4.2.1指數(shù)函數(shù)的概念4.2.2指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)課件高一上學期數(shù)學人教A版

第四章指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)的概念指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)人教A版

數(shù)學必修第一冊1.通過具體實例,了解指數(shù)函數(shù)的實際意義,理解指數(shù)函數(shù)的概念.2.能用描點法或借助計算工具畫出具體指數(shù)函數(shù)的圖象,探索并理解指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點.3.能夠應(yīng)用指數(shù)函數(shù)的圖象及性質(zhì)解決問題.課程標準基礎(chǔ)落實·必備知識一遍過知識點1

指數(shù)函數(shù)的概念1.一般地,函數(shù)

(a>0,且a≠1)叫做指數(shù)函數(shù).

其中指數(shù)x是自變量,定義域為

.

2.指數(shù)函數(shù)的特征:(1)底數(shù)a>0,且a≠1;(2)指數(shù)冪的系數(shù)是

.

名師點睛根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義,只有形如y=ax(a>0,且a≠1)的函數(shù)才叫指數(shù)函數(shù),y=ax

R

1

思考辨析指數(shù)函數(shù)為什么要規(guī)定a>0,且a≠1?提示

如果a<0,那么ax對某些x值沒有意義,如

無意義;如果a=0,那么當x>0時,ax=0,當x≤0時,ax無意義;如果a=1,y=1x=1是個常數(shù)函數(shù),沒有研究的必要.所以規(guī)定a>0,且a≠1,此時x可以是任意實數(shù).自主診斷1.給出下列函數(shù):①y=2·3x;②y=3x+1;③y=3x;④y=x3;⑤y=(-2)x.其中,指數(shù)函數(shù)的個數(shù)是(

)A.0 B.1

C.2

D.4B解析

只有③是指數(shù)函數(shù).故選B.

2.[人教B版教材習題]已知指數(shù)函數(shù)的圖象過點(2,81),求這個指數(shù)函數(shù)的解析式.解

設(shè)指數(shù)函數(shù)的解析式為y=ax(a>0,且a≠1),因為其圖象經(jīng)過點(2,81),所以a2=81,解得a=9,所以該指數(shù)函數(shù)的解析式為y=9x.知識點2

指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)a的取值范圍a>10<a<1圖象

a的取值a>10<a<1性質(zhì)定義域R值域

過定點

性質(zhì)函數(shù)值的變化當x>0時,

;

當x<0時,

當x>0時,

;

當x<0時,

單調(diào)性是(-∞,+∞)上的

是(-∞,+∞)上的

奇偶性既不是奇函數(shù),也不是偶函數(shù)(0,+∞)

(0,1)

y>1

0<y<1

0<y<1

y>1

增函數(shù)

減函數(shù)

自主診斷1.[蘇教版教材習題]設(shè)a為實數(shù),如果指數(shù)函數(shù)f(x)=(a-1)x是R上的減函數(shù),那么a的取值范圍是(

)A.(-∞,2) B.(2,+∞)C.(1,2) D.(0,1)C解析

由題意0<a-1<1,所以1<a<2.故選C.

2.若函數(shù)f(x)=ax-1(a>0且a≠1)的圖象經(jīng)過一個定點,這個定點的坐標是

.

解析

對于f(x)=ax-1(a>0,且a≠1),令x-1=0,即x=1,求得f(x)=1,可得函數(shù)的圖象經(jīng)過定點(1,1).3.指數(shù)函數(shù)y=5x的定義域是

,值域是

.

(1,1)

R

(0,+∞)

解析

由指數(shù)函數(shù)y=5x的圖象和性質(zhì)可知定義域為R,值域為(0,+∞).

重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點一指數(shù)函數(shù)的概念【例1】

(1)若函數(shù)f(x)=(a2+2a-2)(a+4)x為指數(shù)函數(shù),則(

)A.a=1或a=-3 B.a>0且a≠1 C.a=1 D.a=-3C規(guī)律方法指數(shù)函數(shù)是一個形式定義,其特征如下:ACD探究點二指數(shù)函數(shù)的圖象的應(yīng)用角度1.指數(shù)型函數(shù)圖象過定點問題【例2—1】

已知函數(shù)f(x)=ax+1+3(a>0,且a≠1)的圖象一定過點P,則點P的坐標是

.

(-1,4)解析

當x+1=0,即x=-1時,f(-1)=a0+3=4恒成立,故函數(shù)f(x)=ax+1+3的圖象恒過點(-1,4).變式探究

本例中的函數(shù)改為f(x)=5a3x-2+3后,求f(x)的圖象過的定點坐標.

規(guī)律方法指數(shù)型函數(shù)圖象過定點問題的解法因為函數(shù)y=ax(a>0,且a≠1)的圖象恒過定點(0,1),所以對于函數(shù)f(x)=kag(x)+b(k,a,b均為常數(shù),且k≠0,a>0,且a≠1),若g(m)=0,則f(x)的圖象過定點(m,k+b).角度2.指數(shù)型函數(shù)圖象的識別【例2—2】

函數(shù)f(x)=ax-b的圖象如圖所示,其中a,b為常數(shù),則下列結(jié)論正確的是(

)A.a>1,b<0B.a>1,b>0C.0<a<1,b>0D.0<a<1,b<0D解析

由于f(x)的圖象單調(diào)遞減,所以0<a<1,又0<f(0)<1,所以0<a-b<1=a0,即-b>0,b<0.故選D.規(guī)律方法指數(shù)型函數(shù)圖象問題的處理技巧(1)抓住圖象上的特殊點,如指數(shù)函數(shù)的圖象過定點、特殊點的函數(shù)的值的符號等;(2)利用圖象變換,如函數(shù)圖象的平移變換(左右平移、上下平移);(3)利用函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性,奇偶性確定函數(shù)的對稱情況,單調(diào)性決定函數(shù)圖象的走勢.變式訓練2(1)函數(shù)y=ax-(a>0,且a≠1)的圖象可能是(

)D解析

對于A,B選項,由圖可知a>1,于是0<1-<1,所以圖象與y軸的交點的縱坐標應(yīng)在區(qū)間(0,1)之間,顯然A,B的圖象均不正確;對于C,D選項,由圖可知0<a<1,于是1-<0,圖象與y軸的交點的縱坐標應(yīng)小于0,所以D項符合.故選D.(2)[北師大版教材習題]已知三個指數(shù)函數(shù)y=ax,y=bx,y=cx的圖象如圖.①試比較a,b,c的大小;②指數(shù)函數(shù)的底數(shù)越大,它的圖象與直線x=1的交點的縱坐標是越大還是趨近于0?解

①觀察圖象可知,當x=1時,c1>b1>a1,即c>b>a.②底數(shù)越大,圖象與直線x=1的交點的縱坐標越大.角度3.畫指數(shù)型函數(shù)的圖象【例2—3】

畫出函數(shù)y=的圖象,這個圖象有什么特征?你能根據(jù)圖象指出它的值域和單調(diào)區(qū)間嗎?∴原函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱.由圖象可知值域是(0,1],單調(diào)遞增區(qū)間是(-∞,0],單調(diào)遞減區(qū)間是(0,+∞).規(guī)律方法指數(shù)函數(shù)y=ax與y=

(a>0,且a≠1)的圖象關(guān)于y軸對稱.處理函數(shù)圖象問題的常用方法:一是抓住圖象上的特殊點;二是利用圖象的變換;三是利用函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性.變式訓練3畫出下列函數(shù)的圖象,并說明它們是由函數(shù)y=2x的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到的.(1)y=2x-1;(2)y=2x+1;(3)y=-2x;(4)y=2|x|.解

(1)如圖①,y=2x-1的圖象是由y=2x的圖象向右平移1個單位長度得到的.(2)如圖①,y=2x+1的圖象是由y=2x的圖象向上平移1個單位長度得到的.(3)如圖①,y=-2x的圖象與y=2x的圖象關(guān)于x軸對稱.(4)函數(shù)y=2|x|為偶函數(shù),圖象關(guān)于y軸對稱,且其在x≥0上的圖象與y=2x的圖象一致,可得y=2|x|的圖象如圖②所示.探究點三利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較冪值大小【例3】

[人教B版教材例題改編]利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì),比較下列各題中兩個值的大小:解

(1)因為0.8-0.1與0.8-0.2都是以0.8為底的冪值,所以考察函數(shù)y=0.8x,由于這個函數(shù)在R上是減函數(shù).又-0.1>-0.2,所以0.8-0.1<0.8-0.2.(2)因為2.5a與2.5a+1都是以2.5為底的冪值,所以考察函數(shù)y=2.5x,由于這個函數(shù)在R上是增函數(shù),又因為a<a+1,所以2.5a<2.5a+1.(3)設(shè)f(x)=1.8x,g(x)=0.8x,則函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù),函數(shù)g(x)在R上是減函數(shù),1.80.6=f(0.6),0.81.6=g(1.6).由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知f(0.6)>f(0)=1,而g(1.6)<g(0)=1,所以1.80.6>0.81.6.規(guī)律方法比較冪的大小的常用方法

變式訓練4(1)(多選題)下列式子不正確的是(

)AB解析

由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知1.52.5<1.53.2,則A錯誤;由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知1.70.2>1.70=1,0.92.1<0.90=1,即1.70.2>0.92.1,則B錯誤;由冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知0.80.5<0.80.4,0.80.4<0.90.4,即0.80.5<0.90.4,則D正確.故選AB.學以致用·隨堂檢測促達標1234561.給出下列函數(shù):①y=x5;②y=-2x;③y=2x;④y=2x+1;⑤y=3·2x.其中指數(shù)函數(shù)的個數(shù)是(

)A.1 B.2

C.3

D.4A解析

指數(shù)函數(shù)是形如y=ax(a>0,且a≠1)的函數(shù),故只有③y=2x是指數(shù)函數(shù),①為冪函數(shù),②④⑤都稱為指數(shù)型函數(shù),所以正確選項為A.1234562.函數(shù)y=2-x的大致圖象是(

)B123456A.(0,+∞) B.(1,+∞) C.[1,+∞) D.(0,1)B123456AA.a>b>c B.c>a>b

C.a>c>b

D.b>c>a1234565.若a>3,則函數(shù)f(x)=4(a-2)2x+6-1的圖象恒過定點

.

(-3,3