高考數(shù)學一輪復習 第11章 算法初步、復數(shù)、推理與證明 第3講 合情推理與演繹推理學案-人教版高三全冊數(shù)學學案

第3講合情推理與演繹推理

考點回顧考綱解讀考向預測

年份卷型考點題號分值

1.理解合情推理和演繹推理的思維方

刈9年主要考杳”判斷

法，尤其對特殊數(shù)列的通項公式或求

2017n邏輯推理95正誤、歸納猜想、聯(lián)想類比、由特殊到

和公式能作出猜想，然后給出證明.

一般.

2016邏輯推理1652.弄清類比推理題目中給出的命題的

n解題時可首先計算出前幾項、也可

運算原理或結(jié)構(gòu)，在新的條件下類比

以先假設(shè)成立，再進行邏輯推理.

2015新命題.

板塊一知識梳理?自主學習

［必備知識］

考點1合情推理

f.

歸納推理類比推理

由某類事物的部分對

象具有某些特征,推出由兩類對象具有某些類似

該類事物的全部對象特征和其中一類對象的巨

定義

都具有這些特征的推知特征，推出另一類對豪

理，或者由個別事實概也具有這些特征的推理

括出一般結(jié)論的推理

由部分到整體、由個別

特點由特殊到特殊的推理

到一般的推理

（1）通過觀察個別情況（1）找出兩類事物之間的相

發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)；似性或一致性；

一般

（2）從已知的相同性質(zhì)（2）用一類事物的性質(zhì)去推

步驟

中推出一個明確的一測另一類事物的性質(zhì)，得出

般性命題（猜想）一個明確的命題（猜想）

1

考點2演繹推理

1.定義：從一般性的原理出發(fā),推出某個特殊情況下的結(jié)論,我們把這種推理稱為演

繹推理.

2.特點：演繹推理是由一般到特殊的推理.

3.模式：“三段論”是演繹推理的一般模式:

①大前提——已知的條件;

“三段論”②小前提——所研究的特殊情況；

的結(jié)構(gòu)③結(jié)論——根據(jù)一般原理，對特殊問題做11

的判斷.

①大前提一M是P；

“三段論”

②小前提——S是M；

的表示

③結(jié)論——S是P.

［必會結(jié)論］

1.合情推理的結(jié)論是猜想，不一定正確；演繹推理在大前提、小前提和推理形式都正

確時，得到的結(jié)論一定正確.

2.合情推理是發(fā)現(xiàn)結(jié)論的推理；演繹推理是證明結(jié)論的推理.

［考點自測］

1.判斷下列結(jié)論的正誤.(正確的打“，錯誤的打“X”)

(1)歸納推理得到的結(jié)論不一定正確，類比推理得到的結(jié)論一定正確.()

(2)在類比時，平面中的三角形與空間中的平行六面體作為類比對象較為合適.()

(3)在演繹推理中，只要符合演繹推理的形式，結(jié)論就一定正確.()

(4)”所有3的倍數(shù)都是9的倍數(shù)，某數(shù)〃是3的倍數(shù)，則〃一定是9的倍數(shù)”，這是

三段論推理，但其結(jié)論是錯誤的.()

答案⑴X(2)X(3)X(4)V

/H...1~22…2

2.［2018?長春模擬］設(shè)〃GN*,則/—――=

V2〃個77個

()

33—333…333--333…3

A.B.C.—D.

〃個277—1個2”一1個2?7個

答案A

〃個

3.［課本改編］下面圖形由小正方形組成，請觀察圖1至圖4的規(guī)律，并依此規(guī)律，寫

出第〃個圖形中小正方形的個數(shù)是一

□El

圖1圖2圖3圖4

答案?2

解析由題圖知第1個圖形的小正方形個數(shù)為1,第2個圖形的小正方形個數(shù)為1+2,

第3個圖形的小正方形個數(shù)為1+2+3,第4個圖形的小正方形個數(shù)為1+2+3+4,…，則

第〃個圖形的小正方形個數(shù)為1+2+3+…+片嗎2

4.［課本改編］在平面上，若兩個正三角形的邊長的比為1：2,則它們的面積比為1：

4.類似地，在空間中，若兩個正四面體的棱長的比為1：2,則它們的體積比為.

答案1：8

解析因為兩個正三角形是相似的三角形，所以它們的面積之比是相似比的平方.同理,

兩個正四面體是兩個相似幾何體，體積之比為相似比的立方.所以它們的體積比為1：8.

5.［2015?陜西高考］觀察下列等式

11

2--2-

11111

十

-2-十3-4--3-4-

11111111

十

---+----十--

23-45-645+-6

據(jù)此規(guī)律，第〃個等式可為

111111

答案++

2-3--4-/+2

272

解析觀察所給等式的左右可以歸納出1—2+3—3+…+3T片擊+去

+…+--

6.[2018?東北三省模擬]在某次數(shù)學考試中，甲、乙、丙三名同學中只有一個人得了

優(yōu)秀.當他們被問到誰得到了優(yōu)秀時，丙說：“甲沒有得優(yōu)秀”；乙說：“我得了優(yōu)秀”；

甲說：“丙說的是真話”.事實證明：在這三名同學中，只有一人說的是假話，那么得優(yōu)秀

的同學是.

答案丙

解析分析題意只有一人說假話可知，甲與丙必定說的都是真話，故說假話的只有乙,

即乙沒有得優(yōu)秀，甲也沒有得優(yōu)秀，得優(yōu)秀的是丙.

板塊二典例探究?考向突破

考向?qū)w納推理

▼魚題角度L…數(shù)字的歸納

例1[2018?浙江模擬]“楊輝三角”是中國古代重要的數(shù)學成就，它比西方的“帕

斯卡三角形”早了300多年.如圖是楊輝三角數(shù)陣，記a〃為圖中第〃行各個數(shù)之和，則a5

+處的值為（）

A.528B.1020C.1038D.1040

1

11

121

1331

14641

15101051

答案D

解析第一行數(shù)字之和為a=1=2一,

第二行數(shù)字之和為a=2=2",

31

第三行數(shù)字之和為a3=4=2-,

第四行數(shù)字之和為a=8=21，

第〃行數(shù)字之和為a=2"，

410

?,.a5+an=2+2=1040.故選D.

?血題免度2一式壬的歸納

Y

例2設(shè)函數(shù)*x）=F7（x>°），觀察:

x十2

x

￡（x）=Hx）=不出

x

fl（X）=flfx（x）]=aj，

JX-I-T：

x

五（x）=f[f2（X）]=_1_Q,

7x十8

x

立（x）=f"（x）]=i5x+i6.

根據(jù)以上事實，由歸納推理可得：

當T?￡N*且時，￡(x)=/[￡—i(x)]=.

x

答案(2"-l)x+2"

解析根據(jù)題意知，各式中分子都是x,分母中的常數(shù)項依次是2,4,8,16,…，可知

x

￡(x)的分母中常數(shù)項為2",分母中x的系數(shù)為2〃-1,故￡(x)=/[￡T(x)]=⑵-1口+2”

▼金題角度3…圖形的歸納

例3如圖，在平面直角坐標系的格點(橫、縱坐標均為整數(shù)的點)處：點(1,0)處標

A,點(1,一D處標況點(0,—1)處標為，點(一1,—1)處標仄，點(-1,0)處標點(一

1,1)處標尾點(0,1)處標加…，以此類推，則原3處的格點的坐標為.

y

X

答案（16,13）

解析觀察已知點（1,0）處標即8X1,點⑵1）處標弧即一*3,點⑶2）處標友5,

即fexs>由此推斷點（〃，n—1）處標A（z?-i）x（2^-1）,因為961=31X31時，27=16,故Z%6）

處的格點的坐標為（16,15）,從而蜃3處的格點的坐標為（16,13）.

觸類旁通

歸納推理問題的常見類型及解題策略

（1）與數(shù)字有關(guān)的等式的推理.觀察數(shù)字特點，找出等式左右兩側(cè)的規(guī)律及符號可解.

（2）與式子有關(guān)的歸納推理

①與不等式有關(guān)的推理.觀察每個不等式的特點，注意是縱向看，找到規(guī)律后可解.

②與數(shù)列有關(guān)的推理.通常是先求出幾個特殊現(xiàn)象，采用不完全歸納法，找出數(shù)列的項

與項數(shù)的關(guān)系，列出即可.

（3）與圖形變化有關(guān)的推理.合理利用特殊圖形歸納推理得出結(jié)論，并用賦值檢驗法驗

證其真?zhèn)涡?

【變式訓練1】［2018?泉州模擬］已知如下等式：2+4=6；8+10+12=14+16；18

+20+22+24=26+28+30；…以此類推，則2020會出現(xiàn)在第個等式中（）

A.30B.31C.32D.33

答案B

解析①2+4=6；

②8+10+12=14+16；

③18+20+22+24=26+28+30,…

其規(guī)律為：各等式首項分別為2乂1,2（1+3）,2（1+3+5）,一,

所以第〃個等式的首項為2［1+3+…+（2〃-1）］=2義.+廿—D=2一,

當〃=31時，等式的首項為2X3y=19為,

當〃=32時，等式的首項為2X32?=2048,

所以2020在第31個等式中.故選B.

考向國

類比推理

例4:2018?撫順模擬］若數(shù)列｛a｝是等差數(shù)列，則數(shù)列伉｝卜產(chǎn)且土生受巧也為

等差數(shù)列.類比這一性質(zhì)可知，若正項數(shù)列｛或是等比數(shù)列，且｛a｝也是等比數(shù)列，則&的

表達式應為()

a,Cl+c2H----------\-Cnc,Cl?C2..........Cn

A.dn~~B.dn~~

nn

n

「7C；+C2+-+d

c-4=\---D.D=7cl.c2..........Cn

答案D

解析若｛劣｝是等差數(shù)列，則句+&H1■&=儂1+"；"a所以4=a+勺1"=1^

+a-。，即｛4｝為等差數(shù)列；若匕｝是等比數(shù)列，則QF....+-

/7(77—1)n~l

-2-m------------~2~

Cl,q,所以a=qCl.C2..........Cn=Cl.q,即｛㈤為等比數(shù)列.故選D.

觸類旁通

類比推理的分類

類比推理的應用一般為類比定義、類比性質(zhì)和類比方法.

(1)類比定義：在求解由某種熟悉的定義產(chǎn)生的類比推理型試題時，可以借助原定義來

求解；

(2)類比性質(zhì)：從一個特殊式子的性質(zhì)、一個特殊圖形的性質(zhì)入手，提出類比推理型問

題，求解時要認真分析兩者之間的聯(lián)系與區(qū)別，深入思考兩者的轉(zhuǎn)化過程是求解的關(guān)鍵；

(3)類比方法：有一些處理問題的方法具有類比性，我們可以把這種方法類比應用到其

他問題的求解中，注意知識的遷移.

【變式訓練2】如圖所示，在平面上，用一條直線截正方形的一個角，截下的是一個

直角三角形，有勾股定理/=a2+8.空間中的正方體，用一平面去截正方體的一角，截下的

是一個三條側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐，若這三個兩兩垂直的側(cè)面的面積分別為S,￡,&,截

面面積為S,類比平面的結(jié)論有

答案「ud+d+e

解析三角形類比空間中的三棱錐，線段的長度類比圖形的面積，于是作出猜想：S2

考向3演繹推理

刀+2

例5[2018?山東調(diào)研]數(shù)列｛a｝的前〃項和記為S,已知a1L4+1=------Sn(nG

n

N*).證明:

⑴數(shù)列pl1是等比數(shù)列；

⑵S+i=4劣.

〃+2

證明（1）:&+1=S+1-Sn,a+l=Sn,

n

：.（T?+2）Sn=n（Sn+i—Sn）,即77S+I=2（77+1）S.

.-.^7=2-（小前提）

〃十1n

故是以2為公比，1為首項的等比數(shù)列.（結(jié)論）

（大前提是等比數(shù)列的定義，這里省略了）

（2）由（1）可知上言=4?至,

7?+127—1

〃一1+2

???S+】=4(〃+l)?臺=4SJ—1

n—1

=4a〃（A22）,（小前提）

又az=3S=3,S=ai+a2=l+3=4=4ai,（小前提）

.??對于任意正整數(shù)〃，都有S+i=4%.（結(jié)論）

（第（2）問的大前提是第（1）問的結(jié)論以及題中的已知條件）

觸類旁通

演繹推理的結(jié)構(gòu)特點

（1）演繹推理是由一般到特殊的推理，其最常見的形式是三段論，它是由大前提、小前

提、結(jié)論三部分組成的.三段論推理中包含三個判斷：第一個判斷稱為大前提，它提供了一

個一般的原理；第二個判斷叫小前提，它指出了一個特殊情況.這兩個判斷聯(lián)合起來，提示

了一般原理和特殊情況的內(nèi)在聯(lián)系，從而產(chǎn)生了第三個判斷：結(jié)論.

（2）演繹推理的前提和結(jié)論之間有著某種蘊含關(guān)系，解題時要找準正確的大前提.一般

地，若大前提不明確時，一般可找一個使結(jié)論成立的充分條件作為大前提.

【變式訓練3】某市為了緩解交通壓力，實行機動車輛限行政策，每輛機動車每周一

到周五都要限行一天，周末（周六和周日）不限行.某公司有4B,C,D,￡五輛車，保證每

天至少有四輛車可以上路行駛.已知￡車周四限行，方車昨天限行，從今天算起，A,C兩車

連續(xù)四天都能上路行駛，￡車明天可以上路，由此可知下列推測一定正確的是（）

A.今天是周六B.今天是周四

C./車周三限行D.。車周五限行

答案B

解析因為每天至少有四輛車可以上路行駛，￡車明天可以上路，￡車周四限行，所以

今天不是周三；因為8車昨天限行，所以今天不是周一，也不是周日；因為4C兩車連續(xù)

四天都能上路行駛，所以今天不是周五，周二和周六，所以今天是周四，選B.

,----------------------------------------------------------------------------------------------------------10幺師筆記?歸?內(nèi)領(lǐng)悟I--------------------------------------------------------------------------------------------------

MINGSHIBIJIC^GUINALINGWU

O核心規(guī)律

1.合情推理的過程概括為

從具體問題出爰］—T觀察、分析、比較、聯(lián)想|一|歸納、類比］一|提出猜想

2.演繹推理是從一般的原理出發(fā)，推出某個特殊情況的結(jié)論的推理方法，是由一般到特

殊的推理，常用的一般模式是三段論.數(shù)學問題的證明主要通過演繹推理來進行.

滿分策略

1.合情推理是從已知的結(jié)論推測未知的結(jié)論，發(fā)現(xiàn)與猜想的結(jié)論都要經(jīng)過進一步嚴格證

明.

2.演繹推理是由一般到特殊的證明，它常用來證明和推理數(shù)學問題，注意推理過程的嚴

密性，書寫格式的規(guī)范性.

3.合情推理中運用猜想不能憑空想象，要有猜想或拓展依據(jù).

板塊三啟智培優(yōu)?破譯高考

創(chuàng)新交匯系列9——演繹推理中的創(chuàng)新問題

［2015?福建高考］一個二元碼是由0和1組成的數(shù)字串為范…法（AGN*）,其中Xk（k=

1,2,〃）稱為第4位碼元.二元碼是通信中常用的碼，但在通信過程中有時會發(fā)生碼元

錯誤（即碼元由。變?yōu)?,或者由1變?yōu)?）.

已知某種二元碼荀至…毛的碼元滿足如下校驗方程組:

的十十%十為=0,

＜劉十冬十不十鶯=0,

、矛十1舄十不十廝=0,

其中運算十定義為：0十0=0,0十1=1,1十0=1,131=0.

現(xiàn)已知一個這種二元碼在通信過程中僅在第A位發(fā)生碼元錯誤后變成了1101101,那么

利用上述校驗方程組可判定4等于.

解題視點求解此類問題的關(guān)鍵是讀懂新定義，在領(lǐng)會新定義的基礎(chǔ)上，明晰新定義的

內(nèi)涵和外延，將其轉(zhuǎn)化并運用到新情境中，進而判斷參數(shù)4的值.

解析因為工十四十選十X7=l十1十0十1=0十0十1=0十1=1WO,所以二元碼1101101

的前3位碼元都是對的；因為X?十四十流十X7=l十0十0^1=1^091=1^1=0,所以二元

碼1101101的第6、7位碼元也是對的；因為xi十為十為十X7=l十0十1十1=1十1十1=0十1

=1WO,所以二元碼1101101的第5位碼元是錯誤的，所以#=5.

答案5

答題啟示與演繹推理有關(guān)的新定義問題是高考命制創(chuàng)新型試題的一個熱點，解決此類

問題時，一定要讀懂新定義的本質(zhì)含義及符號語言，緊扣題目所給定義，結(jié)合題目的要求進

行恰當?shù)霓D(zhuǎn)化，注意推理過程的嚴密性.

,跟蹤訓練

在平面直角坐標系中，若點尸(x,力的坐標x,了均為整數(shù)，則稱點尸為格點.若一個

多邊形的頂點全是格點，則稱該多邊形為格點多邊形.格點多邊形的面積記為S,其內(nèi)部的

格點數(shù)記為N,邊界上的格點數(shù)記為L.例如圖中的△/況'是格點三角形，對應的S=l,N=0,

Z=4.

5

4

3

2

1

(1)圖中格點四邊形頌G對應的S,N,a分別是；

(2)已知格點多邊形的面積可表示為S=a"+9+c,其中a,b,c為常數(shù)，若某格點

多邊形對應的471,￡=18,則5=(用數(shù)值作答).

答案(1)3,1,6(2)79

解析(1)由定義知，四邊形巫尸G由一個等腰直角三角形和一個平行四邊形構(gòu)成，其內(nèi)

部格點有1個，邊界上格點有6個，四邊形龍尸G的面積為3,所以S=3,N=\,L=6.

(2)由待定系數(shù)法可得

"1(a=l,

j=a,0+6?3+c,

I2I_1

1—a,0+6?4+c,02,

、3=a?l+6?6+clc=—1,

當代71,￡=18時，S=lX71+|xi8-l=79.

板塊四模擬演練?提能增分

[A級基礎(chǔ)達標]

1.(1)已知a是三角形一邊的長，人是該邊上的高，則三角形的面積是ga力，如果把扇

形的弧長/,半徑r分別看成三角形的底邊長和高，可得到扇形的面積為權(quán)r；(2)由1=/1

+3=2力+3+5=32,可得到1+3+5+…+(2A—1)=況則(1)(2)兩個推理過程分別屬于

()

A.類比推理、歸納推理B.類比推理、演繹推理

C.歸納推理、類比推理D.歸納推理、演繹推理

答案A

解析(1)由三角形的性質(zhì)得到扇形的性質(zhì)有相似之處，此種推理為類比推理；(2)由特

殊到一般，此種推理為歸納推理.故選A.

2.把1,3,6,10,15,21,…這些數(shù)叫做三角形數(shù)，這是因為這些數(shù)目的點可以排成一個

正三角形(如下圖)，試求第七個三角形數(shù)是()

.△

1361015

A.27B.28C.29D.30

答案B

解析觀察歸納可知第〃個三角形數(shù)為1+2+3+4+…+片嗎山，

???第七個三角形數(shù)為一j~z=28.

3.[2018?太原模擬]觀察下列各式：a+6=l,aJ+Z>2=3,a3+Z>3=4,a"+64=7,a

+戌=11,…，則/+/=()

A.121B.123C.231D.211

答案B

解析令&=a"+6",貝ljai=l,a2=3,a3=4,a=7,…，an+2=a?+a?+i,從而%

=18,37=2,9,as=47,a9=76,aio=123.

4.[2018?臨沂期末]己知〃》2且adN*,對?進行“分拆”：2,(1,3),32f(1,3,5),

螫一(1,3,5,7),…,那么289的“分拆”所得的中位數(shù)是()

A.29B.21C.19D.17

答案D

解析自然數(shù)3的分裂數(shù)中最大的數(shù)是2〃一1.

289分裂的數(shù)中最大的數(shù)是2X17—1=33,

A289的“分拆”所得的數(shù)的中位數(shù)是二/=17.故選D.

5.[2018?南昌模擬]已知1+23=9113+23+33=(5%-+23+33+43=管),...若

r+23+33+43H----F〃3=3025,則〃=()

A.8B.9C.10D.11

答案C

解析13+23=

13+23+33=

13+23+33+43=

77(〃+1)2〃2(〃+])2

.,.l3+23+33H——\-n

24

Vl3+23+33+434---卜〃3=3025,

,/72(7?+1)2

=3025

4

*.n(/?+l)2=(2X55)2,

.*.77(77+1)=110,

解得72=10.

6.若等差數(shù)列｛aj的公差為4前〃項的和為S,則數(shù)列為等差數(shù)列，公差為，類

似，若各項均為正數(shù)的等比數(shù)列｛4｝的公比為仍前〃項的積為北，則等比數(shù)列｛5｝的公

比為（）

A.aB.qC.\[qD.的

答案C

解析由題設(shè)有，Tn=bi,&,&....bn=bi?biq?b\q.....biqn~1=biql+2+"'+｛n~l）=

（77—1）/7

-2-

tllq.

??—1

...W產(chǎn)氏q2,...等比數(shù)歹!J｛逝｝的公比為F，故選C.

7.[2018?南通模擬]將自然數(shù)0,1,2,…按照如下形式進行擺列：

o二4811J2

1一＞251一＞691——＞1013

根據(jù)以上規(guī)律判定，從2016到2018的箭頭方向是（）

ABCD

答案A

解析從所給的圖形中觀察得到規(guī)律：每隔四個單位，箭頭的走向是一樣的，比如說，

0-*1,箭頭垂直指下，4f5,箭頭也是垂直指下，8f9也是如此，而2016=4X504,所以

2016-2017也是箭頭垂直指下，之后2017—2018的箭頭是水平向右.故選A.

8.中國有個名句“運籌帷幄之中，決勝千里之外.”其中的“籌”原意是指《孫子算

經(jīng)》中記載的算籌，古代是用算籌來進行計算，算籌是將幾寸長的小竹棍擺在平面上進行運

算，算籌的擺放有縱橫兩種形式，如下表：

123456789

縱式IIIIIIIlliHillTT￥>

橫式一===^_\_=L^=

表示一個多位數(shù)時，像阿拉伯計數(shù)一樣，把各個數(shù)位的數(shù)碼從左到右排列，但各位數(shù)碼

的籌式需要縱橫相間，個位、百位、萬位數(shù)用縱式表示，十位、千位、十萬位用橫式表示，

以此類推，例如6613用算籌表示就是」一T一HI則5288用算籌可表示為

卷案=IIi

解析根據(jù)題意知，5288用算籌表示，從左到右依次是橫式的5,縱式的2,橫式的8,

=||>

縱式的8,即一11一111.

9.[2018?常州模擬]36的所有正約數(shù)之和可按如下方法得到：因為36=22X3?,所以

36的所有正約數(shù)之和為(1+3+3?)+(2+2X3+2X32)+(22+22X3+22X32)=(1+2+

29(1+3+32)=91,參照上述方法，可求得200的所有正約數(shù)之和為.

答案465

解析類比求36的所有正約數(shù)之和的方法，200的所有正約數(shù)之和可按如下方法求得：

因為200=23X5\所以200的所有正約數(shù)之和為(1+2+22+2')(1+5+5〉=465.

10.如果函數(shù)f(x)在區(qū)間2上是凸函數(shù)，那么對于區(qū)間，內(nèi)的任意為，X2,…，x“,都

心4荀)+H----F

有—i----------------W

n

+_±若y=s在區(qū)間(°,兀)上是凸函數(shù)，那么在中，sin/+sin5

+sin。的最大值是.

答案平

解析由題意知，凸函數(shù)滿足

------------------------------------又p=sinx在區(qū)間(0,兀)上是凸函數(shù)，貝U

sinJ+sin/?+sinC^3sin-----------=3sin-=■>

[B級知能提升]

1.[2018?徐州模擬]觀察下列事實：國+3=1的不同整數(shù)解（x,0的個數(shù)為4,㈤

+3=2的不同整數(shù)解（x,力的個數(shù)為8,|x|+3=3的不同整數(shù)解（x,y）的個數(shù)為12,-,

則|x|+|y|=20的不同整數(shù)解（x,力的個數(shù)為（）

A.76B.80C.86D.92

答案B

解析由Ix|+|y|=l的不同整數(shù)解的個數(shù)為4,|x|+|y|=2的不同整數(shù)解的個數(shù)為8,

Ix|+|y|=3的不同整數(shù)解的個數(shù)為12,歸納推理得|x|+|=〃的不同整數(shù)解的個數(shù)為4〃,

故|x|+3=20的不同整數(shù)解的個數(shù)為80.故選B.