高中數(shù)學(xué)各個擊破1知識資料集合與筒易邏輯73

千里之行，始于足下朽木易折，金石可鏤Word-可編輯高中數(shù)學(xué)各個擊破高中數(shù)學(xué)高中數(shù)學(xué)各個擊破1（集合與簡易邏輯）余家露編高中數(shù)學(xué)各個擊破2（重要不等式）高中數(shù)學(xué)各個擊破3（函數(shù)的性質(zhì)）高中數(shù)學(xué)各個擊破4（基本初等函數(shù)）高中數(shù)學(xué)各個擊破5（異常函數(shù)）高中數(shù)學(xué)各個擊破6（三角函數(shù)）高中數(shù)學(xué)各個擊破7（解三角形）高中數(shù)學(xué)各個擊破8（向量與復(fù)數(shù)）高中數(shù)學(xué)各個擊破9（點線面位置關(guān)系）高中數(shù)學(xué)各個擊破10（空間角與空間距離）高中數(shù)學(xué)各個擊破11（異?？臻g幾何體）高中數(shù)學(xué)各個擊破12（直線與圓）高中數(shù)學(xué)各個擊破13（圓錐曲線的定義與性質(zhì)）高中數(shù)學(xué)各個擊破14（圓錐曲線的弦長與面積）高中數(shù)學(xué)各個擊破15（圓錐曲線的定點定值問題）高中數(shù)學(xué)各個擊破16（數(shù)列與通項）高中數(shù)學(xué)各個擊破17（數(shù)列求和）高中數(shù)學(xué)各個擊破18（導(dǎo)數(shù)的概念與運算）高中數(shù)學(xué)各個擊破19（導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用）高中數(shù)學(xué)各個擊破20（函數(shù)的零點）金爾鑫?編著高中數(shù)學(xué)各個擊破21（計數(shù)原理）高中數(shù)學(xué)各個擊破22（概率）高中數(shù)學(xué)各個擊破23（統(tǒng)計與統(tǒng)計分析）集合與簡易邏輯高中數(shù)學(xué)各個擊破1集合與簡易邏輯金爾鑫編著施小斌審定浙江大學(xué)出版社圖書在版編目(CIP)數(shù)據(jù)高中數(shù)學(xué)各個擊破.1,集合與簡易邏輯/金爾鑫編著.-杭州:浙江大學(xué)出版社,2024.5ISBN978-7-308-24907-2I.①高...II.①金...III.①中學(xué)數(shù)學(xué)課一高中一教學(xué)參考資料IV.①G634.603中國國家版本館CIP數(shù)據(jù)核字(2024)第086999號高中數(shù)學(xué)各個擊破1集合與簡易邏輯金爾鑫編著策劃陳海權(quán)(:)責(zé)任編輯閆亮責(zé)任校對陳海權(quán)封面設(shè)計林智廣告出版發(fā)行浙江大學(xué)出版社(杭州市天目山路148號郵政編碼310007)(:http://www.zjupress.com)排版杭州朝曦圖文設(shè)計有限公司印刷杭州宏雅印刷有限公司開本889印張4.5字數(shù)107千版印次2024年5月第1版2024年5月第1次印刷書號ISBN978-7-308-24907-2定價16.60元版權(quán)所有侵權(quán)必究印裝差錯負責(zé)調(diào)換浙江大學(xué)出版社市場運營中央聯(lián)系方式:0571-1;http://zjdxcbs.tmall.com新課程、新評價對學(xué)生的要求從“知識、能力立意”轉(zhuǎn)向“價值引領(lǐng)、素質(zhì)導(dǎo)向、能力為重、知識為基”;新課標(biāo)把高中數(shù)學(xué)分成五個主題,并強化單元整體教學(xué).由此不難發(fā)現(xiàn),這一輪課改的目標(biāo)是在價值引領(lǐng)前提下,在數(shù)學(xué)課程教學(xué)中體現(xiàn)素質(zhì)導(dǎo)向.實現(xiàn)這個目標(biāo)的途徑是多樣的、展開的,興許主題化和單元化就是核心路徑.而“高中數(shù)學(xué)各個擊破”系列圖書(以下簡稱“各個擊破”)正是編者對主題化和單元化的有效融合的追求.“各個擊破”實現(xiàn)化整為零.“各個擊破”把高中數(shù)學(xué)必修五大主題和挑選性必修四大主題整合成了23個大單元,每個大單元自立成冊,每冊又按照教學(xué)內(nèi)容及順序設(shè)置了58個小單元,每個小單元設(shè)計了6～10道例題,同時配套包含“基礎(chǔ)過關(guān)”“綜合練習(xí)”和“拓廣提升”三個層次的達標(biāo)檢測試題10～16道,每個分冊最后設(shè)置一個進階特訓(xùn),是對大單元整體的回顧與檢測.“各個擊破”在對高中數(shù)學(xué)所有知識點各個擊破的同時,通過滲透與提煉對高中數(shù)學(xué)思想“各個擊破”突出個性輔導(dǎo).“各個擊破”既有整體設(shè)計,同時又自立成冊,倡導(dǎo)“提質(zhì)”“減負”.“各個擊破”的使用,既可以是學(xué)生按照學(xué)習(xí)情況,針對自己的薄弱環(huán)節(jié)挑選分冊舉行專項突破;也可以把“各個擊破”作為同步教輔,在每一章節(jié)新授課結(jié)束之后,協(xié)助學(xué)生對所學(xué)知識和主意舉行逐一突破,實現(xiàn)對大多數(shù)學(xué)生的個性化輔導(dǎo).“各個擊破”凸顯八大特色.“各個擊破”緊緊圍繞新課程、新評價和新教學(xué),并以此展示編寫特色.首先,觀念的前瞻性.“各個擊破”與新課程、新高考全面接軌,在題量上落實“雙減”政策,更多地擔(dān)心例題、習(xí)題的內(nèi)涵和教學(xué)價值;在題型上緊隨全國卷試題結(jié)構(gòu),設(shè)有多選題、多空題、應(yīng)用題和各類創(chuàng)新型試題.第二,知識的殘破性.“各個擊破”鄭重按照《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2023年年年版2023年年年修訂)》編寫,通過23個自立成冊的大單元涵蓋高中數(shù)學(xué)所有重要知識點,在每一分冊小單元的“要點提煉”欄目中都有對核心知識的概括提煉.第三,內(nèi)容的同步性.“各個擊破”固然以大單元形式自立成冊,但在知識形成的邏輯順序上不超前,所以每一單冊都既可作為教學(xué)同步輔導(dǎo)用書,也可作為階段性輔導(dǎo)用書.第四,例題的針對性.“各個擊破”對例題的設(shè)計精益求精,每道例題會針對相應(yīng)知識點,解決一類問題,而且在解決問題的過程中,都會推薦與總結(jié)數(shù)學(xué)方法并潛移默化地滲透相應(yīng)的數(shù)學(xué)思想.第五,習(xí)題的有效性.“各個擊破”對習(xí)題的選配,鄭重遵從配套與拓展的原則,每道習(xí)題都是對單元知識或例題的一種有效反饋,通過對習(xí)題的系統(tǒng)訓(xùn)練,不僅可以鞏固本單元知識,同時能對所涉思想主意有更深的認識.第六,檢測的階梯性.“各個擊破”對知識與主意的檢查,呈階梯狀設(shè)計,異常是在“達標(biāo)檢測”欄目,不僅設(shè)有“基礎(chǔ)過關(guān)”和“綜合練習(xí)”,還有應(yīng)對高考壓軸題或強基的“拓廣提升”,以此滿意學(xué)生對知識與主意不同深度和廣度的要求.第七,主意的全面性.“各個擊破”的每個小單元都設(shè)有“主意歸納”欄目,在此欄目中,不僅有對例題和習(xí)題涉及思想主意的總結(jié),也有對思想主意的拓展與普通化,還有對思想主意的全面分類與歸納.第八,編委的權(quán)威性.“各個擊破”所有分冊均由浙江省內(nèi)名校或教研單位名師自立編著,每一分冊都凝結(jié)了名師的教學(xué)經(jīng)驗堆積與成績分享,同時每一分冊還邀請了省特級教師審定,所以“各個擊破”的編寫者及編委是權(quán)威的.“各個擊破”編寫歷時一年多,在編寫與審校過程中,得到了鎮(zhèn)海中學(xué)、杭州二中、學(xué)軍中學(xué)、溫州中學(xué)、慈溪中學(xué)、紹興一中、嘉興一中、金華一中、湖州中學(xué)、舟山中學(xué)等二十多所小學(xué)的教師和學(xué)生的大力支持,在此對參加“各個擊破”審稿與校對的教師和學(xué)生表示衷心謝謝.衷心希翼讀者能通過“各個擊破”的使用,實現(xiàn)對高中數(shù)學(xué)的“各個擊破”,也祝福大家使用“各個擊破”之后,在各類考試中取得優(yōu)異的成績!因為時光倉促,也受能力所限,書稿雖經(jīng)多次審校,但其中難免存在謬誤,敬請專家、讀者批評指正.“各個擊破”與人教A版教材的對應(yīng)年級教材分冊教材目錄對應(yīng)分冊高一必修第一冊第一章集合與常用邏輯用語各個擊破1第二章一元二次函數(shù)、方程和不等式各個擊破2第三章函數(shù)的概念與性質(zhì)各個擊破3第四章指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)各個擊破4第五章三角函數(shù)各個擊破6必修第二冊第六章平面向量及其應(yīng)用各個擊破7、8第七章復(fù)數(shù)第八章立體幾何初步各個擊破9第九章統(tǒng)計各個擊破23第1～第十章概率各個擊破22第1講高二挑選性必修第一冊第一章空間向量與立體幾何各個擊破10第二章直線與圓的方程各個擊破12第三章圓錐曲線的方程各個擊破13挑選性必修第二冊第四章數(shù)列各個擊破16第五章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用各個擊破18挑選性必修第三冊第六章計數(shù)原理各個擊破21第七章隨機變量及其分布各個擊破22第2～第八章成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析各個擊破23第4～“各個擊破”各分冊作者及審定分冊作者特級教師審定高中數(shù)學(xué)各個擊破1(集合與簡易邏輯)金爾鑫施小斌高中數(shù)學(xué)各個擊破2(重要不等式)張艷宗盧明高中數(shù)學(xué)各個擊破3(函數(shù)的性質(zhì))陸雯君葉琪飛高中數(shù)學(xué)各個擊破4(基本初等函數(shù))俞定范東暉高中數(shù)學(xué)各個擊破5(異常函數(shù))俞健聰劉曉東高中數(shù)學(xué)各個擊破6（三角函數(shù)）萬松強戴海林高中數(shù)學(xué)各個擊破7(解三角形)余海東周建平高中數(shù)學(xué)各個擊破8（向量與復(fù)數(shù)）施利強周丕芬高中數(shù)學(xué)各個擊破9(點線面位置關(guān)系)舒華瑛斯理炯高中數(shù)學(xué)各個擊破10(空間角與空間距離周艷林鑒強高中數(shù)學(xué)各個擊破11(異常空間幾何體)金建軍虞金龍高中數(shù)學(xué)各個擊破12(直線與圓)沈海全陳柏良高中數(shù)學(xué)各個擊破13(圓錐曲線的定義與性質(zhì))周海軍沈虎躍高中數(shù)學(xué)各個擊破14(圓錐曲線的弦長與面積)紀斐謝尚志高中數(shù)學(xué)各個擊破15(圓錐曲線的定點定值問題)范虹燕張金良高中數(shù)學(xué)各個擊破16(數(shù)列與通項)邵建文費紅亮高中數(shù)學(xué)各個擊破17(數(shù)列求和)任燕巧李柏青高中數(shù)學(xué)各個擊破18(導(dǎo)數(shù)的概念與運算丁君斌蔣榮清高中數(shù)學(xué)各個擊破19(導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用)陳茂慧金雪東高中數(shù)學(xué)各個擊破20(函數(shù)的零點)張仲斐章水云高中數(shù)學(xué)各個擊破21(計數(shù)原理盛耀建張中華高中數(shù)學(xué)各個擊破22(概率)陳巴爾李芳高中數(shù)學(xué)各個擊破23(統(tǒng)計與統(tǒng)計分析)滕詩媛李金興陽月錄第1講集合的概念與表示//1第2講集合間的基本關(guān)系//9第3講集合的基本運算//17第4講充足條件與須要條件//25第5講全稱量詞與存在量詞//34進階特訓(xùn)//43參考答案//48第講集合的概念與表示學(xué)習(xí)目標(biāo)1.通過實例,了解集合的含義,理解元素與集合的屬于關(guān)系;2.針對詳細問題,能夠在天然語言和圖形語言的基礎(chǔ)上,用符號語言刻畫集合;3.在詳細情境中,了解全集與空集的含義.要點提煉1.集合的概念普通地,我們把研究對象統(tǒng)稱為元素,把一些元素組成的總體稱為集合.我們通常用大寫拉丁字母A,B,倘若a是集合A中的元素,就說a屬于集合A,記作a∈A;倘若a不是集合A中的元素,就說a不屬于集合A,記作元素個數(shù)有限的集合稱為有限集,元素個數(shù)無限的集合稱為無限集.異常地,不含任何元素的集合稱為空集,記作?.2.集合元素的三大性質(zhì)集合元素滿意以下三條性質(zhì).(1)決定性:對于給定的集合,隨意元素是否屬于這個集合是決定的.（2）互異性：對于給定的集合,其中元素互不相同.（3）無序性：集合中的元素不考慮先后順序.3.常用數(shù)集及其記法全體非負整數(shù)組成的集合稱為非負整數(shù)集(或天然數(shù)集),記作N;全體正整數(shù)組成的集合稱為正整數(shù)集,記作N?或N全體整數(shù)組成的集合稱為整數(shù)集,記作Z;全體有理數(shù)組成的集合稱為有理數(shù)集,記作Q;全體實數(shù)組成的集合稱為實數(shù)集,記作R.4.集合的表示主意集合有如下三種表示主意.(1)列舉法:把集合中的元素一一列舉出來,并用花括號“{}”括起來表示集合的主意.(2)描述法:普通地,設(shè)A是一個集合,我們把集合A中所有具有共同特征Px的元素x所組成的集合表示為{(3)Venn圖法:用平面上封閉曲線的內(nèi)部代表集合.范例精講例1下列各組對象不能構(gòu)成集合的是()A.所有直角三角形B.中國古代四大發(fā)現(xiàn)C.高一?班所有男生D.充足臨近π的有理數(shù)解析:對于A,B,C三項,能夠判斷一個對象是否屬于這些集合;對于D選項,“充足臨近π”這一描述不夠確切,故按照集合元素的決定性,本題選D.評注:決定性是集合元素三大性質(zhì)中最重要的性質(zhì),集合的描述中不能浮上不決定性的說法,例如“較高”“較好”“充足臨近”“充足大”等.例2用列舉法表示下列集合:(1)不超過11的素數(shù)組成的集合;(2)不等式x?解析:(1)設(shè)不超過11的素數(shù)組成的集合為A,則A(2)設(shè)不等式x?2<3的正整數(shù)解組成的集合為B,由x?B評注:列舉法普通用來表示元素不是無數(shù)的有限集,列舉的時候要做到“不重不漏”.此外,因為集合元素的無序性,一個集合可以有不同的列舉主意,例如(1)中的集合還可以表示為A例3用描述法表示下列集合:(1)所有偶數(shù)組成的集合;(2)不等式x?解析:(1)設(shè)所有偶數(shù)組成的集合為A.若x∈A,則x∈Z且存在A(2)設(shè)不等式x?2<3的解集為B.由B評注:描述法表示集合的關(guān)鍵在于找到集合中元素的共同特征.例4已知集合A=(1)若x2∈B(2)是否存在實數(shù)a,x,使得A=B?若存在,哀求出解析:(1)由集合元素的互異性知x≠①若x2=0②若x2=1③若x2=x綜上所述,x=?(2)注重到a2①若a?3=0,則②若2a?1=0,則綜上所述,不存在實數(shù)a,x,使得評注:本題主要考查元素與集合的關(guān)系、集合相等的定義.求解時要結(jié)合集合元素的互異性舉行分類研究.例5已知集合A={(1)設(shè)集合P={x,(2)設(shè)集合Q={x+解析:(1)列舉所有滿意x∈A,1故集合P中有6個元素.(2)列舉所有滿意x∈A,5結(jié)合集合元素的互異性知:Q故集合Q中有4個元素.評注:本題主要考查描述法表示集合以及集合元素的互異性,在解決問題時要注重區(qū)別點集和數(shù)集,也要注重集合元素的互異性.同時,面向容易的計數(shù)問題,可以通過窮舉法,將所有符合條件的情形一一列舉出來,在列舉時要做到不重不漏.例6設(shè)集合A=x∈R∣解析:依題意,關(guān)于x的方程ax2+①當(dāng)a=0時,原方程為x+1=②當(dāng)a≠Δ解得a=14綜上所述,a=0或評注:本題將集合惟獨一個元素轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的方程惟獨一個實數(shù)根.因為方程最高次項系數(shù)含有參數(shù),故要分類研究.當(dāng)a=0時,原方程是一次方程;當(dāng)a≠例7若集合A滿意如下性質(zhì),則稱集合A為“好集”:對于隨意x,y∈對于隨意x,y∈(1)判斷Z和Q是不是“好集”并說明理由;(2)設(shè)集合A={a+b2解析:(1)對于整數(shù)集Z,取x=1,y=對于有理數(shù)集Q,因為有理數(shù)對于加減乘除四則運算封閉,故有以下結(jié)論:對于隨意x,y∈對于隨意x,y∈故Q是“好集”.(2)對于隨意x,y∈xxxy當(dāng)y≠x即x綜上所述,集合A是“好集”.評注:本題是集合中的新定義問題,主要考查對于新定義的理解和應(yīng)用.第(2)問中第一條性質(zhì)容易證實,第二條性質(zhì)的證實需要看見xy所具有的結(jié)構(gòu),通過分母有理化轉(zhuǎn)化為a+b2的形式(主意歸納本節(jié)內(nèi)容主要涉及集合的表示主意和集合元素的性質(zhì)兩類問題,以下將結(jié)合例題對這兩種題型舉行歸納總結(jié).1.集合的表示主意(1)列舉法:對于元素不是無數(shù)的有限集,或是集合中元素有顯然邏輯的無限集,可以采用列舉法來表示.在列舉時要注重不重不漏.(2)描述法:對于元素較多的有限集,或是能夠找到所有元素滿意的共同特征的無限集,往往采用描述法來表示.在使用描述法時,要注重看見集合中元素的共同特征,盡量使用詳細但不失確切性的語言舉行描述.兩種主意各有優(yōu)劣:描述法固然能反映出所有元素的共同特征,但不夠直觀;列舉法固然可以直觀地表示出所有元素,但列舉時較為棘手,當(dāng)元素個數(shù)較多時,無法一一列舉.因此在解決問題的時候,倘若感覺使用描述法表示的集合過于抽象,那么可以適當(dāng)?shù)亓信e幾個異常的元素,通過異常情形來推導(dǎo)普通情況.這體現(xiàn)了從異常到普通的數(shù)學(xué)思想.2.集合元素的性質(zhì)(1)決定性:決定性是集合元素三大性質(zhì)中最重要的一條,它要求對于給定集合,能夠判斷隨意一個元素是否屬于這個集合,不能浮上不決定的情況.因此,當(dāng)問題或選項的描述中浮上了“較為”“充足”“充足”“很大”等不決定的詞匯時,可以認為這個描述不能構(gòu)成集合.（2）互異性：集合中不能浮上相同的元素,即每個元素在集合中只能浮上一次.這個性質(zhì)通常用來解決集合中的求參數(shù)問題,通過舉行分類研究并結(jié)合集合元素的互異性來排除錯誤答案.(3)無序性:集合中的元素不考慮順序,即每個元素在集合中的地位都是等價的,不存在先后順序之分.由此可見,兩個集合相等當(dāng)且僅當(dāng)組成這兩個集合的元素分離相同.這里要注重集合和有序?qū)崝?shù)組的區(qū)別.對于集合A=x1,x2,?,xn,B對于n元有序?qū)崝?shù)組a=x1,x2,?,xn,b達標(biāo)檢測女基礎(chǔ)過關(guān)1.下列對象不能構(gòu)成集合的是()A.某中學(xué)所有800米跑步合格的女生B.所有能被2整除但不能被3整除的整數(shù)C.所有對角線互相平分且相等的四邊形D.全國所有環(huán)境柔美的城市2.在下列四組集合中,表示同一集合的是()A.A={?C.A={x3.下列選項中的集合A和集合B表示同一集合的是()A.AB.AC.AD.A4.已知x∈1,5.用適當(dāng)?shù)闹饕獗硎鞠铝屑?(1)方程x2(2)所有不超過13的奇素數(shù)組成的集合;（3）所有正有理數(shù)組成的集合;(4)不等式組x?女綜合練習(xí)6.已知集合A={?1,0,A.0B.1C.-1D.27.集合A=A.4B.6C.8D.108.(多選)由實數(shù)x,?A.0B.1C.2D.39.(多選)設(shè)集合A=x?xA.a+bC.ab∈A10.用描述法表示有理數(shù)集Q:___.11.對于實數(shù)x,y,定義運算①當(dāng)x,y的奇偶性相同時,②當(dāng)x,y的奇偶性不同時,若集合A=a,12.對于給定的k∈N+?,ak?13.已知集合A=x∣x214.已知非空數(shù)集A由實數(shù)組成,若x∈Ax(1)若2∈A,寫出兩個集合(2)判斷A是否為雙元素集合,并說明理由.女拓廣提升15.已知集合A=x∣x=a0+7a116.對于一個非空集合A,有如下四個條件:①D?{②?a③?a,b∈A,若a④?a,b,c∈A倘若集合D滿意上述四個條件,則稱集合D為集合A的一個偏序關(guān)系.(1)設(shè)A={1,2,(2)證實:R≤={a(3)設(shè)集合E是集合A的一個偏序關(guān)系,a,b∈A.若存在元素c∈A,使得c,a∈E,c,b∈E,且?d∈A,若d,a∈第?講集合間的基本關(guān)系學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解集合間包含與相等的含義,能識別給定集合的子集;2.能夠使用Venn圖表示集合間的基本關(guān)系,體味圖形對理解抽象概念的作用.要點提煉1.集合間的包含關(guān)系普通地,對于兩個集合A,B,倘若集合A中隨意一個元素都是集合B中的元素,就稱集合A為集合B的子集,記作A?倘若集合A?B,但存在元素x∈B,使得x?A,那么就稱集合A是集合異常地,規(guī)定空集是任何集合的子集.集合的包含關(guān)系具有以下兩個性質(zhì).(1)自反性:對于隨意集合A,(2)傳遞性:若A?B且B?2.集合間的相等關(guān)系普通地,倘若集合A中隨意一個元素都是集合B中的元素,同時集合B中隨意一個元素也是集合A中的元素,那么集合A和集合B相等,記作A=B.若A?B,且B?A,則3.用Venn圖表示集合間的基本關(guān)系在數(shù)學(xué)中,常常使用平面內(nèi)的封閉曲線的內(nèi)部表示集合,這種表示主意稱為Venn圖法.集合A與集合B的包含關(guān)系可用下表中的圖表示:集合間的基本關(guān)系BAAVenn圖4.有限集的子集個數(shù)設(shè)nn∈N+元集合S=事實上,考慮子集AA?S,集合S中的每個元素aii=1,2,?,n類似地,我們可以得到以下推論:(1)n元集合的真子集個數(shù)為2n(2)在n元集合的子擴散,包含給定k1≤k（3）在n元集合的子擴散,不包含給定k1≤k范例精講例1寫出集合A={解析:集合A的所有子集有?,{其中,集合A的真子集有?,{評注:在寫有限集的所有子集時,要做到不重不漏,可以按照集合元素的個數(shù)舉行分類,每一類中也可以按照元素浮上的順序舉行排序,這樣不容易浮上重復(fù)或者遺漏.例2判斷下列集合A是不是集合B的子集.(1)A={(2)A={(3)A={解析:(1)對于集合B,由x≤2知注重到集合A中的元素3不滿意上述不等式,即3∈A且故集合A不是集合B的子集.(2)對于隨意的元素x∈A,都有x<2,即因此集合A是集合B的子集.(3)對于集合A中的每個元素x,經(jīng)檢驗,都能使6x∈N故集合A是集合B的子集.評注:判斷一個集合是否為另一個集合的子集時,通常采用定義舉行判斷.倘若集合A中的隨意一個元素都是集合B中的元素,那么集合A是集合B的子集;反之,倘若集合A中存在一個元素不是集合B中的元素,那么集合A不是集合B的子集.例3已知集合A={1,2},解析:當(dāng)a=0時,B=?當(dāng)a≠0時,B=1a,由B∈A知,1綜上所述,實數(shù)a的所有可能值為0,評注:在利用集合的包含關(guān)系求參數(shù)的值時,倘若參數(shù)在被包含的集合中,需要注重被包含的集合為空集的情況,否則會漏解.例4已知集合A=x∈解析:由x∈N+且6x?故A={2,故集合A的非空子集個數(shù)為24評注:n元集合的子集個數(shù)為2n例5已知集合A滿意{1,2解析:主意一:列舉出所有符合條件的集合A如下:{共有7個.主意二:依題意,集合A由兩部分元素組成.其中一部分是1,2,另一部分可以看作集合故符合條件的集合A共有23評注:對于與集合子集相關(guān)的計數(shù)問題,倘若情況數(shù)量不是無數(shù),可以使用窮舉法,將所有符合條件的情況一一列出;也可以轉(zhuǎn)化為特定集合的子集(或真子集)個數(shù)問題,利用相關(guān)結(jié)論求解.例6已知集合A={x∣x=解析:一方面,對于隨意的x∈A,存在m∈此時,x=3m+1故x∈B,因此另一方面,對于隨意的x∈B,存在n∈此時,x=3n?1故x∈A,因此綜上所述,A=評注:判斷兩個集合是否相等有兩種主意:(1)倘若兩個集合均為有限集且元素不多,可以將兩個集合的元素一一列舉出來,通過比較組成這兩個集合的元素是否徹低相同來判斷兩個集合是否相等;(2)利用集合的包含關(guān)系也可以證實集合相等,即若A?B,我們通常使用第(2)種主意舉行證實,即驗證集合A中的每個元素都在集合B中,同時集合B中的每個元素都在集合A中.主意歸納本節(jié)內(nèi)容主要涉及集合包含關(guān)系的判斷、集合包含關(guān)系的應(yīng)用以及集合相等的判斷三類問題,以下將結(jié)合例題,對這三類問題舉行歸納總結(jié).1.集合包含關(guān)系的判斷判斷集合的包含關(guān)系普通采用定義法,通過驗證集合A中的隨意元素x是否也是集合B中的元素,來判斷集合A是不是集合B的子集.對于用列舉法和描述法表示的集合,也有不同的處理方式.(1)列舉法針對使用列舉法表示的集合,可以通過逐一比較集合A中的元素是否浮上在集合B中來舉行判斷.(2)描述法針對使用描述法表示的集合,假設(shè)集合A={x∣px},B={x∣qx},可以通過證實“對于隨意此外,倘若是要判斷集合的真包含關(guān)系,需要在證實A?B的基礎(chǔ)上,在集合B中找到一個元素x,使得2.集合包含關(guān)系的應(yīng)用利用集合包含關(guān)系求參數(shù)的值或取值范圍是本節(jié)的重點.針對此類問題,要擔(dān)心以下兩點:(1)要注重空集.因為空集是隨意集合的子集,故在面向條件A?B時,倘若集合A中存在參數(shù),要首先研究集合A=?(2)要注重是不是真包含關(guān)系.對于真子集的情況,在利用A?B求完參數(shù)后,要驗證集合A和集合B是否相等.倘若A=除此之外,在處理A?B這一條件時,對離散型有限集和延續(xù)型無限集,有不同的處理（1）離散型有限集對于離散型有限集,設(shè)集合A=a1,a2,?,am,集合B=b1,b2,?,b（2）延續(xù)型無限集對于延續(xù)型無限集,以雙側(cè)均為鄭重不等號的情形為例,設(shè)集合A={x∣a<x<b},集合B={x∣c<x<d},由A?B3.集合相等的判斷判斷集合相等的主意有兩種:逐一檢驗法和雙向包含法.(1)逐一檢驗法對于元素個數(shù)較少的有限集,首先應(yīng)該比較元素個數(shù),倘若兩個集合的元素個數(shù)不同,那么這兩個集合不可能相等.當(dāng)兩個集合的元素個數(shù)相同時,需要舉行逐一檢驗.例如對于有限集A=a1,a2,?,ak和有限集B=b1,b2,?,bk,可以按一定順序逐一檢驗集合A中的元素aii=1,2,?,k是否和集合B中的元素對應(yīng)相等.(2)雙向包含法對于不好舉行逐一檢驗的集合A和集合B,我們驗證A?B且B?A,由此證實A=B.對于隨意的x∈A,都有x∈B,且對于隨意的x∈B,都有x∈A,那么達標(biāo)檢測女基礎(chǔ)過關(guān)1.在下列集合A和集合B中,滿意A?A.AB.AC.AD.A2.已知集合A=x∣A.1B.2C.3D.43.已知集合A=x∈A.0∈AC.{0,4.(1)設(shè)集合A={x∣ax?(2)已知集合A={x∣?3≤5.證實集合包含關(guān)系的傳遞性:若A?B,女綜合練習(xí)6.已知集合A=x?x()A.A?BB.B?A7.已知集合A={1,2},非空集合B=xA.1個B.2個C.3個D.無數(shù)個8.已知集合A={1,2,?,10},規(guī)定集合Ek=A.20B.21C.22D.239.(多選)若集合A=x∣A.-1B.0C.1D.210.(多選)已知集合A={x∣ax≤A.3B.2C.1D.011.(1)已知集合A={x∣1≤(2)已知集合A={x∣1<12.從集合U={a,b,c,d}(2)A?則符合條件的選法有___個.13.已知集合A=x?x214.已知集合A={(1)若A=?,求實數(shù)a(2)若B?A,求實數(shù)女拓廣提升15.對于nn≥2元集合A=a1,a2,?,an,(1)寫出一個“好集”A,使得{1(2)若集合A=a1(3)求出所有的“好集”A,使得A?16.設(shè)集合A是集合P={1,2,?,①集合A中隨意兩個子集的元素之和不相等;②對于集合P的隨意k+1元子集B,若A?(1)當(dāng)n=6,(2)當(dāng)n=16時,證實:(3)在(2)的條件下,求集合A的所有元素之和S的最大值.第S講集合的基本運算學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解兩個集合的并集與交集的含義,能求兩個集合的并集與交集;2.理解在給定集合中一個子集的補集的含義,能求給定子集的補集;3.能使用Venn圖表示集合的基本運算,體味圖形對理解抽象概念的作用.要點提煉1.集合基本運算的定義(1)并集普通地,由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素組成的集合稱為集合A與B的并集,記作A∪B,讀作“A并A(2)交集普通地,由所有屬于集合A且屬于集合B的元素組成的集合稱為集合A與B的交集,記作A∩B,讀作“A交A（3）補集普通地,倘若一個集合含有所研究問題中涉及的所有元素,那么就稱這個集合為全集,通常記作U.對于一個集合A,由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集合A相對于全集U的補集,記作?U?2.集合基本運算的Venn圖集合運算AUBAC?Venn圖3.集合基本運算的性質(zhì)(1)異常集合的運算AA?(2)并集和交集的運算律集合的并集、交集運算滿意交換律和結(jié)合律,即AA（3）集合運算與包含關(guān)系的聯(lián)系A(chǔ)A（4）補集與并集、交集的聯(lián)系對于兩個集合的交集或并集的補集,有如下性質(zhì):并集的補集是補集的交集,交集的補集是補集的并集,即??我們可以通過Venn圖進一步理解這些性質(zhì).4.容斥原理對于有限集A,我們用cardA表示集合A中的元素個數(shù),那么對于兩個非空有限集A,Bcard范例精講例1已知集合A=xx解析:依題意,A={故A∪例2已知全集U=R,集合A={解析:依題意,?U故A∩評注:對于延續(xù)型無限集的基本運算問題,可以借助數(shù)軸直觀地表示出其中的集合,從而協(xié)助我們得出所求集合.異常地,要注重集合的邊界是否能取到,注重不等號是不是鄭重不等號,尤其是與補集相關(guān)的問題.例3已知全集U={x∈解析:依題意,U={0,評注:對于離散型無限集的基本運算問題,可以借助Venn圖直觀地表示出其中的集合,從而協(xié)助我們得出所求集合.例4已知集合A={(1)當(dāng)a=?1時,求(2)若A∪B=解析:(1)當(dāng)a=?1時,B={(2)由A∪B=①當(dāng)B=?時,2a≥a+1②當(dāng)B≠?時,a<12a結(jié)合a<1知綜上所述,a≥?評注:本題考查集合的基本運算和集合包含關(guān)系的聯(lián)系,解決此類問題需要首先將集合的基本運算中所蘊含的包含關(guān)系表示出來,轉(zhuǎn)化為按照集合間的包含關(guān)系求參數(shù)問題.倘若被包含的集合中存在參數(shù),需要注重研究空集,否則會漏解.倘若題目中的條件涉及較為復(fù)雜的集合運算,那么可以借助Venn圖輔助思量.例5某中學(xué)的學(xué)生積極參加體育鍛煉,其中有96%的學(xué)生喜歡足球或游泳,60%的學(xué)生喜歡足球,A.62%B.56%C.46解析:不妨設(shè)該校學(xué)生有100人,記喜歡足球的學(xué)生組成的集合為A,喜歡游泳的學(xué)生組成的集合為B,則有card由容斥原理得card故既喜歡足球又喜歡游泳的學(xué)生占比為46%評注:本題為容斥原理的應(yīng)用題.在解題時需要按照已知條件,明確每個集合的詳細含義,同時寫出這些集合的元素個數(shù).最后利用容斥原理解決問題.例6滿意{1,2解析:主意一:依題意,A?{1,2,{共有4個,故本題填4.主意二:依題意,A?{1,2,3,4},且{3,評注:針對集合運算相關(guān)的計數(shù)問題,倘若符合條件的集合不是無數(shù),那么可以通過窮舉法將所有符合條件的集合一一列出,在列舉時要做到不重不漏.此外,我們也可以將問題轉(zhuǎn)化為求給定集合中包含(或不包含)特定元素的子集個數(shù).V主意歸納本節(jié)內(nèi)容主要涉及集合的基本運算和集合基本運算的性質(zhì)兩類問題,以下將結(jié)合例題對這兩種題型舉行歸納總結(jié).1.集合的基本運算針對集合的基本運算問題,需要熟記三種集合基本運算的定義,在求解時針對不同的集合,可以借助數(shù)軸或者Venn圖輔助思量.(1)延續(xù)型無限集:此類集合通常是一些不等式的解集.針對這一問題,可以在數(shù)軸上將相關(guān)集合表示出來,進而得出所求集合的運算結(jié)果.在畫圖時要注重每一個集合的邊界是否能取到,非鄭重不等號用實心點表示,鄭重不等號用空心點表示.異常地,在求補集時要注重改變邊界處的點.(2)離散型有限集:此類集合普通是整數(shù)集的有限子集.針對這一問題,可以在Venn圖中將全擴散每一個元素標(biāo)在對應(yīng)的位置,進而得出所求集合的運算結(jié)果.2.集合基本運算的性質(zhì)與集合基本運算的性質(zhì)相關(guān)的問題主要分為以下幾類.(1)求參數(shù)問題:要注重集合基本運算和集合間的基本關(guān)系之間的聯(lián)系,將題中的條件轉(zhuǎn)化為集合間基本關(guān)系問題求解.求解時要注重研究被包含集合是否為空集.(2)計數(shù)問題:此類計數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為求給定集合包含(或不含)特定元素的子集個數(shù)問題,可以使用公式法或窮舉法解決.（3）容斥原理的應(yīng)用:容斥原理相關(guān)應(yīng)用題需要通過閱讀題目中給出的信息,明確每個集合的實際意義,并寫出這些集合的元素個數(shù).此外,容斥原理也可以應(yīng)用到3個集合的場合:cardA∪B達標(biāo)檢測女基礎(chǔ)過關(guān)1.已知集合A={x∈A.{x∣C.{0,2.已知集合A={xxA.{x∣?C.{x∣?3.已知集合A={?1,0B.{?C.{?D.{4.某班共有學(xué)生48人,現(xiàn)對該班學(xué)生業(yè)余興趣舉行調(diào)查,結(jié)果如下:喜歡運動的學(xué)生有20人,喜歡游戲的學(xué)生有37人,兩者都喜歡的學(xué)生有12人.則該班學(xué)生中既不喜歡運動又不喜歡游戲的學(xué)生有()A.3人B.6人C.9人D.12人5.已知集合A={1,A.{1}C.{1,6.(1)若集合A={x,(2)若集合A={x∣k+女綜合練習(xí)7.已知全集U=R,集合AA.{?1,C.{?1,8.(多選)已知集合A=y∣y=A.A=BC.A∪B9.(多選)設(shè)全集U={0,1,2∩A={1A.AB.BC.AD.?10.(多選)圖中陰影部分的集合可以表示為()A.BB.?C.BD.A11.(多選)由無理數(shù)引發(fā)的數(shù)學(xué)危機向來延續(xù)到19世紀.直到1872年,德國數(shù)學(xué)家戴德金從延續(xù)性的要求出發(fā),利用有理數(shù)的“分割”定義無理數(shù)(史稱“戴德金分割”),并把實數(shù)理論建立在鄭重的科學(xué)基礎(chǔ)上,才結(jié)束了無理數(shù)被認為“無理”的時代,也結(jié)束了數(shù)學(xué)史上的第一次大危機.所謂的“戴德金分割”,是指將有理數(shù)集Q劃分為兩個非空子集M,N,滿意M∪N=Q,M∩N=?,且集合A.若M={x∈B.存在一個“戴德金分割”M,N,使得M中無最大元素,且C.存在一個“戴德金分割”M,N,使得M中有最大元素,但D.存在一個“戴德金分割”M,N,使得M中有最大元素,且12.(1)已知全集U=R,集合A={x∣(2)已知集合A={x∣1≤13.已知集合A=x?x2(1)求實數(shù)a的值;(2)設(shè)全集U={x∈14.對于兩個集合A,B,定義集合A與集合B的差集A{(1)當(dāng)m=?2時,求(2)若A?B=女拓廣提升15.已知A是非空數(shù)集,倘若對于隨意x,y∈A,都有(1)證實:集合A={(2)判斷以下兩個命題的真假:(i)命題p:若非空數(shù)集A1,A(ii)命題q:若非空數(shù)集A1,A2均為“封閉集”,且16.對于集合A,記集合A中的元素個數(shù)為A,并規(guī)定空集的元素個數(shù)為0.當(dāng)集合A的子集Ai滿意Ai=2時,稱Ai為A的二元子集.現(xiàn)已知集合A={1,2,3,?,n}n②B=m,③B∩Ai(1)當(dāng)n=3時,證實:集合A具有性質(zhì)(2)當(dāng)n=6時,判斷集合A是否具有性質(zhì)(3)若集合A具有性質(zhì)P2023,求n第講充足條件與須要條件學(xué)習(xí)目標(biāo)1.通過梳理典型數(shù)學(xué)命題,理解須要條件的含義,理解性質(zhì)定理與須要條件的關(guān)系;2.通過梳理典型數(shù)學(xué)命題,理解充足條件的含義,理解判定定理與充足條件的關(guān)系;3.通過梳理典型數(shù)學(xué)命題,理解充要條件的含義,理解數(shù)學(xué)定義與充要條件的關(guān)系.要點提煉1.充足條件與須要條件普通地,“若p,則q”為真命題,是指由條件p通過推理可以得出結(jié)論q,這時我們就說,由p可以推出q,記作p并且說,p是q的充足條件,q是p的須要條件.倘若“若p,則q”為假命題,那么由條件p不能通過推理得出結(jié)論q,記作p?q,此時,我們就說p不是q的充足條件,q不是p的2.充要條件、四種基本關(guān)系普通地,倘若“若p,則q”和它的逆命題“若q,則p”均為真命題,即既有p?q,又有q?p,則稱p是qp對于普通的條件p和結(jié)論q,按照p能否推出q以及q能否推出p,可以分為如下四種關(guān)系:(1)充要條件:“若p,則q”為真命題,“若q,則p”為真命題,即p?（2）充足不須要條件:“若p,則q”為真命題,“若q,則p”為假命題,即p?（3）須要不充足條件:“若p,則q”為假命題,“若q,則p”為真命題,即p?(4)既不充足也不須要條件:“若p,則q”為假命題,“若q,則p”為假命題,即p?q,p與q的關(guān)系ppqp,p是q的須要不充足條件qp是q的充足不須要條件p,q互為既不充足也不3.充足條件、須要條件和集合的聯(lián)系若p以集合A的形式浮上,q以集合B的形式浮上,即A={x∣x滿意條件p},(1)若A?B,則p是q的充足條件;若A?B,則p是q的(2)若B?A,則p是q的須要條件;若B?A,則p是q的(3)若A=B,則p是(4)若A?B,且B?A,則p是q的既不范例精講例1在下列“若p,則q”形式的命題中,哪些命題中的p是q的充足條件,哪些命題中的p是q的須要條件:(1)若x2=1(2)若四邊形的兩組對邊分離平行,則這個四邊形是平行四邊形;(3)若AB=AC,則(4)若x,y均為無理數(shù),則解析:對于(1),由x2=1知x=±1,故p由x=1知x2=1,故p對于(2),由平行四邊形的定義知p是q的充足條件,p也是q的須要條件.對于(3),當(dāng)AB=AC時,△ABC是等腰三角形,故p是q當(dāng)△ABC是等腰三角形時,兩腰不一定是AB,AC,故p不是q對于(4),取x=?2,y=2,則x+y=0∈Q,故綜上所述,命題(2)(3)中p是q的充足條件,命題(1)(2)中p是q的須要條件.評注:在判斷充足條件和須要條件時,只需驗證命題“若p,則q”和它的逆命題“若q,則p”的真假,結(jié)合充足條件和須要條件的定義即可做出判斷.異常地,我們有以下三個迅速判斷主意:(1)倘若該命題是一個數(shù)學(xué)定義,那么這個命題中的p是q的充要條件;（2）倘若該命題是一個判定定理,那么這個命題中的p是q的充足條件;(3)倘若該命題是一個性質(zhì)定理,那么這個命題中的p是q的須要條件.例2已知x∈R,則“x>A.充足不須要條件B.須要不充足條件C.充要條件D.既不充足也不須要條件解析:當(dāng)x>1時,x2當(dāng)x2>1時,x<?1因此本題選A.評注:在判斷四種關(guān)系時,需要逐一驗證充足性和須要性是否成立.異常地,在一定充足性或須要性時,除了通過推理論證,也可以通過舉反例來一定.例如本題的須要性,可以取x=?2,此時x<1,但x例3(多選)已知p是r的充足不須要條件,q是r的充足條件,s是r的須要條件,q是s的須要條件,則下列說法準(zhǔn)確的是()A.r是q的充要條件B.p是q的充足不須要條件C.r是q的充足不須要條件D.r是s的充要條件解析:依題意,p?r,r?p,且由p?r,r?q知p?q,而q?r,r?p,故故本題選ABD.評注:本題考查命題充足性和須要性之間的傳遞性:倘若命題“若p,則q”和命題“若q,則r”均為真命題,則命題“若p,則r”也是真命題,即倘若p?q,例4已知集合A=x∣x2?8x?20解析:依題意,A={由x∈A是x∈B的①當(dāng)1?m≥1+m,即②當(dāng)1?m<1+m,即m>0時,由綜上所述,m<評注:利用充足條件或須要條件求參數(shù)范圍問題,可以轉(zhuǎn)化為利用集合間的基本關(guān)系問題舉行求解.求解時倘若被包含的集合中含有參數(shù),需要考慮空集的情形.例5已知p:?1<x<5,q:1?解析:記集合A={由p是q的充足不須要條件知A?B,故1?當(dāng)a=2時,A=B,此時故a>評注:在處理充足不須要條件或須要不充足條件求參數(shù)問題時,需要注重邊界處的等號能否取到,即當(dāng)參數(shù)取得邊界處的值時,判斷會不會浮上充要條件的情況,并把充要條件對應(yīng)的參數(shù)舍去.例6已知a,b,c均為實數(shù)且a≠0,證實:"解析:充足性:若ac<0成立,則故方程ax2+又x1x2=ca=須要性:若于x的方程ax則Δ=b2?4ac>0綜上所述,原命題得證.評注:證實p是q的充要條件,需要同時證實p?q和q?p,即從正反兩個方向證實給定的命題為真.而證實p是q的充足不須要條件或須要不充足條件時,除了1主意歸納本節(jié)內(nèi)容主要涉及充足條件和須要條件的判斷、應(yīng)用和證實三類問題,以下將結(jié)合例題對這三種題型舉行歸納總結(jié).1.充足條件和須要條件的判斷充足條件和須要條件有如下三類判斷主意:(1)從命題角度判斷設(shè)“若p,則q”為原命題,則“若q,則p”為其逆命題.①若原命題為真,則p是q的充足條件;若逆命題為真,則p是q的須要條件.②若原命題為真,且逆命題為真,則p是q的充要條件.③若原命題為真,且逆命題為假,則p是q的充足不須要條件.④若原命題為假,且逆命題為真,則p是q的須要不充足條件.⑤若原命題為假,且逆命題為假,則p是q的既不充足也不須要條件.（2）從集合角度判斷設(shè)集合A={x∣x滿意條件p},B={x∣x條件p和條件q的關(guān)系集合A和集合B的關(guān)系p是q的充足條件Ap是q的須要條件Bp是q的充要條件Ap是q的充足不須要條件Ap是q的須要不充足條件Bp是q的既不充足也不須要條件A?B(3)從轉(zhuǎn)化的角度判斷在處理較為復(fù)雜的命題時,可以采用等價轉(zhuǎn)化的方式舉行處理,對于不同的命題,有如下兩種轉(zhuǎn)化方式:①充要條件轉(zhuǎn)化法:倘若題目中給的條件p或q比較復(fù)雜,可以將p或q轉(zhuǎn)化為它的一個充要條件r后舉行判斷,例如找到條件r?p,此時r和q的關(guān)系與p和②逆否命題轉(zhuǎn)化法:因為一個命題和它的逆否命題同真假,故在對于一些形如“若p,則q”的命題較難判斷真假時,可以考慮它的逆否命題“若非q,則非p”,進而判斷出原命題的真假.2.充足條件和須要條件的應(yīng)用這類問題大部分是給出兩個條件之間的充足性或須要性,進而求參數(shù)的問題.在解決此類問題時,需要結(jié)合充足條件和須要條件的定義,列出相關(guān)的不等式或方程,借此求解參數(shù).此類問題大部分可以轉(zhuǎn)化為集合間的基本關(guān)系來處理,詳細轉(zhuǎn)化方式同上表.此外,和集合間的基本關(guān)系問題一樣,倘若被包含的集合中含有參數(shù),需要研究其是否為空集,否則容易漏解.3.充足條件和須要條件的證實充足條件和須要條件的證實主要分為以下四類:(1)證實p是q的充要條件:需要同時證實命題“若p,則q”和命題“若q,則p”均為真命題;(2)證實p是q的充足不須要條件:需要證實命題“若p,則q”成立,同時舉出反例或通過推理,判斷“若q,則p”為假命題;(3)證實p是q的須要不充足條件:需要證實命題“若q,則p”成立,同時舉出反例或通過推理,判斷“若p,則q”為假命題;(4)證實p是q的既不充足也不須要條件:需要同時舉出反例或通過推理,判斷命題“若p,則q”和命題“若q,則p”均為假命題.達標(biāo)檢測女基礎(chǔ)過關(guān)1.若集合A=1,m2A.充足不須要條件B.須要不充足條件C.充要條件D.既不充足也不須要條件2.設(shè)a,b∈R,則“A.充足不須要條件B.須要不充足條件C.充要條件D.既不充足也不須要條件3.在△ABC中,∠BAC=90°,點P在直線BC上,則“AP()A.充足不須要條件B.須要不充足條件C.充要條件D.既不充足也不須要條件4.(1)若“x≥a”是“2x?3>(2)若關(guān)于x的不等式x?2m<1成立的一個充足不須要條件是5.已知全集U=R,集合(1)當(dāng)m=4時,求A∪(2)若“x∈A”是“x∈B”的充足不內(nèi)綜合練習(xí)6.為了激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,教師上課時在黑板上寫出了三個集合:A=x?ax?2x<0,B=x?甲:a是小于6的正整數(shù);乙:“x∈A”是“x∈B”的丙:集合C是集合A的真子集.已知這三名學(xué)生的描述均準(zhǔn)確,則實數(shù)a的值為()A.1B.2C.3D.47.定義集合A與集合B的差集A?B={x∣x∈A,x?B},設(shè)集合A.充足不須要條件B.須要不充足條件C.充要條件D.既不充足也不須要條件8.(多選)對于實數(shù)a,A.“a=b”是“B.“a>b+1”是“a>C.“a<2”是“a<3”的D.“b+3是無理數(shù)”是“9.(多選)“不等式x2?x+m>0A.m>1C.m>210.(多選)已知關(guān)于x的方程x2+mA.方程x2+m?B.方程x2+C.方程x2+D.方程x2+m?11.(1)若p是q的充足不須要條件,q是r的充要條件,則p是r的___條件.(2)已知p:1<x<4,q:m<12.已知集合A=(1)當(dāng)m=0時,寫出集合（2）若“x∈A”是“x∈B”的13.已知a1,a2,b1,b14.證實:關(guān)于x的方程x2+mx白拓廣提升15.設(shè)集合M=(1)證實:若x,y∈(2)寫出“偶數(shù)2k∈M”的一個充要條件,并給出16.證實:使得不等式Ax?yx?z+By第5講全稱量詞與存在量詞(學(xué)習(xí)目標(biāo)1.通過已知的數(shù)學(xué)實例,理解全稱量詞與存在量詞的意義;2.能準(zhǔn)確使用存在量詞對全稱量詞命題舉行一定;3.能準(zhǔn)確使用全稱量詞對存在量詞命題舉行一定.要點提煉1.全稱量詞與全稱量詞命題短語“所有的”“隨意一個”在邏輯中通常叫做全稱量詞,并用符號“?”表示.含有全稱量詞的命題叫做全稱量詞命題.其普通形式為“對M中隨意一個x,?這里的px表示一個含有變量x2.存在量詞與存在量詞命題短語“存在一個”“至少有一個”在邏輯中通常叫做存在量詞,并用符號“?”表示.含有存在量詞的命題叫做存在量詞命題.其普通形式為“存在M中的元素x,?3.命題真假的判斷(1)判斷全稱量詞命題的真假對于全稱量詞命題“?x∈M,px”,要想驗證其為真命題,需要集合M中的每個元素x能使語句px(2)判斷存在量詞命題的真假對于存在量詞命題“?x∈M,px”,要想驗證其為真命題,只需要在集合M中找到一個元素x0,使得語句p4.全稱量詞命題與存在量詞命題的一定普通地,對于語句px,我們用符號?px(1)全稱量詞命題的一定全稱量詞命題“?x∈M,p(2)存在量詞命題的一定存在量詞命題“?x∈M,p由上可以發(fā)現(xiàn),全稱量詞命題的一定是存在量詞命題,而存在量詞命題的一定是全稱量詞命題.而命題及其一定中,元素x的范圍M沒有改變,僅有量詞和語句px范例精講例1在下列命題中,哪些是全稱量詞命題?哪些是存在量詞命題?(1)所有的素數(shù)都是奇數(shù);(2)有一些直角三角形也是等腰三角形;(3)對于隨意實數(shù)x,都有x2(4)存在一些正整數(shù)n,使得n+(5)有一個內(nèi)角是60°解析:命題(1)中浮上了全稱量詞“所有的”,是全稱量詞命題;命題(2)中浮上了存在量詞“有一些”,是存在量詞命題;命題(3)中浮上了全稱量詞“對于隨意”,是全稱量詞命題;命題(4)中浮上了存在量詞“存在一些”,是存在量詞命題;命題(5)中固然浮上了存在量詞“有一個”,但該命題實際上表示“對于隨意的等腰三角形,倘若有一個內(nèi)角是60°,那么這個等腰三角形是等邊三角形”,有全稱量詞“對于隨意綜上所述,命題(1)(3)(5)是全稱量詞命題,命題(2)(4)是存在量詞命題.評注:判斷一個命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題,需要在命題的描述中尋找全稱量詞和存在量詞.常見的全稱量詞有:“所有的”“隨意一個”“每一個”“對于隨意”等.常見的存在量詞有:“存在一個或一些”“至少有一個”“并非所有”等.異常地,有一些全稱量詞命題會將全稱量詞省略,例如上述命題(5),像這樣的幾何定理,在判斷時需要仔細推敲該命題的實際含義,如有須要,可以將被省略的全稱量詞補回去.例2判斷下列命題的真假:(1)所有的素數(shù)都是奇數(shù);(2)?x(3)?x(4)有一些等腰梯形的對角線長度不相等.解析:對于命題(1),該命題是全稱量詞命題,注重到2是素數(shù)但不是奇數(shù),故命題(1)為假命題.對于命題(2),該命題是全稱量詞命題,注重到x2?xy?xy?y對于命題(3),該命題是存在量詞命題,取x=32對于命題(4),該命題是存在量詞命題,對于隨意等腰梯形ABCD,如圖,不妨設(shè)AD//由等腰梯形ABCD知AB=CD,且在△ABC與△DCB中,因為AB=因此AC=評注:當(dāng)判斷全稱量詞命題為真或判斷存在量詞命題為假時,需要對命題所給范圍內(nèi)的每個元素x舉行逐一檢驗或證實;當(dāng)判斷全稱量詞命題為假或判斷存在量詞命題為真時,只需要舉出一個例子即可做出判斷.例3已知命題p:?x∈[解析:依題意,x2?a≥0在3當(dāng)3≤x<4時,評注:全稱量詞命題為真命題意味著語句px對于集合M內(nèi)的所有元素x恒成立,因此原問題可以轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題,然后采用分離參數(shù)的主意例4寫出下列命題的一定:(1)所有素數(shù)都不是徹低平方數(shù);（2）至少有一個矩形是菱形;（3）?x(4)?x∈R解析:命題(1)是全稱量詞命題,其一定為“有一些素數(shù)是徹低平方數(shù)”;命題(2)是存在量詞命題,其一定為“所有的矩形都不是菱形”;命題(3)是全稱量詞命題,其一定為“?x命題(4)是存在量詞命題,其一定為“?x,y評注:在通常情況下,只含有一個量詞的量詞命題一定的主意為“改變量詞,一定結(jié)論”.異常地,倘若結(jié)論是一個復(fù)合命題,即結(jié)論中浮上“或”“且”這樣的邏輯銜接詞,在一定時需要舉行更改.(1)p且q的一定為?p或?(2)p或q的一定為?p且?例5已知命題“?x∈{x解析:依題意,命題“?x故方程x2+2x?a注重到二次函數(shù)y=x2故當(dāng)?3<x故a<?1,或評注:一個命題和其一定必然是一真一假,故當(dāng)題目中給出的條件是假命題時,可以轉(zhuǎn)化為判斷該命題的一定為真命題.例6已知命題“?x1≥0,??解析:依題意,函數(shù)y=x12?2x當(dāng)x1≥0時,二次函數(shù)y下面求函數(shù)y=x2①當(dāng)?1≤x②當(dāng)0<x2≤2時,y因此有a?1≥評注:針對含有兩個量詞的量詞命題,需要結(jié)合量詞,將該命題轉(zhuǎn)化為雙變量命題的有解或恒成立問題舉行處理.常見的雙變量問題可按照如下主意處理:(1)命題?x1∈(2)命題?x1∈(3)命題?x1∈(4)命題?x1∈主意歸納本節(jié)內(nèi)容主要包括量詞命題的判斷、一定和應(yīng)用三類問題,以下將結(jié)合例題,對這三類問題舉行歸納總結(jié).1.量詞命題的判斷(1)全稱量詞命題和存在量詞命題的判斷判斷一個命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題,關(guān)鍵在于尋找命題中的全稱量詞或存在量詞,含有全稱量詞的命題就是全稱量詞命題,含有存在量詞的命題就是存在量詞命題.此外,有一部分全稱量詞命題會將命題中的全稱量詞省略,比如命題“有兩邊相等的三角形是等腰三角形”,這個命題看似含有存在量詞“有”,但實際上這個命題表示的意思是“對于所有的三角形,倘若這個三角形的三邊中有兩邊相等,那么這個三角形是等腰三角形”,所以該命題是全稱量詞命題.在處理此類命題時,要注重分析命題的真切含義,切不可看到存在量詞就直接認為是存在量詞命題.(2)命題真假的判斷判斷量詞命題的真假需要結(jié)合量詞的實際含義來考慮.對于全稱量詞命題“?x∈M,px”,倘若語句px對于集合M中的每個元素x對于存在量詞命題“?x∈M,px”,倘若能找到一個元素x0∈M,使得語句p因此,在判斷全稱量詞命題為真命題或判斷存在量詞命題為假命題時,需要對集合M中的每個元素x舉行逐一驗證或證實;在判斷全稱量詞命題為假命題或判斷存在量詞命題為真命題時,只需在集合M中找到一個例子即可.此外,因為一個命題和它的一定有一真一假,故當(dāng)原命題不好判斷真假時,可以判斷其否定的真假,借此得出原命題的真假.2.量詞命題的一定量詞命題的一定按“改變量詞,一定結(jié)論”的方式舉行.(1)全稱量詞命題“?x∈M,p(2)存在量詞命題“?x∈M,p異常地,在一定結(jié)論時要注重結(jié)論是不是復(fù)合命題,復(fù)合命題的一定要更改其中的邏輯連接詞,例如“或”和“且”要互換,“非”要去掉.(1)p且q的一定為?p或?(2)p或q的一定為?p且?(3)?p的一定為p3.量詞命題的應(yīng)用按照量詞命題的真假,可以將問題轉(zhuǎn)化為不等式有解或恒成立問題、方程有解或無解的問題來處理.(1)單量詞命題首先,因為命題和其一定有一真一假,故可將條件中的某命題為假命題,轉(zhuǎn)化為其一定為真命題.第二,全稱量詞命題為真命題可以轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題舉行處理;存在量詞命題為真命題可以轉(zhuǎn)化為不等式有解問題來處理.對于有解或恒成立問題,可以結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)處理,也可以使用分離參數(shù)的主意處理.(2)雙量詞命題對于含有兩個量詞的量詞命題,可以轉(zhuǎn)化為雙變量的有解或恒成立問題舉行解決.和單變量問題一樣,雙變量問題可以結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)處理,也可以將這些變量分離,轉(zhuǎn)化為比較兩個函數(shù)的最值問題處理.達標(biāo)檢測女基礎(chǔ)過關(guān)1.下列判斷準(zhǔn)確的是()A.“每一個正方形都是矩形”是存在量詞命題B.“有一個素數(shù)不是奇數(shù)”是全稱量詞命題C.命題“所有整數(shù)都是有理數(shù)”的一定是“有一個整數(shù)不是有理數(shù)”D.命題“?x>0,x2.已知命題?p和?q中至少有一個為真命題,則下列說法A.命題p和q均為真命題B.命題p和q均為假命題C.命題p和q中至少有一個是真命題D.命題p和q中至多有一個是真命題3.命題“?x>0A.?x>C.?x≤4.(1)將命題“實數(shù)的平方均大于等于零”表示為全稱量詞命題:___.(用符號語言表示)(2)命題“?x<0綜合練習(xí)5.在下列命題中,既是存在量詞命題,又是真命題的是()A.至少有一個實數(shù)x,使得xB.所有的矩形都是正方形C.?D.?6.已知命題“?x∈RA.?4<C.?4<a≤7.已知命題“?x,y∈A.1B.1C.0D.?8.閱讀以下文字材料:已知2為無理數(shù),若22為有理數(shù),則存在無理數(shù)a=b=2,使得ab為有理數(shù);若22為無理數(shù),則取無理數(shù)aA.22B.22C.存在無理數(shù)a,b,使得D.對于隨意無理數(shù)a,b,都有9.在下列四個命題中,真命題有()A.?B.?C.?D.?10.(多選)下列命題是真命題的有()A.?xB.對于隨意的無理數(shù)x,C.?D.?x11.(多選)下列關(guān)于命題的說法準(zhǔn)確的有()A.命題“存在一個素數(shù)不是奇數(shù)”是存在量詞命題B.命題“?xC.命題“?x>0,xD.命題“?x∈R12.若命題“?x∈R13.已知集合A={(1)若命題“?x∈B（2）若命題“?x∈A14.已知命題p:?x∈(1)當(dāng)m=0時,判斷命題p和命題(2)若命題p和命題q均為真命題,求實數(shù)m的取值范圍.15.在實數(shù)集上定義運算?:x(1)判斷命題“?x(2)若命題“?x∈R女拓廣提升16.(1)已知函數(shù)fx=lnx+2?(2)已知函數(shù)fx=x2?2x,gx進階特訓(xùn)1.已知集合A={2,A.{2,4}B.{2.設(shè)全集U={?2,?1,0,A.{1,3}B.{3.已知集合A={x∣2a+A.{a∣C.{a∣4.命題“?x∈RA.?x∈C.?x∈5.“a<b<A.充足不須要條件B.須要不充足條件C.充要條件D.既不充足也不須要條件6.已知集合A=x,A.0B.1C.2D.37.已知a,b∈R,則“A.a+b≠0B.a8.定義差集A?B={x∣x∈9.(多選)已知集合A={1,4,A.1B.2C.3D.410.(多選)已知a,b,A.“a=b”是“B.“a>b”是“a>C.“a<5”是“2a<D.“a是無理數(shù)”是“a+1是無理數(shù)”的充足不11.(多選)對于非空數(shù)集F,倘若F滿意“?a,b∈F,都有a+b,aA.對于隨意的“數(shù)域”F,都有0∈FB.若“數(shù)域”FC.整數(shù)集Z是一個“數(shù)域”D.有理數(shù)集Q是一個“數(shù)域”12.(多選)在整數(shù)集Z中,我們把被正整數(shù)n除所得余數(shù)為k0≤k<n的所有整數(shù)組成的集合記為“n的kA.2023B.若x∈kC.?x,y∈Z,若D.?n∈13.(多選)對于隨意集合A,B?R,記A⊕B={A.若A⊕BB.若A⊕BC.存在集合A,BD.對于隨意集合A?B14.(多選)高斯函數(shù)在數(shù)學(xué)中有著重要的運用,其定義如下:x表示不超過x的最大整數(shù).關(guān)于高斯函數(shù),下列說法準(zhǔn)確的有()A.?B.?x,y∈C.?D.?15.已知集合A={?1,0,1,2},16.某中學(xué)舉行羽毛球和乒乓球兩項比賽.某年級積極響應(yīng)小學(xué)號召,所有學(xué)生都報名參加了至少一個項目,已知該班共有23人參加羽毛球項目,有35人參加乒乓球項目,有6人同時參加羽毛球項目和乒乓球項目,則該年級的人數(shù)為17.已知命題p:x?1<2,命題q:?1<x<18.設(shè)集合A={1,2,m},其中m19.已知集合A={(1)若C?A,求實數(shù)(2)若A∩B?20.已知命題p:2x+(1)當(dāng)a=1時,求使得命題p和命題q同時為真命題的實數(shù)(2)若p是q的充足條件,求實數(shù)a的取值范圍.21.已知命題p:?x∈(1)寫出命題p和命題q的一定;（2）若命題p和命題q均為真命題,求實數(shù)a的取值范圍.22.已知實數(shù)m≠?1,命題p:(1)當(dāng)m=4時,p是不是q的(2)若?p是?q的___,求實數(shù)①充足不須要條件,②須要不充足條件.從這兩個條件中任選一個,補充在(2)問中的橫線上,并作答.23.對于給定的正整數(shù)nn≥3,n①a1②a1③A∩若集合A,B滿意以上三個條件,則稱集合A和集合(1)若集合A={1,5,(2)已知集合A=a1,a2,?,an和集合B=b24.設(shè)集合A是非空數(shù)集,定義集合B={xy∣x,(1)寫出集合A={2,(2)若A是由5個正實數(shù)構(gòu)成的集合,求其“生成集”B中元素個數(shù)的最小值.(3)是否存在由4個正實數(shù)構(gòu)成的集合A,使得其“生成集”B={2,3,參考答案第1講集合的概念與表示基礎(chǔ)過關(guān)1.D解析:本題A,B,C三個選項都能判斷元素是否屬于該集合,而選項Du環(huán)境柔美的城市”具有不決定2.B解析:選項A中的兩個集合都是點集,對應(yīng)元素的坐標(biāo)不同,不是同一個集合,A錯誤.選項B因為集合元素的無序性,A=B,?B在選項C中,集合A表示正比例函數(shù)y=x的圖象上所有的點,集合B是使得代數(shù)式x存心義的所有實數(shù)x,顯然不是同一個集合,在選項D中,集合A以空集為元素的集合,集合B是空集,顯然不是同一個集合,D錯誤.綜上所述,本題選B.3.A解析:在選項A中,集合A是方程x2?1=0在選項B中,集合A表示使根式x?1存心義的實數(shù)x,集合B表示根式x?在選項C中,集合A是使不等式x?1≤3成立的所有天然數(shù),集合B是使不等式x?在選項D中,集合B是不等式0≤x≤2的所有實數(shù)解,而集合4.0或2解析:若x=1,則x2若x=2,則x2題意;若x=x2,則x=1綜上所述,x=0,或5.解析:(1)由x2?3x+2故題中的集合可用列舉法表示為{1(2)所有不超過13的奇素數(shù)有3,故題中的集合可用列舉法表示為{3（3）所有正有理數(shù)可用描述法表示為{x(4)由x?3≤故題中的集合可用描述法表示為x綜合練習(xí)6.C解析:由m2?1由m?1?由上可知m=?故B={?因此B中所有元素之和為-1,本題選C.7.A解析:依題意,要使86?x的正因子,即6?x=故B={?8.BC解析:分x<0,①當(dāng)x>00,此時集合有2個不同元素;②當(dāng)x=0時,此時集合惟獨1個元素;③當(dāng)x<00,此時集合有2個不同元素.綜上所述,該集合可能有1個或2個元素,故本題選BC.9.ACD解析:由a,bN+,使得a對于選項A:a+b=m1+m2+n1+n22,因為m1+m2∈N+,n1+n2∈N+,故a+b∈A,?A準(zhǔn)確.對于選項B:a?b=m1故本題選ACD.10.x?x=mn,m,n∈Z,故Q=11.15解析:滿意a+b=12且a,b的奇偶性相同的正整數(shù)對滿意ab=12且a,b的奇偶性不同的正整數(shù)對綜上所述,集合A中共有15個元素,故本題填15.12.22解析:依題意,A2=x當(dāng)a0=a當(dāng)a0=0當(dāng)a0=1當(dāng)a0=a故集合A2的所有元素之和為413.解析:依題意,一元二次方程x有兩個相等的實數(shù)根2,則2解得p代入x2+2px解得x1故B={14.解析:(1)若2∈A,則11若?1∈A,則1若12∈A,則1綜上所述,集合A中還有元素?1(2)集合A不是雙元素集,理由如下:對于元素x∈A,有11?x要使集合A為雙元素集,則x,若x=11?x若11?x=x?1若x?1x=x綜上所述,假設(shè)不成立.故集合A不是雙元素集.拓廣提升15.669解析:注重到,集合A表示的是所有四位七進制數(shù)組成的集合.在這些數(shù)中