2020年吉林省(初三學業(yè)水平考試)中考數(shù)學真題試卷含詳解

吉林省20200年初中畢業(yè)生學業(yè)水平考試數(shù)學試卷

一、單項選擇題（每小題2分，共12分）

1.-6的相反數(shù)是（）

11

A.-6B.--C.6D.-

66

2.國務院總理李克強2020年5月22日在作政府工作報告時說，去年我國農(nóng)村貧困人口減少11090000,脫貧攻堅

取得決定性成就.數(shù)據(jù)11090000用科學記數(shù)法表示為（）

A.11.09xl06B.1.109xl07C.1.109xl08D.0.1109X108

3.如圖，由5個完全相同的小正方體組合成一個立體圖形，它的左視圖為（

正面

A.B.C.D.

4.下列運算正確的是（)

25

A.a2-a3=。6B.aY=aC.(2a)2—2a2D.cr39=a

5.將一副三角尺按如圖所示的方式擺放，則Na的大小為（）

A.85°B.75°C.65°D.60°

6.如圖，四邊形ABCD內接于。.若N5=108°,則NO的大小為)

B.62°C.72°D.82°

二、填空題（每小題3分，共24分）

7.分解因式：cr-ab=.

8.不等式3x+l>7的解集為.

9.一元二次方程f+3x—1=0根的判別式的值為

10.我國古代數(shù)學著作《算學啟蒙》中有這樣一個學問題，其大意是：跑得快的馬每天走240里，跑得慢的馬每天走

150里.慢馬先走12天，快馬幾天可以追上慢馬？

設快馬x天可以追上慢馬，根據(jù)題意，可列方程為______

11.如圖，某單位要在河岸/上建一個水泵房引水到C處，他們做法是：過點。作8于點將水泵房建在

了。處.這樣做最節(jié)省水管長度，其數(shù)學道理是_______.

13.如圖，在ABC中，D,E分別是邊AB,AC的中點.若.ADE的面積為工.則四邊形。8CE的面積為

2

14.如圖，在四邊形A8CD中，AB=CB,AD=CD.我們把這種兩組鄰邊分別相等的四邊形叫做“箏形”，箏

形ABC。的對角線AC,80相交于點。.以點3為圓心，80長為半徑畫弧，分別交A8,3c于點E,F,

若ZA8D=NACD=30°,AD=\,則用的長為（結果保留萬）.

三、解答題（每小題5分，共20分）

15.先化簡，再求值：（。+1）“+—a）—1,其中〃=.

16.“中國結”是我國特有的手工編織工藝品，也是一種傳統(tǒng)吉祥裝飾物，如圖，現(xiàn)有三張正面印有“中國結”圖案

的不透明卡片A,B.C,卡片除正面圖案不同外，其余均相同.將三張卡片正面向下洗勻，小吉同學從中隨機抽

取一張卡片，記下圖案后正面向下放回，洗勻后再從中隨機抽取一張卡片.請用畫樹狀圖或列表的方法，求小吉同

學抽出的兩張卡片中含有A卡片的概率.

17.甲、乙二人做某種機械零件，已知甲每小時比乙多做6個，甲做90個所用的時間與乙做6()個所用的時間相等.求

乙每小時做零件的個數(shù).

18.如圖，在AABC中，AB>AC,點。在邊AB上，且BD=C4,過點。作OE//AC并截取?！?且

點C,E在AB同側，連接把.

求證：ADEB=^ABC.

四、解答題(每小題7分，共28分)

19.如圖①、圖②、圖③都是3x3的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的頂點稱為格點.A,B,。均為格點.在給定的

網(wǎng)格中，按下列要求畫圖：

(1)在圖①中，畫一條不與AB重合的線段MN,使MN與A3關于某條直線對稱，且N為格點.

BB

圖①圖②圖③

(2)在圖②中，畫一條不與AC重合的線段PQ,使PQ與AC關于某條直線對稱，且P,。為格點.

(3)在圖③中，畫一個AOEb,使八?！陸襞cAA5C關于某條直線對稱，且。，E.E為格點.

20.如圖，某班數(shù)學小組測量塔的高度，在與塔底部3相距35加的。處，用高1.5根的測角儀C￡>測得該塔頂端A的

仰角NEZX為36。.求塔A3的高度(結果精確到加).(參考數(shù)據(jù)：sin36。=0.59,cos36。=0.81,tan36°=0.73)

21.如圖，在平面直角坐標系中，。為坐標原點，點A,3在函數(shù)y=K（x>0）的圖象上（點3的橫坐標大于點A

X

的橫坐標），點A的坐示為（2,4）,過點A作AD_Lx軸于點過點B作軸于點C,連接Q4,AB

（1）求k的值.

（2）若。為0C中點，求四邊形QWC的面積.

22.2020年3月線上授課期間，小瑩、小靜和小新為了解所在學校九年級600名學生居家減壓方式情況，對該校九

年級部分學生居家減壓方式進行抽樣調查，將居家減壓方式分為A（享受美食）、B（交流談心）、C（室內體育活

動）、D（聽音樂）和E（其他方式）五類，要求每位被調查者選擇一種自己最常用的減壓方式.他們將收集的數(shù)

據(jù)進行了整理，繪制的統(tǒng)計表分別為表1、表2和表3.

表1：小瑩抽取6（）名男生居家減壓方式統(tǒng)計表（單位：人）

減壓方式ABcDE

人數(shù)463785

表2：小靜隨機抽取10名學生居家減壓方式統(tǒng)計表（單位：人）

減壓方式ABCDE

人數(shù)21331

表3：小新隨機抽取6（）名學生居家減壓方式統(tǒng)計表（單位：人）

減壓方式ABCDE

人數(shù)65261310

根據(jù)以上材料，回答下列問題：

(1)小瑩、小靜和小新三人中，哪一位同學抽樣調查的數(shù)據(jù)能較好地反映出該校九年級學生居家減壓方式情況，

并簡要說明其他兩位同學抽樣調查的不足之處.

(2)根據(jù)三人中能較好地反映出該校九年級居家減壓方式調查結果，估計該校九年級600名學生中利用室內體

育活動方式進行減壓的人數(shù).

五、解答題(每小題8分，共16分)

23.某種機器工作前先將空油箱加滿，然后停止加油立即開始工作，當停止工作時，油箱中油量為5L.在整個過程

中，油箱里的油量》(單位：L)與時間X(單位：min)之間的關系如圖所示.

(1)機器每分鐘加油量為L,機器工作的過程中每分鐘耗油量為L.

(2)求機器工作時y關于X的函數(shù)解析式，并寫出自變量X的取值范圍.

(3)直接寫出油箱中油量為油箱容積的一半時x的值.

24.能夠完全重合的平行四邊形紙片ABCD和但G按圖①方式擺放，其中AD=AG=5,AB=9.點。，G分

別在邊AE,AB上，CO與R7相交于點”.

【探究】求證：四邊形AG/7D是菱形.

【操作一】固定圖①中的平行四邊形紙片A3CZZ將平行四邊形紙片用?G繞著點A順時針旋轉一定的角度，使

點尸與點C重合，如圖②，則這兩張平行四邊形紙片未重疊部分圖形的周長和為.

【操作二】四邊形紙片AEFG繞著點A繼續(xù)順時針旋轉一定的角度，使點E與點8重合，連接。G,CF,如圖

4

③若sin/A4O=-,則四邊形。CFG的面積為

5

六、解答題(每小題10分，共20分)

25.如圖，ABC是等邊三角形，AB=4cm,動點尸從點A出發(fā)，以2cm/s的速度沿AB向點8勻速運動，過

點尸作PQLAB,交折線AC—CB于點。，以PQ為邊作等邊三角形PQ。，使點A,。在PQ異側.設點P的

運動時間為x(s)(()<x<2),△PQ。與aABC重疊部分圖形的面積為y(c/).

uCa

備用圖

(1)AP長為cm(用含x的代數(shù)式表示).

(2)當點。落在邊BC上時，求x的值.

(3)求N關于x的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍.

I鼻

26.如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=—+笈+萬與*軸正半軸交于點人，且點人坐標為(3,0),過點

A作垂直于x軸的直線/.P是該拋物線上的任意一點，其橫坐標為心，過點P作PQ，/于點。；M是直線/上

的一點，其縱坐標為—+士3，以PQ,QM為邊作矩形PQMN.

2

(1)求》的值.

(2)當點。與點M重合時，求加的值.

(3)當矩形PQMN是正方形，且拋物線的頂點在該正方形內部時，求旭的值.

(4)當拋物線在矩形PQMN內的部分所對應的函數(shù)值隨x的增大而減小時，直接寫出機的取值范圍.

吉林省20200年初中畢業(yè)生學業(yè)水平考試數(shù)學試卷

一、單項選擇題（每小題2分，共12分）

1.-6的相反數(shù)是（）

A.-6B.—-C.6D.—

66

【答案】C

【分析】

根據(jù)相反數(shù)的定義，即可解答.

【詳解】-6的相反數(shù)是：6,

故選C.

2.國務院總理李克強2020年5月22日在作政府工作報告時說，去年我國農(nóng)村貧困人口減少11090000,脫貧攻堅

取得決定性成就.數(shù)據(jù)11090000用科學記數(shù)法表示為（）

A.11.09xl06B.1.109xl07C.1.109xl08D.0.1109x10s

【答案】B

【分析】

根據(jù)科學記數(shù)法的定義即可得.

【詳解】科學記數(shù)法：將一個數(shù)表示成ax10"的形式，其中14時＜10,n為整數(shù)，這種記數(shù)的方法叫做科學記數(shù)

法

貝打1090000=1.109*107

故選：B.

【點睛】本題考查了科學記數(shù)法的定義，熟記定義是解題關鍵.

3.如圖，由5個完全相同的小正方體組合成一個立體圖形，它的左視圖為（）

【答案】A

【分析】

根據(jù)左視圖的定義即可得.

【詳解】由左視圖的定義得：這個立體圖形的左視圖由2行1列組成，其中，每行上只有1個小正方形，1列上有2

個小正方形

觀察四個選項可知，只有選項A符合

故選：A.

【點睛】本題考查了左視圖的定義，熟記定義是解題關鍵.三視圖的另兩個概念是：主視圖和俯視圖，這是?？键c,

需掌握.

4.下列運算正確的是（）

A.a1-a3=a6B.（1）=a5C.（2a）2=2a2D.a3-i-a2=a

【答案】D

【分析】

根據(jù)同底數(shù)鬲的乘除法、塞的乘方、積的乘方逐項判斷即可.

【詳解】A、。2.。3=4+3="5,此項錯誤

B、（儲）3=。2*3=。6,此項錯誤

C、（24）2=4/,此項錯誤

D、〃3+/=。3-2=小此項正確

故選：D.

【點睛】本題考查了同底數(shù)毒的乘除法、帚的乘方、積的乘方，熟記整式的運算法則是解題關鍵.

5.將一副三角尺按如圖所示的方式擺放，則Na的大小為（）

A.85°B.75°C.65°D.60°

【答案】B

【分析】

先根據(jù)直角三角板的性質得出NACZ）的度數(shù)，再由三角形內角和定理即可得出結論.

【詳解】解：如圖所示，

A

a

由一副三角板的性質可知：Z￡C￡>=60°,/BC4=45。，Z￡>=90°,

,ZACD=ZECD-ZBCA=60°-45°=15°,

.\Za=180°-ZD-NAC￡)=180°-90°-15°=75°,

故選：B.

【點睛】本題考查的是三角形內角和定理，熟知三角形內角和是180。是解答此題的關鍵

6.如圖，四邊形ABC。內接于。.若NB=108°,則ZD的大小為()

A54°B.62°C.72°D.82°

【答案】C

【分析】

根據(jù)圓內接四邊形的對角互補，可求得的度數(shù).

【詳解】因為，四邊形ABCD內接于O,ZB=108°

所以，ZD=180°-ZB=180°-108°=72°

故選：C

【點睛】考核知識點：圓的內接四邊形.熟記圓的內接四邊形性質是關鍵.

二、填空題(每小題3分，共24分)

7.分解因式：/“=

【答案】a(a-b).

【詳解】解：a2-ab=a(a-b).

故答案為a(a-b).

【點睛】本題考查因式分解-提公因式法.

8.不等式3尤+1>7的解集為

【答案】x>2.

【分析】

移項、合并同類項、系數(shù)化為1即可得出答案.

【詳解】解:3x4-1>7,

移項：3x>7—1,

合并同類項：3x>6,

系數(shù)化成1：x>2,

所以不等式的解集為：x>2；

故答案為：x>2.

【點睛】本題主要考查了解一元一次不等式，關鍵是掌握解不等式的解題步驟.

9.一元二次方程f+3%—1=0根的判別式的值為.

【答案】13

【分析】

根據(jù)一元二次方程根的判別式A=b2-4ac即可求出值.

【詳解】解：Va=l,b=3,c=-l,

A=b2-4ac=9+4=13.

所以一元二次方程x2+3x-l=0根的判別式的值為13.

故答案為：13.

【點睛】本題考查了根的判別式，解決本題的關鍵是熟記根的判別式.

10.我國古代數(shù)學著作《算學啟蒙》中有這樣一個學問題，其大意是：跑得快的馬每天走240里，跑得慢的馬每天走

150里.慢馬先走12天，快馬幾天可以追上慢馬？

設快馬x天可以追上慢馬，根據(jù)題意，可列方程為.

【答案】（240-150）x=150x12

【分析】

根據(jù)兩馬的速度之差X快馬出發(fā)的時間=慢馬的速度X慢馬提前出發(fā)的時間，即可得出關于X的一元一次方程.

【詳解】解：題中已設快馬X天可以追上慢馬，

則根據(jù)題意得:（240-150）X=15OX12.

故答案為：（240-150）x=150xl2.

【點睛】本題考查了一元一次方程的應用問題，找到等量關系，正確列出一元一次方程是解題的關鍵.

".如圖，某單位要在河岸/上建一個水泵房引水到C處，他們的做法是：過點。作CD于點。，將水泵房建在

了。處.這樣做最節(jié)省水管長度，其數(shù)學道理是一

【答案】垂線段最短.

【分析】

直線外一點與直線上各點連結的所有線段中，垂線段最短.

【詳解】通過比較發(fā)現(xiàn)：直線外一點與直線上各點連結的所有線段中，垂線段最短.

故答案為：垂線段最短.

【點睛】此題主要考查點到直線的距離，動手比較、發(fā)現(xiàn)結論是解題關鍵.

AQ1

12.如圖，ABHCDHEF.若—=-,BD=5,則。E=

CE2

【答案】10

【分析】

根據(jù)平行線分線段成比例得到4^=-1由條件即可算出DF的值.

CEDF

【詳解】解：：AB//CD//EF.

.ACBD

"~CE~~DF

AC1

又?----=一BD=5,

CE2

,51

..-一,

DF2

:.D尸=10,

故答案為：10.

【點睛】本題考查的是平行線分線段成比例定理，靈活運用定理、找準對應關系是解題的關鍵.

13.如圖，在ABC中，D.E分別是邊AB,AC的中點.若.AD石的面積為g■.則四邊形DBCE的面積為

A

【分析】

1SDE9

先根據(jù)三角形中位線定理得出DEHBC,DE=—BC,再根據(jù)相似三角形的判定與性質得出大3=（布）一，從而

2SABCBC

可得A8C的面積，由此即可得出答案.

【詳解】點。，E分別是邊AB,AC的中點

：.DE//BC,DE=^BC

：.^ADE_ABC

.S&ADE_(DE)2_1

=45AA0E

~BC一"

SABC=4X/=2

13

則四邊形的面積為

DBCESAHC-SADF=2--=-

故答案為：:3.

2

【點睛】本題考查了三角形中位線定理、相似三角形的判定與性質等知識點，熟練掌握相似三角形的判定與性質是

解題關鍵.

14.如圖，在四邊形ABCD中，AB=CB,AD=CD,我們把這種兩組鄰邊分別相等的四邊形叫做“箏形”，箏

形ABCD的對角線AC,30相交于點。.以點3為圓心，B0長為半徑畫弧，分別交A3,BC于點E,F,

若NA5O=NACD=30°,AD=\,則用的長為（結果保留了）.

【分析】

根據(jù)題意，求出0B的長；根據(jù)弧長的公式，代入數(shù)據(jù)，即可求解.

【詳解】由題意知：AB=CB,AD^CD,

ABC和一ADC是等腰三角形，AC1BD.

,:ZABD=ZACD=3。。,AD=\

.,.0D=—,OA=B

22

3

.\0B=-.

2

3

ZABD=30°,r=-

2

.,.ZEBF=60°.

故答案為T二T.

2

【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質和弧長的公式，正確掌握等腰三角形的性質和弧長的公式是解題的關鍵.

三、解答題（每小題5分，共20分）

15.先化簡，再求值：（a+1）-+a（l—a）—1,其中4=J7-

【答案】3a.3#i

【分析】

分別依據(jù)完全平方公式和單項式乘多項式法則計算，再合并同類項，然后將a=近代入即可.

【詳解】解：原式=4+2?+1+。一/一1

=3。

將4=近代入

原式=3".

【點睛】本題考查整式的混合運算，二次根式的化簡求值.熟練掌握完全平方公式和單項式乘多項式法則是解決此

題的關鍵.

16.“中國結”是我國特有的手工編織工藝品，也是一種傳統(tǒng)吉祥裝飾物，如圖，現(xiàn)有三張正面印有“中國結”圖案

的不透明卡片A,B,C,卡片除正面圖案不同外，其余均相同.將三張卡片正面向下洗勻，小吉同學從中隨機抽

取一張卡片，記下圖案后正面向下放回，洗勻后再從中隨機抽取一張卡片.請用畫樹狀圖或列表的方法，求小吉同

學抽出的兩張卡片中含有A卡片的概率.

【分析】

分別使用樹狀圖法或列表法將小吉同學抽取卡片的結果表示出來，第一次共有3種不同的抽取情況，第二次同樣也

有3種不同的抽取情況，所有等可能出現(xiàn)的結果有9種，找出含有A卡片的抽取結果，即可算出概率.

【詳解】解：解法一：畫樹狀圖，根據(jù)題意，畫樹狀圖結果如下：

第次ABC

/Tx/Tx/Tx

第二次ABCABCABC

由樹狀圖可以看出，所有等可能出現(xiàn)的概率一共有9種，而兩張卡片中含有A卡片的結果有5種，所以P（小吉抽

到兩張卡片中有A卡片）.

解法二：用列表法，根據(jù)題意，列表結果如下：

第張

ABC

A(A,A)(B.A)(C.A)

B(A.B)<B.B)(C.B)

C(A.C)(B,C)(C.C)

結果為：（第一次抽取情況，第二次抽取情況）

由表可以看出，所有等可能出現(xiàn)的概率一共有9種，而兩張卡片中含有A卡片的結果有5種，所以P（小吉抽到兩

張卡片中有A卡片）=2.

9

【點睛】本題考查了列表法或樹狀圖法求概率，用圖表的形式將第一次、第二次抽取所可能發(fā)生的情況一一列出，

避免遺漏.

17.甲、乙二人做某種機械零件，已知甲每小時比乙多做6個，甲做90個所用的時間與乙做60個所用的時間相等.求

乙每小時做零件的個數(shù).

【答案】12個.

【分析】

設乙每小時做x個零件，甲每小時做(x+6)個零件，根據(jù)時間=總工作量+工作效率，即可得出關于x的分式方程,

解之并檢驗后即可得出答案.

【詳解】解：設乙每小時做x個零件，則甲每小時做(x+6)個零件，由題意得：

經(jīng)檢驗：x=12是分式方程的解，且符合題意，

...分式方程的解為：x=12,

答：乙每小時做12個零件.

【點睛】本題主要考查了分式方程的應用，找準等量關系，正確列出分式方程是解題的關鍵.

18.如圖，在小鉆。中，AB>AC,點。在邊AB上，且3￡>=C4,過點。作DE//AC并截取=AB,且

點C,E在同側，連接BE.

求證：ADEB三AABC

【答案】證明見詳解

【分析】

根據(jù)SAS即可證得ADEB三AABC.

【詳解】證明：???OE//AC,

；.NA=/EDB,

在AABC和4DEB中，

BD=CA

<NEDB=ZA,

DE=AB

：.M)EB=^ABC(SAS).

【點睛】本題考查了全等三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關鍵.

四、解答題(每小題7分，共28分)

19.如圖①、圖②、圖③都是3x3的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的頂點稱為格點.A,B,C均為格點.在給定的

網(wǎng)格中，按下列要求畫圖：

（1）在圖①中，畫一條不與重合的線段MN,使MN與A8關于某條直線對稱，且N為格點.

BB

圖①圖②圖③

（2）在圖②中，畫一條不與AC重合的線段PQ,使PQ與AC關于某條直線對稱，且尸，。為格點.

（3）在圖③中，畫一個ADEb,使ADE戶與AABC關于某條直線對稱，且。，E,F格點.

【答案】（1）圖見解析；（2）圖見解析；（3）圖見解析.

分析】

（1）先畫出一條3x3的正方形網(wǎng)格的對稱軸，根據(jù)對稱性即可在圖①中，描出點AB的對稱點MN,它們一定在

格點上，再連接MN即可.

（2）同（1）方法可解；

（3）同（1）方法可解；

【詳解】解：（1）如圖①，3x3的正方形網(wǎng)格的對稱軸1,描出點AB關于直線1的對稱點MN,連接MN即為所

求；

圖①圖②圖③

（2）如圖②，同理（1）可得，PQ即為所求；

（3）如圖③，同理（1）可得，ADE/即為所求.

【點睛】本題考查了作圖-軸對稱變換，解決本題的關鍵是找到圖形對稱軸的位置.

20.如圖，某班數(shù)學小組測量塔的高度，在與塔底部8相距35m的C處，用高1.5加的測角儀C。測得該塔頂端A的

仰角/如為36。.求塔A3的高度（結果精確到1相）.（參考數(shù)據(jù)：sin36。=0.59,cos36。=0.81,tan36°=0.73）

【答案】27m

【分析】

4/7

通過tanZEDA=—,可求出AE的長，從而得到AB的高度.

DE

【詳解】解：由題意可知￡>￡=C6=35,BE=CD=1.5,ZEDA=36°,

在直角AADE中，tanZ￡￡)A=~~-=tan36°,

DE

Vtan36°=0.73,

AP

——=0.73,即AE=25.55,

35

AB=+BE=25.55+1.5=27.05?27.

因此塔AB的高度為27加.

【點睛】本題考查了解直角三角形的應用問題，熟練掌握三角函數(shù)是解題的關鍵.

21.如圖，在平面直角坐標系中，。為坐標原點，點A,3在函數(shù)y=A(x＞0)的圖象上(點3的橫坐標大于點A

X

的橫坐標)，點A的坐示為(2,4),過點A作軸于點O,過點B作軸于點C,連接。4,AB-

⑴求k值.

(2)若。為。。中點，求四邊形Q4BC的面積.

【答案】(1)8；⑵10.

【分析】

(1)將點A的坐標為(2,4)代入＞=4(》＞0),可得結果；

(2)利用反比例函數(shù)的解析式可得點B的坐標，利用三角形的面積公式和梯形的面積公式可得結果.

k

【詳解】解：（1）將點A的坐標為（2,4）代入y=￡（x>0）,

X

可得攵=孫=2x4=8,

二.女的值為8；

（2）%的值為8,

k8

.?.函數(shù)y=一的解析式為y=一，

XX

QO為0c中點，0D=2,

.\OC=4,

Q

點8的橫坐標為4,將尤=4代入>=一，

x

可得y=2,

???點3的坐標為（4,2）,

=SAAOC+S四邊形他co=；x2x4+g（2+4）x2=l0.

S四邊形CMBC

【點睛】本題主要考查了反比例函數(shù)的系數(shù)上的幾何意義，運用數(shù)形結合思想是解答此題的關鍵.

22.2020年3月線上授課期間，小瑩、小靜和小新為了解所在學校九年級600名學生居家減壓方式情況，對該校九

年級部分學生居家減壓方式進行抽樣調查，將居家減壓方式分為A（享受美食）、B（交流談心）、C（室內體育活

動）、D（聽音樂）和E（其他方式）五類，要求每位被調查者選擇一種自己最常用的減壓方式.他們將收集的數(shù)

據(jù)進行了整理，繪制的統(tǒng)計表分別為表1、表2和表3.

表1：小瑩抽取60名男生居家減壓方式統(tǒng)計表（單位：人）

減壓方式ABcDE

人數(shù)463785

表2：小靜隨機抽取1（）名學生居家減壓方式統(tǒng)計表（單位：人）

減壓方式ABCDE

人數(shù)21331

表3:小新隨機抽取6（）名學生居家減壓方式統(tǒng)計表（單位：人）

減壓方式ABCDE

人數(shù)65261310

根據(jù)以上材料，回答下列問題：

（1）小瑩、小靜和小新三人中，哪一位同學抽樣調查的數(shù)據(jù)能較好地反映出該校九年級學生居家咸壓方式情況，

并簡要說明其他兩位同學抽樣調查的不足之處.

（2）根據(jù)三人中能較好地反映出該校九年級居家減壓方式的調查結果，估計該校九年級600名學生中利用室內體

育活動方式進行減壓的人數(shù).

【答案】（1）小新抽樣調查所得的數(shù)據(jù)能較好地反映出該校九年級學生居家減壓方式情況；小瑩抽取60名男生居

家減壓方式統(tǒng)計，沒有隨機抽樣，而且只抽取男生，樣本沒有代表性；小靜隨機抽取10名學生居家減壓方式統(tǒng)計，

樣本容量太小，也沒有代表性；（2）260人

【分析】

（1）根據(jù)抽樣調查的要求，所抽樣本必須具有代表性，要保證所有個體都有相同的機會被抽到，樣本的容量要適

當；

（2）根據(jù)樣本的情況估計總體情況，利用室內體育活動方式進行減壓的人數(shù)：600X竺人

60

【詳解】解：（1）小新抽樣調查所得的數(shù)據(jù)能較好地反映出該校九年級學生居家減壓方式情況.小瑩抽取6（）名男生

居家減壓方式統(tǒng)計，沒有隨機抽樣，而且只抽取男生，樣本沒有代表性；小靜隨機抽取10名學生居家減壓方式統(tǒng)計,

樣本容量太小，也沒有代表性；

（2）估計該校九年級600名學生中利用室內體育活動方式進行減壓的人數(shù)：

26,,、

600x—=260人

60

答：（1）小新抽樣調查所得的數(shù)據(jù)能較好地反映出該校九年級學生居家減壓方式情況.小瑩抽取6（）名男生居家減

壓方式統(tǒng)計，沒有隨機抽樣，而且只抽取男生，樣本沒有代表性；小靜隨機抽取10名學生居家減壓方式統(tǒng)計，樣本

容量太小，也沒有代表性；（2）估計該校九年級600名學生中利用室內體育活動方式進行減壓的人數(shù)是260人.

【點睛】考核知識點：抽樣調查.要注意抽樣調查中樣本的容量要適中’要具有代表性，會用樣本估計總體情況.

五、解答題（每小題8分，共16分）

23.某種機器工作前先將空油箱加滿，然后停止加油立即開始工作，當停止工作時，油箱中油量為5L.在整個過程

中，油箱里的油量）’（單位：L）與時間X（單位：min）之間的關系如圖所示.

（1）機器每分鐘加油量為L,機器工作的過程中每分鐘耗油量為L?

（2）求機器工作時y關于X的函數(shù)解析式，并寫出自變量X的取值范圍.

(3)直接寫出油箱中油量為油箱容積的一半時x的值.

【答案】⑴3,0.5；(2)y=--x+35,10WxW60；(3)5或40.

2

【分析】

(1)根據(jù)lOmin加油量為30L即可得；根據(jù)60min時剩余油量為5L即可得；

(2)根據(jù)函數(shù)圖象，直接利用待定系數(shù)法即可得；

(3)先求出機器加油過程中的》關于x的函數(shù)解析式，再求出y=15時，兩個函數(shù)對應的x的值即可.

30

【詳解】(1)由函數(shù)圖象得：機器每分鐘加油量為帝=3(L)

機器工作的過程中每分鐘耗油量為至3=0.5(A)

60—10

故答案為：3,0.5；

(2)由函數(shù)圖象得：當x=10min時，機器油箱加滿，并開始工作；當x=60min時，機器停止工作

則自變量x的取值范圍為10WxW60,且機器工作時的函數(shù)圖象經(jīng)過點(10,30),(60,5)

設機器工作時丁關于x的函數(shù)解析式y(tǒng)="+6

|W+8=30

將點(10,30),(60,5)代入得：「

6Qk+b=5

L-_l

解得J2

Z?=35

則機器工作時y關于x的函數(shù)解析式y(tǒng)=-；x+35；

(3)設機器加油過程中的y關于X的函數(shù)解析式y(tǒng)=c式

將點(10,30)代入得：10a=30

解得a=3

則機器加油過程中的>關于x的函數(shù)解析式y(tǒng)=3x

油箱中油量為油箱容積的一半時，有以下兩種情況：

①在機器加油過程中

30

當y=3=15時，3x=15,解得x=5

②在機器工作過程中

301

當y=—=15時，一一x+35=15,解得x=4()

22

綜上，油箱中油量為油箱容積的一半時x的值為5或40.

【點睛】本題考查了函數(shù)圖象、利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)和正比例函數(shù)的解析式等知識點，從函數(shù)圖象中正確獲

取信息是解題關鍵.

24.能夠完全重合的平行四邊形紙片ABC。和的G按圖①方式擺放，其中A￡>=AG=5,A6=9.點O,G分

別在邊AE,AB-L,C￡>與fG相交于點”.

【探究】求證：四邊形AG”。是菱形.

【操作一】固定圖①中的平行四邊形紙片ABC。，將平行四邊形紙片用G繞著點A順時針旋轉一定的角度，使

點廠與點C重合，如圖②，則這兩張平行四邊形紙片未重疊部分圖形的周長和為

圖①

【操作二】四邊形紙片AEFG繞著點A繼續(xù)順時針旋轉一定的角度，使點E與點B重合，連接。G,CF,如圖

4

③若sinZBAO=s，則四邊形。CFG的面積為

【答案】探究：證明見解析；操作一：56；操作二：72.

【分析】

探究：先根據(jù)平行四邊形的性質可得AO〃G〃,AG〃。//,再根據(jù)平行四邊形的判定可得四邊形AG”。是平行四

邊形，然后根據(jù)菱形的判定即可得證；

操作一：先根據(jù)菱形的性質得出AD=FE,NO=NE,再根據(jù)三角形全等的判定定理與性質可得AH=FH,然

后根據(jù)全等三角形的性質、三角形的周長公式即可得；

操作二：先根據(jù)平行四邊形的性質、等腰三角形的判定可得AOG是等腰三角形，且AB平分/DAG,再根據(jù)等

腰三角形的三線合一可得AB_LDG,DN=NG=-DG,然后利用正弦三角函數(shù)可求出DN的長，從而可得DG

2

的長，最后根據(jù)矩形的判定可得四邊形OCFG是矩形，據(jù)此利用矩形的面積公式即可得.

【詳解】探究：四邊形ABCO和AEFG都是平行四邊形

AE//GF,AB//DC,即AD//GH,AG//DH

四邊形是平行四邊形

又AD=AG=5

二平行四邊形AG”。是菱形；

操作一：如圖，設AE與DF相交于點H,AB與FG相交于點M

四邊形ABCD和A瓦G是兩個完全重合的平行四邊形

:.AD=FE,AD=AE,DF=AB=9

NO=NE

在.ADH和ZXFEH中，,NAHD=NFHE

AD=FE

〕ADH=..FEH(AAS)

:.AH=FH.4)，和△EE"的周長相等

同理可得：

;...ADH、△EE"、_EBM、.AGM的周長均相等

又AD=5,DF=AB=9

.工ADH周長為小4初=AO+O”+AH=AD+O"+f7/=AO+O/=14

則這兩張平行四邊形紙片未重疊部分圖形的周長和為4LADH=4x14=56

故答案為：56；

操作二：如圖，設AB與DG相交于點N

四邊形ABCD和AEFG是兩個完全重合的平行四邊形

AD=AG^5,CD=FG=AB^9,ZBAD=ZBAG,CD//AB//FG

,.A￡>G是等腰三角形，且平分NZMG

AB±DG,DN=NG=>DG

2

:.CD1DG

DN4DN4

在心△AQN中，sin/M4O=F=w，即丁=w

AD555

解得DN=4

..DG=2DN=8

又CDIIFG,CD=FG

???四邊形OCFG是平行四邊形

--CDIDG,即NCDG=90。

..?平行四邊形OCFG是矩形

則四邊形DCFG的面積為。G?CD=8x9=72

故答案為：72.

【點睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質、三角形全等的判定與性質、菱形的判定、矩形的判定、正弦三角函

數(shù)等知識點，熟記并靈活運用各判定定理與性質是解題關鍵.

六、解答題(每小題10分，共20分)

25.如圖，是等邊三角形，AB=4cm,動點P從點A出發(fā)，以2cm/s的速度沿43向點3勻速運動，過

點P作PQLAB,交折線AC-CB于點。，以PQ為邊作等邊三角形使點A,。在PQ異側.設點P的

運動時間為x(s)(0<x<2),△PQ。與八A6C重疊部分圖形的面積為(cm?).

(1)AP的長為cm(用含x的代數(shù)式表示).

(2)當點。落在邊8C上時，求x的值.

(3)求關于x的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍.

【答案】(1)2x；(2)|；(3)當0<x4g時，y=3j3x2；當時，y=1873%-673；

30”

當l<x<2時,y=-(x-2)

【分析】

(1)根據(jù)“路程=速度X時間”即可得；

(2)如圖(見解析)，先根據(jù)等邊三角形的性質可得NA=N5=NOPQ=60。,PQ=OP,再根據(jù)垂直的定義可

得ZAQP=NBPD=30°,然后根據(jù)三角形全等的判定定理與性質可得AQ^BP,最后在Rt.APQ中，利用直

角三角形的性質列出等式求解即可得；

22

(3)先求出點Q與點C重合時x的值，再分0<x4—、一<xWl和l<x<2三種情況，然后分別利用等邊三角

33

形的性質、正切三角函數(shù)、以及三角形的面積公式求解即可得.

【詳解】(1)由題意得：AP=2x(m)

故答案為：2x；

(2)如圖，6c和△PQ。都是等邊三角形

ZA=NB=ZDPQ=60。,PQ=DP

PQ1AB,即ZAPQ=NBPQ=90°

ZAQP=90°-ZA^30°,NBPD=ZBPQ-NDPQ=30°

Z=NB

在一APQ和MDP中，<ZAQP=ZBPD=30°

PQ=DP

:.^APQ=_BDP(AAS)

AQ=BP

,AB=4,AP=2x

AQ^BP=AB-AP=4-2x

在RjAPQ中,ZAQP=30。

AP——AQ,即2x———(4—2x)

22

2

解得x=—

3

(3)?.工ABC是等邊三角形

.-.AC=BC=AB^4

當點Q與點C重合時，AP=-AQ=-x4=2

22

則2x=2,解得x=l

結合(2)的結論，分以下三種情況：

2

①如圖1,當時，重疊部分圖形為△PQ。

由(2)可知，等邊△PQ。的邊長為尸。=Ji4P=2jIr

由等邊三角形的性質得：PQ邊上的高為*PQ=3x

則y氐-3x=3百/

-2

2

②如圖2,時，重疊部分圖形為四邊形EFPQ

NB=60°,NBPD=30°

ZBFP=180°-ZB-ZBPD=90°

則在放中，BF=-BP=-(4-