初中數(shù)學(xué)常見(jiàn)幾何基本模型及結(jié)論

八上幾何模型歸納題型一題型一“手拉手”模型已知AB=AC，AE=AF，∠BAC=∠EAF=α，則△BAE≌△多——BE=CF，∠BDC=∠BAC，AD平分∠BDF，等等CAF，由此可以繼續(xù)證明的結(jié)論很ABααFDCE【例1】在△AOB和△COD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=α．（1）如圖1，若90，則AC和BD的數(shù)量關(guān)系是 ，AC和BD的位置關(guān)系是 ；（2）如圖2，若60，AC和BD相交于點(diǎn)P，求證：OP平分BPC．（3）如圖3所示，則AC與BD的數(shù)量關(guān)系為 ，試用表示直線(xiàn)AC和BD所形成的夾A A ADP CD PDC BCOO B O BO圖1 圖2 圖31/8題型二題型二帽子模型“帽子”模型常見(jiàn)輔助線(xiàn)做法：⑴作平行線(xiàn)構(gòu)造全等 ⑵作垂直構(gòu)造全等已知AB=AC，BE=CF，EF交BC于D，則DE=DF.已知AB=AC，BE=CF，EF交BC于D，1EH⊥BC于H，則DH= BC2A AE EB D C

B H D CF Fy【例2】（2013年武漢二中，2015年81中月考）如圖1，已知A（0，aB（b，0，且a、b滿(mǎn)足a24a0bb2. A（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；xO xyAECOBMD（2）如圖2，連接AB，若D(0,，DE⊥AB于點(diǎn)AECOBMD關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，M是線(xiàn)段DE上的一點(diǎn)，且DM=AB，連接AM，試判斷線(xiàn)段AC與AM之間的位置和數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論； x（3）如圖N是線(xiàn)段DM是MADN=AP，連接PN交y軸于點(diǎn)N作NH⊥y軸于點(diǎn)N點(diǎn)在線(xiàn)段DM的面積是否為定值？若是，請(qǐng)求出這個(gè)值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由. yPAPAQOMHND題型三題型三夾半角模型夾半角模型的證明核心是“圖形的旋轉(zhuǎn)”，以旋轉(zhuǎn)造全等，已知?jiǎng)t構(gòu)造△AEB≌△AFC，進(jìn)而可以證明△ADE≌△ADFAB=AC，∠BAC=2∠DAF，EByDxAx+yyFC【例3】（2015年·二十五中期中）如圖，已知A(a，0)、B(0，b)，且a、b滿(mǎn)足(a－2)2＋|2b－4|＝0（1）如圖1，求△AOB的面積（2）如圖C在線(xiàn)段ABCD之間的數(shù)量關(guān)系并證明你的結(jié)論.（3）如圖P為x軸上異于原點(diǎn)O和點(diǎn)APB繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至PE，直線(xiàn)AE交y軸于點(diǎn)Q，當(dāng)P點(diǎn)在x軸上移動(dòng)時(shí)，線(xiàn)段BE和線(xiàn)段BQ中，請(qǐng)判斷哪一條線(xiàn)段長(zhǎng)為定值，并求出該定值3/8題型四題型四已知CB=CA，∠ACB=90°，D是CA中點(diǎn)，CF⊥BD于F，交AB于E，則①∠CDB=∠ADE②DE+CE=BDCF DB E A已知CB=CA，∠ACB=90°，CG=AD，CF⊥BG于F，交AB于E，則①∠CGB=∠ADE②DE+CE=BGCGFDB E A【例4】如圖，在△ABC中，90，ABBC，0)，B(0,2)．（1）如圖1，求點(diǎn)C的坐標(biāo)．（2）如圖2，BC交x軸于點(diǎn)M，AC交y軸于點(diǎn)N，且BMCM，求證：AMBCMN．（3）如圖3，若點(diǎn)A不動(dòng)，點(diǎn)B在y軸的正半軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，分別以O(shè)B、AB為直角邊在第一、第二象限作等腰直角三角形△BOF與等腰直角三角形△ABE，連接EF交y軸于P點(diǎn)，問(wèn)當(dāng)點(diǎn)B在y軸正半軸上移動(dòng)時(shí)，BP的長(zhǎng)度是否變化？若變化說(shuō)理由，若不變求其值．題型五題型五三垂直模型已知個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)，可用三垂直模型求出第三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo).已知等腰直角三角形任意兩BECBFCEAFA【例5】在平面直角坐標(biāo)系中，A0,4為x平分OAB、OBA，AE、BF交于點(diǎn)P．（1）求的度數(shù)；（2）過(guò)P作交x軸于點(diǎn)M交y軸于點(diǎn)Q，求證：OFM1；OAB 2yAyAF POQBMEx2（3）若B運(yùn)動(dòng)到4,0，點(diǎn)T為二象限內(nèi)一點(diǎn)22 ,2且TATB，過(guò)O作OSBT于S，求S點(diǎn)坐標(biāo)．2yyAT SBOx5/8【例（205分?？紙D△ACB為等腰三角形，∠ABC=90，點(diǎn)P在線(xiàn)段BC上（不與B，C重合，以AP與E（1）求證：△PAB≌△AQE（2）連CQ交AB于M，若PC=2PB，求PCBM

A的值. E CMQ PB（3）如圖2，過(guò)Q作QF⊥AQ交AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，過(guò)P點(diǎn)作DP⊥AP交AC于D，連DF，當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段BC上動(dòng)（與，C重合，子FD的值生變嗎若變求該值若化，F(xiàn)D請(qǐng)說(shuō)明理由.請(qǐng)說(shuō)明理由.DCQPB題型六腳拉腳模型已知已知AE=BE，AE⊥BE，AF=CF，AF⊥CF，O是BC中點(diǎn)，則OE=OF，OE⊥OF.BEAOFC【例2015年糧街學(xué)中如平直坐系A(chǔ)aBb0C0

a2c

)02（1）直接寫(xiě)出A、B、C各點(diǎn)的坐標(biāo)：A 、B 、C （2）過(guò)B作直線(xiàn)MN⊥AB，P為線(xiàn)段OC上的一動(dòng)點(diǎn)，AP⊥PH交直線(xiàn)MN于點(diǎn)（3）A處有一個(gè)等腰Rt△APQ繞點(diǎn)ABQ，點(diǎn)G為BQ的中點(diǎn)，試猜想線(xiàn)段OG與線(xiàn)段PG的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論題型七題型七婆羅摩笈多模型已知△ABE和△則AH⊥EF.ACF均為直角三角形，AE=BE，AE⊥BE，AF=CF，AF⊥CF，若BD=CD，F(xiàn)HEAAFHDCBDCBE【例8】在直角坐標(biāo)系中，A、B、C、D四點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，如圖所示，滿(mǎn)足AOBO，CODO．（1）如圖，若OAD30，OBC的度數(shù)；（2）點(diǎn)M、N分別是BC、AD的中點(diǎn)，連OM、ON，判斷OM、ON的關(guān)系；（3）在（2）的條件下，連AM、BN，取BN的中點(diǎn)P，連OP．當(dāng)點(diǎn)C、點(diǎn)D分別以相同的速度沿著yMAOPOA軸、x軸向原點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，求證：

MON

為定值．yACBOyACBOD xyANMCBOD xyAC NMBPOD x7/8題型八題型八內(nèi)心直角三角形已知Rt△ABC，∠C=90°，I是△ABC的內(nèi)心，則IHCACBAB，IH CBCA2 CACBABIH=IE=IF=CE=CF，AE=AH，BF=BH.BFCIHEA【例9】（12b)AB⊥y軸于B，AC⊥x軸于C.（1）求△AOC的面積；

a ，(a2)2（2）如圖，E為線(xiàn)段OB上一點(diǎn)，連AE，過(guò)A作AF⊥AE交x軸于F，連EF，ED平分∠(a2)2GDGDBAEOC F