2020高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)三解析幾何教學(xué)案

專題三解析幾何

［江蘇卷5年考情分析］

小題考情分析大題考情分析

1.直線與圓、圓與圓的位

本單元主要考查直線與橢圓（2015年、2017

置關(guān)系（5年4考）

常考點(diǎn)年、2018年、2019年）的位置關(guān)系、弦長問題、

2.圓錐曲線的方程及幾

面積問題等；有時考查直線與圓（如2016年），經(jīng)

何性質(zhì)（5年5考）

常與向量結(jié)合在一起命題.

偶考點(diǎn)直線的方程、圓的方程

第一講I小題考法一一解析幾何中的基本問題

考點(diǎn)（一）直線、圓的方程

主要考查圓的方程以及直線方程、圓的基本量的計(jì)算.

［題組練透］

4

1.（2019?江蘇高考）在平面直角坐標(biāo)系立"中，P是曲線y=x+;（x>0）上的一個動點(diǎn),

則點(diǎn)。到直線x+y=0的距離的最小值是

解析：法一：由題意可設(shè)《兩，施+!）（加>0）,則點(diǎn)P到直線x+y=0的距離d=

XQ+XO+—2XO+—2/2AO?—

XQXQ/xo4

4=——=4,當(dāng)且僅當(dāng)2加=一,

飛2劉

即施=4時取等號.故所求最小值是4.

/4、44

法二：設(shè)《照，—+%o（Ab>0）,由尸x+-得y'=1——,則曲線在點(diǎn)〃處的切線的斜率

\-XoJXX

為a=l一錯誤!.令1—錯誤！=一1,結(jié)合司>0得荀=錯誤！，...P（錯誤！，3錯誤!），曲線y

4

=x+;（x>0）上的點(diǎn)P到直線x+y=0的最短距離即為此時點(diǎn)P到直線x+y=0的距離，故

I鏡+3/

-=4.

答案：4

2.（2019?蘇州期末）在平面直角坐標(biāo)系中，過點(diǎn)4（1,3）,6（4,6）,且圓心在直

線x-2y-l=0上的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

解析：法一：根據(jù)圓經(jīng)過點(diǎn)4(1,3),6(4,6),知圓心在線段力6的垂直平分線上，由

\x-2y-]=0,

點(diǎn)4(1,3),夙4,6),知線段的垂直平分線方程為x+y—7=0,則由,得

[x+y—7=0,

x'^-5

{,「2,即圓心坐標(biāo)為(5,2),所以圓的半徑(5-1)?+(2—3)?=平,故圓的標(biāo)準(zhǔn)

方程為(k5)?+5—2)2=17.

法二：因?yàn)閳A心在直線*一2/-1=0上，所以圓心坐標(biāo)可設(shè)為(2a+l,a),又圓經(jīng)過點(diǎn)

4(1,3),6(4,6),所以圓的半徑r=y](2a+l-l)2+(a-3)2=

7(2a+l-4)°+(a—6)”,解得a=2,所以r=，T7,故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為G-5)2+(y-2)2

=17.

法三：設(shè)圓心的坐標(biāo)為(a,6),半徑為r(r>0),因?yàn)閳A心在直線x—2y—1=0上，且

圓經(jīng)過點(diǎn)4(1,3),8(4,6),

Ja-2A-l=0,

所以i(a—1)2+(A—3)2=(a—4)°+(/>—62)—r,

得a=5,6=2,r=g故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x—5尸+(y-2尸=17.

答案：(X—5)2+3—2)2=17

3.(2019?揚(yáng)州期末)若直線A：x—2y+4=0與乙：的一4什3=0平行，則兩平行直

線4,人間的距離為.

m-43

解析：法一：若直線7i：x—2y+4=0與7：必r—4y+3=0平行，則有：=-尹7，求

21—L4

得勿=2,故兩平行直線間的距離為一點(diǎn)二=號.

勺2+(-4)2

m—43

法二：若直線入：x—2y+4=0與A：4y+3=0平行，則有：=-產(chǎn)7，求得加=2,

1—24

所以直線及2x—4p+3=0,在小x—2y+4=0上取一點(diǎn)(0,2),則兩平行直線九4間

的距離就是點(diǎn)(0,2)到直線乙的距離，即1二,*2+)=號.

勺2一+(—4)2

答案:當(dāng)

［方法技巧］

1.求直線方程的兩種方法

直接法選用恰當(dāng)?shù)闹本€方程的形式，由題設(shè)條件直接求出方程中系數(shù)，寫出結(jié)果

待定先由直線滿足的一個條件設(shè)出直線方程，使方程中含有待定系數(shù)，再由題

系數(shù)法設(shè)條件構(gòu)建方程，求出待定系數(shù)

2.圓的方程的兩種求法

通過研究圓的性質(zhì)、直線和圓、圓與圓的位置關(guān)系，從而求得圓的基本量和

幾何法

方程

代數(shù)法用待定系數(shù)法先設(shè)出圓的方程,再由條件求得各系數(shù)，從而求得圓的方程

考點(diǎn)(二)

直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系

主要考查直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系，以及根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系求相關(guān)的最值與

范圍問題.

［典例感悟］

［典例］(1)(2018?無錫期末)過圓產(chǎn)+/=16內(nèi)一點(diǎn)尸(-2,3)作兩條相互垂直的

弦然和5且則四邊形/曲的面積為.

(2)(2018?南通、泰州一調(diào))在平面直角坐標(biāo)系水加中,已知點(diǎn)4(—4,0),6(0,4),

從直線46上一點(diǎn)一向圓/+/=4引兩條切線AC,PD,切點(diǎn)分別為C,〃設(shè)線段切的中點(diǎn)

為M,則線段4〃長的最大值為

［解析］⑴設(shè)。到的的距離為小,。到位的距離為d,則由垂徑定理可得片=/一尚

,/=行一仔j,由于故d=d,且4=d=坐勿三^^,所以(離'=/—才=16

得力4相，從而四邊形力物的面積為S=f8X徵=；X相x［^=19.

(2)法一(幾何法)：因?yàn)椋?一4,0),8(0,4),所以直線46的方程為尸x+4,所以可

設(shè)P(a,z+4),yi),〃(如㈤，所以此'的方程為xix+y1y=4,外的方程為Ex+y2y

=4,將。(…+4)分別代入闈如的方程，得{a鼠x\++((a小+4))M片=4,,貝慎線"的方程為

%+y=0,

ax+(a+4)y=4,即a(x+y)=4—4y,所以《所以直線切過定點(diǎn)M—1,1),

4—4y=0,

又因?yàn)镼I小口，所以點(diǎn)〃在以惻為直徑的圓上(除去原點(diǎn)).又因?yàn)橐詣?chuàng),為直徑的圓的

方程為("^+卜一號工,因?yàn)閧在該圓外，所以加的最大值為4+，+?+乎

=3,\^2.

法二(參數(shù)法)：同法一可知直線切的方程為ax+(a+4)p=4,即a(x+y)=4—4%得

a==^.又因?yàn)?,R"三點(diǎn)共線，所以ay-(a+4)x=0,得a=-.因?yàn)閍==工，

x十yy-xx-vyy-x

所以點(diǎn)M的軌跡方程為(x+J+(y—呢=；(除去原點(diǎn))，因?yàn)?在該圓外，所以4V的最大

值為\/(-4+或+?+平=36

［答案］⑴19(2)3*

［方法技巧］

解決關(guān)于直線與圓、圓與圓相關(guān)問題的策略

(1)討論直線與圓及圓與圓的位置關(guān)系時，要注意數(shù)形結(jié)合，充分利用圓的幾何性質(zhì)尋找

解題途徑，減少運(yùn)算量.

(2)解決直線與圓相關(guān)的最值問題：一是利用幾何性質(zhì)，如兩邊之和大于第三邊、斜邊大

于直角邊等來處理最值；二是建立函數(shù)或利用基本不等式求解.

(3)對于直線與圓中的存在性問題，可以利用所給幾何條件和等式，得出動點(diǎn)軌跡，轉(zhuǎn)化

為直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系.

［演練沖關(guān)］

1.(2019?南通、泰州等七市一模)在平面直角坐標(biāo)系x0中，圓0：x+y—l,圓G

(x-4)2+/=4.若存在過點(diǎn)尸(勿，0)的直線1,直線,被兩圓截得的弦長相等，則實(shí)數(shù)勿的

取值范圍是.

解析：由題意知，直線/的斜率存在且不為0,設(shè)直線)的方程為m)(衣工0),

km'

圓心0,。到直線/的距離分別為血小,則由直線/與圓。相交得d=T^Vl,得/,〈I

+￡由直線/被兩圓截得的弦長相等得錯誤!=錯誤!，則湘誤!一福誤!=3,即錯誤!一

士=3,化簡得加=噂一蔡，則歷〈卷一卷3一1),即3/2+8〃L16V0,所以一4V/?T<].

"十1OOrtOOO

答案:J，

2.(2019?南京鹽城一模)設(shè)仁{(x,向]3x+4介7},點(diǎn)飛機(jī)過點(diǎn)。引圓(葉1尸+

/=?(r>0)的兩條切線PA,即(48均為切點(diǎn))，若//期的最大值為則r的值為—

0

解析：由題意知點(diǎn)P位于直線3x+4y—7=0上或其上方，記圓(x+l)2+/=/(r>0)

-3-7!

的圓心為G則以-1,0),C到直線3x+4廣-7=0的距離d==2,連接尸G則PC^2.

?\j32+4'

設(shè)NAPB=9,則5呵9=兩r因?yàn)?所Ji以(5力8、耐=而r：=5r=51,所以ri

答案：1

3.(2019?蘇北三市一模)在平面直角坐標(biāo)系X0中，己知圓G：x-\-y-\-2mx—(4z?+6)y

—4=0(〃eR)與以G(—2,3)為圓心的圓相交于/(為，/),B(xz,㈤兩點(diǎn)，且滿足"一層=

北一4，則實(shí)數(shù)/的值為.

解析：由題意得G(一卬，27+3),G(—2,3).由后一%=摟一/，得%；+￡="+/即

0A=0B,所以△的3為等腰三角形，所以線段的垂直平分線經(jīng)過原點(diǎn)。，又相交兩圓的圓

心連線垂直平分公共弦49,所以兩圓的圓心連線GG過原點(diǎn)。，所以0G〃弦，所以一3面=

—2(2必+3),解得勿=一6.

答案：一6

4.(2019?常州期末)過原點(diǎn)。的直線/與圓丁+/=1交于尺。兩點(diǎn)，點(diǎn)/是該圓與x

軸負(fù)半軸的交點(diǎn)，以為直徑的圓與直線1有異于0的交點(diǎn)N,且直線4v與直線/一的斜率

之積等于1,那么直線/的方程為.

解析：易知4(—1,0).因?yàn)槁勈菆A。的直徑，所以/匹力。以四為直徑的圓與直線/

有異于。的交點(diǎn)M則加LA&所以心=一;=一；，又直線4V與直線/0的斜率之積等于

1,所以必流儼=1,所以k*=—kpo,所以N04P=NA0P,所以點(diǎn)P為0A的垂直平分線與圓0

的交點(diǎn)，則彳一看±陰，所以直線/的方程為尸土值.

答案：y=±/x

5.(2018?南京、鹽城、連云港二模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知46為圓C：(x

+4)2+(y—a)z=16上的兩個動點(diǎn)，且/1笈=2/1.若直線/：y=2x上存在唯一的一個點(diǎn)只

使得萬+其=/，則實(shí)數(shù)a的值為

解析：法一：設(shè)力〃的中點(diǎn)為欣照，㈤，P（x,y）,則由AB=2y[llf得O/=^/16—11=y15,

即點(diǎn)"的軌跡為（照+4）4（%—a）2=5.又因?yàn)镻A+PB=0C,所以PM=；0C,即（照一x,

xo=x-2,2

a則動點(diǎn)P的軌跡方程為（x+2）?+。一外=5,又因?yàn)橹?/p>

{y=y+

a

—4--

線/上存在唯一的一個點(diǎn)P,所以直線/和動點(diǎn)〃的軌跡（圓）相切，則力7/=小，

^2+（-1）v

解得a=2或a=—18.

法二：由題意，圓心C到直線46的距離d=4而元=乖，則46中點(diǎn)

〃的軌跡方程為（x+4￥+（y-a）"=5.由7萬+其=左，得2可=下,

所以PM//~0C.如圖，連結(jié)。/并延長交1于點(diǎn)N,則CM=2CQ24.故問

題轉(zhuǎn)化為直線1上存在唯一的一個點(diǎn)N,使得GV=2乖，所以點(diǎn)C到直線1的距離為

2，4^77^=2季,解得a—2或a=-18.

y]2十（—1）

答案：2或一18

考點(diǎn)（三）

圓錐曲線的方程及幾何性質(zhì)

主要考查三種圓錐曲線的定義、方程及幾何性質(zhì)，在小題中以考查橢圓和雙曲線的幾何

性質(zhì)為主.

[題組練透]

2

1.（2019?江蘇高考）在平面直角坐標(biāo)系Q中，若雙曲線f一方=1（力0）經(jīng)過點(diǎn)（3,4）,

則該雙曲線的漸近線方程是.

21

解析：因?yàn)殡p曲線V一方=1（力0）經(jīng)過點(diǎn)（3,4）,所以9—了=1（8>0）,解得b=木,

2

即雙曲線方程為V—5=1,其漸近線方程為夕=土/X.

答案：y=±y[2x

2.(2019?蘇州期末)在平面直角坐標(biāo)系xa中，中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的

一條漸近線經(jīng)過點(diǎn)(一3,1),則該雙曲線的離心率為.

22

解析：由題意，設(shè)雙曲線的方程為5—?=l(a>0,6>0),由雙曲線的一條漸近線過點(diǎn)

ab

o1

(-3,1),得一7=一鼻，可得9a2=//=02一—，得10a2=cS所以可得該雙曲線的離心率e

b3

答案：Vib

2

3.(2017?江蘇高考)在平面直角坐標(biāo)系x0中，雙曲線卷一/=1的右準(zhǔn)線與它的兩條

漸近線分別交于點(diǎn)RQ,其焦點(diǎn)是￡,R,則四邊形百圖0的面積是_______.

解析:由題意得，雙曲線的右準(zhǔn)線x=|與兩條漸近線尸土號的交點(diǎn)坐標(biāo)為他土叫

不妨設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為￡,小

則6(—2,0),K⑵0),

故四邊形E形0的面積是

?PQ\=1x4X^3=2^/3.

答案：244.(2019?南通、揚(yáng)州等七市一模)在平面直角坐標(biāo)系x片中，已知拋物線/

2

=2內(nèi)初>0)的準(zhǔn)線為/,直線/與雙曲線今一/=1的兩條漸近線分別交于力，6兩點(diǎn)，AB=

乖,則P的值為

解析：拋物線”=2pxS>0)的準(zhǔn)線為直線，7：*=一早不妨令4點(diǎn)在第二象限，則直

線/與雙曲線"一/=1的兩條漸近線分別交于點(diǎn)/(一'力《一5一9，則用

=§=#,p=2乖.

答案：2乖

［方法技巧］

應(yīng)用圓錐曲線的性質(zhì)的兩個注意點(diǎn)

(1)明確圓錐曲線中a,b,c,e各量之間的關(guān)系是求解問題的關(guān)鍵.

(2)在求解有關(guān)離心率的問題時，一般并不是直接求出。和a的值，而是根據(jù)題目給出的

橢圓或雙曲線的幾何特點(diǎn)，建立關(guān)于參數(shù)c,a,。的方程或不等式，通過解方程或不等式求

得離心率的值或范圍.

［必備知能?自主補(bǔ)缺］__________________________________________________________

(-)主干知識要記牢

1.直線九4x+旦y+G=O與直線%4x+8y+C=0的位置關(guān)系

(1)平行=4氏-46=0且BC-B￡/Q；

(2)重合04氏—45=0且BC-BC=Q；

(3)相交=4氏一/f摳#0；

(4)垂直=44+6以=0.

2.直線與圓相交

(1)幾何法

由弦心距〃、半徑r和弦長的一半構(gòu)成直角三角形，計(jì)算弦長/8=2"?一/

(2)代數(shù)法

設(shè)直線7=4了+加與圓相交于點(diǎn)弘N,Mix、,必)，N(及，%)，將

直線方程代入圓方程中，消去y得關(guān)于x的一元二次方程，求出無+型和小?熱，則松:=

yjl+k'?、(矛1+及)2—4小?」.

3.判斷兩圓位置關(guān)系時常用幾何法

即通過判斷兩圓心距離4a與兩圓半徑兄r(ar)的關(guān)系來判斷兩圓位置關(guān)系.

(1)外離：Q“〉A(chǔ)+r；

(2)外切：Q“=7?+r；

(3)相交：R—KQOKR+r；

(4)內(nèi)切：(X01.—R—r；

(5)內(nèi)含：0W@O?R-r.

4.橢圓、雙曲線中，a,b,c之間的關(guān)系

(1)在橢圓中：a=l)+c,離心率為e=?=

(2)在雙曲線中：/=/+次離心率為e=/=417^.

/聲b

(3)雙曲線f一方=1(a>0,b>0)的漸近線方程為尸土-x.注意離心率e與漸近線的斜率

aba

的關(guān)系.

(二)二級結(jié)論要用好

1.過圓。：V+/=r2上一點(diǎn)P(Xo,%)的圓的切線方程是Abx+為尸

2.過圓。外一點(diǎn)〃做圓。的切線，切點(diǎn)分別為4以求切線時要注意

斜率不存在的情況)如圖所示，則

(1)AB,C,力四點(diǎn)共圓，且該圓的直徑為/T；

(2)該四邊形是有兩個全等的直角三角形組成；

小、ZBCA./BPAr

⑶cos---=sin---=兩

⑷直線力8的方程可以轉(zhuǎn)化為圓。與以為直徑的圓的公共弦，且〃(照，㈤時，直線

力8的方程為Xox+必尸產(chǎn).

3.橢圓焦點(diǎn)三角形的3個規(guī)律

y,

設(shè)橢圓方程是F+R=1(a>6>0),焦點(diǎn)A(一。，0),B(c,0),點(diǎn)夕的坐標(biāo)是(即，％).

ab

(1)三角形的三個邊長是用=4+￡照，P&=a-ex。,F\F?=2c,e為橢圓的離心率.

(2)如果△用月中NE陽=o,則這個三角形的面積SZ\M￡=c|%|-y.

sinZEPE

⑶橢圓的離心率e=.之?一/4廠夕

sinZ^iAr+sinZ/^n/7

4.雙曲線焦點(diǎn)三角形的2個結(jié)論

P(XQ,㈤為雙曲線孑一了=1(a>0,力>0)上的點(diǎn)，△困K為焦點(diǎn)二角形.

(1)面積公式

［t)

S=c\y()\=-ri22sin0=-----萬(其中/;="，PA=及,AF\PFz=0).

ZH

tan-

(2)焦半徑

若P在右支上，PR=exo+a*PJ=ex。一組若P在左支上，PR=-exo—a,PF2=~ex.

+a

5.拋物線/=2px(p>0)焦點(diǎn)弦48的3個結(jié)論

2

(1)照?XB=\；

(2)%?ye=-p\

(3)48=玉+四+〃.

［課時達(dá)標(biāo)訓(xùn)練］._______________________________________________________________

A組一一抓牢中檔小題

1.若直線/】：RX+P+8=0與A：4x+(加一5)y+2/=0垂直，貝！|卬=

解析：V7,172,，4R+(?-5)=0,：.m=\.

答案：1

2.已知圓。的圓心在x軸的正半軸上，點(diǎn)，"(0,4)在圓。上，且圓心到直線2x—y=0

4A/B

的距離為菅，則圓。的方程為____________.

5

解析：因?yàn)閳A。的圓心在x軸的正半軸上，設(shè)C(a,0),且d>0,所以圓心到直線2x—

y=0的距離"=親=羋，解得a=2,所以圓C的半徑r=|CM=122+(南)？=3,所以

圓。的方程為(*—2-+f=9.

答案：U-2)2+/=9

22

3.(2019?無錫期末)以雙曲線卷一個=1的右焦點(diǎn)為焦點(diǎn)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是

□4

解析：由題可設(shè)拋物線的方程為/=2px(0>O),雙曲線中，c=^/5+4=3,所以雙曲線

的右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,0),則拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0),所以￡=3,p=6,所以拋物線的

標(biāo)準(zhǔn)方程為y=12x.

答案：/=12x

4.已知直線/過點(diǎn)尸(1,2)且與圓Gf+/=2相交于46兩點(diǎn)，△/回的面積為1,

則直線1的方程為—

解析：當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)直線的方程為y=4(x—1)+2,即府一y—4+2=0.因?yàn)镾

^=^CA?CB-sinZJCB=l,所以;X^X啦XsinN4方=1,所以sinN/G?=1,即

1-^+213

=90°,所以圓心C到直線4?的距離為1,所以=1,解得％=?所以直線方程為

7必+i

3x—4y+5=0；當(dāng)直線斜率不存在時，直線方程為x=l,經(jīng)檢驗(yàn)符合題意.綜上所述，直線

1的方程為3x—4y+5=0或x=\.

答案：3x-4y+5=0或x=l

5.己知圓朋(A—l)2+(y-l)2=4,直線/：x+y-6=0,4為直線/上一點(diǎn)，若圓〃

上存在兩點(diǎn)6,C,使得/胡。=60°,則點(diǎn)/的橫坐標(biāo)的取值范圍為.

解析：由題意知，過點(diǎn)力的兩直線與圓材相切時，夾角最大，當(dāng)/期。=60°時，|JZ4|

二.吃后―一與式=4.設(shè)'(%6—x),所以(x—1尸+(6—x—1)2=16，解得x=l或x

sin/BAMsin30

=5,因此點(diǎn)/的橫坐標(biāo)的取值范圍為[1,5].

答案：[1,5]

6.(2018?南京學(xué)情調(diào)研)在平面直角坐標(biāo)系x在中，若圓(x—2)2+(y—2產(chǎn)=1上存在

點(diǎn)也使得點(diǎn)M關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)”在直線履+y+3=0上，則實(shí)數(shù)〃的最小值為.

解析：圓(*-2)2+3—2)2=1關(guān)于x軸的對稱圓的方程為(“一2尸+3+2)2=1,由題意

12^—2+34

得，圓心(2,—2)到直線M+y+3=0的距離d=斤丁-W1,解得一wWAWO,所以實(shí)

y]k-+13

4

數(shù)"的最小值為一亍

4

答案：一：

7.(2019?南京四校聯(lián)考)已知圓0：x+/=l,半徑為1的圓材的圓心，"在線段CD：y

=x-4(初m<〃)上移動，過圓。上一點(diǎn)夕作圓M的兩條切線，切點(diǎn)分別為4B,且

滿足乙4陽=60°,則〃一加的最小值為.

解析：設(shè)M(a,a—4)，則圓”的方程為(x—a)°+(y—a+4”=l.連接初°,典

則如=1,PB1MB.因?yàn)镹APB=60°,所以/栩藝=30°,所以，歸=2拙=2,所以點(diǎn)P在以

"為圓心，2為半徑的圓上，連接OM,又點(diǎn)。在圓。上，所以點(diǎn)。為圓/+/=1與圓(x—a)，

+(y—a+4)2=4的公共點(diǎn)，所以2—1W〃煉2+1,即1W,+?—4),W3,得

2a2-8a+1520,解得2—乎WaW2+乎.所以A22+乎，辰2-乎，所以心擊.

2a2-8a+7W0,乙乙乙乙

答案：書

8.(2019?南京鹽城二模)在平面直角坐標(biāo)系x6?r中，已知點(diǎn)4一1,0),6(5,0).若

圓此(x—4)2+5一向2=4上存在唯一的點(diǎn)尺使得直線處，外在y軸上的截距之積為5,

則實(shí)數(shù)0的值為一

解析：設(shè)點(diǎn)尸(M，%),則直線21的方程為尸扁'(x+1),在y軸上的截距為高，

同理可得直線外在y軸上的截距為一至々，由直線必，力在y軸上的截距之積為5,得一

上展義士=5,化簡，得(刖-2)2+/=9(%/0),所以點(diǎn)尸的軌跡是以C(2,0)為圓心，3

為半徑的圓(點(diǎn)/(一1,0),6(5,0)除外)，由題意知點(diǎn)一的軌跡與圓"恰有一個公共點(diǎn)，若

A,6均不在圓M上，因此圓心距等于半徑之和或差，則聲戰(zhàn)=5,解得加=土汨；或后彳

=1,無解.若4或6在圓"上，易得m=土木,經(jīng)檢驗(yàn)成立.所以/"的值為土班1或士/.

答案：土版或土木

22

9.(2018?揚(yáng)州期末)在平面直角坐標(biāo)系9中，若雙曲線當(dāng)一看=1(a>0,力0)的漸近

au

線與圓x+y-6y+5=0沒有交點(diǎn)，則雙曲線離心率的取值范圍是.

解析：由圓6y+5=0,得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(y—3)“=4,所以圓心。(0,3),

22

半徑r=2.因?yàn)殡p曲線宗一方=1?°，力0)的漸近線bx±ay=0與該圓沒有公共點(diǎn)，則圓心

|Z?X0±aX3|■>2,即3a>2c即e=,</又e>L故雙曲線離

到直線的距離應(yīng)大于半徑，即9

yj+a

心率的取值范圍是

答案:a3

10.在平面直角坐標(biāo)系X0中，已知圓GV+(y—3)2=2,點(diǎn)力是X軸上的一個動點(diǎn),

AP,四分別切圓。于R0兩點(diǎn)，則線段N長的取值范圍是

(0,3，所以尸g24sin，.又cos仁雜,AC^[3,+

解析：設(shè)/尸。=9,夕￡

[o,乎],所以cos可0,|,sin2=1—cos2e1),因?yàn)?/p>

8),所以cos夕￡

夕W(0,所以sin0e［亭，1),所以

答案:

11.(2019?南京三模)在平面直角坐標(biāo)系x分中，已知物V是。C(^-1)2+(y-2)2=2

的一條弦，且Cd。％P是助V的中點(diǎn).當(dāng)弦必V在圓。上運(yùn)動時，直線/：x―3y—5=0上存

在兩點(diǎn)4B,使得/4必2方恒成立，則線段長度的最小值是

解析：因?yàn)槊?是。C：(x—l)2+(y—2>=2的一條弦，且P是"V的中點(diǎn)，所

、歷

以PC=^r=l,1產(chǎn)的軌跡方程為(*-1)2+(廣-2)z=L圓心。到直線7：x-3y-5=0的

距離為!!=叱6因?yàn)橹本€1上存在兩點(diǎn)4B,使得//吟今恒成立，所以/國“

yj二l+^(-3)v2

=2標(biāo)+2.

答案：2枷+2

12.(2018?蘇錫常鎮(zhèn)調(diào)研)已知直線1-.x-y+2=0與x軸交于點(diǎn)A,點(diǎn)尸在直線/上.圓

C：(x—2)?+/=2上有且僅有一個點(diǎn)6滿足ABVBP,則點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)的取值集合為—

解析：法一：由四，外，得點(diǎn)6在以力尸為直徑的圓。上，所以圓〃與圓C相切.

由題意得力(一2,0),。(2,0).若圓〃與圓。外切，則加'一加=斕；若圓〃與圓。內(nèi)

切，則的一〃C=也.所以圓心。在以力，C為焦點(diǎn)的雙曲線丁一字=1上，即14/—2/=7.又

22

y=x+2,35

點(diǎn)〃在直線,上，由得12%—8^-15=0,解得題=萬或X[)=--所以xp=2x)

147-2/=7,f

—M=2X〃+2=5或x尸■小

法二：由題意可得力(一2,0),設(shè)P(a,a+2),則4P的中點(diǎn)，產(chǎn)了甘

AP=

y/2?+2)2,故以力尸為直徑的圓〃的方程為x

\(Q-2(a+2、2r-|a+2.1

得圓。與圓〃相切(內(nèi)切和外切)，故,仁一一2)+(丁"=也±一—，解得己=§

或a=5.故點(diǎn)。的橫坐標(biāo)的取值集合為七，5}.

答案:卜5}

22

13.已知橢圓當(dāng)+￡=1(a>6>0)的左焦點(diǎn)為F,直線x=m與橢圓相交于A,6兩點(diǎn).若△/<46

ab

的周長最大時，△E427的面積為皿，則橢圓的離心率為

解析：設(shè)直線與x軸交于點(diǎn)〃，橢圓的右焦點(diǎn)為A,由橢圓的對稱性可知△的8的

周長為2(q+癡=2(2a-￡4+陰，因?yàn)楣十?dāng)時，△/?力3的周長最大，

此時直線經(jīng)過右焦點(diǎn)，從而點(diǎn)46坐標(biāo)分別為(c,卜，一3，所以△為8的面積為

1nIo.歷

-?2c?—,由條件得5?2。?—=abt即b'+c=2bc,b=c,從而橢圓的離心率為e=--.

答案.亞

口>Ts.?2

14.已知46是圓G：/+/=1上的動點(diǎn)，0是圓G：(x—3>+(y—4)?=1

上的動點(diǎn)，則|后+萬I的取值范圍為.

解析：因?yàn)閮?是圓G：3+/=1上的動點(diǎn)，的=事,所以線段

49的中點(diǎn)〃在圓。：/+/=；上，且I萬+后|=2］可］.因?yàn)辄c(diǎn)產(chǎn)

是圓C：(*—3)2+(y—4尸=1上的動點(diǎn),所以5一|w|W|W5+|,

即：W|77|W?,所以7W2|后|W13,從而|萬十后|的取值范圍是［7,13］.

答案:[7,13]

B組一一力爭難度小題

1.（2019?蘇錫常鎮(zhèn)四市一模）若直線hax+y—4a=0上存在相距為2的兩個動點(diǎn)A,

B,圓f+/=l上存在點(diǎn)C,使得為等腰直角三角形。為直角頂點(diǎn)），則實(shí)數(shù)a的

取值范圍為

解析：法一：根據(jù)題意得，圓ax?+y=l上存在點(diǎn)G使得點(diǎn)「到直線/的距離為1,

那么圓心。到直線/的距離不大于2,即9W2,解得可9呼，于是a的取值范圍

法二：因?yàn)椤?8C為等腰直角三角形。為直角頂點(diǎn)），所以點(diǎn)。在以4?為直徑的圓上，

記圓心為M,半徑為1,且6%直線1,又點(diǎn)C也在圓O-.?+/=1上，所以。是兩圓的交

點(diǎn)，即。K2,所以解得一半WaW乎，于是a的取值范圍是J—坐，聲]

yjl+a33[.33」

答案:*,闿

2.（2017?全國卷I）已知雙曲線G]-1=l（a>0,6>0）的右頂點(diǎn)為4以/為圓心,

6為半徑作圓4圓/與雙曲線C的一條漸近線交于M,4兩點(diǎn).若/明的三60°,則C的離心

率為________

解析：雙曲線的右頂點(diǎn)為“（a,°）,一條漸近線的方程為y=^x，即"一〃尸°，則圓心

A到此漸近線的距離"=丹三等1=妙又因?yàn)?揚(yáng)/￥=60°,圓的半徑為b,所以sin

y]Ifc

ab?y[ibab八，22鋪

=丁,即a5-所以e

60°?T3?

答案：平

3.（2019?江蘇泰州期末）在平面直角坐標(biāo)系x行中，過圓G：（矛一爐+5+4-4）2=1

上任一點(diǎn)尸作圓G：x?+/=l的一條切線，切點(diǎn)為。，則當(dāng)|尸0|最小時，k=

解析：由題意得，圓。與圓G外離，如圖.因?yàn)閳D為切線，所

以PQLQQ,由勾股定理，得I闋=4|用「一1，要使I闋最小，則需

|「創(chuàng)最小.

顯然當(dāng)點(diǎn)一為GG與圓G的交點(diǎn)時，最小，

此時，|1|=|6創(chuàng)一1,所以當(dāng)|GG|最小時，12創(chuàng)就最小，|比0|=迎+(-“+4)

=、2(4—2)：+822y/2,

當(dāng)一=2時，匕G|取最小值,即|闋最小.

答案：2

22

4.(2017?山東高考)在平面直角坐標(biāo)系x0中，雙曲線當(dāng)一方=l(a>0,6〉0)的右支與

ab

焦點(diǎn)為9的拋物線1=2.(p>0)交于48兩點(diǎn).若AF+BF=4OF,則該雙曲線的漸近線方程

為.

解析：設(shè)4(為，%)，3(x2,㈤，由拋物線的定義可知

AF=y\+^,BF=y2+^OF=',

由/6+跖=%+々+〃2+]=0+%+/7=4/=2°,得八+%=0.

22

當(dāng)一｝=1

聯(lián)立〈,ab消去x,得ay—2plfy+a2Z?2=0,

y=2py,

所以％+%=第，所以:2PB

T=P'

1.b亞

即7=5,故7早

所以雙曲線的漸近線方程為y=

答案：y—

5.已知圓G(%-2)2+/=4,線段用1在直線/：y=x+l上運(yùn)動，點(diǎn)。為線段切■上任

意一點(diǎn)，若圓C上存在兩點(diǎn)4B,使得川?PBW0,則線段3長度的最大值是.

解析：過點(diǎn)，作CHL1于H,因?yàn)镃到/的距離但已=乎>2=八所以直線/與圓C

相離，故點(diǎn)。在圓C外.因?yàn)楸?改?=|必||PB\cosNAPB^O,所以cos/4公0,所

以5WN4&Kn,圓。上存在兩點(diǎn)A,6使得N力陽C[5，nJ,由于點(diǎn)尸在圓C外，故當(dāng)陽,

陽都與圓。相切時，NAPB最大,此時若N4如=+，則Q/r=24,所以PH=、Pg—C#

,由對稱性可得砒"*=2%=幣1

答案：/

6.設(shè)拋物線f=4y的焦點(diǎn)為“/為拋物線上第一象限內(nèi)一點(diǎn)，滿足""=2,已知〃為

拋物線準(zhǔn)線上任一點(diǎn)，當(dāng)為+"取得最小值時，△以尸外接圓的半徑為.

解析：由拋物線的方程x?=4y可知尸(0,1),設(shè)4(刖，%),又由4尸=2,根據(jù)拋物線的

定義可知/IQ/+曰=%+l=2,解得乃=1,代入拋物線的方程，可得x°=2,即/(2,1).如

圖，作拋物線的焦點(diǎn)廠(0,1),關(guān)于拋物線準(zhǔn)線尸一1的對稱點(diǎn)6(0,-3),連接交拋

物線的準(zhǔn)線y=-l于點(diǎn)P,此時能使得必+"取得最小值，此時點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(1,-1),

在△陽尸中，AF=2,PF=PA=乖,

由余弦定理得cos/"Q”妥程,

2X-^5X^55

4

則sin/加個=、設(shè)△必尸的外接圓半徑為R，

5

ApR5

由正弦定理得2上=-^^,=3,所以「彳，

sinZ//T,24

5

即△處尸外接圓的半徑A=［

R

答案：4

第二講I大題考法一一直線與圓

題型(一)

直線與圓的位置關(guān)系

主要考查直線與圓的位置關(guān)系以及復(fù)雜背景下直線、圓的方程.

［典例感悟］

［例1］如圖，在m△?1比'中，N4為直角,48邊所在直線的方

程為X一3/一6=0,點(diǎn)7(—1,1)在直線/C上，%中點(diǎn)為M(2,0).

(1)求弦邊所在直線的方程；

⑵若動圓戶過點(diǎn)M—2,0),且與Rt△力回的外接圓相交所得公共弦長為4,求動圓P

中半徑最小的圓方程.

［解］(1)因?yàn)?6邊所在直線的方程為x—3y-6=0,IC與46垂直，所以直線的斜

率為-3.

故4。邊所在直線的方程為y-l=-3(x+l),

即3x+y+2=0.設(shè)。為(加，-3x0-2),因?yàn)?為8c中點(diǎn)，所以8(4一m3照+2).