2021年全國高等學(xué)校招生考試數(shù)學(xué)試題（浙江卷）-《2021年全國普通高等學(xué)校統(tǒng)一招生考試數(shù)學(xué)（沖刺）試卷》（解析版）

絕密☆啟用前

2Q21年全國普通高等學(xué)校統(tǒng)一招生（浙江卷）

數(shù)學(xué)（沖刺）試題

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改

動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在

本試卷上無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

第I卷選擇題部分（共40分）

一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的.

1.（2021?內(nèi)蒙古高三月考（文））已知集合A={x[l<x<3},8={x|3<x<6}則408=（）

A.（1,3）B.（1,6）

C.（-13）D.0

【答案】D

【解析】

利用集合的交集運算求解.

【詳解】

因為集合4={%|1<%<3},8={x|3<x<6},

所以

故選：D

2.（2021?北京高三一模）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)（l+2i）i對應(yīng)的點位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】B

【解析】

化簡復(fù)數(shù)（l+2i）i,根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義可得結(jié)果.

【詳解】

因為(l+2i)i=-2+3

所以一2+i對應(yīng)的點為(-2,1)，它位于第二象限.

故選：B

x-y+2>0

3.(2021.全國高三月考(理))若實數(shù)乂丁滿足不等式組,x+y—4W0，則4x+8y的最大值為()

x-3_y+3<0,

A.28B.23

C.4D.1

【答案】A

【解析】

1717

有約束條件得可行域區(qū)間，令z=4x+8y,得>=一一x+一，問題轉(zhuǎn)化為y=--x+-與所得可行域上有

2828

交點時截距最大，即可求目標(biāo)代數(shù)式的最大值.

【詳解】

故選：A

”、sinx

4.(2021.全國高三專題練習(xí)(理))函數(shù)/(%)=■;~的大致圖像是().

ln(x-+1)

【解析】

首先根據(jù)判斷出函數(shù)是奇函數(shù)，圖像關(guān)于原點對稱排除C選項，再根據(jù)函數(shù)值去進行排除即可.

【詳解】

由題意可知f（X）的定義域為{XIX聲0},

sin(-x)sinx

■:/(-x)==-fix'),

ln[(-x)2+1]ln(x2+1)

.?./（X）為奇函數(shù)，其圖像關(guān)于原點中心對稱，.?.排除C；

sink7i

Vf也兀）=。，「?排除A,

In*乃2+])

.TC

sin-i

又于0=—=—~2---->0，

ln（—+1）ln（—+1）

44

故選B.

5.（2021?河南駐馬店市?高一期末（理））在《九章算術(shù)》中，將底面是直角三角形的直三棱柱稱之為“塹堵”.已

知某“塹堵”的三視圖如圖所示，俯視圖中虛線恰好平分矩形的面積，則該“塹堵”的表面積是（）

正視圖側(cè)視圖

俯視圖

A.2+40

B.6+4人

C.2+20

D.4+2a

【答案】B

【解析】

首先根據(jù)題意畫出：視圖的直觀圖，再求其表面積即可.

【詳解】

如圖所示：

由題知：在直三棱柱ABC—A4cl中，A4,=2,。為AC的中點，且8O=L

又因為口鉆。為等腰直角三角形，所以AC=2,AB=BC=6

所以表面枳S=2x—x2xl+2x2+2x2xV2=6+4后.

2

故選：B

6.（2021?全國高三專題練習(xí)）己知直線〃〃和平面7，B,滿足mua,nu（3,則“加和〃相交”是“a

和￡相交'的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】

根據(jù)直線直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系分析，結(jié)合充分不必要條件的概念可得答案.

【詳解】

若"?和〃相交于點0，則Oem，因為mua,〃u￡,所以O(shè)ee，所以a和夕相

交,

若a和4相交，當(dāng)機ua,時?，機和I"可能相交，可能平行，可能異面,

所以“機和〃相交”是“a和0相交”的充分不必要條件.

故選：A.

7.(2021?全國高三專題練習(xí)(文))已知等差數(shù)列｛%,｝的通項公式為勺=31-仇(feZ),當(dāng)且僅當(dāng)〃=10

時，數(shù)列｛4｝的前〃項和S“最大，則當(dāng)耳=-10時，k=()

A.20B.21C.22D.23

【答案】A

【解析】

由Bo最大，得4o>0,且a”<0,解得/=3，所以?！?31—3〃，

得其=尹丁”,將耳=一10代入解得左=2().

【詳解】

a.n=31-10/>03131

由題意可知，＜『八，解得一</<一，又feZ，則f=3，

ai{=31-11/<01110

.。（59-3”）〃.。—J。,

??—'"?一

"22

即3女2—59左一20=0，4=20或女=—；（舍）,

故選:A.

【點睛】

等差數(shù)列中:

若S“最大，則%＞0,且4川＜0；

若5,最小,則見＜0,且見”＞（）.

8.（2021.湖南長沙一中高三月考）已知橢圓G與雙曲線的焦點相同，離心率分別為G，e2,且滿足

4=國,大，工是它們的公共焦點，P是橢圓和雙曲線在第一象限的交點，若NKPB=120°,則雙

曲線的離心率為（）

3

A.0B.73C.2D.10

【答案】C

【解析】

設(shè)|尸制=?;,|尸用=2，利用余弦定理可得（2c）2=7+九2—2佐COS120。，再分別利用橢圓與雙曲線的

,4b213.廣

定義可得，巡=4婕=?,可得一3+＞=4,結(jié)合々二氐1,解方程即可得答案.

【詳解】

設(shè)附,仍同=弓，

X2V2.

在橢圓G：—啜+7~^=1中，

4b-

（2c）2=A；?+娉-2^^COS120°

=6+弓）2-和=3）2-和,

.,.rxr2=4a,_4c2=4術(shù),

%2y2

在雙曲線。2：―J--i~5=l中，

%b2

（2c）2=/+弓2_2化85120。

=（4-與+3皿=（2%『+3^弓

/.3｛弓=4c~-4a）~=4"~=>（弓=~~~~，

2

.-.1^2=物2即區(qū)=3月，則4_02=3卜2_42）

所以a；+3a；=4c2=>粵=4n*+3=4,

r-115,

又因為02=64，所以一方+不=4,

解得02=2,

故選：C.

【點睛】

方法點睛：在處理焦點三角形問題時，一般要考慮橢圓和雙曲線的定義，注意余弦定理的應(yīng)用，得到基本

量之間的關(guān)系，從而轉(zhuǎn)化為離心率問題，一般此類問題比較靈活，需要基礎(chǔ)扎實，運算能力強.

9.(2020?上海高一專題練習(xí))單調(diào)增函數(shù)/(x)對任意滿足/(x+y)=/(x)+/(y),若

/(h3*)+/(3，-9'-2)<0恒成立，則左的取值范圍是()

A.2>/2—1,2V2+1jB.2V2—1j

C.(0,20—1]D.[2A/2-1,+OO)

【答案】B

【解析】

根據(jù)抽象函數(shù)的性質(zhì)可得/(0)=0,原不等式可轉(zhuǎn)化為f(k-3x+3'-9X-2)</(0)，根據(jù)不等式恒成立，

換元后分離參數(shù)求解即可.

【詳解】

因為/(x+y)=/(x)+/(y)，

所以/出3*)+/(3A'-9v-2)=f(k-y+3X-9'-2)<0

又對任意x,y&R滿足/(x+>)=/(%)+/(>),

所以/(0)=/(0)+/(0),

解得/(0)=0,

由/(力為式上單調(diào)增函數(shù)可得k-3"+3'-9'-2<0.

令，=3'>0，

即(女+l)f—產(chǎn)一2<0恒成立，

2

即+--，

t

而f+當(dāng)且僅當(dāng)/=：,即l=夜時等號成立，

所以％+1<2啦,即2<2&-1，

故選：B

10.(2020?江蘇揚州市?揚州中學(xué))已知集合尸={1,2,3,4,5},若A,B是P的兩個非空子集，則所有滿足

A中的最大數(shù)小于B中的最小數(shù)的集合對(4,B)的個數(shù)為()

A.49B.48C.47D.46

【答案】A

【解析】

利用分類計數(shù)法，當(dāng)A中的最大數(shù)分別為1、2、3、4時確定A的集合數(shù)量，并得到對應(yīng)8的集合個數(shù)，它

們在各情況下個數(shù)之積，最后加總即為總數(shù)量.

【詳解】

集合P={1,2,3,4,5}知:

1、若A中的最大數(shù)為1時，8中只要不含1即可：A的集合為口}，

而5有24一1=15種集合，集合對(4,B)的個數(shù)為15；

2、若A中的最大數(shù)為2時，8中只要不含1、2即可：

A的集合為{2},{1,2},而B有23-1=7種，

集合對(A,8)的個數(shù)為2x7=14；

3、若A中的最大數(shù)為3時，8中只要不含1、2、3即可：

A的集合為⑶,{1,3},{2,3},{1,2,3},而B有22-1=3種,

集合對(43)的個數(shù)為4x3=12；

4、若A中的最大數(shù)為4時，8中只要不含I、2、3、4即可：

A的集合為{4},{1,4},⑵4},{3,4},{1,2,4},{1,3,4},{2,3,4},{1,2,3,4},

而8有)一1=1種，集合對(48)的個數(shù)為8x1=8：

.?.一共有15+14+12+8=49個，

故選：A

第II卷非選擇題部分(共110分)

二'填空題：本大題共7小題，多空題每題6分，單空題每題4分，共36分.

11.(2021?江蘇啟東市?高二期末)2020年是全國決勝脫貧攻堅之年，“一幫一扶”工作組進駐某山區(qū)幫助農(nóng)

民脫貧，發(fā)現(xiàn)該山區(qū)盛產(chǎn)蘋果、梨子、物猴桃，工作人員文明在線上進行直播帶貨活動，促銷方案如下：

若一次購買水果總價不低于200元，則顧客少付款m元，每次訂單付款成功后，農(nóng)民會收到支付款的80%,

在促銷活動中，為了使得農(nóng)民收入不低于總價的70%,則機的最大值為.

【答案】25

【解析】

根據(jù)題意建立函數(shù)關(guān)系式(％—m)x80%2xx7()%,整理出相《二恒成立，再由x的范圍即可求解.

【詳解】

設(shè)每筆訂單促銷前的總價為X元，

根據(jù)題意有（x-加）X80%2xX70%,即根《2恒成立，

8

由題意得XN200,所以22且也=25,所以加＜25，

88

即m的最大值為25.

故答案為：25

【點睛】

數(shù)學(xué)建模是高中數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)之一，在高中數(shù)學(xué)中，應(yīng)用題是常見考查形式：

（1）求解應(yīng)用性問題時，首先要弄清題意，分清條件和結(jié)論，抓住關(guān)鍵詞和量，理順數(shù)量關(guān)系，然后將文字

語言轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語言，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；

（2）求解應(yīng)用性問題時，不僅要考慮函數(shù)本身的定義域，還要結(jié)合實際問題理解自變量的取值范圍.

12.（2020?山東淄博市?高三零模）在二項式的展開式中，所有項系數(shù)之和為含/的項

的系數(shù)是（用數(shù)字作答）.

【答案】-184

【解析】

令X=l,可得所有項系數(shù)之和；由通項公式可得含/的項的系數(shù).

【詳解】

令x=l,得所有項系數(shù)之和為（1一2）7=-1：

二項式的展開式中的通項為（+1

3。，

令7—巳7=4,得r=2,所以含/的項的系數(shù)是（—2）2。；=84.

2

故答案為：一1；84

【點睛】

方法點睛：求二項展開式中的特定項的系數(shù)，實質(zhì)是考查通項C/"?'的特點，一般需要建立方程求

乙再將r的值代回通項求解，注意「的取值范圍（「=0」,2,???,〃）.

、

/乃37171,則COSf2<Z+yI=

13.（2021?福建三明市?高一期末）已知sin。+工——<a<—

k67522

sin(2a+^|-

731V2

【答案】—

50

【解析】

利用倍角可求cos(2a+《J的值，因為2=+展=2a+(-?，故可利用兩角差的正弦求得sin[2a+R

的值.

【詳解】

cos|2or+—I=cos21a+—|=l-2sin2|?+-|=l-2x—,

I3)I6I6J2525

Ed4冗田冗兀UI...,71D

因為—<oc<一,故---van—<—，而sincc4=

22363I6)5

..2.71_71-

故——<?+—<0,故----<2。+一<0,

3633

TT7T

因為cos|2aH—>0,故一一<2a+—<0,所以sin<0,

23

旦71

所以sin|2a-I——=sin2a+-------=sinI2。H—I-cos[2aH—

I12jI34j233

V2（31、31V2

=-------X----------=-------------------.

2I25J50

故答案為：—.-里亞.

2550

14.（2021?全國高三其他模擬（文））如圖，在"ABC中，AB=8,8C+AC=12,分別取ARBC、AC邊

的中點O,E,F,將口加瓦DAOE口CEE分別沿三條中位線折起，使得4民。重合于點P,則三棱錐

P-DEF的外接球體積的最小值為

A

P

【解析】

由翻折變換知，三棱錐P-Q印的對棱分別相等，將錐體彌補成長方體，利用長方體外接球的求法，結(jié)合

球的體積公式即可得解.

【詳解】

設(shè)3C=2a，則AC=12-2a,

由翻折變換可知，三棱錐P-DEF的對棱分別相等，

且DE=PF=6—a,DF=PE=a,EF=PD=4

將三棱錐P-D所補充成長方體，對角線長分別為6-4,如圖所示

三棱鏈P-DEF的外接球即為長方體的外接球.

設(shè)長方體的長寬高分別為％Xz,

貝Jx2+y1=a~,y2+z2=（6—tz）",x2+z2=16

fjlrl^x2+y2+z2=a2-6a+26,

則外接球半徑r=J*+y2+z2=J，-6a+26

22

當(dāng)a=3時，半徑最小，此時r=姮

2

所以三棱錐石廠的外接球的體積的最小值為三x*—

3I2J6

故答案為：兇1兀

6

【點睛】

方法點睛：空間幾何體與球接、切問題的求解方法

(1)求解球與棱柱、棱錐的接、切問題時，一般過球心及接、切點作截面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面圖形與圓

的接、切問題，再利用平面幾何知識尋找?guī)缀沃性亻g的關(guān)系求解.

(2)若球面上四點PA,B,C構(gòu)成的三條線段RLPB,PC兩兩互相垂直,一般把有關(guān)元素“補形”成為一個

球內(nèi)接長方體，利用242+「§2+r。2=4/?2求解.

15.(2021?浙江湖州市?高二期末)已知圓C的圓心在直線y=-4x上，且與直線/：%+>-1=0相切于點

P(3,-2),則圓C的方程為,它被直線3x-4y-9=0截得的弦長為.

【答案】(x-l)2+(y+4)2=84

【解析】

設(shè)圓心為C(a,Ta),利用圓心到直線的距離等于半徑和兩點間的距離公式可得圓的方程；利用圓心到直線

的距離、半徑、弦長的一半構(gòu)成的直角三角形可得答案.

【詳解】

設(shè)圓心為C(a,Ta),由題意得七關(guān)2」=Jg—3)

C+(-4a+2)2,

解得a=l,圓的半徑為/?=莊坐二11=20,

V2

圓C的方程為(x—I)?+(y+4)2=8；

圓心C(l,-4)到直線3x—4y—9=0的距離為恒生-9|_2

一乙＞

5

所以弦長為2小/?2一(2)2=2際=4=4.

故答案為：①(x—1)2+(>+4)2=8；②4.

21

16.(2020浙江高三其他模擬)兩個實習(xí)生每人加工一個零件加工為一等品的概率分別為一和彳，兩個零

32

件是否加工為一等品相互獨立，設(shè)兩人加工的零件中為一等品的個數(shù)為：，則E0=；若〃=37-1,

則________

717

【答案】--

64

【解析】

分析得到自的可能取值為0,1,2,且分別計算J取每個值時的概率，根據(jù)公式計算E4，DJ再計算D4.

【詳解】

2I1

。的可能取值為0』,2,則P(4=0)=(l—q)x(l—；)=工，

326

2121111

P(^=l)=(l--)x-+-x(l--)=-+-=-.

3232o3Z

P6=2)=gxg=g,

s1117

則超=0x-+lx/+2x-=q；

￡^9721919111則0g=Ej29_(Ej2,=17

=012x22X

O230Jo

17

由〃=34-1,則==y

4

717

故答案為：一；—

64

17.(2020?浙江高一期末)已知平面向量滿足國一5|=|2?！?0,則G—日與守一23所成夾角的

取值范圍是.

71

【答案】0)-

_6

【解析】

令應(yīng)—別=|22一*|=x,向量(1—5)與(2a-c)的夾角為0,與^—25的夾角為a,即可得到

方程cos2a='RS"，。”"，化簡為對勾函數(shù)的形式，根據(jù)對勾函數(shù)的值域求cos2a的范圍，從而可得

5-Acosd

a的最大值.

【詳解】

令應(yīng)—51=12萬一冽=x，向量（1—5）與（2萬一｝）的夾角為?！闧0,利，

因為了一2方=2（M—5）_（2a—c）,

所以（&-B）?（c-2b）=^a-b）-[2（a-b）-（2a-c）]=2\a-b^-\a-b\\^a-c\cosQ?,

若M—5與^一2石的夾角為ad[0,兀],即（"5）?（c-2b）=\a-b\\c-2b\cosa?,

所以由①②知，|5-2B|cosa=2應(yīng)-5l-|2M-5|cos0=2x-xcosO=x（2-cos0）,

所以cosa>0,

Wlc—2ftpcos2a=4x2-4x2cos0+x2cos29,

又因為|m-25F=|2（a-b）-（2S-c）|2=5x2-4^cos0,

4-4cos04-cos26395-4cos0

所以cos2a=----------------=-+—T7-,-------+-------....,令團=5-4cos0,

5-4cos3816（5-4cos6）16

_39m._3

HurPlcos2a=—H-----1,9],Wcos2a^[—,1],

816m164

又因為cosa>0,

所以cosa￡[Y^,I],

2

所以a的最大值是J.

6

TT

故答案為：一.

6

【點睛】

關(guān)鍵點點睛：利用向量數(shù)量積定義及向量加減運算轉(zhuǎn)化（M—5）?（c-2S）=（3-^）-[2Ca-b）-

（2a-c）怵解

三、解答題：本大題共5小題，共74分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

18.（2021?天津南開區(qū)?高三一模）在口A3c中，內(nèi)角A,B,C對邊的邊長分別是“，b,C.已知

(2sinA-百sinB)2=4sin2C-sin2B.

(1)求角。的大??；

(2)若b=l,c=V7，求cos2(8—C)的值.

jr]]

【答案】(1)工；(2)yy.

614

【解析】

(1)將等式化簡，再利用正弦定理及余弦定理，即可求出角C；

(2)利用正弦定理求出sin5,再根據(jù)b<c,可知進而可根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系，求出cosB,再

利用兩角差的余弦公式及二倍角公式，即可求出cos2(6—C).

【詳解】

⑴由(2sinA-百sinB)2=4sin2C-sin2B化簡，

得sin?A+sin?6—sin?C=GsinAsin8，由正弦定理,a2+h2-c2=y/3ab>

由余弦定理得cosC==走，又Ce(O,?),所以C=2.

lab26

(2)因為力=1，c=幣,所以由正弦定理工=三；，得sin8=aG=XZ.

sin8sinCc14

因為8<c,所以8<C,所以cos8=JI二而萬=之叵，

14

所以cos(6—C)=cosBcosC+sinBsinC-x+x—=，

14214214

所以cos2(B—C)=2cos2(B—C)—1=2x(等)-1=^..

19.(2021.全國高三專題練習(xí)(理))在邊長為2的菱形A8C￡>中，N8AD=60。，點E是邊AB的中點(如

圖1)，將口4)￡沿。￡折起到的位置，連接AB，4C,得到四棱錐4-8CDE(如圖2)

（1）證明:

圖1圖2

平面48￡，平面8。?！?；

(2)若4E_L8E,連接CE,求直線CE與平面4c。所成角的正弦值.

V21

【答案】（1）證明見解析，（2）

IT

【解析】

（1）連接圖1中的30,證明OELAB，然后證明。平面ABE即可;

（2）證明AEJ■平面3CDE，然后以￡為原點建立如圖空間直角坐標(biāo)系，然后利用向量求解即可.

【詳解】

（1）連接圖1中的BZ），

因為四邊形ABCD為菱形，且/班短=60。

所以△A8D為等邊三角形，所以。

所以在圖2中有DE_LBE,￡>E_LAE,因為BEcAE=E

所以O(shè)E_L平面4BE,因為DEuBCDE,所以平面&BEJ.平面BCOE

(2)因為平面平面5CDE,平面48EC平面BCZ)E=BE,A}ELBE,A.EAtBE

所以AE,平面BCDE

以￡為原點建立如圖空間直角坐標(biāo)系

所以A（o,o』）,c（2,省,o）,o（o,7i,o）,E（o,o,o）

所以亞=（0,百,一1）,而=（2,也,一1）,反=（2,6,0）

一n-A,D=\/3y—z=0

設(shè)平面AC。的法向量為〃=（X,y,Z），貝葉，r

n-\C-2x+\/3y-z=0

令y=l,則3=（0,LG）,所以cos值比1畝向=磊=得

所以直線CE與平面AC。所成角的正弦值叵

14

20.（2021.天津和平區(qū).高三一模）已知等比數(shù)列｛為｝的前〃項和為S.，也｝是等差數(shù)列，SLO,4-q=1,

4+4=5,2b5="+3b2.

（1）求｛4｝和也｝的通項公式;

⑵設(shè)也｝的前〃項和為7,，（二（2〃？）“"

①當(dāng)"是奇數(shù)時，求g+q用的最大值;

2n

②求證：￡q<i.

i=\

2

【答案】（1）｛4｝的通項公式為4=（—1）"T,｛我｝的通項公式為a=2〃；（2）①最大值為百：②證明見

解析.

【解析】

（1）根據(jù)題意，列方程組求出首項與公差、公比即可得到通項公式；

（2）（i）當(dāng)〃是奇數(shù)時，計算C.+C“M，根據(jù)單調(diào)性求其最大值；（ii）由裂項相消法求和即可得證.

【詳解】

（I）設(shè)數(shù)列｛4｝的公比為夕，數(shù)列也｝的公差為4.

由§2=4+44=0,且4工0,解得q=-l.

h}-ax-1d=2

依題意，有也+2d-q=5,解得＜4=2.

2伍+4d)=4+3d+3(4+d)q=1

故%=1x(-1)"“=(-1)"7,=2+(〃-1)x2=2〃

所以，｛。"｝的通項公式為4=（一1）"\｛"｝的通項公式為4=2”.

（2）（i）由（1）可得7；=①冽？=/+〃，所以g=（二1）.一（2〃+1）.

2〃（"+1）

2n+l-(2〃+3)2〃+2_2

當(dāng)"是奇數(shù)時，g+c同

可知當(dāng)〃￡N*且〃是奇數(shù)時，%+%+i隨〃增大而減小.

2

所以當(dāng)〃=1時，%+c〃+］最大，其最大值為q+。2=§.

211

（ii）由（i）知，c2n-\+C2=77；iWo.i\=o；一/4，

W（2〃-+2〃-12〃+1

2nJI!|j

所以？,=化+6)+&+/)+…+"*2“)=1-3+3”+一=一==,百

i2〃

因為〃eN*，所以1-一二<1,即2>,<L

2〃+1公

【點睛】

關(guān)鍵點點睛：根據(jù)數(shù)列通項的結(jié)構(gòu)特點，選擇合適的求和方法是解題的關(guān)鍵，本題中

2112n

,根據(jù)裂項相消法即可求出X。?

（2n-l）（2n+l）2/1-12n+l

/=1

21.（2021?全國高三專題練習(xí)）橢圓：E：《+，=l（a>/?>0）的焦點到直線x-3y=0的距離為萼,

離心率為竿.拋物線G：y=2Pxs>°）的焦點與橢圓E的焦點重合，斜率為k的直線/過G的焦點與E

交于A3,與G交于C,D.

（1）求橢圓E及拋物線G的方程;

1V52

（2）是否存在常數(shù)2,使得為常數(shù)？若存在，求出2的值；若不存在，請說明理由.

丫216

【答案】（1）橢圓E：二+>2=1,拋物線G：y2=8x：（2）存在，2=——

55

【解析】

（1）設(shè)橢圓焦點（c，0）,代入點到直線距離公式，可求得c?的值，根據(jù)題意，可求得拋物線中。值，進而

可得拋物線方程，根據(jù)橢圓C值及離心率，可求得橢圓中。值，根據(jù)a,b,c的關(guān)系，即可求得〃值，即可

得答案.

（2）設(shè)直線/的方程為x=s+2,與橢圓聯(lián)立，根據(jù)韋達定理，可得％+力，,%的表達式，代入弦長公

式，可得同理將直線與拋物線聯(lián)立，結(jié)合弦長公式，可得|CD|,代入所求，化簡整理，即可求得；I

值.

【詳解】

（1）設(shè)橢圓焦點（c,0）,由題意得d

解得c=2，即橢圓焦點為（2,0）,

所以拋物線G的焦點為（2,0）,所以"=2,解得p=4,

2

所以拋物線G的方程為丁=8x,

又橢圓E得離心率為2叵，所以2=2叵

，得a=V5-

5a5

又Z?2=/一/=5—4=1，得。=1.

所以橢圓E的方程為土+丁=1.

5-

（2）由題意得，直線/不與x軸平行，

設(shè)直線/的方程為x=my+2,并設(shè)A（x,y）,^（馬，%），。（毛，%），。（匕，%），

2

聯(lián)立％=沖+2與V=1,消去X,整理得"+5）丁+4叼_]=（）,

Am,_i

A=（4/n）2-4（m2+5）（-1）=20m2+20>0,乂+必=---^―,必y=---，

m+52m+5

所以|X一%|=J（X+