高考2023人教A版高中數(shù)學變式題86 空間直線、平面的垂直

8.6空間直線、平面的垂直

8.6.1直線與直線垂直

例1如圖8.6-3,已知正方體43co-4'夕。'￡>'.

陽8.63

(1)哪些棱所在的直線與直線AA'垂直？

(2)求直線B4,與CC所成的角的大小.

(3)求直線B4'與AC所成的角的大小.

解：(1)棱AB，BC,CD,DA,A",BC,CD\力A'所在直線分別與直線

A4'垂直.

(2)因為A5co—AB'C'D是E方體，所以BB7/CC,因此NAB8,為直線84,與CC

所成的角.又因為NA'防'=45。，所以直線BA與CC所成的角等于45。.

(3)如圖8.64連接A'C.因為ABC。-49677是正方體，所以從而四邊

形AA'C'C是平行四邊形，所以AC//HC.于是ABAC為異面直線BA與AC所成的角.

連接5C，易知"'BC'是等邊三角形，所以/BAC=60。.從而異面直線8A與AC所

成的角等于60。.

圖8.6-4

例2如圖8.6-5(1),在正方體ABCO-AMCQ中，01為底面4耳。。1的中心.求證

AOJBD.

H8.6*5

分析：要證明應(yīng)先構(gòu)造直線與B。所成的角，若能證明這個角是直角,

即得AR1BD.

證明：如圖8.6-5(2),連接片R.

?.?ABCO-AAGA是正方體，

,叫呼巴.

，四邊形88QQ是平行四邊形.

???BQJ/BD.

???直線AQ與與。所成的角即為直線A。1與3。所成的角.

連接44，AD.,易證AM=AA.

又Oi為底面A4GA的中心，

???a為國口的中點,

??.AOX±用A,

???AO.^BD.

練習

1.判斷下列命題是否正確，正確的在括號內(nèi)畫錯誤的畫“X”.

1.如果兩條平行直線中的一條與已知直線垂直，那么另一條也與已知直線垂

直.()

【答案】正確

【解析】

【分析】根據(jù)直線的位置關(guān)系確定正確結(jié)論.

【詳解】由于兩條平行直線中的一條與已知直線垂直，所以另一條也與已知直線垂

直.

所以判斷正確.

故答案為：正確

2.垂直于同一條直線的兩條直線平行.（）

【答案】錯誤

【解析】

【分析】根據(jù)兩直線的位置關(guān)系確定正確結(jié)論.

【詳解】垂直于同一條直線的兩條直線可能平行、相交、異面，

所以判斷錯誤.

故答案為：錯誤

3.如圖，在長方體的各條棱所在直線中，

（1）與直線A8垂直的直線有條；

（2）與直線A3異面且垂直的直線有條；

（3）與直線A3和AD都垂宜的直線有條；

（4）與直線45和AD都垂直且相交的直線是直線.

【答案】?.8②.44④.AA^AA

【解析】

【分析】根據(jù)線線垂直的知識確定正確結(jié)論.

【詳解】（1）與直線A3垂直的直線有：A4,AD,DA,￡>D,BC,BB\CB\CC,共

8條.

（2）與直線AB異面且垂直的直線由。A',DD,C瓦C'C,共4條.

（3）與直線4B和A萬都垂直的直線有A4',38,CC',D?,共4條.

（4）與直線A3和AZ7都垂直且相交的直線是直線AA'.

故答案為：8；4；4；AA

4.如圖，已知長方體ABCD—AbCZ）'中，AB=26AO=2君，AAr=2.

（1）8C和A'C所成的角是多少度？

（2）AA和所成的角是多少度？

【答案】（1）45；（2）60

【解析】

【分析】（1）根據(jù)BC//BC可知所求角為NA'C'B',由Rt^AB'C中的長度關(guān)系可求

得結(jié)果；

（2）根據(jù)A4'〃88'可知所求隹為NB'BC',由肋△83'C'中的長度關(guān)系可求得結(jié)

果.

【詳解】（1）連接AC,

?.??異面直線8c和A'C所成角即為直線AC和AC所成角，即

在R/AAEC中，A，B，=AB=25BC'=AD=2y/i,

.?.tanNA'CQ=l,.,.N/TCF=45，即異面直線8C和AC所成角為45;

（2）連接8C,

A47/此.??異面直線AY和3c所成角即為直線回'和8C所成角，即

NBBC，

在&△8&C'中，BC'=4O=26,BB'=AA=2^

.?.tan/&BC=g\「.NBBC=60，即異面直線AA和所成角為60.

【點睛】本題考查立體幾何中異面直線所成角的求解問題，關(guān)鍵是能夠通過平行關(guān)

系將異面直線所成角轉(zhuǎn)化為相交直線所成角的求解問題.

5.如圖，在正三棱柱A8C—A&C中，。為棱AC的中點，AB=BB,=2,求證

BDLAC.

【答案】見解析

［解析］

【分析】

如圖，取CC'中點、為E,連接BE,DE,NBDE就是異面直線3D4c,所成的角,

利用勾股定理計算得到證明。

【詳解】如圖，取CC'中點、為E,連接3EOE.

QO為AC的中點，.tOEAC'就是異面直線3DAC'所成的角.

=2

???在正三棱柱中，AB=BB=2,

.?.80=*X2=6AC=2及，BEnjBC^+CE?=石，

DE=y/2BD2+DE2=BE2:.NBDE=90°，即BD_LDE

:.BD±AC'.

【點睛】本題考查了線線垂直，轉(zhuǎn)化為異面直線夾角是解題的關(guān)鍵。

8.6.2直線與平面垂直

例3求訐：如果兩條平行直線中的一條直線垂直干一個平面,那么另一條直線也垂直于這

個平面.

己知：如圖8.6-12,a//b,a_La,求證b_La.

分析：要證明直線力JLa,根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可知，只需證明直線b垂直于

平面。內(nèi)的兩條相交直線即可.

證明：如圖X.6-I3,在平面儀內(nèi)取兩條相文直線機，九

;直線aJ_a,

??aA.m,aLn.

*.*blla，

:?b工m,b.Ln.

又mua,〃ua,m〃是兩條相交直線,

bA.a.

例4如圖8.6/5,在正方體ABC。-AaCQ中，求直線48和平面A。。與所成的角.

圖8.615

分析：關(guān)鍵是找出直線4招在平面A。。片上的射影.

解：連接BG，B}C,8G與gc相交于點0,連接A。.

設(shè)正方體的棱長為a.

V±B,C,,4片_1_q8,B￡cB[B=Bi，

???AM_L平面BCGB「

JAjB,±Bq.

又BQ_LBC，

.?.3cl_L平面4。。片.

???AQ為斜線48在平面ADCB]上的射影，ZBA.O為48和平面\DCBX所成的角.

在用乙4田。中，AB=y[ia,B0=^a，

??.BO=^\B.

：./%0=30。.

???直線AB和平面AOC4所成的角為30。.

練習

6.如果兩條直線和一個平面所成的角相等，那么這兩條直線一定平行嗎？

【答案】不一定

【解析】

【分析】

找出反例可以說明命題的錯誤性，若不是錯誤的，則應(yīng)是可以證明得到的。

【詳解】解：如圖，在正方體ABCO-A8CQ中，

A18,GB與平面ABCO所成的角均為45。，

但這兩條直線相交，

故：不一定

【點睛】本題考查了直線與平面所成角的定義，判斷命題正確與否的方法是看能否

證明或能否找出其反例。

7.如圖，四棱錐S-A88的底面是正方形，SO_L平面ABC。，求證：ACJ■平面

SDB.

【答案】證明見解析

【解析】

【分析】

要證AC_L平面SQB,即證AC_L平面SQ8內(nèi)的兩條相交直線，顯然AC_LO3,再尋

找一條直線垂直于AC,由SOJ_平面A3CD可得SZ)_LAC,從而得證本題。

【詳解】證明：???底面A3CO是正方形，

:.AC±BD.

QS￡)_L平面ABC。，4Cu平面ABC。，

:.SD±AC.

又??BDcSD=D,B￡>u平面SQ3,SZ)u平面SDB.

AC_L平面SOB.

【點睛】本題考查了線面垂直的判定定理,證明的關(guān)鍵是對定理中的每一條件都要

證明到位。

8.如圖，在直四棱柱A'8'C'。'-A8C。中,當?shù)酌嫠倪呅?8CD滿足什么條件

時，AC1BD?

C

【答案】底面四邊形A5CD的兩對角線垂直時

【解析】

【分析】

欲使即使得4c成立，即得到60_L平面AA'C，已知3OJ_A4',

再增加8。_LAC即可得到。

【詳解】解：當?shù)酌嫠倪呅蜛8CO的兩對角線垂直時，可得到A'CJ_*D'.

證明如下：如圖，連接AC,8Q.

???在直四棱柱AB'。'。'—ABCDD中，

A4'_L平面ABC。，BDu面ABCD,

/.AALBD.

若AC_L8￡>,又ACcA4'=A，

.?.3。，平面"'。.

???A'Cu平面AA'C，

/.AC±BD.

而直四枝柱AZ'C'D'-A5CD口，

顯然30//BO,

ACLBD.

【點睛】本題考查了線面垂的判定定理，本題主要通過開放的形式來考查，具有靈

活性。

9.過上ABC所在平面。外一點P,作尸O_L。，垂足為。，連接A4,PB,PC.

(1)若PA=PB=PC,則點。是AABC的心.(2)若PA=PB=PC,

ZC=90"，則點。是A8邊的.(3)若抬_LP3,PB1PC,PC±PA,

垂足都為P,則點。是二ABC的心.

【答案】①.外②.中點③.垂

【解析】

【分析】

(1)由PO_La可得尸O_LA。，PO1BO,根據(jù)題意可得APQ4生APOB,可得

04=。"，從而可得Q4LQB-OC,從而得到結(jié)果；

(2)由(1)得到。1=OB=OC,根據(jù)在直角三角形中，斜邊的中線是斜邊的一

半可得，點。為斜邊AB的中點；

(3)由P8J_PC可得P3_L平面P4C,進而可得尸3_LAC,又

P01AC,可得AC_L平面尸8。，進而可得80_LAC,同理瓦得CO_LA8,

AO.LBC,從而得出答案。

【詳解】解(1)如圖，因為尸O_La

所以?O_LAO,PO1BO

故NPOA=NPOB=90”,

又PA=PB,PO=PO,

所以APOA二"QB

故可得OA=QB,

同理可得：OA=OC

所以點。是二ABC的外心；

(2)由(1)可得點。是二A8C的外心，

又因為NC=90°,

根據(jù)在直角三角形中，斜邊的中線是斜邊的一半

得到點0為斜邊的中點，

即為A3邊的中點；

(3)因為PBtPC,且尸AflPC二產(chǎn)

PAPCu平面PAC

所以平面尸AC,

所以PB_LAC,

因為尸O_La

所以?O_LAC

又PBCPO=P,

PB,POu平面P80,

所以AC_L平面P30,

所以30_LAC,

同理可得：CO±AB,AOJ.BC

故，點0是的垂心。

【點睛】本題考查了四面體這一幾何體，主要從線面垂直這一位置關(guān)系進行考查,

需要一定的空間想象能力。

例5如圖8.6-19,直線/平行于平面a,求證：直線/上各點到平面。的距離相等.

S8.6-19

證明：過直線/上任意兩點A,B分別作平面。的垂線AA，BB口垂足分別為4,4.

?/AAi±a,BBJa,

???AAJ/BB-

設(shè)直線8片確定的平面為尸，/ca=Aq.

VU/a，

...l"AB\.

???四邊形是矩形.

:.AAy=BB、.

由A,8是直線/上任取的兩點，可知直線/上各點到平面a的距離相等.

例6推導(dǎo)棱臺的體積公式

匕好=；a（s+阿+s），

其中S'，S分別是棱臺的上、下底面面積，力是高.

解：如圖8.6-20,延長棱臺各側(cè)棱交于點P,得到截得棱臺的棱錐.過點尸作棱臺的下底面

的垂線，分別與棱臺的上、下底面交于點O',O,則PO垂直于棱臺的上底面（想一想，

為什么？），從而0'0=%.

設(shè)截得棱臺的棱錐的體積為V,去掉的棱錐的體積為V'、高為"，則尸0'=/?’.于是

唳"“，V=；S（/+磯

所以棱臺的體積

Kg=v—s=gs(〃+〃)—!5%=:[s〃+(s—s')”].

由棱臺的上、下底面平行，可以證明棱臺的上、下底面相似，并且

S'h,2

S(〃+〃)2

所以小亮為

代入①，得/臺=；"s+（s—S'）

fS+V^+s).

練習

10.已知直線/，相和平面￡,若/，楊，I工0,則加與a的位置關(guān)系是

【答案】mu?；騧l/0

【解析】

【分析】分，〃U4與，〃0〃兩種情況討論，當小時顯然成立，當,〃0P可得

血甲,即可判斷；

【詳解】解：若mu。,根據(jù)線面垂直的性質(zhì)顯然滿足題意，

若ma。,由/_Lm,110,則M〃尸，

〃，與夕的位置關(guān)系是MU4或帆//4.

故答案為：或m//￡.

11.已知AB兩點在平面。的同側(cè)，且它們與a的距離相等，求證：直線

AB//a.

【答案】證明見解析

【解析】

【分析】

欲證直線AB〃a,即在平面a中找出一條直線平行于AB即可，適當構(gòu)造輔助線即

可得到。

【詳解】證明：如圖，作BB'La，垂足分別為A,",

則AA'//B8’,

...四邊形ABffA!為平行四邊形

ABHAB.

又A82平面。，13'<=平面0?

s.ABIIa.

【點睛】本題考查了線面平行的問題，要證明線面平行，必須滿足兩個條件，第

-：線線平行；第二：直線在平面外，缺一不可。

12.如圖，和。C都垂直于平面A5C,且E4=2DC,尸是EB的中點，求證:

OF//平面48c.

【答案】證明見解析

【解析】

【分析】

欲證"尸//平面ABC,即證?！逼叫杏谄矫鍭BC中的一條直線，取A8的中點G,

證明四邊形CDFG為平行四邊形，即可得到。尸//CG,從而得證。

【詳解】證明：如圖，取4/的中點G,連接CG,FG.

E

尸是￡?的中點,

:.FG//-AE.

=2

???E4_L平面ABC,OC_L平而ABC,

:.EA//DC.

,EA=2DC,

,DCDEA,

2

,DC&FG，

???四邊形CDR7是行四邊形，

:.DF//CG,

???CGu平面A5C,。尸a平面ABC,

」.OF//平面ABC

【點睛】本題考查了線面平行的問題，證明線面平行就是要證線線平行，線線平行

的證明常見途徑是中位線、平行四邊形等等。

13.求證：垂直于同一條直線的兩個平面互相平行.（提示：過這條直線作平面與這

兩個平面相交，則它們的交線平行.）

【答案】證明見解析

【解析】

【分析】

先寫出已知與求證，然后進行證明。欲證兩個平面平行，即證一個平面中的兩條相

交直線平行于另一個平面。通過構(gòu)造平面，根據(jù)在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線

的兩條直線平行可得到線線平行，進而得到線面平行，同理得到另一個線面平行，

從而得到面面平行。

【詳解】己知：a±afa±f

求證：a!Ip.

證明：如圖，過直線。任作平面7,5,

使0cy=b,ar\8=c>=d.

,.?a_La,

:.aLbta_Lc.

??,a”,

:.aLh?a_Lc,

???在平面/內(nèi)，bUb.

又z/u",

:.bHp.

同理”/〃.

又直線Ac相交，bua,cua,

:.a!iP.

【點睛】本題考查了面面平行的證明問題，解決面面平行問題常見方法是利用面面

平行的判定定理。

8.6.3平面與平面垂直

例7如圖8.6-27所示，在正方體A5CO—AB'CT)'中，求證：平面4即，平面

ACCA.

圖8.627

分析：要證平面A3D_L平面ACC'A,根據(jù)兩個平面垂直的判定定理，只需證明平面

A3。經(jīng)過平面ACCA的一條垂線即可.這需要利用AC,80是正方形ABC。的對角

線.

證明：???ABC?！?3'。。是正方體，

???AA'JL平面48CD.

：?AA±BD

又BOJ.AC,

???BOJL平面ACCA',

???平面ABD±平面ACCfAf.

例8如圖8.6-28,是。。的直徑，Q4垂直于0。所在的平面，。是圓周上不同于4,

B的任意一點..求證：平面E4C_L平面尸8C.

圖8.6-28

分析：要證明兩個平面垂直，根據(jù)兩個平面垂直的判定定理，只需證明其中一個平面內(nèi)的

一條直線垂直于另一個平面.而由直線和平面垂直的判定定理，還需證明這條直線和另一個

平面內(nèi)的兩條相交直線垂直.在本題中，由題意可知8C_LAC,BCLPA,

ACnPA=A,從而3C_L平面PAC,進而平面PAC_L平面08C.

證明：???Q4_L平面ABC,

BCu平面ABC,

PAIBC.

???點C是圓周上不同于A,8的任意一點，AB是。。的直徑,

???N8C4=90。，即8C_LAC

又夫人。人。=4,%U平面RAC，4Cu平面尸AC,

???平面PAC.

又BCu平面PBC,

??.平面PAC_L平面P5c.

練習

14.如圖，檢查工件的相鄰兩個（平）面是否垂直時，只要用曲尺的一邊緊靠在工

件的一個面上，另一邊在工件的另一個面上轉(zhuǎn)動，觀察尺邊和這個面是否密合就可

以了，這是為什么？

【答案】見解析

【解析】

【分析】

根據(jù)面面垂直的判定定理，通過證明線面垂直得面面垂直.

【詳解】當曲尺的另一邊在工件的另一個面上轉(zhuǎn)動時，如果和另一個面密合，曲尺

緊靠工件一個面的邊就與另一個面內(nèi)無數(shù)條相交直線都垂直，從而這邊就與另一個

面垂直，同時，這邊緊靠工件的一個面，可看成這條邊在這個面內(nèi)，故這兩個面垂

直.

【點睛】此題考查面面垂宜的實際應(yīng)用，將生活中的事例轉(zhuǎn)化成純立體幾何問題，

通過線面垂直關(guān)系得面面垂直.

15.已知直線〃仍與平面a,四人能使的充分條件是（）

A.aLy.pLyB.ac0=a,b工a,bu0

C.a!Ia,alIpD.a//a,a1.ft

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)空間直線與平面，平面與平面的關(guān)系對四個選項分別進行判斷，得到

答案.

【詳解】選項A中，a工—y,得到。和夕還有可能平行，所以錯誤；

選項B中，ac°=a,bA-a,bu/3,不一定得到a_L4，所以錯誤；

選項C中，alla.allp.。和夕可能平行也可能相交，所以錯誤；

選項D中，由a//a知a內(nèi)必有直線〃/4，因為a_L尸，所以/_L/7,

又因為/u/?,所以得到。，力，所以正確.

故選：D

16.如圖，4AJL平面BCD,BCVCD,你能發(fā)現(xiàn)哪些平面互用垂直，為什么？

A

【答案】見解析

【解析】

【分析】

根據(jù)面面垂直的判定定理，先尋找線面垂直，再得面面垂直.

【詳解】平面ABC_L平面5CD,平面A8D_L平面8CQ,平面ABC_L平面48.

理由：QAB_L平面8CQ,AB\平面ABC,AB\平面AB。，

，平面ABC_L平面BCD,平面ABOJL平面3CQ.

(248_1平面8。。，CQu平面3c。，

ABA.CD.

又BCLCD,ABcBC=B,

\CD八平面ABC.

CQu平面AC。，

平面ABCJ■平面ACD.

【點睛】此題考查面面垂直的判定，關(guān)鍵在于準確尋找線面垂直的關(guān)系，結(jié)合幾何

體中的線面關(guān)系依次證明.

17.如圖，在正三棱柱中，D為棱AC的中點，求證：平面&)C'_L

平面ACC'A.

【答案】證明見解析

【解析】

【分析】

根據(jù)定理先證明8。_LAC,A4'得BO_L平面ACC'A'，即可得證面面垂直.

【詳解】證明：???在正三棱柱ABC—A'B'C中，D為AC的中點，AABC為正三角

形，

:.BDA.AC.

又在正三棱柱ABC—aZ'L中，A4'_L平面ABC,BOu平面ABC,

AAA.BD-

\-ACnAA=A,ACu平面4CC4,A4，u平面ACC4.

.?.3。_1平面4。。:4'.

Qu平面BDC,???平面BDC_L平面4CC'A.

【點睛】此題考查面面垂直的證明，關(guān)鍵在于根據(jù)幾何體特征，準確證明出線面垂

直，即可證明面面垂直.

例9如圖8632,己知平面a_L平面夕，直線aJL〃，aBa,判斷。與a的位置關(guān)系

解：在。內(nèi)作垂直于a與6交線的直線兒

?:a10,

：.bLp,

又a~L尸，

/.a//b.

又aaa,

:.alia

直線。與平面a.

例10如圖86-33,已知P4_L平面48C,平面R481.平面P8C,求證：8C_L平面

圖8.6-34

分析：要證明BC_L平面需證明8C垂直于平面245內(nèi)的兩條相交直線.由已知條

件易得BC_LB4.再利用平面Q4B_L平面尸3C,過點A作/汨的垂線AE,由兩個平面

垂直的性質(zhì)可得5C_LAE.

證明：如圖8634,過點4作AEJLP3,垂足為E.

???平面QA8_L平面P8C,平面B48c平面

，AE_L平面尸8C.

?.?3Cu平面尸BC，

???AEA-BC.

:R4_L平面ABC,BCu平面ABC,

：.PALBC.

又尸A「AE=A,

???3C_L平面P45.

練習

1.判斷下列命題是否正確，正確的在括號內(nèi)寫正確，錯誤的寫錯誤.

18.如果平面。_1平面那么平面。內(nèi)所有直線都垂直于平面夕.()

【答案】x

【解析】

【分析】根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可以判斷命題的真假.

【詳解】若平面平面夕，則兩平面一定相交，設(shè)交線為直線〃，顯然〃ua,

但直線。與平面夕不垂直，故此命題不正確.

故答案為：x

19.如果平面C平面夕，那么平面。內(nèi)一定存在直線平行于平面

夕.()

【答案】V

【解析】

【分析】根據(jù)線面平行的性質(zhì)可知此命題正確.

【詳解】平面a，平面若它們的交線記為直線/,因此直線/u平面￡.

在平面a內(nèi)一定有直線〃〃〃，則直線機〃平面故此命題正確.

故答案為：J

20.如果平面。不垂直于平面小，那么平面。內(nèi)一定不存在直線垂直于平面

夕.()

【答案】V

【解析】

【分析】根據(jù)面面垂直的判定定理可以判斷命題的真假

【詳解】若平面。內(nèi)存在直線垂直于平面夕，則根據(jù)面面垂直的判定定理可知

a工

所以如果平面。不垂直于平面夕，那么平面a內(nèi)一定不存在直線垂直于平面夕.

故答案為：V

21.若平面6（_1_平面尸，且。（1或=/,則下列命題中正確的個數(shù)是（）

①平面a內(nèi)的任一條直線必垂直于平面夕；

②平面a內(nèi)的直線必垂直于平面口內(nèi)的任意一條直線；

③平面a內(nèi)的已知直線必垂直于平面￡內(nèi)的無數(shù)條直線；

④過平向a內(nèi)任意一點作交線/的垂線，則此垂線必垂直于平面夕；

A.0個B.1個C.2個D.3個

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)線面、面面關(guān)系逐一判斷即可.

【詳解】①平面。內(nèi)取與/平行的直線，不垂直于平面尸，故①錯誤；

②當平面。內(nèi)取平行于交線的直線時，該直線與平面夕平行，故②錯誤；

③取平面夕內(nèi)無數(shù)條與交線垂直的直線，平面。內(nèi)的己知直線與這無數(shù)條直線垂

直，故③正確：

④若a內(nèi)的任意一點取在交線i上，所作垂線可能不在平面a內(nèi)，所以不一定垂直

于平面夕，故④錯誤.

故選：B

22.已知a,。表示兩個不同的平面，m為平面a內(nèi)的一條直線，貝丁。_L夕”是“川

"L夕’的

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】

【詳解】當口，8時，平面a內(nèi)的直線m不一定和平面0垂直，但當直線m垂直于

平面B時，根據(jù)面面垂直的判定定理，知兩個平面一定垂直，故“aJ_0”是“m_L0”的

必要不充分條件.

，視頻「

23.已知平面a,/，直線a,且a1/7=AB,alia,alAB,判斷直線

a與平面￡的位置關(guān)系，并說明理由.

【答案】理由見解析

【解析】

【分析】

在平面。內(nèi)找出直線。的平行線8,根據(jù)面面垂直的性質(zhì)證明線面垂直.

【詳解】al/3,理由如下：

如圖，過直線。作平面7,使aCy=b.

valia,/.allb.

又。_LA3,:.bYAB.

又???〃_!■尸，bua,工0,

:.aVp.

【點睛】此題考查根據(jù)線面平行的性質(zhì)證明線線平行，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)證明線

面垂直.

習題8.6

復(fù)習鞏固

1.選擇題

24.若空間中四條不同的直線心心4，14滿足/2,4,G，/一則下面

結(jié)論正確的是（）

A.1.1.1,B./1///4

C.4，，4既不垂直也不平行D.心。的位置關(guān)系不確定

【答案】D

【解析】

【分析】在長方體中舉例說明i,可能的位置關(guān)系，由排除法可得正確選項.

【詳解】

如圖；在長方體428-A耳GA中，記。9為4，。。為4，D入為h，滿足題中條

件d

若4A為滿足/3U4,此時“〃4；

若cp為L，滿足4,乙，此時4與4相交；

若AB為L，滿足此時4與《異面垂直；

若GR為小滿足。，乙，此時4與4相交垂直；

因此4，。的位置關(guān)系不確定，所以選項ABC都不正確，

故選：D.

25.設(shè)/,加,〃均為直線，其中〃在平面a內(nèi)，“/1?！笔恰?101且/_1_〃”的

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】

【詳解】設(shè)均為直線，其中孫〃在平面a內(nèi)，“ia"，則“，im且/工〃"，反

之若"_Lm且/JX，當m//n時，推不出“1a"，???“/!a”是“1m且〃”的充分

不必要條件，選A.

26.直線4，4互相平行的一個充分條件是

A.4，4都平行于同一個平面B.4,，2與同一個平面所成的角相等

C.4平行于，2所在的平面D.4,，2都垂直于同一個平面

【答案】D

【解析】

【詳解】由題意下列哪個選項可以推出直線4,4互相平行即可，選項A中4與4不

僅可以平行還可能相交或異面直線；選項B中乙與，2不僅可以平行還可能相交或異

面直線；選項c中4與4不僅可以平行還可能異面直線；故選D

2.判斷下列命題是否正確，正確的在括號內(nèi)內(nèi)寫正確，錯誤的寫錯誤.

27.過平面外一點，有且只有一條直線與這個平面垂直.（）

【答案】正確

【解析】

【分析】根據(jù)線面垂直的知識確定正確結(jié)論.

【詳解】根據(jù)線面垂直的定義，可得經(jīng)過平面外一點作已知平面的垂線，有且僅有

一條.

所以判斷正確.

故答案為：正確

28.過平面外一點，有且只有一條直線與這個平面平行.（）

【答案】X

【解析】

【分析】根據(jù)線面平行的判定定理，即可得出結(jié)果.

【詳解】根據(jù)線面平行的判定定理，平面外一條直線與平面內(nèi)一條直線平行，則這

個直線與平面平行：

因此，過平面外一點能作出無數(shù)條直線與這個平面平行.

故答案為：X

29.過直線外一點，有且只有一個平面與這條直線垂直.（）

【答案】V

【解析】

【分析】根據(jù)直線和平面垂直的性質(zhì)即可判斷?

【詳解】根據(jù)直線和平面垂直的性質(zhì)可知，過直線外一點，有且只有一個平面與這

條直線垂直，

故答案為：J

30.過直線外一點，有且只有一個平面與這條直線平行.（）

【答案】X

【解析】

【分析】過直線外一點，有無數(shù)個平面與這條直線平行.

【詳解】過直線外一點，有無數(shù)個平面與這條直線平行.

故答案為：X

31.過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行.（）

【答案】正確

【解析】

【分析】結(jié)合平面的知識確定正確結(jié)論.

【詳解】直線與直線外一點確定一個平面，兩條平行線確定一個平面，

所以過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行.

所以判斷正確.

故答案為：正確

32.判斷下列命題是否正確，正確的說明理由，錯誤的舉例說明.

（1）一條直線平行于一個平面，另一條直線與這個平面垂直，則這兩條直線互相

垂直；

（2）如果平面a〃平面％,平面/〃平面回，那么平面。與平面夕所成的二面

角和平面/與平面4所成的二面角相等或互補；

（3）如果平面a_L平面￡,平面4_L平面那么平面a_L平面九

【答案】（1）正確，理由見解析；（2）正確，理由見解析；（3）錯誤，見解析.

【解析】

【分析】

（1）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)分析，平面內(nèi)存在直線與第一條直線平行，該平面的垂線

與之垂直；

（2）借助法向量求二面角的方法即可分析；

（3）垂直于同一平面的兩個平面不一定垂直.

【詳解】解：（1）正確，設(shè)直線H/平面。，直線b_L平面。，則存在直線cua.

且al!cb.Lc9.'.b.La.

（2）正確，兩個平面平行，則其法向量也平行，兩個二面角的兩個半平面的法向

量所成角相等或互補：.

（3）錯誤，如長方體中兩底直都與同一側(cè)面垂直，但兩底面不垂直.

【點睛】此題考查垂直關(guān)系的辨析，關(guān)鍵在于根據(jù)公理定理進行分析推導(dǎo)和證明，

可以結(jié)合具體物體中的反例推翻命題.

33.如圖，在直三棱柱ABC—ABC中，CA=CB,P為人田的中點，Q為棱C?

的中點，求證：

B

(1)PQA.AB；

(2)PG1C.C；

(3)PQ1A}B.

【答案】(1)見解析；(2)見解析；(3)見解析.

【解析】

【分析】

(1)通過證明8//PQ,CDLAB,即可得證；

(2)通過平行關(guān)系轉(zhuǎn)化證明8〃P0,CO，CG即可得證：

(3)通過證明尸。，平面證明尸。_LA8.

【詳解】證明：(1)如圖，取AB的中點。，連接CZXDP,

???尸為4/的中點，二.刊吆

又???Q為CG的中點，」.CQ4LAA,,

PD//CQ.

???四邊形CDPQ為平行四邊形，二8〃尸Q.

又?C4=C3,。為AB的中點，「.CDLA仇.■.尸Q_LA3.

(2)???在直三棱柱ABC—44G中，M_L平面ABC,CDu平面48c.

?.AAiICD.由(1)知CO//P0,.?.PQ_LM.

又AAJICC、,PG1CC).

(3)由(1)(2)知，PQ1AByPQ±,而ABcA4=A.

.?.PQ_L平面AA&B.

V\Bu平面A\BXB,.,.PQIA^B.

【點睛】此題考查線線垂直和線面垂直的證明，以及兩個垂直關(guān)系的綜合應(yīng)用，屬

于基礎(chǔ)題目.

34.如圖，在三棱錐尸-ABC中，CD1AB,垂足為。，尸0_L底面A3C,垂足為

0,且0在CQ上，求證：AB1PC.

A

x/?).■?二

B

【答案】證明見解析

【解析】

【分析】

通過線面垂直證得PO_LAB，結(jié)合以)JLAM得平面POC,即可得證.

【詳解】證明：???尸OJ■底面48C,AB\s.POLAB.

TO在8上,.?.POcCD=O.

又8工AB,

平面POC「PCu平面POC,..ABLPC.

【點睛】此題考查線面垂直的性質(zhì)和判定的綜合應(yīng)用，利用線面垂直得線線垂直.

35.如圖，在正方體ABCD-AB'CD中，平面ABC。與正方體的各個面所在的

平面所成的二面角的大小分別是多少？

【答案】平面ABC'。與平面H8CQ,平面A'?CD,平面ABQA,平面

都成45。，平面與平面ADDA,平面4CC'9成的角為90。

【解析】

【分析】

根據(jù)線面垂直判定面面垂直得二面角為90。,根據(jù)二面角定義找出二面角的平面角，

并求出大小.

［詳解］解：在正方休ABCD-AB,C,D,中，考慮平面與平面ABCD,

A3J_平面B'C'CB,BC',BCu平面？CC3,所以平面NB'BC就是平面ABC。

與平面A8CO所成角，

即平面ABCDf與平面ABCD成角ZCBC=45°,

同理平面A86與平面A8CD,平面A&C7)',平面ABB'A',平面CC'D'D都成

45。角,

又因為A3_L平面ADDA,平面A8CZT與平面ADD4垂直，即所成的角為

90°,同理可得平面48。。與平面皿7A,平面BCC8'都垂直，即與它們所成

的角為90。.

所以平面AAO'與平面4AC。，平面4'ECTy,平面平面CC刀刃都成

45。角，平面ABC'。'與平面ADDA,平面BCC'B'都垂直，即與它們所成的角為

90°.

【點睛】此題考查求平面與平面所成角的大小，常通過求二面角的平面角的大小進

行度量，特殊情況可用垂直關(guān)系討論.

36.如圖，在三V-A3C中，已知/%8=/1<4。=乙48。=90°,判斷平面%8與

平面VBC的位置關(guān)系，并說明理由.

【答案】平面V84和平面VBC垂直，理由見解析

【解析】

【分析】

通過直角關(guān)系證明線面垂直得面面垂直，即可得出結(jié)論.

【詳解】解：平面VBA和平面VBC垂直.

因為N3B=N1MC=90°,A3cAC=A,

所以VA_L平面A5C,所以%_L5c.

因為ZABC=90。.所以BC_LR4.

因為E4cH4=A,所以BC_L平面MIB.

又BCu平面V3C,所以平面l/4_L平面VBC

【點睛】此題考查線面垂直的證明，根據(jù)垂直關(guān)系證明線面垂直，通過線面垂直證

得面面垂直.

37.求證：如果共點的三條直線兩兩垂直，那么它們中每兩條直線確定的平面也兩

兩垂直.

【答案】證明見解析

【解析】

【分析】

通過直角關(guān)系證明線面垂直再證明出面面垂直，即可得出結(jié)論.

【詳解】已知：直線％,VB,VC兩兩垂直

求證：平面%8,平面V8C,平面%C也兩兩垂直.

證明：如答圖所示，

VA±VB,VA±VC,VBnVC=V,

.?.01_L平面VBC.

???VAu平面VC,

???平面VACJ?平面VBC.

同理可得，平面01C_L平面以3,平面E48_L平面VBC

【點睛】此題考查線面垂直的證明，根據(jù)線線垂直關(guān)系證明線面垂直，通過線面垂

直證得面面垂直.

38.已知平面a,民且aJ_7，￡//a,求證：0Ly.

【答案】證明見解析

【解析】

【分析】

根據(jù)面面垂直的性質(zhì)和線面平行的性質(zhì)，證明線面垂直，得證面面垂直.

【詳解】證明：如圖，設(shè)a，=/.在平面。內(nèi)作直線

因為a_Ly,根據(jù)面面垂直的性質(zhì)，所以九

過a作一個平面b與平面尸相交于直線b,

由￡//a,得匕//a,所以6_Ly.

又bu0,所以/，九

【點睛】此題考查根據(jù)面面垂直的性質(zhì)得線面垂直，根據(jù)線面平行的性質(zhì)得線線平

行，根據(jù)線面垂直證明面面垂直.

39.如圖：已知平面a,￡,y.滿足a_Ly，4_Ly,ac/=/

求證：ILy

【答案】證明見解析.

【解析】

【分析】

設(shè)aQy=4,6。7=人，在平面V內(nèi)取一點A,過A作于8,過A作

AC_L6于C,則可證得A3_La,AC±/7,從而可證得A8_L/,4c_L/,進而可

證得/

【詳解】證明：設(shè)==

在平面/內(nèi)取一點A,過A作A8_L。十8,過A作AC_LZ?十C

又?：lua,:.ABA.I,

同理可證4CJ■/,

又〈ABUKACUV且A8cAC=A,

:.lA.y

綜合運用

40.如圖，在正方體ABC。-AACQ中，點P,。分別為棱AD,CG的中點，求

證：A.P1BQ.

【答案】證明見解析

【解析】

【分析】

取。R的中點R,連接QR,4R通過證明A,P_LAR證得結(jié)論.

【詳解】證明：取的中點R,連接QR,AR,如圖：

ARcy\P=O.

???Q是CG的中點，??QR/JCD.^ABIJCD./.QRI^AB,

???四邊形ABQR是平行四邊形，

在正方形明DQ中，?.?尸，R分別是的中點，

???RtAMP=RtMAR,/.ZAA,P=Z.DAR.

???NOAR+NAAR=90°

.\ZA41P+ZX1A/?=90

NAOA,=90°,

即AP_LAH,A]P±BQ.

【點睛】此題考查線線垂直的證明，通過平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化，結(jié)合平面幾何的知識進

行證明.

41.如圖：皿，〃是兩條相交直線，44是與加，〃都垂直的兩條直線，且直線/與

【答案】證明見解析

【解析】

【分析】

根據(jù)垂直于同一平面的兩直線平行得“〃2,結(jié)合平面幾何知識即可得證.

【詳解】證明：因為用,〃是相交直線，所以它們可以確定一個平面記為。，則

tnu%〃ua,

?/《±m(xù)J±4-La

同理《，?！?4//直線/與儲2都相交，4=N2

【點睛】此題考查線面垂直的判定，根據(jù)垂直于同一平面的兩條直線平行，結(jié)合平

面幾何知識證明同位角相等.

42.求證：兩條平行直線與同一個平面所成的角相等.

【答案】證明見解析

【解析】

【分析】

寫出命題，作出圖形，找出線面角，通過全等三角形關(guān)系證明線面角相等.

【詳解】己知：。//瓦。^^一4力^^。一44，4分別是小。與a所成的角.求證：

a=4.

證明：如圖，在小〃上分別取點4,B,這兩點在平面a的同側(cè)，且連

接AB和，

因為AA/IBB、,AA\=BB1,

所以四邊形44田乃是平行四邊形.

所以AB//4|8],又A4ua,4Baa,所以AB//a.

設(shè)4,約分別是平面a的垂線AA2,BB2的垂足，

連接A4,耳打,則AA2=BB2,

在Rt^AAlA2和RtBB}B2中，因為AA1—BB2,AA]—BB、.

所以&=RABBIB2,所以乙4AA2=/BB艮?=02.

【點睛】此題考查線面角的辨析，根據(jù)定義作出直線與平面所成角，結(jié)合全等三角

形的性質(zhì)證明角相等.

43.如圖，在V?A8C中，VO_L平面ABC,O^CD,VA=VB,AD=BD.你能判定

CD1AB,以及AC=BC嗎？

B

【答案】能，理由見解析

【解析】

【分析】

通過以1=1/區(qū)4。=8。得丫01.,由丫0_1平面45。得丫0_145,即可證明48,

平面VDO,結(jié)合等腰三角形三線合一即可得證.

【詳解】解：能判定CD_LA3以及AC=3C

理由如下：

?.?VO_L平面A8C,AB1平面A8C.

:.VO1AB.

???VA=VB,AD=BD,:,VDA.AB.

?.?VOcW)=V,/.AB，平面VQO.

???CDu平面VDO,:.CDLAB.

又AD=DB,AC=BC.

【點睛】此題考查線面垂直的判定和性質(zhì)，通過線面垂直得線線垂直，結(jié)合平面幾

何知識進行相關(guān)判定.

44.如圖，在正方形SG￡2G3中，E,E分別是GQ2，G2G3的中點，。是E尸的中

點，若沿SE,及E/把這個正方形折成一個四面體，使G1,G2，G3三點重合，重

合后的點記為G,則在四面體S?EFG中，哪些棱與面互相垂直?

s

E

【答案】SG_L平面GEF,產(chǎn)G_L平面GSE,EG_L平面GSF.

【解析】

【分析】

通過對折疊前后直線位置關(guān)系的辨析得折后SG±EG,SG±FG,EGJ,尸G,根據(jù)線

面垂直的判定定理即可判定.

【詳解】解：SG11EG^SG.±FG.,EG21FG2

：.折后SG±EG,SGJLFG,EG1FG.

E

又SG,EG,FG交于一點、G.

根據(jù)EG,FG交于一點G,可得SG_L平面GEF,

同理可證：FG_L平面GS￡EGJ"平面GS尸.

【點睛】此題考查折疊問題中的垂直關(guān)系，找準折疊前后的變化關(guān)系和不變關(guān)系,

關(guān)鍵在于根據(jù)線線垂直證明線面垂直.

45.求證：垂直于兩個平行平面中的一個平面的直線也垂直于另一個平面.

【答案】證明見解析

【解析】

【分析】

寫出命題，在平面內(nèi)尋找兩條相交直線與已知直線垂直即可得證.

【詳解】已知：aH0,aLa,求證：a工。.

證明：如圖、過直線。作兩平面7,5,使

Ji/

yca=b,yc。=b、bca=c、bc\B=d.

a/R,根據(jù)面面平行的性質(zhì)，.,.》//〃,c//c'

???a_La,。ua,cua,。J_氏aJ_c.

a.Lb,a.Lc.

又，與c’都在月內(nèi)且相交，.??〃，夕.

【點睛】此題考查根據(jù)面面平行的性質(zhì)得線線平行，根據(jù)直線與平面垂直的判定定

理證明線面垂直.

46.求證：三個兩兩垂直的平面的交線也兩兩垂直.

【答案】證明見解析

【解析】

【分析】

寫出命題，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)得線面垂直，根據(jù)線面平行的性質(zhì)得線線垂直，結(jié)

合線面垂直關(guān)系證明線線垂直.

【詳解】已知：平面a_L4，a_L7，￡_Ly,acQ=a,acy=b,/?cy=c.

求證：4_LZ?M_LC,Z>_Lc.

證明：如圖所示，因為a_Ly,尸_Ly,ac￡=a,

在平面。內(nèi)作異于。的直線機，b，alX,a「y=b,

所以〃z_Ly,因為〃_Ly,所以m〃0,mucc,aC0=a,所以M/a

所以。_Ly,

又a\y=b，B)/=c

所以。uy,cuy,所以a_Lb,a_Lc,

同理可得〃_Lc.

【點睛】此題考查線面平行的性質(zhì)，面面垂直的性質(zhì)，考查對線面平行、線面垂

直、面面垂直性質(zhì)的綜合應(yīng)用.

47.如圖，在三V-ABC中，VA=VB=AB=AC=BC=2,VC=\,作出二面角V-

AB-C的平面角，并求出它的余弦值.

【答案】作圖見解析；

【解析】

【分析】

根據(jù)“一作二證三計算”，取A3的中點M,連接VM,CM,證明NV70C為二面角口

A8-C的平面角，在三角形中進行計算即可.

【詳解】解：如答圖所示，取A3的中點M,連接VM,CM.

A

M

H

VA=VB,AC=BC

:.VMLAB.CMLAB

.?.NMWC為二面角Y-A8-C的平面角

根據(jù)已知條件可得AM=1,CM=6,VM=百,VC=1.

在△，區(qū)中，由余弦定理cosNVMC=四*+MC，—VC?=￡

2VMMc6

???二面角V-A8-C的余弦值等于

【點睛】此題考查根據(jù)定義作出二面角并求二面角的大小，作出二面角的平面角,

在三角形中解題，解題中需要遵循“一作二證三計算”原則.

拓廣探索

48.如圖，在直三棱柱ABC-AMG中，ZABC=90\AAi=ABf求證：

\C±AB1,

【答案】證明見解析

【解析】

【分析】

根據(jù)NABC=90"在直三棱柱中，證得平面ABB|A，得連接4出,

則即可證明AB|_