2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第1章解三角形階段質(zhì)量檢測含解析新人教A版必修5

PAGE1-階段質(zhì)量檢測(一)解三角形一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若b＝c＝2a，則cosBA.eq\f(1,8)B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,2)D．1解析：在△ABC中，由余弦定理得cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(a2＋2a2－2a2,2a·2a)＝eq\f(1,4)，故選B.答案：B2．在鈍角三角形ABC中，AB＝eq\r(3)，AC＝1，B＝30°，則角A的大小為()A．120°B．45°C．30°D．15°解析：由于eq\f(AB,sinC)＝eq\f(AC,sinB)，將AB＝eq\r(3)，AC＝1，B＝30°代入，求得sinC＝eq\f(\r(3),2).又△ABC是鈍角三角形，所以C＝120°，所以A＝30°.故選C.答案：C3．如圖，為了測量A，B兩點間的距離，在地面上選擇適當(dāng)?shù)狞cC，測得AC＝100m，BC＝120m，∠ACB＝60°，那么A，B的距離為()A．20eq\r(91)mB．20eq\r(31)mC．500mD．60eq\r(66)m解析：由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC＝1002＋1202－2×100×120×eq\f(1,2)＝12400，所以AB＝20eq\r(31)(m)，故選B.答案：B4．已知a，b，c分別是△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊，若△ABC的周長為2(eq\r(2)＋1)，且sinB＋sinC＝eq\r(2)sinA，則a＝()A.eq\r(2)B．2C．4D．2eq\r(2)解析：依據(jù)正弦定理，sinB＋sinC＝eq\r(2)sinA可轉(zhuǎn)化為b＋c＝eq\r(2)a，△ABC的周長為2(eq\r(2)＋1)，即a＋b＋c＝2(eq\r(2)＋1)，聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＋c＝\r(2)a,a＋b＋c＝2\r(2)＋1))，解得a＝2，故選B.答案：B5．在△ABC中，A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知cosB＝eq\f(c,2a)，那么△ABC是()A．等腰直角三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等邊三角形解析：由正弦定理知sinC＝2sinAcosB，所以sin(A＋B)＝2sinAcosB，所以sinAcosB＋cosAsinB＝2sinAcosB，所以sin(A－B)＝0，所以A＝B，所以△ABC為等腰三角形，故選B.答案：B6．△ABC的兩邊長分別為2,3，其夾角的余弦值為eq\f(1,3)，則其外接圓的直徑為()A.eq\f(9\r(2),2)B.eq\f(9\r(2),4)C.eq\f(9\r(2),8)D．9eq\r(2)解析：設(shè)另一條邊為x，則x2＝22＋32－2×2×3×eq\f(1,3)，∴x2＝9，∴x＝3.設(shè)cosθ＝eq\f(1,3)，則sinθ＝eq\r(1－cos2θ)＝eq\f(2\r(2),3).∴2R＝eq\f(3,sinθ)＝eq\f(3,\f(2\r(2),3))＝eq\f(9\r(2),4).答案：B7．一角槽的橫斷面如圖所示，四邊形ADEB是矩形，且α＝50°，β＝70°，AC＝90mm，BC＝150mm，則DE的長等于()A．210mmB．200mmC．198mmD．171mm解析：由題圖可知，∠ACB＝α＋β＝50°＋70°＝120°.在△ABC中，由余弦定理可得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠＝902＋1502－2×90×150×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝44100，所以AB＝210，即DE＝210mm.故選A.答案：A8．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若(a2＋c2－b2)·tanB＝eq\r(3)ac，則角B的值為()A.eq\f(π,6)B.eq\f(π,3)C.eq\f(π,6)或eq\f(5π,6)D.eq\f(π,3)或eq\f(2π,3)解析：∵(a2＋c2－b2)tanB＝eq\r(3)ac，∴eq\f(a2＋c2－b2,2ac)·tanB＝eq\f(\r(3),2)，即cosB·tanB＝sinB＝eq\f(\r(3),2).∵0<B<π，∴角B的值為eq\f(π,3)或eq\f(2π,3).答案：D9．下列命題中，錯誤的是()A．在△ABC中，A>B，則sinA>sinBB．在銳角△ABC中，不等式sinA>cosB恒成立C．在△ABC中，若acosA＝bcosB，則△ABC必是等腰直角三角形D．在△ABC中，若B＝60°，b2＝ac，則△ABC必是等邊三角形解析：在△ABC中，由acosA＝bcosB，利用正弦定理可得sinAcosA＝sinBcosB，∴sin2A＝sin2B，∵A，B∈∴2A＝2B或2A＝2π－2∴A＝B或A＋B＝eq\f(π,2)，因此△ABC是等腰三角形或直角三角形，因此C是假命題．答案：C10．設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.若三邊的長為三個連續(xù)的正整數(shù)，且A>B>C,3b＝20acosA，則sinA:sinB:sinC為()A．4:3:2B．5:6:7C．5:4:3D．6:5:4解析：由題意可得a>b>c，且a，b，c為連續(xù)的正整數(shù)，不妨設(shè)c＝n，b＝n＋1，a＝n＋2(n>1，且n∈N*)，則由余弦定理及3b＝20acosA可得3(n＋1)＝20(n＋2)·eq\f(n2＋n＋12－n＋22,2nn＋1)，化簡得7n2－13n－60＝0，n∈N*，解得n＝4，由正弦定理可得sinA:sinB:sinC＝a:b:c＝6:5:4.答案：D11．在三角形ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，其中a為最大邊，假如sin2(B＋C)<sin2B＋sin2C，則角AA.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,3)))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2)))解析：由題意得sin2A<sin2B＋sin2C，再由正弦定理得a2<b2＋c2，即b2＋c2－a2>0，則cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)>0.∵0<A<π，∴0<A<eq\f(π,2).又a為最大邊，∴A>eq\f(π,3).因此角A的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2))).答案：D12．在△ABC中，AB＝7，AC＝6，M是BC的中點，AM＝4，則BC等于()A.eq\r(21)B.eq\r(106)C.eq\r(69)D.eq\r(154)解析：設(shè)BC＝a，則BM＝MC＝eq\f(a,2).在△ABM中，AB2＝BM2＋AM2－2BM·AMcos∠AMB，即72＝eq\f(1,4)a2＋42－2×eq\f(a,2)×4·cos∠AMB，①在△ACM中，AC2＝AM2＋CM2－2AM·CM·cos∠AMC，即62＝42＋eq\f(1,4)a2＋2×4×eq\f(a,2)·cos∠AMB，②①＋②得72＋62＝42＋42＋eq\f(1,2)a2，所以a＝eq\r(106).答案：B二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中橫線上)13．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知eq\f(sinC,sinA)＝2，cosB＝eq\f(1,4)，△ABC的周長為5，則b的長為________．解析：由正弦定理及eq\f(sinC,sinA)＝2得c＝2a，因為b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋4a2－4a2×eq\f(1,4)＝4a2，所以b＝2a.又a＋b＋c＝5，所以a＝1，因此b＝2.答案：214．已知a，b，c分別是△ABC的三個內(nèi)角A，B，C所對的邊．若a＝1，b＝eq\r(3)，A＋C＝2B，則sinC＝________.解析：在△ABC中，A＋B＋C＝π，A＋C＝2B，∴B＝eq\f(π,3).由正弦定理知，sinA＝eq\f(asinB,b)＝eq\f(1,2)，又a<b，∴A＝eq\f(π,6)，C＝eq\f(π,2)，∴sinC＝1.答案：115．甲船在A處視察到乙船在它的北偏東60°方向的B處，兩船相距2海里，乙船向正北方向行駛．若甲船的速度是乙船速度的eq\r(3)倍，則甲船用最短的時間追上乙船時，乙船已行駛了________海里．解析：如圖所示，設(shè)甲船在C處追上乙船，并設(shè)∠CAB＝θ，由題意及正弦定理，得sinθ＝eq\f(BC·sin120°,AC)＝eq\f(1,2)，∴θ＝30°.從而BC＝eq\f(AB·sinθ,sin∠ACB)＝eq\f(2·sin30°,sin180°－120°－30°)＝2(海里)．故甲船用最短的時間追上了乙船時，乙船已行駛了2海里．答案：216．鈍角三角形的三邊為a，a＋1，a＋2，其最大角不超過120°，則a的取值范圍是________．解析：由題可知邊a＋2所對的角為最大角，且最大角的范圍是(90°，120°]，所以可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋a＋1>a＋2，,a2＋a＋12－a＋22<0，,\f(a2＋a＋12－a＋22,2aa＋1)≥－\f(1,2)，))解得eq\f(3,2)≤a<3.答案：eq\f(3,2)≤a<3三、解答題(本大題共6小題，共70分．解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)17．(10分)在△ABC中，已知B＝45°，D是BC邊上的一點，AD＝10，AC＝14，DC＝6，求AB的長．解析：在△ADC中，AD＝10，AC＝14，DC＝6，由余弦定理得cos∠ADC＝eq\f(AD2＋DC2－AC2,2AD·DC)＝eq\f(100＋36－196,2×10×6)＝－eq\f(1,2)，所以∠ADC＝120°，∠ADB＝60°在△ABD中，AD＝10，B＝45°，∠ADB＝60°，由正弦定理得eq\f(AB,sin∠ADB)＝eq\f(AD,sinB)，所以AB＝eq\f(AD·sin∠ADB,sinB)＝eq\f(10sin60°,sin45°)＝eq\f(10×\f(\r(3),2),\f(\r(2),2))＝5eq\r(6).18．(12分)已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c且a＝2，cosB＝eq\f(3,5).(1)若b＝4，求sinA的值；(2)若△ABC的面積S△ABC＝4，求b，c的值．解析：(1)∵cosB＝eq\f(3,5)且0<B<π，∴sinB＝eq\r(1－cos2B)＝eq\f(4,5).由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，得sinA＝eq\f(asinB,b)＝eq\f(2×\f(4,5),4)＝eq\f(2,5).(2)∵S△ABC＝eq\f(1,2)acsinB＝4，∴eq\f(1,2)×2×c×eq\f(4,5)＝4，∴c＝5.由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得b＝eq\r(a2＋c2－2accosB)＝eq\r(22＋52－2×2×5×\f(3,5))＝eq\r(17).19．(12分)在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對邊，且2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC(1)求A的大小；(2)若sinB＋sinC＝1，試推斷△ABC的形態(tài)．解析：(1)由已知，依據(jù)正弦定理得2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，則a2＝b2＋c2＋bc.由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得cosA＝－eq\f(1,2).又0°<A<180°，∴A＝120°.(2)方法一：由(1)中a2＝b2＋c2＋bc，結(jié)合正弦定理，可得sin2A＝sin2B＋sin2C＋sinBsinC＝eq\f(3,4)，即(sinB＋sinC)2－sinBsinC＝eq\f(3,4).又sinB＋sinC＝1，∴sinBsinC＝eq\f(1,4)，∴sinB＝sinC＝eq\f(1,2).∵0°<B<60°，0°<C<60°.∴B＝C.故△ABC是等腰三角形．方法二：由(1)得B＋C＝60°，∴sinB＋sinC＝sinB＋sin(60°－B)＝sin(60°＋B)＝1，又0<B<60°，∴B＝30°，∴C＝B＝30°，故△ABC是等腰三角形．20．(12分)在△ABC中，a、b、c分別為內(nèi)角A、B、C的對邊，且asinB＝－bsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,3))).(1)求A；(2)若△ABC的面積S＝eq\f(\r(3),4)c2，求sinC的值．解析：(1)∵asinB＝－bsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,3)))，∴由正弦定理得sinAsinB＝－sinBsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,3)))，∵sinB≠0，∴sinA＝－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,3)))，即sinA＝－eq\f(1,2)sinA－eq\f(\r(3),2)cosA，化簡得tanA＝－eq\f(\r(3),3)，∵A∈(0，π)，∴A＝eq\f(5π,6).(2)∵A＝eq\f(5π,6)，∴sinA＝eq\f(1,2)，由S＝eq\f(\r(3),4)c2＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,4)bc，得b＝eq\r(3)c，∴a2＝b2＋c2－2bccosA＝7c2，則a＝eq\r(7)c，由正弦定理得sinC＝eq\f(csinA,a)＝eq\f(\r(7),14).21．(12分)如圖所示，A，B是海面上位于東西方向相距5(3＋eq\r(3))海里的兩個觀測點．現(xiàn)位于A點北偏東45°，B點北偏西60°的D點有一艘輪船發(fā)出求救信號，位于B點南偏西60°且與B點相距20eq\r(3)海里的C點的救援船馬上前往營救，其航行速度為30海里/小時，該救援船到達D點須要多長時間？解析：由題意知AB＝5(3＋eq\r(3))海里，∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°，∴∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°，在△DAB中，由正弦定理得eq\f(DB,sin∠DAB)＝eq\f(AB,sin∠ADB)，∴DB＝eq\f(AB·sin∠DAB,sin∠ADB)＝eq\f(53＋\r(3)·sin45°,sin105°)＝eq\f(53＋\r(3)·sin45°,sin45°cos60°＋cos45°sin60°)＝eq\f(5\r(3)\r(3)＋1,