一元二次函數(shù)的最值問題教學設計 高一上學期數(shù)學人教A版（2019）必修第一冊

一元二次函數(shù)的最值問題一教材分析高中數(shù)學人教A版必修一第一章介紹了函數(shù)的概念及其函數(shù)的基本性質.函數(shù)是數(shù)學的靈魂,是高中數(shù)學的主干知識,貫穿高中數(shù)學始終.函數(shù)的最值是函數(shù)的重要性質,與其他數(shù)學知識聯(lián)系緊密,在數(shù)學建模,最優(yōu)化等問題中也有廣泛的應用.它蘊含了函數(shù)與方程,數(shù)形結合,分類討論,等價轉化等重要數(shù)學思想,是歷年高考的必考內容.《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）》第19頁指出,借助函數(shù)圖象,會用符號語言表達函數(shù)的單調性,最大值,最小值,理解它們的作用和實際意義.一元二次函數(shù)一種重要的函數(shù)模型,一元二次函數(shù)的最值問題更是高考?？嫉膬热?在學完最值概念后,講解一元二次函數(shù)的最值問題不僅能夠讓學生掌握一元二次函數(shù)最值問題常見題型,更能夠讓學生深刻地體會到最值概念的應用,培養(yǎng)學生數(shù)形結合思想,分類討論思想等重要的數(shù)學思想方法,以及提升學生的數(shù)學核心素養(yǎng).因此,本節(jié)課實際上是最值問題在一元二次函數(shù)中的具體應用.二學情分析本節(jié)課是學生在學習了最值概念之后講解的內容.學生在先前的學習中對最值的概念有了一定的理解,對一元二次函數(shù)的基本知識也掌握得比較好.因此本節(jié)課是在學生的最近發(fā)展區(qū)中展開的,能夠讓學生跳一跳,夠得著.但是初中學過的一元二次函數(shù)要求和高中的要求不相同.在初中階段,學習了當自變量取任意實數(shù)時,數(shù)字系數(shù)的二次函數(shù)的最值的求法,在這個基礎上,高中階段將進一步加深對二次函數(shù)最值的求法,引入二次函數(shù)在固定區(qū)間和動區(qū)間以及含參數(shù)的二次函數(shù)在定區(qū)間上的最值的求法.因此高中對一元二次函數(shù)的最值問題要求明顯提高了很多,這對學生來講是一個難點,需要通過教師的引導,師生共同探究來突破.三教學目標知識與技能:會求數(shù)字系數(shù)的二次函數(shù)在一固定(變化)區(qū)間上的最值.會求含參數(shù)的二次函數(shù)在固定(變化)區(qū)間上的最值.當已知二次函數(shù)的最值情況時,會求有關參數(shù)的取值.過程與方法:通過分類型講解,讓學生體會二次函數(shù)最值問題不同類型的處理策略,在掌握方法的同時提升能力,提高學生發(fā)現(xiàn)問題,解決問題的能力.情感態(tài)度與價值觀:于課堂教學中通過師生互動,生生互動,提高數(shù)學地思考,數(shù)學地交流,數(shù)學地表達的能力.通過主動思考,引導探究,提高數(shù)學思辨能力,提升數(shù)學核心素養(yǎng).四教學重點，難點重點:一元二次函數(shù)最值問題的求解策略難點:一元二次函數(shù)最值問題中的分類討論和數(shù)形結合思想的運用五教學過程環(huán)節(jié)1復習引入,平穩(wěn)過渡復習二次函數(shù)的配方和三種形式配方：設一元二次函數(shù),則三種形式：一般式，頂點式，交點式.復習二次函數(shù)的圖象,環(huán)節(jié)2:分類講解,提升思維類型1:定軸定區(qū)間例1:已知函數(shù),當自變量在下列范圍內取值時,求函數(shù)最值(1)[0,3](2)[-1,1](3)[1,4)解析：當時,最小值為-7,最大值為5;當時,最小值為-4,最大值為20;當時,最小值為-7,無最大值.變式1:已知函數(shù)在區(qū)間上有最大值4,求.總結：對于此類定軸定區(qū)間問題，可以采用配方法和圖象法求解.類型2：動軸定區(qū)間例2：已知函數(shù),在區(qū)間上的最大值是,最小值是,則A與有關，與有關B與有關，與無關C與無關，與無關B與無關，與有關解析:若,則,.若,則,.若,則,.總結:拋物線開口方向確定,對稱軸不確定,需根據(jù)對稱軸的不同情況分類討論,可畫出二次函數(shù)相關部分的簡圖,用數(shù)形結合解決問題.類型3：定軸動區(qū)間例3：已知函數(shù),記在區(qū)間上的最大值為,寫出的表達式.解析:若,則,若,則若,則,當時,,當時,.綜上,.總結:區(qū)間是變化的,從運動的觀點來看,讓區(qū)間從左向右沿x軸正方向移動,分析移動到不同位置時對最值有什么影響.借助圖形,可以更直觀,清晰地解決問題.環(huán)節(jié)3:課堂小結求二次函數(shù)最值的常見類型及解法一是函數(shù)定義域為實數(shù)集,這時這要根據(jù)拋物線開口方向,應用配方法即可;二是函數(shù)定義域為某一區(qū)間,這時二次函數(shù)的最值由它的單調性確定,而它的單調性又由拋物線的開口方向和對稱軸的位置來決定,當開口方向或對稱軸不確定時,還需要分類討論.環(huán)節(jié)4:課后作業(yè)中等題:求在上的最大值.探究題:已知,.設,,記的最小值為,的最大值為,則的值為教學反思人教A版必修一第一章介紹了函數(shù)的概念及其函數(shù)的基本性質.函數(shù)是數(shù)學的靈魂,是高中數(shù)學的主干知識,貫穿高中數(shù)學始終.函數(shù)的最值是函數(shù)的重要性質,與其他數(shù)學知識聯(lián)系緊密,在數(shù)學建模,最優(yōu)化等問題中也有廣泛的應用.它蘊含了函數(shù)與方程,數(shù)形結合,分類討論,等價轉化等重要數(shù)學思想,是歷年高考的必考內容.《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）》第19頁指出,借助函數(shù)圖象,會用符號語言表達函數(shù)的單調性,最大值,最小值,理解它們的作用和實際意義.一元二次函數(shù)一種重要的函數(shù)模型,一元二次函數(shù)的最值問題更是高考?？嫉膬热?在學完最值概念后,講解一元二次函數(shù)的最值問題不僅能夠讓學生掌握一元二次函數(shù)最值問題常見題型,更能夠讓學生深刻地體會到最值概念的應用,培養(yǎng)學生數(shù)形結合思想,分類討論思想等重要的數(shù)學思想方法,以及提升學生的數(shù)學核心素養(yǎng).因此,本節(jié)課實際上是最值問題在一元二次函數(shù)中的具體應用.本節(jié)課是學生在學習了最值概念之后講解的內容.學生在先前的學習中對最值的概念有了一定的理解,對一元二次函數(shù)的基本知識也掌握得比較好.因此本節(jié)課是在學生的最近發(fā)展區(qū)中展開的,能夠讓學生跳一跳,夠得著.但是初中學過的一元二次函數(shù)要求和高中的要求不相同.在初中階段,學習了當自變量取任意實數(shù)時,數(shù)字系數(shù)的二次函數(shù)的最值的求法,在這個基礎上,高中階段將進一步加深對二次函數(shù)最值的求法,引入二次函數(shù)在固定區(qū)間和動區(qū)間以及含參數(shù)的二次函數(shù)在定區(qū)間上的最值的求法.因此高中對一元二次函數(shù)的最值問題要求明顯提高了很多,這對學生來講是一個難點,需要通過教師的引導,師生共同探究來突破.基于上述對教材分析和學情分析,本節(jié)課設置的教學目標如下:知識與技能:會求數(shù)字系數(shù)的二次函數(shù)在一固定(變化)區(qū)間上的最值.會求含參數(shù)的二次函數(shù)在固定(變化)區(qū)間上的最值.當已知二次函數(shù)的最值情況時,會求有關參數(shù)的取值.過程與方法:通過分類型講解,讓學生體會二次函數(shù)最值問題不同類型的處理策略,在掌握方法的同時提升能力,提高學生發(fā)現(xiàn)問題,解決問題的能力.情感態(tài)度與價值觀:于課堂教學中通過師生互動,生生互動,提高數(shù)學地思考,數(shù)學地交流,數(shù)學地表達的能力.通過主動思考,引導探究,提高數(shù)學思辨能力,提升數(shù)學核心素養(yǎng).本節(jié)課的教學重點是一元二次函數(shù)最值問題的求解策略,難點是一元二次函數(shù)最值問題中的分類討論和數(shù)形結合思想的運用.整節(jié)課設計了如下的幾個教學環(huán)節(jié),第一是復習引入,第二是講解三種類型的最值問題,第三是課堂小結,第四是課后作業(yè).章建躍博士說過,從課堂教學的要求看,教學的自然和水到渠成應包括兩個方面:一是知識邏輯順序的自然;二是學生心理邏輯的自然,主要是思維過程的自然.在第一個環(huán)節(jié)中和學生一起回顧初中學習過的配方,圖象,結合高中的單調性,借助圖象觀察最高點和最低點的坐標,為后面第二環(huán)節(jié)的講解做好鋪墊.這樣的引入符合學生的認知規(guī)律,做到了教學的自然.章建躍博士指出,數(shù)學思想方法的力量是無限的,它蘊含于數(shù)學知識中，需要用心挖掘,應成為數(shù)學教與學的根,手和船.在第二環(huán)節(jié)中,分類講解了三種題型,一是定軸定區(qū)間,二是動軸定區(qū)間,三是定軸動區(qū)間,講解過程中注重對分類討論。專家點評1.聆聽來自學生的聲音數(shù)學課堂教學需要教師思維過程的優(yōu)化，同時也需要聆聽來自學生的聲音，這是對課堂很好的補充。數(shù)學課堂教學無論是傳授知識還是培養(yǎng)學生解決問題的方法，都要求教師具有很好的數(shù)學思維基礎，即邏輯思維，形象思維和直覺思維，只有具有這些思維能力并共同作業(yè)，才能使我們的數(shù)學教學具有一定的思維質量，才有可能培養(yǎng)出學生優(yōu)良的思維品質。教師由于知識基礎和經(jīng)驗的積淀，方法和手段的積累，在解決問題的過程與學生會有很大的不同，他們在解決問題時方法的選擇會比較準確，考慮問題會很全面，思維層次會很深入，解決問題的途徑也會有多樣性，呈現(xiàn)多元化趨勢。但是對學生而言知識需要掌握，能力需要培養(yǎng)，知識方法尚在構建之中，這就需要教師解決問題的思維過程要考慮到學生的實際和接受能力的現(xiàn)實狀況，要考慮到學生真實的想法和需求，要有意識地解決學生需要解決的當前問題，在此基礎上才能考慮如何進一步提高學生的思維水平和解決問題能力。我們的課堂教學往往有兩個現(xiàn)象值得警惕：一是話語霸權，即教師侵占學生的話語權，忽視學生的想法和需要，教學中說著正確的廢話，無視學生的言論，一次又一次錯過精彩的生成；二是思維剝奪，即教師設計了嚴謹?shù)慕虒W思維，學生只能按部就班地去聽，教師在課堂上的提問往往也只是一種擺設，課堂教學中只有一種環(huán)節(jié)設計，甚至教師有唯一正確答案的預設，讓學生沿著其鋪設的思路去思考。學生沒有足夠的自主參與和選擇自主思維的途徑和機會，他們只能圍繞著教師的問題轉，思路想，與其說是思考，不如說是為了尋找教師所提問問題背后的正確答案而苦心琢磨教師的心思，關心的是自己的想法是否符合教師的胃口，久而久之這樣的教學只能塑造學生奉迎，遵從的思維惰性。這樣的教學同樣不利于完善教師的思維，彌補教師思維的缺陷，會使本應具有思維廣闊性和深刻性的教師思維不再廣闊，深刻和理性，更容易導致思維的敏捷性和非邏輯性思維能力的缺失。2.考慮學生的思維水平教師的教學設計不能只從教材和自己的經(jīng)驗出發(fā)，還需要考慮學生的思維水平，更需要有課前預設。如果課堂只從教材出發(fā)，那只能說我們的教學是在教教材，教學時的知識，很難說我們的教學是在培養(yǎng)和發(fā)展學生的能力；如果我們只從自己的經(jīng)驗出發(fā)，那樣的課堂一定是模式化的課堂，即嚴格執(zhí)行事先的教案設計，內容上不隨意增減，也不會重視課堂上生成資源的利用和開發(fā)，同時也不會發(fā)現(xiàn)學生個體上的差異，以共性代替?zhèn)€性，以規(guī)律代替特色，學生的思維將會走向僵化；如果我們只從自己的經(jīng)驗出發(fā)，那樣的課堂一定是孤獨的，學生唯有教材，眼里也只有各種符號的邏輯演算，教學勢必缺乏生活意義以及應有的價值。學生學到的僅僅是知識而不是智慧，掌握的也僅僅是應試技巧而不是適應未來發(fā)展的技能。學生的潛能將一直處于沉睡狀態(tài)而不能得到激發(fā)。教師將主宰課堂的一切，學生處于被控制地位，教師不了解學生有何體驗，帶著什么樣的精神狀態(tài)，也不知道他們需要什么？這樣的課堂教學要了解學生，以學生現(xiàn)有的知識結構，主觀經(jīng)驗，社會文化背景為起點進行預設，充分估計學生會在何處，何時，有何疑問和困難，對教師所提的問題會有什么想法，如何去解決，同時教師要站在學生現(xiàn)有能力以及思維水平角度去分析，課堂有什么樣的生成，從而確定教學中應選擇的認知策略，保證我們的教學是適應學生的，教學內容能夠納入學生的知識結構之中。筆者很欣賞裴光亞先生在數(shù)學教師的專業(yè)發(fā)展：在書房與教室間穿行的教研人生一書中所闡述的觀點，如果我們的課堂教學能夠關注學生，我們就站在了教育的高度，站在這樣的高度我們才能準確地把握數(shù)學教學的功能，從而準確地把握教學內容的價值甚至是教育價值。其實裴先生是在高速我們，教學的最高境界不僅是教書而且是育人，如果我們的課堂教學中沒有關注學生的感受，沒有給予學生思考的機會，甚至學生沒有了話語權，這樣的課堂教學是靈魂的缺失。也正如裴先生所說，我們正處在一個教學資源過剩的時期，我們不缺少資源，不缺少現(xiàn)實材料，不缺例子，也不缺少概括性的教育，我們不擔心該講的講了沒有，該做的事做了沒有，我