人教版高中數(shù)學必修1知識點12函數(shù)及其表示教師教學教案

1.2函數(shù)及其表示

1.2.1函數(shù)的概念

整體設(shè)計

教學分析

函數(shù)是中學數(shù)學中最重要的基本概念之一.在中學，函數(shù)的學習大致可分為三個階段.第

一階段是在義務(wù)教育階段，學習了函數(shù)的描述性概念，接觸了正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、一

次函數(shù)、二次函數(shù)等最簡單的函數(shù)，了解了它們的圖象、性質(zhì)等.本節(jié)學習的函數(shù)概念與后

續(xù)將要學習的函數(shù)的基本性質(zhì)、基本初等函數(shù)（I）和基本初等函數(shù)（H）是學習函數(shù)的第二階

段，這是對函數(shù)概念的再認識階段.第三階段是在選修系列的導數(shù)及其應(yīng)用的學習，這是函

數(shù)學習的進一步深化和提高.

在學生學習用集合與對應(yīng)的語言刻畫函數(shù)之前，學生已經(jīng)把函數(shù)看成變量之間的依賴關(guān)

系；同時，雖然函數(shù)概念比較抽象，但函數(shù)現(xiàn)象大量存在于學生周圍.因此，課本采用了從

實際例子中抽象出用集合與對應(yīng)的語言定義函數(shù)的方式介紹函數(shù)概念.

三維目標

1,會用集合與對應(yīng)的語言來刻畫函數(shù)，理解函數(shù)符號y=?r）的含義；通過學習函數(shù)的

概念，培養(yǎng)學生觀察問題、提出問題的探究能力，進一步培養(yǎng)學習數(shù)學的興趣和抽象概括能

力；啟發(fā)學生運用函數(shù)模型表述思考和解決現(xiàn)實世.界中蘊涵的規(guī)律，逐漸形成善于提出問

題的習慣，學會數(shù)學表達和交流，發(fā)展數(shù)學應(yīng)用意識.

2.掌握構(gòu)成函數(shù)的三要素，會求一些簡單函數(shù)的定義域，體會對應(yīng)關(guān)系在刻畫函數(shù)概

念中的作用，使學生感受到學習函數(shù)的必要性和重要性，激發(fā)學生學習的積極性.

重點難點

教學重點：理解函數(shù)的模型化思想，用集合與對應(yīng)的語言來刻畫函數(shù).

教學難點：符號"y=?x）”的含義，不容易認識到函數(shù)概念的整體性，而將函數(shù)單一地

理解成對應(yīng)關(guān)系，甚至認為函數(shù)就是函數(shù)值.

課時安排

2課時

教學過程

第1課時

導入新課

l,xeQ,

問題：已知函數(shù)、請用初中所學函數(shù)的定義來解釋y與x的函數(shù)關(guān)系？

0,無

先讓學生回答后，教師指出；這樣解釋會顯得十分勉強，本節(jié)將用新的觀點來解釋，引出課

題.

推進新課

新知探究

提出問題

（1）給出下列三種對應(yīng)：（幻燈片）

①一枚炮彈發(fā)射后，經(jīng)過26s落到地面擊中目標.炮彈的射高為845m,且炮彈距地面

的高度力（單位：m）隨時間”單位：s）變化的規(guī)律是/jugOf-S/2.

時間，的變化范圍是數(shù)集4={r|0W/W26},。的變化范圍是數(shù)集B=（川0W/?W845}.則

有對應(yīng)/：/-*/?=130/—5?>B.

②近幾十年來，大氣層中的臭氧迅速減少，因而出現(xiàn)了臭氧層空河問題.圖I中的曲線

顯示了南極上空臭氧層空洞的面積S（單位：10&kn?）隨時間r（單位：年）從1979?2001年的

變化情況.

S/106km2

0197919811983)98519871989199119931995199719992001〃年

圖1

根據(jù)圖1中的曲線，可知時間，的變化范圍是數(shù)集4={z|1979WW2001},臭氧層空洞

面積S的變化范圍是數(shù)集8={S|0WSW26},則有對應(yīng)：

ftLS,SGB.

③國際上常用恩格爾系數(shù)反映一個國家人民生活質(zhì)量的高低，恩格爾系數(shù)越低，生活質(zhì)

量越高.下表中的恩格爾系數(shù)y隨時間”年)變化的情況表明，“八五”計劃以來，我國城

鎮(zhèn)居民的生活質(zhì)量發(fā)生了顯著變化.

“八五”計劃以來我國，城鎮(zhèn)居民恩格爾系數(shù)變化情況

時間

19911992199319941995199619971998.199920002001

(。

恩格

爾

53.852.950.149.949.948.646.444.541.939.237.9

系數(shù)

(y)

根據(jù)上表，可知時間，的變化范圍是數(shù)集4={，|1991W，W2001},恩格爾系數(shù)y的變化

范圍是數(shù)集B={y|37.9WyW53.8),則有對應(yīng):/：Ly,y^B.

以上三個對應(yīng)有什么共同特點？

(2)我們把這樣的對應(yīng)稱為函數(shù)，請用集合的觀點給出函數(shù)的定義.

(3)函數(shù)的定義域是自變量的取值范圍，那么你是如何理解這個“取值范圍”的？

(4)函數(shù)有意義又指什么？

(5)函數(shù)/：AfB的值域為C,那么集合3=C嗎？

活動：讓學生認真思考以上三個對應(yīng)，也可以分組討論交流，引導學生找出這三個對應(yīng)

的本質(zhì)共性.

解：(1)共同特點是：集合A，8都是數(shù)集，并且對于數(shù)集A中的每一個元素x,在對應(yīng)

關(guān)系/：A—8下，在數(shù)集3中都有唯一確定的元素y與之對應(yīng).

(2)一般地，設(shè)4,9都是非空的數(shù)集，如果按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f使對于集合4

中的任意一個數(shù)x,在集合8中都有唯一確定的數(shù)代r)和它對應(yīng)，那么就稱f：為從集

合A到集合B的一個函數(shù)，記作y=/(x),其中x叫做自變量，4的取值范圍A叫做

函數(shù)的定義域，函數(shù)值的集合伏切x￡A}叫做函數(shù)的值域.

在研究函數(shù)時常會用到區(qū)間的概念，設(shè)小6是兩個實數(shù)，且aV4如下表所示:

定義名稱符號數(shù)軸表示

{x\a^x^b}閉區(qū)間-4：------^―?

[。，b]nn

{也《切開區(qū)間3，b)-i--------i—?

nn

{也《切半開半閉區(qū)間—4--------j

b)nn

{MaVxWb}半開半閉區(qū)間，—C------^―?

3b]ah

—1------------->

{巾2a}[a,+0°)

q

{?。尽(a,+0°)-J------------?

a

(-8,]-------------1—?

{MxWa}aa

(—8,a)-----------------A~?

｛小<。｝a

R(—8,H-OO)

(3)自變量的取值范圍就是使函數(shù)有意義的自變量的取值范圍.

(4)函數(shù)有意義是指：自變量的取值使分母不為Or；被開方數(shù)為非負數(shù)；如果函數(shù)有實

際意義時，那么還要滿足實際取值等等.

(5)CGB.

應(yīng)用示例

例題.題已知函數(shù)K0=?三+士，

(1)求函數(shù)的定義域；

(2)求人一3)，的值；

(3)當。>0時，求加)，加一1)的值.

活動：(1)讓學生回想函數(shù)的定義域指的是什么？函數(shù)的定義域是使函數(shù)有意義的自變

量的取值范圍，故轉(zhuǎn)化為求使和士有意義的自變量的,取值范圍.舊3有意義，則x

+320,士有意義，則x+2W0,轉(zhuǎn)化為解由x+320和x+2W0組成的不等式組?

(2)讓學生回想人一3),6)表示什么含義？人一3)表示自變量1=-3時對應(yīng)的函數(shù)值，

,(I)表示自變量工=1時對應(yīng)的函數(shù)值.分別將一3,；代入函數(shù)的對應(yīng)法則中得八一3),J像的

值.

(3次。)表示自變量工=。時對應(yīng)的函數(shù)值/a—1)表示自變量x=a-1時對應(yīng)的函數(shù)值.分

別將a,“一I代入函數(shù)的對應(yīng)法則中得y(a),1)的值.

依+320,

解：(1)要使函數(shù)有意義，自變量x的取值需滿足「一八解得一3WxV—2或x>

x十2W0,

-2,即函數(shù)的定義域是[-3,-2)U(-2,+8).

(2.―3)=+3+3+_3+2=_1；向=｛5+3+2

，十2

(3)*.*?>0,/.<?€[—3,—2)J(—2,+8),即/(a),/(a—1)有意義.

則|1+3+々_；+2=^^++，

點評；本題主要考查函數(shù)的定義域以及對符號共刈的理解.求使函數(shù)有意義的自變量的

取值范圍，通常轉(zhuǎn)化為解不等式組.

46是表示關(guān)于變量x的函數(shù)，又可以表示自變量x對應(yīng)的函數(shù)值，是一個整體符號，

分開符號?r)沒有什么意義.符號/可以看作是對施加的某種法則或運算.例如人外=

?—x+5,當x=2時，看作對“2”施加了這樣的運算法則：先平方，再減去2,再加上5:

若x為某一代數(shù)式(或某一個函數(shù)記號時)，則左右兩邊的所有x都用同一個代數(shù)式(或某一個

函數(shù))來代替.如：y(2x+l)=(2v+l)2-(Zv+l)+5,/Ig(x)]=[g(x)F—g(x)+5等等.

符號y=/U)表示變量y是變量X的函數(shù)，它僅僅是函數(shù)符號，并不表示y等于/與K的

乘積.符號火x)與火陽)既有區(qū)別又有聯(lián)系：當小是變量時，函數(shù)火x)與畫數(shù)/(〃?)是同一個函

數(shù)；當機是常數(shù)時，./(⑼表示自變量x=m對應(yīng)的函數(shù)值，是一個常量.

已知函數(shù)的解析式，求函數(shù)的定義域，就是求使得函數(shù)解析式有意義的自變量的取值范

圍，即

(1)如果犬幻是整式，那么函數(shù)的定義域是實數(shù)集R.

(2)如果共功是分.式，那么函敷的定義域是使分母不等于零的實數(shù)的集合.

(3)如果1工)是二次根式，那么函數(shù)的定義域是使根號內(nèi)的式子大于或等于零的實數(shù)的集

合.

(4)如果/U)是由幾個部分的數(shù)學式子構(gòu)成的，那么函數(shù)定義域是使各部分式子都有意義

的實數(shù)集合(即求各部分定義域的交集).

(5)對于由實際問題的背景確定的函數(shù)，其定義域還要受實際問題的制約.

變式訓練

1.函數(shù)y=今譽一行彳的定義域為?

答案：{小W1,且-1}.

點評：本題容易錯解：化簡函數(shù)的解析式為y=x+l—，=，得函數(shù)的定義域為

{x|xWl}.其原因是這樣做違背了討論函數(shù)問題要保持定義域優(yōu)先的原則.化簡函

數(shù)的解析式容易引起函數(shù)的定義域發(fā)生變化，因此求函數(shù)的定義域之前，不要化

簡解析式.

2.若1A的定義域為“，g(x)=kl的定義域為N,令全集U=R,則MAN

等于()

A.MB.N

C.D.luN

解析：由題意得M=UU>0：,，N=R,則MnN={iU>O}=M.

答案：A

3.已知函數(shù)次x)的定義域是則函數(shù)次次-1)的定義域是.

解析:要使函數(shù)人〃-1)有意義，自變量x的取值需滿足-1W2X-1W1,???0WXW1.

答案:__________________________________________________________

知能訓練

產(chǎn)(1)+.人2)1/(2)+*4)片3)+,*6)

1.已知函數(shù)人的滿足：加+q)=/(pl/(q)，貝1)=3,則川)十?3)十心)

,/(4)+y(8)/(5)+/(10)_

十Z)+火9)—------------

解析：:加+4)=加次7)，?7/(x+x)=/(切W,即/。)=照)

令g=i,得加+1)=加1/U),

；)=川)=3.

?"f+ip)八

?)f2A2)I2/(4)I2*6)：2A8)：2/(10).1u.?as

.?原式一川)+?+膽)+人7)+/9)—2G+3+3+3+3)—30.

答案：30

2.若危)=:的定義域為4,g(x)=J(x+l)-Ax)的定義域為8,那么()

A.AUB=BB.4為C.AQBD.4n8=0

解析：由題意得4={x|x#0),8={小#0,且x#-l}.則AUB=A,則A錯；AOB

=B,則D錯；由于則C錯，B正確.

答案：B

拓展提升

問題：已知函數(shù)?￥)=1+1,x￡R.

(1)分別計算人1)一4一1),12)一人一2),五3)一?—3)的值；

(2)由(1)你發(fā)現(xiàn)了什么結(jié)論？并加以證明.

活動：讓學生探求兀r)一/(一功的值.分析(1)中各值的規(guī)律，歸納猜想出結(jié)論，再用解

析式證明.

解：(wi)-y(-i)=(i2+i)-[(-i)2+i]=2-2=o；

y(2)-A-2)=(22+l)-[(-2)2+l]=5-5=0；

7(3)-/(-3)=(32+1)-[(-3)2+1]=10-10=0.

(2)由(1)可發(fā)現(xiàn)結(jié)論：對任意x￡R,有人r)=;(—x).證明如下：

由題意得/(—X)=(—X)2+1=F+1=J{X).

???對任意x￡R，總有—X).

課堂小結(jié)

木節(jié)課學習了：函數(shù)的概念、函數(shù)定義域的求法和對函數(shù)符號大外的理解.

作業(yè)

課本習題1.2A組1,5.

設(shè)計感想

本節(jié)教學中，在歸納函數(shù)的概念時，本節(jié)設(shè)計運用了大量的實例，如果不借助于信息技

術(shù)，那么會把時間浪費在實例的書寫上，會造成課時不足即拖堂現(xiàn)象.本節(jié)重點設(shè)計了函數(shù)

定義域的求法，而函數(shù)值域的求法將放在函數(shù)的表示法中學習.由于函數(shù)是高中數(shù)學的重點

內(nèi)容之一，也是高考的重點和熱點，因此對函數(shù)的概念等知識進行了適當?shù)耐卣?，以滿足高

考的需要.

第2課時

復習

1.函數(shù)的概念.

2.函數(shù)的定義域的求法.

導入新課

思路1.當實數(shù)a,b的符號相同，絕對值相等時，實數(shù)當集合A,8中元素完

全相同時，集合那么兩個函數(shù)滿足什么條件才相等呢？引出課題：函數(shù)相等.

思路2.我們學習了函數(shù)的概念，y=x與是同一個函數(shù)嗎？這就是本節(jié)課學習的

內(nèi)容，引出課題：函數(shù)相等.

推進新課

新知探究

提出問題

①指出函數(shù)y=x+l的構(gòu)成要素有幾部分？

②一個函數(shù)的構(gòu)成要素有幾部分？

③分別寫出函數(shù)y=x+l和函數(shù)y=f+l的定義域和對應(yīng)關(guān)系，并比較異同.

④函數(shù)y=x+l和函數(shù)y=rH的值域相同嗎？由此可見兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系

分別相同，值域相同嗎？

⑤由此你對函數(shù)的三要素有什么新的認識？

討論結(jié)果：①函數(shù)y=x+l的構(gòu)成要素為：定義域R，對應(yīng)關(guān)系x-x+l,值域是R.

②一個函數(shù)的構(gòu)成要素為：定義域、對應(yīng)關(guān)系和值域，簡稱為函數(shù)的三要素.其中定義

域是函數(shù)的靈魂，對應(yīng)關(guān)系是函數(shù)的核心.當且僅當兩個函數(shù)的三要素都相同時，這兩個函

數(shù)才相同.

③定義域和對應(yīng)關(guān)系分別相同.

④值域相同.

⑤如果兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系分別相同，那么它們的值域一定相等.因此只要兩

個函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系分別相同，那么這兩個函數(shù)就相等.

應(yīng)用示例

例題題下列函數(shù)中哪個與函數(shù)。5=元相等？

(l)y=(Vv)2；(2)y=ypi(3))'=迎；(4)y=[.

活動：讓學生思考兩個函數(shù)相等的條件后，引導學生求出各個函數(shù)的定義域，化簡函數(shù)

關(guān)系式為最簡形式.只要它們的定義域和對應(yīng)關(guān)系分別相同，那么這兩個函數(shù)就相等.

解：函數(shù)y=x的定義域是R對應(yīng)關(guān)系是工一乂

(I)：函數(shù)y=(5)2的定義域是[0,+8),

???函數(shù)y=(5P與函數(shù)y=x的定義域不相同，

，函數(shù)y=(存產(chǎn)與函數(shù)y=x不相等.

(2)：函數(shù)y=沖的定義域是R,

???函數(shù)與函數(shù)y=x的定義域相同.

又???)，=依=乂

???函數(shù)y=相5與函數(shù)y=x的對應(yīng)關(guān)系也相同.

???函數(shù)y=與函數(shù)y=x相等.

(3)V函數(shù)y=47的定義域是R,

:.函數(shù)y=4？與函數(shù)產(chǎn)x的定義域相同.

又

:.函數(shù)y=q?與函數(shù)y=x的對應(yīng)關(guān)系不相同.

???函數(shù)y=4?與函數(shù)y=x不相等.

(4);?函數(shù)的定義域是(-8,0)0(0,+°°),

??.函數(shù)與函數(shù)),="的定義域不相同，

；?函數(shù)y—*與函數(shù)y-x不相等.

點評：本題主要考查函數(shù)相等的含義.討論函數(shù)問題時，要保持定義域優(yōu)先的原則.對

于判斷兩個函數(shù)是否是同一個函數(shù)，要先求定義域，若定義域不同，則不是同一個函數(shù)；若

定義域相同，再化簡函數(shù)的解析式，若解析式相同(即對應(yīng)關(guān)系相同)，則是同一個函數(shù)，否

則7是同一個函數(shù).

變式訓練

判斷下列各組的兩個函數(shù)是否相同，并說明理由.

?y=x-1>x￡R與y=x—1,x￡N；

②產(chǎn)5y=1L27x+2；

③尸1+：與u=1+%

④y=/與y=N?；

[2x,x>0,

⑤y=2|x|與y=<

-2x,x<0.

是同一個函數(shù)的是.(把是同一個函數(shù)的序號填上即可)

解析：只需判斷函數(shù)的定義域和對應(yīng)法則是否均相同即司.

①前者的定義域是R,后者的定義域是N,由于它們的定義域不同，故不是同一

個函數(shù)；

②前者的定義域是{Mx22,或％W-2},后者的定義域是{Mx22},它們的定義域

不同，故不是同一個函數(shù)；

③定義域相同均為非零實數(shù)，對應(yīng)法則相同都是自變量取倒數(shù)后加1,那么值域必

相同，故是同一個函數(shù)；

④定義域是相同的，但對應(yīng)法則不同，故不是同一個函數(shù)；

2x,x>0,

⑤函數(shù)丁=2團=〈則定義域和對應(yīng)法則均相同，那么值域必相同，故

-2x,x<0,

是同一個函數(shù).

故填③⑤.

答案：③?

知能訓練

1.下列給出的四個圖形中，是函數(shù)圖象的是()

①②③④

圖2

A.①B.①③④

C.①②③D.③④

答案：B

2.函數(shù))，=兀0的定義域是R,值域是[1,2],則函數(shù))，=式級-1)的值域是

答案：[1,2]

3.下列總組函數(shù)是同一個函數(shù)的有.

①/U)=，P,g(x)=xyjx；g(x)=%;

g(u)=—^刨x)=—*+2%,g(〃)=—i+2”.

答案：②?④

拓展提升

問題：函數(shù)y=7U)的圖象與直線x=m有幾個交點？

探究：設(shè)函數(shù)定義域是D,

當機時，根據(jù)函數(shù)的定義知貝加).唯一，

則函數(shù)y=/(x)的圖象上橫坐標為m的點僅有一個(/n,

即此時函數(shù)y=O)的圖象與直線x=m僅有一個交點；，

當〃?右。時，根據(jù)函數(shù)的定義知見")不存在，

則函數(shù))，=兀0的圖象上橫坐標為，〃的點不存在，

即此時函數(shù)y=貝?的圖象與直線x=rn沒有交點.

綜上所得，函數(shù)y=4r)的圖象與直線有交點時僅有一個，或沒有交點.

課堂小結(jié)

⑴復習了函數(shù)的概念，總結(jié)了函數(shù)的三要素；

(2)判斷兩個函數(shù)是否是同一個函數(shù).

作業(yè)

I.設(shè)M={x|-2WxW2},N={y|0WyW2),給出下列4個圖形，其中能表示以集合M

答案：B

2.4公司生產(chǎn)某種產(chǎn)品的成本為1000元，以1100元的價格批發(fā)出去，隨生產(chǎn)產(chǎn)品數(shù)

量的增加，公司收入,它們之間是關(guān)系.

解析：由題意，多生產(chǎn)一單位產(chǎn)品則多收入100元.生產(chǎn)產(chǎn)品數(shù)量看成是自變量，公司

收入看成是因變量，容易得出對于自變量的每一個確定值，因變量都有唯一確定的值與之對

應(yīng)，從而判斷兩者是函數(shù)關(guān)系.

答案：增加函數(shù)

3.函數(shù)與5=產(chǎn)是同一函數(shù)嗎？

答：函數(shù)的確定只與定義域與對應(yīng)關(guān)系有關(guān)，而與所表示的字母無關(guān)，因此與S

=戶表示的是同一個函數(shù).因此并非字母不同便是不同的函數(shù)，這是由函數(shù)的本質(zhì)決定的.

設(shè)計感想

本節(jié)教學內(nèi)容主要是依據(jù)高考說明，對課本內(nèi)容適當拓展，重點對函數(shù)的相等問題進行

了引申，設(shè)計時對拓展的內(nèi)容采取漸進式，設(shè)計時本著逐步提高、拓展，不能急于求成，否

則事倍功半.

備課資料

【備選例題】

【例1】已知函數(shù)及（）=土，則函數(shù)力/m）］的定義域是.

解析：??7W=*p?7片一1.?7/1/3］=彳出）=-

1+,

IX"!"2

???1+不W0,即不工0.??以學一2.???/［/伏）］的定義域為｛水二-2,且xW-l｝.

答案：｛x|xK—2,且工X—1］

【例2】已知函.數(shù)42x+3）的定義域是［-4,5）,求函數(shù)人法—3）的定義域.

解：由函數(shù)</（2x+3）的定義域得函數(shù)式x）的定義域，從而求得函數(shù)人21—3）的定義域.設(shè)

2x+3=n當X￡［—4,5）時，有，三［一5,13）,則函數(shù)用）的定義域是［-5,13）,解不等式一

-3<13,得一14V8,即函數(shù)3>—3）的定義域是［-1,8）.

［知識拓展］

函數(shù)的傳統(tǒng)定義和近代定義的比較

函數(shù)的傳統(tǒng)定義（初中學過的函數(shù)定義）與它的近代定義（用集合定義函數(shù)）在實質(zhì)上是一

致的.兩個定義中的定義域和值域的意義完全相同；兩個定義中的對應(yīng)法則實際上也一樣，

只不過敘述的出發(fā)點不同.傳統(tǒng)定義是從運動變化的觀點出發(fā)，其中對應(yīng)法則是將自變量x

的每一個取值與唯一確定的函數(shù)值對應(yīng)起來；近代定義則是從集合、對應(yīng)的觀點出發(fā)，其中

的對應(yīng)法則是將原象集合中任一元素與象集合中的唯一確定的元素對應(yīng)起來.

至于函數(shù)的傳統(tǒng)定義向近代定義過渡的原因，從歷史上看，函數(shù)的傳統(tǒng)定義來源于物理

公式，最初的函數(shù)概念幾乎等同于解析式，要說清楚變量以及兩個變量的依賴關(guān)系，往往先

要弄清各個變量的物理意義，這就使研究受到了不必要的限制.后來，人們認識到了定義域

和值域的重要性，如果只根據(jù)變量的觀點來解析，會顯得十分勉強，如：符號函數(shù)sgnx=

1?x>0,

,0，4=0，用集合與對應(yīng)的觀點來解釋，就顯得十分自然了，用傳統(tǒng)定義幾乎無

「1,x<0>

法解釋，于是就有了函數(shù)的近代定義.由于傳統(tǒng)的定義比較生動、直觀，有時仍然會使用這

一定義.

1.2.2函數(shù)的表示法

整體設(shè)計

教學分析

課本從引進函數(shù)概念開始就比較注重函數(shù)的不同表示方法：解析法，圖象法，列表法.函

數(shù)的不同表示方法能豐富對函數(shù)的認識，幫助理解抽象的函數(shù)概念.特別是在信息技術(shù)環(huán)境

下，可以使函數(shù)在形與數(shù)兩方面的結(jié)合得到更充分的表現(xiàn)，使學生通過函數(shù)的學習更好地體

會數(shù)形結(jié)合這種重要的數(shù)學思想方法.因此，在研究函數(shù)時，要充分發(fā)揮圖象的直觀作用.在

研究圖象時，又要注意代數(shù)刻畫以求思考和表述的精確性.課本將映射作為函數(shù)的一種推廣，

這與傳統(tǒng)的處理方式有了邏輯順序上的變化.這樣處理，主要是想較好地銜接初中的學習，

讓學生將更多的精力集中理解函數(shù)的概念，同時，也體現(xiàn)了從特殊到一般.的思維過程.

三維目標

i.了解函數(shù)的一些基本表示法（列表法、圖象法、解析法），會根據(jù)不同實際情境選擇

合適的方法表示函數(shù)，樹立應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想.

2.通過具體實例，了解簡單的分段函數(shù)，并能簡單應(yīng)用，提高應(yīng)用函數(shù)解決實際問題

的能力，增加學習數(shù)學的興趣.

3.會用描點法畫一些簡單函數(shù)的圖象，培養(yǎng)學生應(yīng)用函數(shù)的圖象解決問題的能力.

4.了解映射的概念及表示方法，會利用映射的概念來判斷“對應(yīng)關(guān)系”是否是映射，

感受對應(yīng)關(guān)系在刻畫函數(shù)和映射概念中的作用，提高對數(shù)學高度抽象性和廣泛應(yīng)用性的進一

步認識.

重點難

教望重函數(shù)的三種表示方法，分段函數(shù)和映射的概念.

教學難點：分段函數(shù)的表示及其圖象，映射概念的理解.

課時安排

3課時

教學過程

第1課時

導入新課

思路I.語言是溝通人與人之間的聯(lián)系的，同樣的祝福又有著不同的,表示方法.例如，

簡體中文中的“生日快樂！”用繁體中文為：生日快攀！英文為：H叩pyBirthday!法文是

BonAnniversaire!德文是AllesGuteZumGeburtstag!印度尼西亞文是SelamatUlang

Tahun!……那么對于函數(shù)，又有什么不同的表示方法呢？引Hl課題：函數(shù)的表示法.

思路2.我們前面已經(jīng)學習了函數(shù)的定義，函數(shù)的定義域的求法，函數(shù)值的求法，兩個

函數(shù)是否相同的判定，方法，那么函數(shù)的表示方法常用的有哪些呢？這節(jié)課我們就來研究這

個問題（板書課題）.

推進新課

新知探究

提出問題

初中學過的三種表示法：解析法、圖象法和列表法各是怎樣表示函數(shù)的？

討論，結(jié)果：（1）解析法：用數(shù)學表達式表示兩個變量之間的函數(shù)關(guān)系，這種表示方法叫

做解析法，這個數(shù)學表達式叫做函數(shù)的解析式.

（2）圖象法：以自變量x的取值為橫坐標，對應(yīng)的函數(shù)值），為縱坐標，在平面直角坐標

系中描出各個點，這些點構(gòu)成了函數(shù)的圖象，這種用圖象表示兩個變量之間函數(shù)關(guān)系的方法

叫做圖象法.

（3）列表法：列一個兩行多列的表格，第一行是自變量的取值，第二行是對應(yīng)的函數(shù)值,

這種用表格來表示兩個變量之間的函數(shù)關(guān)系的.方法叫做列表法.

應(yīng)用示例

例1某種筆記本的單價是5元，買x（xW（123,4,5｝）個筆記本需要y元.試用函數(shù)的三

種表示法表示函數(shù)），=危）.

活動：學生思考函數(shù)的表示法的規(guī)定.注意本例的設(shè)問，此處“y=?r)”有三種含義，

它可以是解析表達式，可以是圖象，也可以是對應(yīng)值表.本題的定義減是有限集，且僅有5

個元素.

解：這個函數(shù)的定義域是數(shù)集(12345},

用解析法可將函數(shù)y=/(x)表示為y=5x,[1,2,3,4,5).

用列表法可將函數(shù)y=7U)表示為______________________________

筆記本數(shù)X12345

錢數(shù).V510152025

用圖象法可將函數(shù),，=兀1)表示為圖1.

八

25■?

20??

15■?

10■?

5■?

0」^345~x

圖1

點評：本題主要考查函數(shù)的三種表示法.解析法的特點是：簡明、全面地概?括了變量間

的關(guān)系，可以通過解析式求出任意一個自變量的值所對應(yīng)的函數(shù)值，便于用解析式來研究函

數(shù)的性質(zhì)，還有利于我們求函數(shù)的值域；圖象法的特點是：直觀、形象地表示自變量變化時

相應(yīng)的函數(shù)值變化的趨勢，有利于我們通過圖象來研究函數(shù)的某些性質(zhì)，圖象法在生產(chǎn)和生

活中有許多應(yīng)用，如企業(yè)生產(chǎn)圖、股市走勢圖等；列表法的特點是：不需要計算就可以直接

看出與自變量的值對應(yīng)的函數(shù)值，列表法在實際生產(chǎn)和生活中也有廣泛的應(yīng)用，如銀行利率

表、列車時刻表等等.并不是所有的函數(shù)都能用解析法表示，只有函數(shù)值隨自變量的變化發(fā)

生有規(guī)律的變化時，這樣的函數(shù)才可能有解析式，否則寫不出解析式，也就不能用解析法表

示.例如：張丹的年齡〃(〃￡N")每取一個值，那么他的身高)，(單位：cm)總有唯一確定的值

與之對應(yīng)，因此身高y是年齡〃的函數(shù)但是這個函數(shù)的解析式不存在，函數(shù))，=.?〃)

不能用解析法來表示.

注意：①函數(shù)圖象既可以是連續(xù)的曲線，也可以是直線、折線、離散的點等等；

②解析法：必須注明函數(shù)的定義域，否則使函數(shù)解析式有意義的自變量的取值范圍是函

數(shù)的定義域；

③圖象法：根據(jù)實際情境來決定是否連線；

④列表法：選取的自變量要有代表性，應(yīng)能反映定義域的特征.

變式訓練

)

A.abc>0B.a+b+cVO

C.b+c>0D.2c<3b

解析：由圖象研究二次函數(shù)》=加+云+，的性質(zhì)，易知。<0,b>0,c>0.當

=1時，)，=a+〃+c>0;當犬=一1時，a~b+c<0,故A,B,C都錯.

答案：D

2.已知〃W+/(—x)=3x+2,貝ij?r)=.

2/(X)+/(-X)=3X+2,

解析：由題意得《

2/(—x)+f(x)=-3x+2,

把和九一x)有成木知數(shù)，解方程即得.

2

答案：3x+g

例2下面是某校高一(1)班三位同學在高一學年度幾次數(shù)學測試的成績及班級平均分

表:

第一次第二次第三次第四次第五次第六次

王偉988791928895

張城907688758680

趙磊686573727582

班平均分88.278385.480.375.782.6

請你對這三位同學在高?學年度的數(shù)學學習情況做?個分析.

活動：學生思考做學情分析，具體要分析什么？怎么分析？借助什么工具？本題利用表

格給出了四個函數(shù)，它們分別表示王偉、張城、趙磊的考試成績及各次考試的班級平均分.由

于表格區(qū)分三位同學的成績高低不直觀，故采用圖象法來表示.做學情分析，具體要分析學

習成績是否穩(wěn)定，成績變化趨勢.

解：把“成績”y看成“測試序號”x的函數(shù)，用圖象法表示函數(shù))，=段)，如圖3所示.

4

100

\一.，，王偉

90a、,?^"一z

\b/:、3

80平均方y(tǒng)，1彳/必張城

70-?

趙春、?/

60

50-

40-

30-

20■

10-

~~0-1~23""45""6x

圖3

由圖3可看到：

王偉同學的數(shù)學成績始終高于班級平均分，學習情況比較穩(wěn)定而且成績優(yōu)秀；

張城同學的數(shù)學成績不穩(wěn)定，總是在班級平均分.水平上下波動，而且波動幅度較大；

趙磊同學的數(shù)學學習成績呈上升趨勢，表明他的數(shù)學成績穩(wěn)步提高.

點評：本題主要考查根據(jù)實際情境需要選擇恰當?shù)暮瘮?shù)表示法的能力，以及應(yīng)用函數(shù)解

決實際問題的能力.通過本題可見，圖象法比列表法和解析法更能直觀反映函數(shù)值的變化趨

勢.

注意：本例為了研究學生的學習情況，將離散的點用虛線連接，這樣便于研究成績的變

化特點.

變式訓練

1.函數(shù)—4x+6,xW[1,5)的值域是.

答案：(2,11)

2.將長右。的鐵絲折成矩形，求矩形面積y關(guān)于一邊長x的函數(shù)關(guān)系式，并求定義域和

值域，作出函數(shù)的圖象.

分析：解此題的關(guān)鍵是先把實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學問題，即把面積y表示為x的函數(shù)，用

數(shù)學的方法解決，然后再回到實陸中去.

解：設(shè)矩形一邊長為x,則另一邊長為上。一2x),則面積y=/—2x)x=T+&x.又

〃2；>0得OVxV1即定義域為(0,9?由于產(chǎn)一^一5+十W和，如圖4

所示，結(jié)合函數(shù)的圖象得值域為(0,七病.

3.向高為〃的水瓶中注水,注滿為止,如果注水量V與水深h的函數(shù)關(guān)系的圖象如圖

5所示，那么水瓶的形狀是(

ABCD

圖6

解析：要求由水瓶的形狀識別容積V和高度h的函數(shù)關(guān)系,突出了對思維能力的考查.

觀察圖象，根據(jù)圖象的特點發(fā)現(xiàn)：取水深仁祭注水量號,

即水深為一半時，實際注水量大于水瓶總水量的一半.

A中V<^,C、D中V=W，故排除A,C,D.

答案：B

知能訓練

課本本節(jié)練習2,3.

【補充練習】

1.等腰二角形的周長是20?底邊長y是一腰長，的函數(shù).貝lj()

A.)，=10-x(0VxW10)

B.j=10-x(0<x<10)

C.y=20-2x(5WxW10)

D.y=20-2x(5<x<10)

解析：根據(jù)等腰三角形的周長列出函數(shù)解析式.

???2x+)，=20,?力=20一次則20-Zr>0....xV10.由構(gòu)成三角形的條件(兩邊之和大于第

三邊)可知2A>20-2x,得x>5,，函數(shù)的定義域為{M5<rV10}.

/.y=20-2x.(5<x<10).

答案：D

2.定義在R上的函數(shù)y=/(x)的值域為[小旬，則y=/(x+l)的值域為()

A.[a,h]B.[。+1,b+1]

C.[a-\,b-\]D.無法確定

解析：將函數(shù)y=/(x)的圖象向左平移一個單位得函數(shù)y=/U+l)的圖象，由于定義域均

是R,則這兩個函數(shù)圖象上點的縱坐標的取值范圍相同，所以y=7U+l)的值域也是[a,b].

答案：A

3.函數(shù)段)一]；?。匕1<)的值域是()

A.(0,1)B.(0,1]

C.[0,1)D.[0,1]

解析：(觀察法)定義域是R,由于則1+?21,從而OV*}W1.

答案：B

拓展提升

問題：變換法畫函數(shù)的圖象都有哪些？

解答：變換法畫函數(shù)的圖象有三類：

1.平移變換：

(1)將函數(shù)y=/)的圖象向左平移。(。>0)個單位得函數(shù)y=/(x+m的圖象；

(2)將函數(shù)y=/(x)的圖象向右平移〃(4>0)個單位得函數(shù))，=以一0的圖象；

(3)將函數(shù)y=4r)的圖象向上平移儀b>0)個單位得函數(shù))，=凡0+力的圖象；

(4)將函數(shù)y=?i)的圖象向下平移8S>0)個單位得函數(shù))，=/(x)—力的圖象.

簡記為“左加(+)右減(一)，上加(+)下減(一)”.

2.對稱變換：

(1)函數(shù)y=/(x)與函數(shù)y=A一功的圖象關(guān)于直線、=0即)，軸對稱；

(2)函數(shù)丫=/)與函數(shù))，=一%)的圖象關(guān)于直線y=0即x軸對稱；

(3)函數(shù)y=兀0與函數(shù)y=——x)的圖象關(guān)于原責對稱.

3.翻折變換：

(1)函數(shù)y=l/(x)|的圖象可以將函數(shù)y=<x)的圖象位于x軸下方部分沿x軸翻折到x軸上

方，去掉原x軸下方部分，并保留y=/U)的x軸上方部分即可得到.

(2)函數(shù))，=貝國)的圖象可以將函數(shù)y=/U)的圖象位于y軸右邊部分翻折到)，軸左邊替代

原y軸左邊部分并保留y=/(x)在y軸右邊部分圖象即可得到.

函數(shù)的圖象是對函數(shù)關(guān)系的一種直觀、形象的表示，可以直觀地顯示出函數(shù)的變化狀況

及其特性，它是研究函數(shù)性質(zhì)時的重要參考，也是運用數(shù)形結(jié)合思想研究和運用函數(shù)性質(zhì)的

基礎(chǔ).另一方面，函數(shù)的一些特性又能指導作圖，函數(shù)與圖象是同一事物的兩個方面，是函

數(shù)的不同表現(xiàn)形式.函數(shù)的圖象可以比喻成人的相片，觀察函數(shù)的圖象可以解決研究其性質(zhì)，

當然，也可以由函數(shù)的性質(zhì)確定函數(shù)圖象的特點.借助函數(shù)的圖象來解決函數(shù)問題，函數(shù)的

圖象問題是高考的熱點之一，應(yīng)引起重視.

課堂小結(jié)

本節(jié)課學習了：函數(shù)的三種表示方法，在具體的實際問題中能夠選用恰當?shù)谋硎痉▉肀?/p>

示函數(shù).

作業(yè)

課木習題L2A組7,8,9.

設(shè)計感想

本節(jié)教學設(shè)計容量較大，盡量借助于信息技術(shù)來完成.本節(jié)的設(shè)計重點是函數(shù)的三種表

示方法，提出了表示法的應(yīng)用，特別是用圖象法求函數(shù)的值域，并對求函數(shù)值域的方法進行

了總結(jié)以滿足高考的要求.

第2課時

導入新課

思路1.當公>1時，/)=工一1：當xWl時，兀0=—x,請寫出函數(shù)的解析式.這

個函數(shù)的解析式有什么特點？教師指出本節(jié)課題.

思路2.化簡函數(shù)y=|x|的解析式，說說此函數(shù)解析式的特點，教師指出本節(jié)課題.

推進新課

新知探究

提出問題

①函數(shù)〃(%)={與兀o=x-i,ga)=/在解析式上有什么區(qū)別？

l-x十1,彳與一1

②請舉出幾個分段函數(shù)的例子.

活動：學生討論交流函數(shù)解析式的區(qū)別.所謂“分段函數(shù)”，習慣上指在定義域的不同

部分，有不同對應(yīng)法則的函數(shù).

討論結(jié)果：①函數(shù)力(X)是分段函數(shù)，在定義域的不同部分，其解析式不同.說明：分段

函數(shù)是一個函數(shù)，不要把它誤認為是幾個函數(shù)：分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集，值

域是各段值域的并集；生活中有很多可以用分段函數(shù)描述的實際問題，如出租車的計費、個

人所得稅納稅額等等.

[0>A>0,

②例如：y=\l八等.

[1,x<0

應(yīng)用示例

例1畫出函數(shù))，=因的圖象.

活動：學生思考函數(shù)圖象的畫法：①化簡函數(shù)的解析式為基本初等函數(shù)；.②利用變換

法畫出圖象，根據(jù)絕對值的概念來化簡解析式.

解法一：由絕對值的概念，我們有y=

所以，函數(shù)y=|x|的圖象如圖7所示.

解法二：畫函數(shù)y=x的圖象，將其位于x軸下方的部分對稱到/軸上方，與函數(shù)y=x

的圖象位于x軸上方的部分合起來得函數(shù)y=|x|的圖象如圖7所示.

點評：函數(shù)丁=40的圖象位于x軸上方的部分和y=|/(x)|的圖象相同，函數(shù)y=/(x)的圖

象位于4軸下方的部分對稱到x軸上方就是函數(shù)y=[/(x)|圖象的一部分.利用函數(shù)y=.*x)的

圖象和函數(shù)丁=[小)1的圖象的這種關(guān)系，由函數(shù))，=兀0的圖象畫出函數(shù)y=|/U)l的圖象.

變式訓練

x+4,x<0,

2

1.已知函數(shù)丁={冗-2x,0<x<4,

-x+2,x>4.

⑴求川以5)]}的值；

(2)畫出函數(shù)的圖象.

分析：本題主要考查分段函數(shù)及其圖象.?1)是分段函數(shù)，要求。歡5)]},需要

確定/65)]的取值范圍，為此又需確定人5)的取值范圍，然后根據(jù)所在定義域,代

入相應(yīng)的解析式，逐步求解.畫出函數(shù)在各段上的圖象，再合起來就是分段函數(shù)

的圖象.

解：(1)<5>4,???人5)=-5+2=—3.???一3<0,???歡5)]=7(—3)=—3+4=1.???0

<1<4,.，.A/W5)])=y(l)=l2-2X1=-1,即加(5)]}=—1.

(2)圖象如圖8所示：

2.課本本節(jié)練習3.

.2

3.畫出函數(shù)產(chǎn)產(chǎn)+D的圖象.

-x,x>0

步驟：①畫整個二次函數(shù)y=(x+1)2的圖象，再取其在區(qū)間(-8,0]上的圖象，

其他部分刪去不要；②畫一次函數(shù)y=-x的圖象，再取其在區(qū)間(0,+8)上的

圖象，其他部分刪去不要；③這兩部分合起來就是所要畫的分段函數(shù)的圖象.如

圖9所示.

例2某市“招手即?！惫财嚨钠眱r按.卜一列規(guī)則制定：

(1)乘坐汽車5千米以內(nèi)(含5千米)，票價2元；

(2)5千米以上，每增加5千米，票價增加1元(不足5千米按5千米計算)，

如果某條線路的總里程為20千米，請根據(jù)題意，寫出票價與里程之間的函數(shù)解析式,

并畫出函數(shù)的圖象.

活動：學生討論交流題目的條件，弄清題意.本例是一個實壞問題，有具體的實際意義,

由于里程在不同的范圍內(nèi)，票價有不同的計算方法，故此函數(shù)是分段函數(shù).

A

5°------

01~5~101520X

圖10

解：設(shè)里程為x千米時，票價為y元，根據(jù)題意得（0,20].

由“招手即?！惫财嚻眱r制定的規(guī)定，可得到以下函數(shù)解析式:

20<rW5,

3,5<JrW10,

4,10<￥<15,

515<xW20.

根據(jù)這個函數(shù)解析式，可畫出函數(shù)圖象，如圖10所示.

點評：本題主要考查分段函數(shù)的實際應(yīng)用，以及應(yīng)用函數(shù)解決問題的能力.生活中有很

多可以用分段函數(shù)描述的實際問題，如出租車的計費、個人所得稅納稅額等等.在列出其解

析式時，要充分考慮實際問題的規(guī)定，根據(jù)規(guī)定來求得解析式.

注意：

①本例具有實際背景，所以解題時應(yīng)考慮其實際意義；

②分段函數(shù)的解析式不能寫成幾個不同的方程，而應(yīng)寫成函數(shù)值不同的幾種表達式并用

一個左大括號括起來，并分別注明各部分的自變量的取值情況.

變式訓練

某客運公司確定車票價格的方法是：如果行程不超過100千米，票價是