安徽省馬鞍山市2025屆高三數(shù)學(xué)第二次教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試題理含解析

PAGE19-安徽省馬鞍山市2025屆高三數(shù)學(xué)其次次教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試題理（含解析）一、選擇題（每小題5分）.1．已知集合M＝{y|y＝﹣x2，x∈R}，N＝{x|﹣1＜x≤2}，則M∩N＝（）A．（﹣1，2] B．[0，2] C．（﹣1，0] D．（﹣1，0）2．已知復(fù)數(shù)z1與z2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且（2﹣i）z1＝|4﹣3i|，則z2＝（）A．﹣2﹣i B．﹣2+i C．2﹣i D．2+i3．設(shè)a，b為兩條直線，則a∥b的充要條件是（）A．a(chǎn)，b垂直于同一條直線 B．a(chǎn)，b垂直于同一個(gè)平面 C．a(chǎn)，b平行于同一個(gè)平面 D．a(chǎn)，b與同一個(gè)平面所成角相等4．函數(shù)f（x）＝xcosx﹣在（﹣π，π）上的圖象大致為（）A． B． C． D．5．已知sin（﹣α）＝，則cos（+2α）的值為（）A． B． C．﹣ D．﹣6．若（x+）n的綻開(kāi)式中存在常數(shù)項(xiàng)，則n可以是（）A．8 B．7 C．6 D．57．2024年初，從非洲擴(kuò)散到東南亞的蝗蟲(chóng)災(zāi)難嚴(yán)峻威逼了國(guó)際農(nóng)業(yè)生產(chǎn)，影響了人民生活．世界性與區(qū)域性溫度的異樣、早澇頻繁發(fā)生給蝗災(zāi)發(fā)生創(chuàng)建了機(jī)會(huì)．已知蝗蟲(chóng)的產(chǎn)卵量y與溫度x的關(guān)系可以用模型y＝擬合，設(shè)z＝lny，其變換后得到一組數(shù)據(jù)：x2023252730z22.4334.6由上表可得線性回來(lái)方程＝0.2x+a，則c1＝（）A．﹣2 B．e﹣2 C．3 D．e38．小明去文具店購(gòu)買中性筆，現(xiàn)有黑色、紅色、藍(lán)色三種中性筆可供選擇，每支單價(jià)均為1元．小明只有6元錢，且全部用來(lái)買中性筆，則不同的選購(gòu)方法有（）A．10種 B．15種 C．21種 D．28種9．我國(guó)的古代醫(yī)學(xué)著作《神農(nóng)本草經(jīng)》中最早記錄了蜜蜂蜂巢的藥用功效．蜜蜂的蜂巢是由數(shù)千個(gè)蜂房組成的，如圖是一個(gè)蜂房的結(jié)構(gòu)示意圖，它的幾何結(jié)構(gòu)是正六棱柱形，其一端是正六邊形開(kāi)口，另一端則由三個(gè)全等的菱形組成．經(jīng)過(guò)測(cè)量，某蜂巢一個(gè)蜂房的正六邊形的邊長(zhǎng)約為4mm，菱形邊長(zhǎng)約為4.242mm，則該菱形較小角的余弦值約為（）（參考數(shù)據(jù)：≈1.414，≈1.732）A．0.333 B．0.4 C．0.5 D．0.66710．已知△ABC中，∠ACB＝，，AC⊥CD，則sinA的值為（）A． B． C． D．11．過(guò)拋物線C：y2＝2px（p＞0）的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，線段AF，BF的中點(diǎn)在y軸上的射影分別為點(diǎn)M，N，若△AFM與△BFN的面積之比為4，則直線AB的斜率為（）A．±1 B．± C．±2 D．±212．已知a＞0，b＞0，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A．若0＜a＜b＜1，則 B．若2aea＝3beb，則a＞b C．a(chǎn)b+ba＞1恒成立 D．?a∈（0，1），使得ae﹣a＝二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．已知平面對(duì)量＝（1，），＝（3，λ），若∥（﹣），則實(shí)數(shù)λ的值為．14．設(shè)變量x，y滿意，則目標(biāo)函數(shù)z＝3x+2y的最小值為．15．曲率半徑可用來(lái)描述曲線上某點(diǎn)處曲線彎曲改變程度，曲率半徑越大，則曲線在該點(diǎn)處的彎曲程度越?。阎獧E圓C：＝1（a＞b＞0）上點(diǎn)P（x0，y0）處的曲率半徑公式為R＝a2b2．若橢圓C上全部點(diǎn)相應(yīng)的曲率半徑的最大值是最小值的8倍，則橢圓C的離心率為．16．球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直徑被截下的線段長(zhǎng)叫做球缺的高，球缺的體積公式V＝，其中R為球的半徑，h為球缺的高．若一球與一全部棱長(zhǎng)為6的正四棱錐的各棱均相切，則該球與該正四棱錐的公共部分的體積為．三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．第17～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必需作答．第22、23題為選考題，考生依據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17．已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a3＝5，且an+1an＝4Sn﹣1（n∈N*）．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）記數(shù)列的前n項(xiàng)和為Tn.若?n∈N*，Tn＜﹣m2+2m（m為奇數(shù)），求m的值．18．如圖，六面體ABCDEFG中，BE⊥面ABC且BE⊥面DEFG，DG∥EF，ED＝DG＝GF＝1，AB＝BC＝CA＝EF＝2．（1）求證：DF⊥平面ABED；（2）若二面角A﹣DG﹣E的余弦值為﹣，求點(diǎn)C到面BDF的距離．19．為愛(ài)護(hù)長(zhǎng)江流域漁業(yè)資源，2024年國(guó)家農(nóng)業(yè)農(nóng)村部發(fā)布《長(zhǎng)江十年禁漁支配》．某市為了解決禁漁期漁民的生計(jì)問(wèn)題，試點(diǎn)推出面點(diǎn)、汽修兩種職業(yè)技能培訓(xùn)，一周內(nèi)漁民可以每天自由選擇其中一個(gè)進(jìn)行職業(yè)培訓(xùn)，七天后確定詳細(xì)職業(yè)．政府對(duì)供應(yīng)培訓(xùn)的機(jī)構(gòu)有不同的補(bǔ)貼政策：面點(diǎn)培訓(xùn)每天200元/人，汽修培訓(xùn)每天300元/人．若漁民甲當(dāng)天選擇了某種職業(yè)培訓(xùn)，其次天他會(huì)有0.4的可能性換另一種職業(yè)培訓(xùn)．假定漁民甲七天都參加全天培訓(xùn)，且第一天選擇的是汽修培訓(xùn)，第i天選擇汽修培訓(xùn)的概率是pi（i＝1，2，3，…，7）．（1）求p3；（2）證明：{pi﹣0.5}（i＝1，2，3，…，7）為等比數(shù)列；（3）試估算一周內(nèi)政府漁民甲對(duì)培訓(xùn)機(jī)構(gòu)補(bǔ)貼總費(fèi)用的數(shù)學(xué)期望（0.27近似看作0）．20．已知雙曲線＝1（b≠1）的左焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)為A，過(guò)點(diǎn)F向雙曲線的一條漸近線作垂線，垂足為P，直線AP與雙曲線的左支交于點(diǎn)B．（1）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求線段OP的長(zhǎng)度；（2）求證：PF平分∠BFA．21．已知函數(shù)f（x）＝xlnx﹣ax2+（2a﹣1）x+a，其中a為常數(shù)．（1）當(dāng)a＝0時(shí)，求f（x）的極值；（2）當(dāng)a≥時(shí)，求證：對(duì)?x1＜x2，且x1，x2∈（0，+∞），不等式恒成立．（二）選考題：共10分．請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答．假如多做，則按所做的第一題計(jì)分．[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]22．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線C2的極坐標(biāo)方程為θ＝α（ρ∈R，α∈[0，π）），且直線C2與曲線C1交于A，B兩點(diǎn)．（1）求曲線C1的極坐標(biāo)方程；（2）當(dāng)|AB|最小時(shí)，求α的值．[選修4-5：不等式選講]23．已知函數(shù)f（x）＝|x+4|+|x|．（1）解不等式f（2x﹣1）≤6；（2）記函數(shù)f（x）的最小值為a，且m2+n2＝，其中m，n均為正實(shí)數(shù)，求證：．

參考答案一、選擇題（共12小題）.1．已知集合M＝{y|y＝﹣x2，x∈R}，N＝{x|﹣1＜x≤2}，則M∩N＝（）A．（﹣1，2] B．[0，2] C．（﹣1，0] D．（﹣1，0）解：∵M(jìn)＝{y|y≤0}，N＝{x|﹣1＜x≤2}，∴M∩N＝（﹣1，0]．故選：C．2．已知復(fù)數(shù)z1與z2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且（2﹣i）z1＝|4﹣3i|，則z2＝（）A．﹣2﹣i B．﹣2+i C．2﹣i D．2+i解：因?yàn)椋?﹣i）z1＝|4﹣3i|，所以，因?yàn)閺?fù)數(shù)z1與z2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以z2＝﹣2﹣i．故選：A．3．設(shè)a，b為兩條直線，則a∥b的充要條件是（）A．a(chǎn)，b垂直于同一條直線 B．a(chǎn)，b垂直于同一個(gè)平面 C．a(chǎn)，b平行于同一個(gè)平面 D．a(chǎn)，b與同一個(gè)平面所成角相等解：A：若a，b都垂直同始終線，則a，b可能相交，平行，異面，故A錯(cuò)誤，B：由a∥b，得a，b垂直于同一個(gè)平面，是充分條件，若a，b垂直于同一個(gè)平面，則a∥b，是必要條件，∴正B確，C：若a，b平行于同一平面，則a，b可能相交，平行，異面，故C錯(cuò)誤，D：若a，b與同一平面所成角相等，則a，b可能相交，故D錯(cuò)誤，故選：B．4．函數(shù)f（x）＝xcosx﹣在（﹣π，π）上的圖象大致為（）A． B． C． D．解：因?yàn)楹瘮?shù)f（x）＝xcosx﹣，所以f（﹣x）＝﹣xcosx+＝﹣（xcosx﹣）＝﹣f（x），故函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故選項(xiàng)A，B錯(cuò)誤；當(dāng)x→0時(shí)，xcosx→0，﹣→﹣∞，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤，選項(xiàng)D正確．故選：D．5．已知sin（﹣α）＝，則cos（+2α）的值為（）A． B． C．﹣ D．﹣解：∵sin（﹣α）＝，∴sin[﹣（+α）]＝cos（+α）＝，∴cos（+2α）＝2﹣1＝2×﹣1＝．故選：C．6．若（x+）n的綻開(kāi)式中存在常數(shù)項(xiàng)，則n可以是（）A．8 B．7 C．6 D．5解：∵（x+）n的通項(xiàng)公式為Tr+1＝?2r?，若綻開(kāi)式中存在常數(shù)項(xiàng)，則n﹣＝0能成立，即3n＝4r，r＝0，1，2，…n，∴n＝4，8，12，16，…，故選：A．7．2024年初，從非洲擴(kuò)散到東南亞的蝗蟲(chóng)災(zāi)難嚴(yán)峻威逼了國(guó)際農(nóng)業(yè)生產(chǎn)，影響了人民生活．世界性與區(qū)域性溫度的異樣、早澇頻繁發(fā)生給蝗災(zāi)發(fā)生創(chuàng)建了機(jī)會(huì)．已知蝗蟲(chóng)的產(chǎn)卵量y與溫度x的關(guān)系可以用模型y＝擬合，設(shè)z＝lny，其變換后得到一組數(shù)據(jù)：x2023252730z22.4334.6由上表可得線性回來(lái)方程＝0.2x+a，則c1＝（）A．﹣2 B．e﹣2 C．3 D．e3解：由已知可得，，，代入＝0.2x+a，得a＝3﹣0.2×25＝﹣2，∴z＝lny＝ln（）＝c2x+lnc1，則lnc1＝﹣2，即．故選：B．8．小明去文具店購(gòu)買中性筆，現(xiàn)有黑色、紅色、藍(lán)色三種中性筆可供選擇，每支單價(jià)均為1元．小明只有6元錢，且全部用來(lái)買中性筆，則不同的選購(gòu)方法有（）A．10種 B．15種 C．21種 D．28種解：依據(jù)題意，小明只有6元錢且要求全部花完，則小明須要買6支中性筆，將6支中性筆看成6個(gè)相同的小球，原問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為將6個(gè)小球用2個(gè)相同的擋板分成3組，每組對(duì)應(yīng)一種顏色的中性筆，6個(gè)小球、2個(gè)擋板共8個(gè)位置，在其中任選6個(gè)支配小球，剩下2個(gè)支配擋板，有C86＝28種；故選：D．9．我國(guó)的古代醫(yī)學(xué)著作《神農(nóng)本草經(jīng)》中最早記錄了蜜蜂蜂巢的藥用功效．蜜蜂的蜂巢是由數(shù)千個(gè)蜂房組成的，如圖是一個(gè)蜂房的結(jié)構(gòu)示意圖，它的幾何結(jié)構(gòu)是正六棱柱形，其一端是正六邊形開(kāi)口，另一端則由三個(gè)全等的菱形組成．經(jīng)過(guò)測(cè)量，某蜂巢一個(gè)蜂房的正六邊形的邊長(zhǎng)約為4mm，菱形邊長(zhǎng)約為4.242mm，則該菱形較小角的余弦值約為（）（參考數(shù)據(jù)：≈1.414，≈1.732）A．0.333 B．0.4 C．0.5 D．0.667解：如圖所示：EF∥AC且EF＝AC，在△EGF中，∠EGF＝120°，EG＝EF＝4，∴EF＝4，∵AB＝BC＝4.242，在△ABC中，cos∠ABC＝≈﹣0.333，所以菱形較小角的余弦值為0.333．故選：A．10．已知△ABC中，∠ACB＝，，AC⊥CD，則sinA的值為（）A． B． C． D．解：因?yàn)?，所以D為AB的一個(gè)三等分點(diǎn)，且靠近B點(diǎn)，所以AD＝2BD，因?yàn)椤螦CB＝，AC⊥CD，所以∠ACD＝，∠BCD＝，在△ACD中，由正弦定理可得＝，在△BCD中，由正弦定理可得＝，所以＝＝，即sinB＝sinA，又在△ABC中，A+B＝π﹣∠ACB＝，所以sinB＝sin（﹣A）＝cosA﹣sinA＝sinA，整理可得cosA＝sinA，即cosA＝3sinA，又sin2A+cos2A＝1，所以10sin2A＝1，解得sinA＝±，因?yàn)?＜A＜，所以sinA＝．故選：B．11．過(guò)拋物線C：y2＝2px（p＞0）的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，線段AF，BF的中點(diǎn)在y軸上的射影分別為點(diǎn)M，N，若△AFM與△BFN的面積之比為4，則直線AB的斜率為（）A．±1 B．± C．±2 D．±2解：拋物線C：y2＝2px（p＞0）的焦點(diǎn)F為（，0），由于直線AB過(guò)點(diǎn)F，設(shè)直線AB的方程為y＝k（x﹣），∵△AFM∽△BFN，且＝4，∴|AF|＝2|BF|，由拋物線的性質(zhì)可得，設(shè)直線AB的傾斜角為θ，則kAB＝tanθ，由拋物線的焦點(diǎn)弦推論可得：AF＝，所以，故cos，所以sin，則tanθ＝，當(dāng)|AF|＞|BF|時(shí)，tan，故選：D．12．已知a＞0，b＞0，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A．若0＜a＜b＜1，則 B．若2aea＝3beb，則a＞b C．a(chǎn)b+ba＞1恒成立 D．?a∈（0，1），使得ae﹣a＝解：對(duì)于A：0＜a＜b＜1，所以1﹣a＞1﹣b，因?yàn)閎＞a，所以b1﹣a＞a1﹣b，所以，故A正確；對(duì)于B：設(shè)f（x）＝x?ex，則f′（x）＝（x+1）?ex，所以x∈（0，+∞）上單調(diào)遞增，因?yàn)?aea＝3beb，所以，所以aea＞beb，所以a＞b，故B正確；對(duì)于C：已知a＞0，b＞0，所以，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號(hào)成立，當(dāng)0＜a＜1時(shí)，成立，故C正確；對(duì)于D：令y＝x?e﹣x，則y′＝e﹣x﹣x?e﹣x＝（1﹣x）?e﹣x，因?yàn)閤∈（0，1），所以y＝x?e﹣x單調(diào)遞增，則不存在ae﹣a＝，故D錯(cuò)誤．故選：D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．已知平面對(duì)量＝（1，），＝（3，λ），若∥（﹣），則實(shí)數(shù)λ的值為．解：依據(jù)題意，向量＝（1，），＝（3，λ），則﹣＝（﹣2，﹣λ），若∥（﹣），則有﹣2＝﹣λ，解可得λ＝，故答案為：．14．設(shè)變量x，y滿意，則目標(biāo)函數(shù)z＝3x+2y的最小值為8．解：由約束條件作出可行域如圖，聯(lián)立，解得A（2，1），由z＝3x+2y，得y＝﹣，由圖可知，當(dāng)直線y＝﹣過(guò)A時(shí)，直線在y軸上的截距最小，z有最小值為8．故答案為：8．15．曲率半徑可用來(lái)描述曲線上某點(diǎn)處曲線彎曲改變程度，曲率半徑越大，則曲線在該點(diǎn)處的彎曲程度越?。阎獧E圓C：＝1（a＞b＞0）上點(diǎn)P（x0，y0）處的曲率半徑公式為R＝a2b2．若橢圓C上全部點(diǎn)相應(yīng)的曲率半徑的最大值是最小值的8倍，則橢圓C的離心率為．解：因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓上，則，即y，所以＝＝＝，因?yàn)閤]，所以，則（），所以R，因?yàn)榍拾霃阶畲笾凳亲钚≈档?倍，所以，即a3＝8b3，所以a＝2b，則橢圓的離心率為e＝，故答案為：．16．球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直徑被截下的線段長(zhǎng)叫做球缺的高，球缺的體積公式V＝，其中R為球的半徑，h為球缺的高．若一球與一全部棱長(zhǎng)為6的正四棱錐的各棱均相切，則該球與該正四棱錐的公共部分的體積為．解：如圖，取BC的中點(diǎn)E，AC的中點(diǎn)F，ABCD的中心為O，連接OP，OE，OF，一球與一全部棱長(zhǎng)為6的正四棱錐的各棱均相切，可得OP＝OC＝OA＝OB＝OD＝3，OE＝OF＝3，所以P﹣ABCD的球O的半徑為3，△PBC是正三角形，邊長(zhǎng)為6，中心為G，連接PE，PG＝，EG＝＝，OG＝＝，所以球缺的高為：3，該球與該正四棱錐的公共部分的體積為：＝．故答案為：．三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．第17～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必需作答．第22、23題為選考題，考生依據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17．已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a3＝5，且an+1an＝4Sn﹣1（n∈N*）．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）記數(shù)列的前n項(xiàng)和為Tn.若?n∈N*，Tn＜﹣m2+2m（m為奇數(shù)），求m的值．解：（1）設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，令n＝2，則a2a3＝4S2﹣1，由a3＝5，得5（5﹣d）＝4（10﹣3d）﹣1，解得d＝2，所以an＝2n﹣1．（2），可知恒成立，．又m是奇數(shù)，所以m＝1．18．如圖，六面體ABCDEFG中，BE⊥面ABC且BE⊥面DEFG，DG∥EF，ED＝DG＝GF＝1，AB＝BC＝CA＝EF＝2．（1）求證：DF⊥平面ABED；（2）若二面角A﹣DG﹣E的余弦值為﹣，求點(diǎn)C到面BDF的距離．解：（1）證明：因?yàn)锽E⊥面ABC且BE⊥面DEFG，所以DE⊥BE且AB⊥BE，于是，在面ABDE中，DE∥AB，同理，EF∥BC，所以∠DEF＝∠ABC＝60°，又EF＝2DE，所以DF⊥DE，由BE⊥面DEFG，知DF⊥BE，又因?yàn)镋D∩BE＝E，所以DF⊥面ABED．（2）取AB中點(diǎn)O，由題可知，DE∥OB且DE＝OB，所以四邊形OBED為平行四邊形，所以O(shè)D∥BE，于是OD⊥面ABC，又△ABC為正三角形，所以O(shè)C，OA，OD兩兩垂直．以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OC，OA，OD分別為x，y，z正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz，設(shè)BE＝a（a＞0），則O（0，0，0），A（0，1，0），B（0，﹣1，0），C（，0，0），D（0，0，a），G（，a），F(xiàn)（，0，t），設(shè)面ADG的法向量為，則有，不妨設(shè)，得．又BE與面DEFG垂直，故面DEFG的法向量不妨設(shè)為，由，解得a＝2．設(shè)面BDF的法向量為，則有，不妨設(shè)y＝2，得．于是，點(diǎn)C到面BDF的距離．19．為愛(ài)護(hù)長(zhǎng)江流域漁業(yè)資源，2024年國(guó)家農(nóng)業(yè)農(nóng)村部發(fā)布《長(zhǎng)江十年禁漁支配》．某市為了解決禁漁期漁民的生計(jì)問(wèn)題，試點(diǎn)推出面點(diǎn)、汽修兩種職業(yè)技能培訓(xùn)，一周內(nèi)漁民可以每天自由選擇其中一個(gè)進(jìn)行職業(yè)培訓(xùn)，七天后確定詳細(xì)職業(yè)．政府對(duì)供應(yīng)培訓(xùn)的機(jī)構(gòu)有不同的補(bǔ)貼政策：面點(diǎn)培訓(xùn)每天200元/人，汽修培訓(xùn)每天300元/人．若漁民甲當(dāng)天選擇了某種職業(yè)培訓(xùn)，其次天他會(huì)有0.4的可能性換另一種職業(yè)培訓(xùn)．假定漁民甲七天都參加全天培訓(xùn)，且第一天選擇的是汽修培訓(xùn)，第i天選擇汽修培訓(xùn)的概率是pi（i＝1，2，3，…，7）．（1）求p3；（2）證明：{pi﹣0.5}（i＝1，2，3，…，7）為等比數(shù)列；（3）試估算一周內(nèi)政府漁民甲對(duì)培訓(xùn)機(jī)構(gòu)補(bǔ)貼總費(fèi)用的數(shù)學(xué)期望（0.27近似看作0）．解：（1）因?yàn)楫?dāng)天選擇了某種職業(yè)培訓(xùn)，其次天他會(huì)有0.4的可能性換另一種職業(yè)培訓(xùn)，所以p1＝1，p2＝0.6，p3＝0.6×0.6+0.4×0.4＝0.52；（2）當(dāng)?shù)趇﹣1天選擇汽修培訓(xùn)時(shí)，第i天選擇汽修培訓(xùn)的概率為0.6pi﹣1，當(dāng)?shù)趇﹣1天選擇面點(diǎn)培訓(xùn)時(shí)，第i天選擇汽修培訓(xùn)的概率為0.4（1﹣pi﹣1），則pi＝0.6pi﹣1+0.4（1﹣pi﹣1）＝0.2pi﹣1+0.4，而pi﹣0.5＝0.2（pi﹣1﹣0.5），所以{pi﹣0.5}是以0.5為首項(xiàng)，0.2為公比的等比數(shù)列；（3）設(shè)第i天政府的補(bǔ)貼費(fèi)為ai，則ai＝300pi+200（1﹣pi）＝100pi+200，而，所以，故一周內(nèi)政府因漁民甲對(duì)培訓(xùn)機(jī)構(gòu)補(bǔ)貼總費(fèi)用的數(shù)學(xué)期望為a1+a2+…+a7＝≈1812.5元．20．已知雙曲線＝1（b≠1）的左焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)為A，過(guò)點(diǎn)F向雙曲線的一條漸近線作垂線，垂足為P，直線AP與雙曲線的左支交于點(diǎn)B．（1）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求線段OP的長(zhǎng)度；（2）求證：PF平分∠BFA．【解答】（1）解：不妨設(shè)P在其次象限，則漸近線OP的方程為y＝﹣bx，于是直線PF的方程為，聯(lián)立得，于是，；（2）證明：設(shè)直線PF的傾斜角為θ，則，，又A（1，0），所以直線AP的斜率為，直線AP的方程為，與雙曲線聯(lián)立得：（c2+2c）x2+2x﹣（c2+2c+2）＝0，于是，，又F（﹣c，0），因此直線BF的斜率為，故PF平分∠BFA．21．已知函數(shù)f（x）＝xlnx﹣ax2+（2a﹣1）x+a，其中a為常數(shù)．（1）當(dāng)a＝0時(shí)，求f（x）的極值；（2）當(dāng)a≥時(shí)，求證：對(duì)?x1＜x2，且x1，x2∈（0，+∞），不等式恒成立．【解答】（1）解：當(dāng)a＝0時(shí)，f（x）＝xlnx﹣x，f'（x）＝lnx，∴當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f'（x）＜0，即f（x）在（0，1）上單調(diào)減；當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f'（x）＞0，即f（x）在（1，+∞）上單調(diào)增．∴f（x）的微小值為f（1）＝﹣1，無(wú)極大值．（2）證明：依據(jù)題意，要證明對(duì)?x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，等價(jià)于證明．設(shè)，由單調(diào)性的定義得要證明原不等式等價(jià)于證明在（0，+∞）上單調(diào)遞減．即證在（0，+∞）上恒成立，即證，∵，∴，∴只需證明等價(jià)于證明．設(shè)，令，則t＞1，，只需證當(dāng)t＞1時(shí)，g（t）≤0．因?yàn)椋詆（t）單調(diào)遞減，所以g（t）