zhì)、判定的應(yīng)用.1全等三角形的性質(zhì)

能夠完全重合的兩個(gè)圖形叫全等圖形，能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫全等三角形.

把兩個(gè)全等的三角形重合到一起，重合的頂點(diǎn)叫做對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，重合的邊叫做對(duì)應(yīng)邊，

重合的角叫做對(duì)應(yīng)角.要點(diǎn)梳理BCEF其中點(diǎn)A和

，點(diǎn)B和

，點(diǎn)C和

是對(duì)應(yīng)頂點(diǎn).

AB和

，BC和

，AC和

是對(duì)應(yīng)邊.∠A和

，∠B和

，∠C和

是對(duì)應(yīng)角.AD點(diǎn)D點(diǎn)E點(diǎn)FDEEFDF∠D∠E∠FABCDEF性質(zhì)：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等.如圖：∵△ABC≌△DEF，∴AB=DE，BC=EF，AC=DF

（），∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F

（）.全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等應(yīng)用格式：用符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)為：在△ABC與△DEF中∴△ABC≌△DEF.（SAS）

1、兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(可以簡(jiǎn)寫成“邊角邊”或“SAS”).FEDCBAAC=DF，∠C=∠F，BC=EF，

三角形全等的判定方法2∠A=∠D，（已知）AB=DE，（已知）∠B=∠E，（已知）在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF.（ASA）

2、有兩角和它們夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(可以簡(jiǎn)寫成“角邊角”或“ASA”）.用符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)為：FEDCBA3、三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡(jiǎn)寫為“邊邊邊”或“SSS”）.ABCDEF在△ABC和△DEF中，∴△ABC

≌△DEF.（SSS）AB=DE，BC=EF，CA=FD，用符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)為：4、有兩角和其中一個(gè)角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(可以簡(jiǎn)寫成“角角邊”或“AAS”）.在△ABC和△DEF中，∴△ABC

≌△DEF.（AAS）∠B=∠E，∠C=∠F，AC=DF，用符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)為：ABCDEF5、斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等.

簡(jiǎn)寫成“斜邊、直角邊”或“HL”.ABCDEF注意：①對(duì)應(yīng)相等.②“HL”僅適用直角三角形,③書寫格式應(yīng)為:∵在Rt△ABC

和Rt△

DEF中，

AB=DE，

AC=DF，∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL)角的平分線的性質(zhì)圖形已知條件結(jié)論P(yáng)CPCOP平分∠AOBPD⊥OA于DPE⊥OB于EPD=PEOP平分∠AOBPD=PEPD⊥OA于DPE⊥OB于E

角的平分線的判定角平分線的性質(zhì)與判定2考點(diǎn)精講典例精講歸納總結(jié)考點(diǎn)1全等三角形的性質(zhì)

例1

如圖，已知△ACE≌△DBF．CE=BF，AE=DF，AD=8，BC=2．（1）求AC的長(zhǎng)度；（2）試說明CE∥BF．解：（1）∵△ACE≌△DBF，∴AC=BD，則AB=DC，

∵BC=2，∴2AB+2=8.

∴AB=3，∴AC=3+2=5.（2）∵△ACE≌△DBF，

∴∠ECA=∠FBD，

∴CE∥BF．考點(diǎn)精講兩個(gè)全等三角形的長(zhǎng)邊與長(zhǎng)邊，短邊與短邊分別是對(duì)應(yīng)邊，大角與大角，小角與小角分別是對(duì)應(yīng)角.有對(duì)頂角的，兩個(gè)對(duì)頂角一定為一對(duì)對(duì)應(yīng)角.有公共邊的，公共邊一定是對(duì)應(yīng)邊.有公共角的，公共角一定是對(duì)應(yīng)角.方法總結(jié)考點(diǎn)精講針對(duì)訓(xùn)練1、如圖所示，△ABD≌△ACD，∠BAC=90°．（1）求∠B；（2）判斷AD與BC的位置關(guān)系，并說明理由．解：（1）∵△ABD≌△ACD，∴∠B=∠C，

又∵∠BAC=90°，

∴∠B=∠C=45°；（2）AD⊥BC．理由：∵△ABD≌△ACD，

∴∠BDA=∠CDA，

∵∠BDA+∠CDA=180°，

∴∠BDA=∠CDA=90°，

∴AD⊥BC．

已知，∠ABC＝∠DCB，∠ACB＝∠DBC，求證：△ABC≌△DCB．∠ABC＝∠DCB(已知），

BC＝CB（公共邊），∠ACB＝∠DBC（已知），證明：在△ABC和△DCB中，∴△ABC≌△DCB（ASA

）.BCAD分析：運(yùn)用“兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等兩個(gè)三角形全等”進(jìn)行判定．考點(diǎn)2全等三角形的判定

例22、已知△ABC和△DEF,下列條件中,不能保證△ABC和△DEF全等的是()A.AB=DE，AC=DF，BC=EF

B.∠A=∠D，∠B=∠E，AC=DFC.AB=DE，AC=DF，∠A=∠D

D.AB=DE，BC=EF，∠C=∠FD針對(duì)訓(xùn)練3、如圖所示，AB與CD相交于點(diǎn)O,∠A=∠B，OA=OB添加條件

，所以△AOC≌△BOD理由是

.

AODCB∠C=∠D或∠AOC=∠BODAAS或ASA

如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，CE⊥AD于點(diǎn)G，交AB于點(diǎn)E，EF∥BC交AC于點(diǎn)F，求證：∠DEC=∠FEC.ABCDFEG分析：欲證∠DEC=∠FEC由平行線的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為證明∠DEC=∠DCE只需要證明△DEG

≌△DCG.考點(diǎn)3全等三角形的性質(zhì)與判定的綜合應(yīng)用

例3ABCDFEG證明：∵CE⊥AD,∴∠AGE=∠AGC=90°.在△AGE和△AGC中，∠AGE=∠AGC，AG=AG，∠EAG=∠CAG，∴△AGE

≌

△AGC(ASA)，∴GE=GC.∵AD平分∠BAC,∴∠EAG=∠CAG，.利用全等三角形證明角相等，首先要找到兩個(gè)角所在的兩個(gè)三角形，看它們?nèi)鹊臈l件夠不夠；有時(shí)會(huì)用到等角轉(zhuǎn)換，等角轉(zhuǎn)換的途徑很多，如：余角，補(bǔ)角的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等，必要時(shí)要想到添加輔助線.方法總結(jié)4、如圖，OB⊥AB，OC⊥AC，垂足為B，C，OB=OC，∠BAO=∠CAO嗎？為什么？OCBA解：∠BAO=∠CAO，證明：∵OB⊥AB,OC⊥AC，∴∠B=∠C=90°.

在Rt△ABO和Rt△ACO中，

OB=OC，AO=AO，

∴Rt△ABO≌Rt△ACO

，（HL）

∴∠BAO=∠CAO.針對(duì)訓(xùn)練

如圖，兩根長(zhǎng)均為12米的繩子一端系在旗桿上，旗桿與地面垂直，另一端分別固定在地面上的木樁上，兩根木樁離旗桿底部的距離相等嗎？ABCD分析：將本題中的實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題就是證明BD=CD.由已知條件可知AB=AC，AD⊥BC.考點(diǎn)4利用全等三角形解決實(shí)際問題例4ABCD解：相等，理由如下：∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°.在Rt△ADB和Rt△ADC中，AD=AD，AB=AC，

∴Rt△ADB≌Rt△ADC(HL).∴BD=CD.

利用全等三角形可以測(cè)量一些不易測(cè)量的距離和長(zhǎng)度，還可對(duì)某些因素作出判斷，一般采用以下步驟：（1）先明確實(shí)際問題；（2）根據(jù)實(shí)際抽象出幾何圖形；（3）經(jīng)過分析，找出證明途徑；（4）書寫證明過程.方法總結(jié)5、如圖，有一湖的湖岸在A、B之間呈一段圓弧狀，A、B間的距離不能直接測(cè)得．你能用已學(xué)過的知識(shí)或方法設(shè)計(jì)測(cè)量方案，求出A、B間的距離嗎？針對(duì)訓(xùn)練解：要測(cè)量A、B間的距離，可用如下方法：過點(diǎn)B作AB的垂線BF，在BF上取兩點(diǎn)C、D，使CD=BC，再作出BF的垂線DE，使A、C、E在一條直線上.∵∠ACB=∠ECD，CB=CD，∠ABC=∠EDC，∴△EDC≌△ABC（ASA）．∴DE=BA．答：測(cè)出DE的長(zhǎng)就是A、B之間的距離．CDE

如圖,∠1=∠2,點(diǎn)P為BN上的一點(diǎn)，∠PCB+∠BAP=180°，求證:PA=PC.BACN))12P分析：由角平分線的性質(zhì)易想到過點(diǎn)P向∠ABC的兩邊作垂線段PE、PF，構(gòu)造角平分線的基本圖形.EF考點(diǎn)5角平分線的性質(zhì)與判定例5證明：過點(diǎn)P作PE⊥BA,PF⊥BC,垂足分別為E,F.BACN))12PEF∵∠1=∠2,PE⊥BA,PF⊥BC,垂足分別為E,F.∴PE=PF,∠PEA=∠PFC=90°.∵

∠PCB+∠BAP=180°,又∠BAP+∠EAP=180°.∴∠EAP=∠PCB.在△APE和△CPF中，∠PEA=∠PFC=90°，∠EAP=∠FCP，

PE=PF，∴△APE

≌

△CPF(AAS)，∴AP=CP.證法2思路分析：由角是軸對(duì)稱圖形，其對(duì)稱軸是角平分線所在的直線，所以可想到構(gòu)造軸對(duì)稱圖形.方法是在BC上截取BD=AB,連接PD（如圖）.則有△PAB≌△PDB,再證△PDC是等腰三角形即可獲證.ACN))12PB證明過程請(qǐng)同學(xué)們自行完成！D

角的平分線的性質(zhì)是證明線段相等的常用方法.應(yīng)用時(shí)要依托全等三角形發(fā)揮作用.作輔助線有兩種思路，一種作垂線段構(gòu)造角平分線性質(zhì)基本圖；另一種是構(gòu)