九年級(jí)數(shù)學(xué)人教版（上冊(cè)）第22章 小結(jié)與復(fù)習(xí)

第二十二章二次函數(shù)小結(jié)與復(fù)習(xí)目錄頁(yè)考點(diǎn)精講課堂小結(jié)當(dāng)堂練習(xí)要點(diǎn)梳理要點(diǎn)梳理教學(xué)目標(biāo)教學(xué)重點(diǎn)學(xué)習(xí)目標(biāo)1．掌握二次函數(shù)的定義及表達(dá)式．2．鞏固二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)．3．強(qiáng)化二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用．【重點(diǎn)、難點(diǎn)】二次函數(shù)的圖象、性質(zhì)及其運(yùn)用．

一般地，形如

(a，b，c是常數(shù)，

__)的函數(shù)，叫做二次函數(shù)．y＝ax2＋bx＋ca

≠0[注意](1)等號(hào)右邊必須是整式；(2)自變量的最高次數(shù)是2；(3)當(dāng)b＝0，c＝0時(shí)，y＝ax2是特殊的二次函數(shù)．

二次函數(shù)的概念要點(diǎn)梳理1二次函數(shù)y=a(x-h)2+ky＝ax2＋bx＋c開口方向?qū)ΨQ軸頂點(diǎn)坐標(biāo)最值a＞0a＜0增減性a＞0a＜0

二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)：a＞0開口向上a＜0開口向下x=h(h,k)y最小=ky最大=k在對(duì)稱軸左邊,x↗y↘;在對(duì)稱軸右邊,

x↗y↗.

在對(duì)稱軸左邊,x↗y↗;在對(duì)稱軸右邊,

x↗y↘.y最小=y最大=2

二次函數(shù)圖象的平移y＝ax2左、右平移左加右減上、下平移上加下減y＝-ax2寫成一般形式沿x軸翻折3

二次函數(shù)解析式的求法1．一般式法：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)2．頂點(diǎn)式法：y＝a(x－h(huán))2＋k(a≠0)3．交點(diǎn)式法：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)4

二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系

二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象和x軸交點(diǎn)有三種情況：有兩個(gè)交點(diǎn),有兩個(gè)重合的交點(diǎn),沒(méi)有交點(diǎn).

當(dāng)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象和x軸有交點(diǎn)時(shí),交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是當(dāng)y=0時(shí)自變量x的值,即一元二次方程ax2＋bx＋c=0的根.5二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象和x軸交點(diǎn)一元二次方程ax2＋bx＋c=0的根一元二次方程ax2＋bx＋c=0根的判別式（b2-4ac）有兩個(gè)交點(diǎn)有兩個(gè)相異的實(shí)數(shù)根b2-4ac>0有兩個(gè)重合的交點(diǎn)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根b2-4ac=0沒(méi)有交點(diǎn)沒(méi)有實(shí)數(shù)根b2-4ac<0

二次函數(shù)的應(yīng)用1．二次函數(shù)的應(yīng)用包括以下兩個(gè)方面(1)用二次函數(shù)表示實(shí)際問(wèn)題變量之間的關(guān)系，解決最大化問(wèn)題(即最值問(wèn)題)；(2)利用二次函數(shù)的圖象求一元二次方程的近似解．2．一般步驟：(1)找出問(wèn)題中的變量和常量以及它們之間的函數(shù)關(guān)系；(2)列出函數(shù)關(guān)系式，并確定自變量的取值范圍；(3)利用二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)解決實(shí)際問(wèn)題；(4)檢驗(yàn)結(jié)果的合理性，是否符合實(shí)際意義．6考點(diǎn)精講典例精講歸納總結(jié)考點(diǎn)1求拋物線的頂點(diǎn)、對(duì)稱軸、最值

拋物線y＝x2－2x＋3的頂點(diǎn)坐標(biāo)為________．【解析】方法一：配方，得y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，則頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2)．方法二：代入公式，，則頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2)．(1,2)例1

解決此類題目可以先把二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c配方為頂點(diǎn)式y(tǒng)＝a(x－h(huán))2＋k的形式，得到：對(duì)稱軸是直線x＝h，最值為y＝k，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(h，k)；也可以直接利用公式求解.方法歸納1．對(duì)于y＝2(x－3)2＋2的圖象下列敘述正確的是(

)A．頂點(diǎn)坐標(biāo)為(－3,2)

B．對(duì)稱軸為y＝3C．當(dāng)x≥3時(shí)，y隨x的增大而增大D．當(dāng)x≥3時(shí)，y隨x的增大而減小C針對(duì)訓(xùn)練

二次函數(shù)y＝－x2＋bx＋c的圖象如圖所示，若點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)在此函數(shù)圖象上，且x1<x2<1，則y1與y2的大小關(guān)系是(

)A.y1≤y2

B．y1<y2

C．y1≥y2

D．y1>y2【解析】由圖象看出，拋物線開口向下，對(duì)稱軸是x＝1，當(dāng)x＜1時(shí)，y隨x的增大而增大．∵x1<x2<1，∴y1<y2.故選B.B考點(diǎn)2

二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)及函數(shù)值的大小比較例22.下列函數(shù)中，當(dāng)x＞0時(shí)，y值隨x值增大而減小的是（）

A.y=B.y=x-1C.D.y=-3x2D針對(duì)訓(xùn)練

已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象如圖所示，下列結(jié)論：①abc＞0；②2a－b＜0；③4a－2b＋c＜0；④(a＋c)2＜b2.其中正確的個(gè)數(shù)是(

)A．1

B．2

C．3

D．4D考點(diǎn)3

二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象與系數(shù)a，b，c的關(guān)系例3解析：由圖象開口向下可得a＜0，由對(duì)稱軸在y軸左側(cè)可得b＜0，由圖象與y軸交于正半軸可得c＞0，則abc＞0，故①正確；由對(duì)稱軸x>－1可得2a－b＜0，故②正確；由圖象上橫坐標(biāo)為x＝－2的點(diǎn)在第三象限可得4a－2b＋c＜0，故③正確；由圖象上橫坐標(biāo)為x＝1的點(diǎn)在第四象限得出a＋b＋c＜0，由圖象上橫坐標(biāo)為x＝－1的點(diǎn)在第二象限得出

a－b＋c＞0，則(a＋b＋c)(a－b＋c)＜0，即(a＋c)2－b2＜0，可得(a＋c)2＜b2，故④正確．故選D.1.可根據(jù)對(duì)稱軸的位置確定b的符號(hào)：b＝0?對(duì)稱軸是y軸；a、b同號(hào)?對(duì)稱軸在y軸左側(cè)；a、b異號(hào)?對(duì)稱軸在y軸右側(cè).這個(gè)規(guī)律可簡(jiǎn)記為“左同右異”.2.當(dāng)x＝1時(shí)，函數(shù)y＝a＋b＋c.當(dāng)圖象上橫坐標(biāo)x＝1的點(diǎn)在x軸上方時(shí)，a＋b＋c＞0；當(dāng)圖象上橫坐標(biāo)x＝1的點(diǎn)在x軸上時(shí)，a＋b＋c＝0；當(dāng)圖象上橫坐標(biāo)x＝1的點(diǎn)在x軸下方時(shí)，a＋b＋c＜0.同理，可由圖象上橫坐標(biāo)x＝－1的點(diǎn)判斷a－b＋c的符號(hào).方法歸納3.已知二次函數(shù)y=－x2＋2bx＋c，當(dāng)x＞1時(shí)，y的值隨x值的增大而減小，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是（ ）A．b≥－1 B．b≤－1C．b≥1

D．b≤1針對(duì)訓(xùn)練D解析：∵二次項(xiàng)系數(shù)為－1＜0，∴拋物線開口向下，在對(duì)稱軸右側(cè)，y的值隨x值的增大而減小，由題設(shè)可知，當(dāng)x＞1時(shí)，y的值隨x值的增大而減小，∴拋物線y=－x2＋2bx＋c的對(duì)稱軸應(yīng)在直線x=1的左側(cè)而拋物線y=－x2＋2bx＋c的對(duì)稱軸，即b≤1，故選擇D.

將拋物線y＝x2－6x＋5向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到的拋物線解析式是(

)A．y＝(x－4)2－6B．y＝(x－4)2－2C．y＝(x－2)2－2D．y＝(x－1)2－3【解析】因?yàn)閥＝x2－6x＋5＝(x－3)2－4，所以向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到的解析式為y＝(x－3－1)2－4＋2，即y＝(x－4)2－2.故選B.考點(diǎn)4

拋物線的幾何變換例4B4.若拋物線y=－7(x+4)2－1平移得到y(tǒng)=－7x2，則可能（）A.先向左平移4個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位B.先向右平移4個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位C.先向左平移1個(gè)單位，再向下平移4個(gè)單位D.先向右平移1個(gè)單位，再向下平移4個(gè)單位B針對(duì)訓(xùn)練

已知關(guān)于x的二次函數(shù),當(dāng)x=－1時(shí),函數(shù)值為10,當(dāng)x=1時(shí),函數(shù)值為4,當(dāng)x=2時(shí),函數(shù)值為7,求這個(gè)二次函數(shù)的解析式.待定系數(shù)法解：設(shè)所求的二次函數(shù)為y＝ax2+bx＋c,由題意得：解得,

a=2,b=－3,c=5.∴所求的二次函數(shù)為y＝2x2－3x＋5.考點(diǎn)5

二次函數(shù)解析式的確定例55.已知拋物線y=ax2+bx+c與拋物線y=－x2－3x+7的形狀相同,頂點(diǎn)在直線x=1上,且頂點(diǎn)到x軸的距離為5,請(qǐng)寫出滿足此條件的拋物線的表達(dá)式.解:

拋物線y=ax2+bx+c與拋物線y=－x2－3x+7的形狀相同

a=1或－1

又

頂點(diǎn)在直線x=1上,且頂點(diǎn)到x軸的距離為5,

頂點(diǎn)為(1,5)或(1,－5)

所以其表達(dá)式為:(1)y=(x－1)2+5(2)y=(x－1)2－5(3)y=－(x－1)2+5(4)y=－(x－1)2－5

針對(duì)訓(xùn)練

若二次函數(shù)y=x2+mx的圖象的對(duì)稱軸是直線x=3，則關(guān)于x的方程x2+mx=0的解為

．解析：∵二次函數(shù)y=x2+mx的對(duì)稱軸是x=3，且當(dāng)x=0時(shí)，y=0，即圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，0），∴點(diǎn)（0，0）關(guān)于對(duì)稱軸x=3對(duì)稱的點(diǎn)（0，6）也在二次函數(shù)的圖象上.∴關(guān)于x的方程x2+mx=0的解為x1=0，x2=6.考點(diǎn)6

二次函數(shù)與一元二次方程例6x1=0，x2=6

某商場(chǎng)將進(jìn)貨價(jià)為30元的書包以40元售出，平均每月能售出600個(gè)，調(diào)查表明：這種書包的售價(jià)每上漲1元，其銷售量就減少10個(gè).(1)請(qǐng)寫出每月售出書包的利潤(rùn)y(元)與每個(gè)書包漲價(jià)x(元)間的函數(shù)關(guān)系式；進(jìn)價(jià)/元售價(jià)/元數(shù)量/件現(xiàn)價(jià)漲價(jià)304060040+x600-10x30分析：y=(40+x-30)(600-10x)=-10x2+500x+6000.(0≤x≤60)解：(1)考點(diǎn)7

二次函數(shù)的應(yīng)用例7(2)設(shè)某月的利潤(rùn)為10000元，10000元的利潤(rùn)是否為該月最大利潤(rùn)？如果是，請(qǐng)說(shuō)明理由；如果不是，請(qǐng)求出最大利潤(rùn)，并指出此時(shí)書包的售價(jià)應(yīng)定為多少元.

(2)10000元不是最大利潤(rùn)，y=-10x2+500x+6000=-10(x-25)2+12250.當(dāng)x=25時(shí)有最大利潤(rùn)，即售價(jià)為65元時(shí)，有最大利潤(rùn)12250元.y=-10x2+500x+6000.(0≤x≤60)xyO-10606.一家電腦公司推出一款新型電腦，投放市場(chǎng)以來(lái)3個(gè)月的利潤(rùn)情況如圖所示，該圖可以近似看作為拋物線的一部分，請(qǐng)結(jié)合圖象，解答以下問(wèn)題：(1)求該拋物線對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)解析式；(2)該公司在經(jīng)營(yíng)此款電腦過(guò)程中，第幾月的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？(3)若照此經(jīng)營(yíng)下去，請(qǐng)你結(jié)合所學(xué)的知識(shí)，對(duì)公司在此款電腦的經(jīng)營(yíng)狀況(是否虧損？何時(shí)虧損？)作預(yù)測(cè)分析．針對(duì)訓(xùn)練解：(1)因圖象過(guò)原點(diǎn)，則設(shè)函數(shù)解析式為y=ax2+bx，由圖象的點(diǎn)的含義，得解得a=-1,b=14.故所求一次函數(shù)的表達(dá)式為y=-x2+14x.(2)y=-x2+14x=-(x-7)2+49.即當(dāng)x=7時(shí)，利潤(rùn)最大，y=49(萬(wàn)元）(3)沒(méi)有利潤(rùn)，即y=-x2+14x=0.解得x1=0(舍去）或x2=14,而這時(shí)利潤(rùn)為滑坡狀態(tài)，所以第15個(gè)月，公司虧損.如圖，梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC＝90°，∠A＝45°，AB＝30，BC＝x，其中15＜x＜30.作DE⊥AB于點(diǎn)E，將△ADE沿直線DE折疊，點(diǎn)A落在F處，DF交BC于點(diǎn)G.(1)用含有x的代數(shù)式表示BF的長(zhǎng)；(2)設(shè)四邊形DEBG的面積為S，求S與x的函數(shù)關(guān)系式；(3)當(dāng)x為何值時(shí)，S有最大值？并求出這個(gè)最大值．例8解：（1）由題意，得EF=AE=DE=BC=x,AB=30.∴BF=2x-30.（2）∵∠F=∠A=45°，∠CBF=∠ABC=90°，∴∠BGF=∠F=45°，BG=BF=2x-30.所以S△DEF-S△GBF=DE2-