高中數(shù)學(xué)人教A版選修2-1課件3.1.2空間向量的數(shù)乘運(yùn)算

空間向量的數(shù)乘運(yùn)算課標(biāo)闡釋思維脈絡(luò)1.掌握空間向量數(shù)乘運(yùn)算的定義及運(yùn)算律.2.理解向量共線、向量共面的定義.3.掌握共線向量定理和共面向量定理,會(huì)證明空間三點(diǎn)共線、四點(diǎn)共面.空間向量的數(shù)乘運(yùn)算【思考1】平面向量中,實(shí)數(shù)λ和向量a的乘積λa的意義是什么?向量的數(shù)乘運(yùn)算滿足哪些運(yùn)算律?答案當(dāng)λ>0時(shí),λa和a方向相同;當(dāng)λ<0時(shí),λa和a方向相反;λa的長(zhǎng)度是a的長(zhǎng)度的|λ|倍.向量的數(shù)乘運(yùn)算滿足分配律及結(jié)合律:①分配律:λ(a+b)=λa+λb;②結(jié)合律:λ(μa)=(λμ)a.1.空間向量的數(shù)乘運(yùn)算(1)定義:實(shí)數(shù)λ與空間向量a的乘積λa仍然是一個(gè)向量,稱為向量的數(shù)乘運(yùn)算.(2)向量a與λa的關(guān)系(3)空間向量的數(shù)乘運(yùn)算律若λ,μ是實(shí)數(shù),a,b是空間向量,則有①分配律:λ(a+b)=λa+λb;(λ+μ)a=λa+μa;②結(jié)合律:λ(μa)=(λμ)a.名師點(diǎn)撥對(duì)空間向量數(shù)乘運(yùn)算的理解(1)λa是一個(gè)向量.(2)因?yàn)閍,b可以平移到同一平面內(nèi),所以λa,μb,a+b,λa+μb都在這個(gè)平面內(nèi),因而平面向量的數(shù)乘運(yùn)算律適用于空間向量.答案A【思考2】參照平面向量中關(guān)于向量共線的知識(shí),給出空間中共線向量的定義.答案如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合,那么這些向量叫做共線向量或平行向量.2.共線向量與共面向量

共線(平行)向量共面向量定義表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合,則這些向量叫做共線向量或平行向量平行于同一個(gè)平面的向量叫做共面向量充要條件對(duì)于空間任意兩個(gè)向量a,b(b≠0),a∥b的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ使a=λb若兩個(gè)向量a,b不共線,則向量p與a,b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x,y),使p=xa+yb名師點(diǎn)撥共線向量的特點(diǎn)及三點(diǎn)共線的充要條件(1)共線向量不具有傳遞性因?yàn)榱阆蛄?=0·a,所以零向量和空間任一向量a是共線(平行)向量,這一性質(zhì)使共線向量不具有傳遞性,即若a∥b,b∥c.則a∥c不一定成立.因?yàn)楫?dāng)b=0時(shí),a∥0,0∥c,但a與c不一定共線.(2)空間三點(diǎn)共線的充要條件【做一做2】

滿足下列條件,能說明空間不重合的A,B,C三點(diǎn)共線的是(

)答案C【做一做3】

下列結(jié)論中,正確的個(gè)數(shù)是

.

①若a,b,c共面,則存在實(shí)數(shù)x,y,使a=xb+yc;②若a,b,c不共面,則不存在實(shí)數(shù)x,y,使a=xb+yc;③若a,b,c共面,b,c不共線,則存在實(shí)數(shù)x,y,使a=xb+yc;④若a=xb+yc,則a,b,c共面.解析對(duì)于①,當(dāng)向量b,c共線時(shí),則不成立,∴①錯(cuò)誤;對(duì)于②,根據(jù)空間向量的共面定理,結(jié)合逆否命題與原命題的真假性,得a,b,c不共面時(shí),不存在實(shí)數(shù)x,y,使a=xb+yc,∴②正確;對(duì)于③,由空間向量的共面定理可知③正確;對(duì)于④,根據(jù)空間向量的共面定理得,當(dāng)a=xb+yc時(shí),a,b,c共面,∴④正確.綜上,正確的結(jié)論是②③④.答案3【做一做4】判斷下列命題是否正確.(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)(1)若a與b共線,b與c共線,則a與c共線.(

)(2)若向量a,b,c共面,即表示這三個(gè)向量的有向線段所在的直線共面.(

)(3)若a∥b,則存在唯一的實(shí)數(shù)λ,使a=λb.(

)答案(1)×

(2)×

(3)×探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測(cè)探究一空間向量的線性運(yùn)算

思路分析根據(jù)數(shù)乘向量及三角形法則,平行四邊形法則求解.探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測(cè)反思感悟利用數(shù)乘運(yùn)算進(jìn)行向量表示的技巧(1)數(shù)形結(jié)合:利用數(shù)乘運(yùn)算解題時(shí),要結(jié)合具體圖形,利用三角形法則、平行四邊形法則,將目標(biāo)向量轉(zhuǎn)化為已知向量.(2)明確目標(biāo):在化簡(jiǎn)過程中要有目標(biāo)意識(shí),巧妙運(yùn)用中點(diǎn)性質(zhì).探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測(cè)空間共線向量定理及其應(yīng)用

探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測(cè)反思感悟利用空間向量共線定理可解決的主要問題1.判斷兩向量是否共線:判斷兩向量a,b(b≠0)是否共線,即判斷是否存在實(shí)數(shù)λ,使a=λb.2.求解參數(shù):已知兩非零向量共線,可求其中參數(shù)的值,即利用“若a∥b,則a=λb(λ∈R)”.3.判斷或證明空間中的三點(diǎn)(如P,A,B)是否共線:探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測(cè)解∵M(jìn),N分別是AC,BF的中點(diǎn),且四邊形ABCD,ABEF都是平行四邊形,變式訓(xùn)練2如圖所示,已知四邊形ABCD,ABEF都是平行四邊形且不共面,M,N分別是AC,BF的中點(diǎn),判斷

是否共線.探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測(cè)探究三空間共面向量定理及其應(yīng)用

探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測(cè)反思感悟證明共面問題的基本方法(1)證明兩個(gè)空間向量共面時(shí),可以利用共面向量的充要條件,也可直接利用共面向量的定義,通過線面平行、直線在平面內(nèi)等進(jìn)行證明.(2)證明空間四點(diǎn)P,M,A,B共面時(shí),可以通過以下幾種條件進(jìn)行證明.探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測(cè)變式訓(xùn)練3已知A,B,M三點(diǎn)不共線,對(duì)于平面ABM外任意一點(diǎn)O,確定在下列條件下,點(diǎn)P是否與點(diǎn)A,B,M共面?探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測(cè)思維辨析

一題多解——四點(diǎn)共面問題典例已知A,B,C三點(diǎn)不共線,點(diǎn)O是平面ABC外的任意一點(diǎn),若點(diǎn)P分別滿足下列關(guān)系:試判斷點(diǎn)P是否與點(diǎn)A,B,C共面.探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測(cè)答案C探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測(cè)2.若x是實(shí)數(shù),則“a=xb”是“向量a,b共線”的(

)A.充分不必要條件

B.必要不充分條件C.充要條件

D.既不充分也不必要條件解析當(dāng)a=xb時(shí),向量a,b一定共線,但當(dāng)b=0時(shí)