河北省唐縣第一中學(xué)2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高一數(shù)學(xué)考試（時(shí)間：120分鐘分值：150分）一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】通過(guò)解分式不等式和指數(shù)不等式，分別解出兩個(gè)集合，再由交集和并集的運(yùn)算，即可解答.【詳解】由題意，集合，集合，所以，.故選：A.2.“扇形窗下清風(fēng)徐”.如圖所示是一個(gè)扇子形窗，其所在的扇形半徑為，圓心角為，窗子左右兩邊的邊框長(zhǎng)度都為，則該窗的面積約為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意結(jié)合扇形的面積公式運(yùn)算求解.【詳解】由題意可知：扇形的圓心角為，大扇形的半徑為，小扇形的半徑為，所以該窗的面積為.故選：C.3.若x>1，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由，可得，化簡(jiǎn)可得，利用基本不等式即可得解.【詳解】由，可得，，當(dāng)且僅當(dāng)，即取等號(hào)，的最小值為，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了利用基本不等式求最值問(wèn)題，解題時(shí)注意基本不等式的適用條件，屬于基礎(chǔ)題.4.新冠病毒是一種傳染性極強(qiáng)的病毒，在不采取保護(hù)措施的情況下，每天的累計(jì)感染人數(shù)是前一天的累計(jì)感染人數(shù)的倍，某國(guó)在5月1日時(shí)確診的累計(jì)新冠病毒感染總?cè)藬?shù)為200人，如果不采取任何措施，從多少天后該國(guó)總感染人數(shù)開始超過(guò)100萬(wàn)？(，)（）A.43 B.45 C.47 D.49【答案】C【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)列出函數(shù)解析式，然后解相應(yīng)的不等式即可得．【詳解】設(shè)為天后感染的總?cè)藬?shù)，則，由已知得，兩邊取對(duì)數(shù)化簡(jiǎn)得，所以.因?yàn)槿≌麛?shù)，所以.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查指數(shù)函數(shù)?對(duì)數(shù)函數(shù)的運(yùn)算，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng).5.已知α∈（，π），并且sinα+2cosα，則tan（α）＝（）A. B. C. D.﹣7【答案】A【解析】【分析】將已知等式平方，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可得cosα﹣2sinα，再結(jié)合已知等式作商可求得tanα，由兩角和與差的正切公式計(jì)算即可得解．【詳解】由sinα+2cosα，得sin2α+4sinαcosα+4cos2α，所以（1﹣cos2α）+4sinαcosα+4（1﹣sin2α），整理得cos2α﹣4sinαcosα+4sin2α，所以（cosα﹣2sinα）2，因?yàn)棣痢剩?，π），所以，所以cosα﹣2sinα，又sinα+2cosα，所以，，所以tanα，所以tan（α）．故選：A．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：由sinα+2cosα推出cosα﹣2sinα是本題的解題關(guān)鍵.6.設(shè),則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析】根據(jù)指、對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合中間值“1”、“2”分析判斷.【詳解】由題意可知：在內(nèi)單調(diào)遞減，可得，即；在內(nèi)單調(diào)遞增，可得，即；在內(nèi)單調(diào)遞減，可得，即；綜上所述：.故選：D.7.已知函數(shù)圖象如圖所示，則下列函數(shù)中符合此圖象的為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由排除D，為偶函數(shù)排除A，在0,+∞有零點(diǎn)排除C，檢驗(yàn)可知B符合題意.【詳解】設(shè)題設(shè)函數(shù)為，由圖可知，若，但此時(shí)，矛盾，故可排除D；由為偶函數(shù)，若，則，矛盾，故排除A；在0,+∞有零點(diǎn)，若，則時(shí)，，矛盾，故排除C，經(jīng)檢驗(yàn)，B選項(xiàng)在函數(shù)的零點(diǎn)奇偶性等方面均符合題意.故選：B.8.設(shè)函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，對(duì)任意，都有，且當(dāng)時(shí)，，若函數(shù)（且）在上恰有4個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】分析可知，函數(shù)的周期為4，作出函數(shù)的圖像，依題意可得數(shù)與的圖像在上有4個(gè)不同的交點(diǎn)，然后分及討論即可．【詳解】解：函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，即當(dāng)時(shí)，又對(duì)任意，都有，則關(guān)于對(duì)稱，且，，即函數(shù)的周期為，又由函數(shù)且在上恰有個(gè)不同的零點(diǎn)，得函數(shù)與的圖像在上有個(gè)不同的交點(diǎn)，又，當(dāng)時(shí)，由圖可得，解得；當(dāng)時(shí)，由圖可得，解得．綜上可得.故選：C．二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.若，則下列不等式中正確的是（）A. B. C. D.【答案】AB【解析】【分析】由可推導(dǎo)出，利用不等式的基本性質(zhì)結(jié)合基本不等式可判斷出各選項(xiàng)的正誤.【詳解】，則，，從而，，A選項(xiàng)正確；在不等式兩邊同時(shí)乘以可得，從而，則、均為正數(shù)且不為，由基本不等式可得，B選項(xiàng)正確；，在不等式的兩邊同時(shí)乘以得，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；，則，則，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AB.【點(diǎn)睛】本題考查不等式正誤的判斷，考查了不等式的基本性質(zhì)以及基本不等式的應(yīng)用，考查推理能力，屬于基礎(chǔ)題.10.已知函數(shù)，則（）A.當(dāng)時(shí)，的定義域?yàn)镽 B.一定存在最小值C.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱 D.當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)镽【答案】CD【解析】【分析】A選項(xiàng)中，時(shí)，真數(shù)不恒大于，錯(cuò)誤；B選項(xiàng)中，若，真數(shù)無(wú)最小，則函數(shù)沒有最小值，錯(cuò)誤；C選項(xiàng)中，由于函數(shù)為偶函數(shù)，通過(guò)平移可得對(duì)稱軸為直線；D選項(xiàng)中，時(shí)，判別式大于等于，可得函數(shù)的值域?yàn)镽．【詳解】A選項(xiàng)中，，判別式，則方程有兩個(gè)不等根，故函數(shù)的定義域應(yīng)該在兩根之外，定義域不為R，錯(cuò)誤；B選項(xiàng)中，若，則的定義域?yàn)?，值域?yàn)镽，沒有最小值，錯(cuò)誤；C選項(xiàng)中，由于函數(shù)為偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，將該函數(shù)的圖象向左平移一個(gè)單位即可得到函數(shù)的圖象，此時(shí)對(duì)稱軸為，正確；D選項(xiàng)中，時(shí)，判別式Δ=4-4m函數(shù)能夠取遍0,+∞上的每一個(gè)實(shí)數(shù)，故函數(shù)的值域?yàn)镽，正確；故選：CD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查復(fù)合型對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，考查函數(shù)的對(duì)稱性，考查定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)以及值域?yàn)槿w實(shí)數(shù)問(wèn)題，解決本題的關(guān)鍵點(diǎn)是值域?yàn)檗D(zhuǎn)化為真數(shù)大于零，即真數(shù)取遍全體正數(shù)，考查了學(xué)生邏輯思維能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．11.將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)的圖象，則（）A.當(dāng)時(shí)，為偶函數(shù)B.是函數(shù)的一條對(duì)稱軸C.函數(shù)在上單調(diào)遞增D.若函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱中心為，則的一個(gè)可能值為【答案】ABD【解析】【分析】對(duì)A，化簡(jiǎn)得出，即可判斷；對(duì)B，求出時(shí)，的函數(shù)值即可判斷；對(duì)C，化簡(jiǎn)得出即可判斷；對(duì)D，可得，解出即可判斷.【詳解】解：∵將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，故當(dāng)時(shí)，，為偶函數(shù)，故A正確；當(dāng)時(shí)，求得，為最大值，可得是函數(shù)的一條對(duì)稱軸，故B正確；∵，當(dāng)，，故沒有單調(diào)性，故C錯(cuò)誤；若函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱中心為，則，，即，令，可得，故D正確，故選：ABD.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的圖象變換和性質(zhì)解題的關(guān)鍵是正確得出變換前后的解析式，然后利用三角函數(shù)性質(zhì)判斷求解.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.函數(shù)的零點(diǎn)為______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，由函數(shù)零點(diǎn)的定義，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】令，則，即，所以函數(shù)的零點(diǎn)為.故答案為：13.若，，則______，______.【答案】①.②.##【解析】【分析】由已知結(jié)合二倍角公式可求，利用同角間關(guān)系可求，然后所求式子進(jìn)行化簡(jiǎn)即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，解得，或（舍去），又，所以，所以，則，則.故答案為：；.14.設(shè)函數(shù)，若關(guān)于的方程有且僅有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值構(gòu)成的集合為________．【答案】【解析】【分析】將方程的解轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)交點(diǎn)問(wèn)題求解.【詳解】由得有兩個(gè)不同的解，令，的頂點(diǎn)在上，而與的交點(diǎn)坐標(biāo)為，聯(lián)立得，由，解得或，數(shù)形結(jié)合，要使得有兩個(gè)不同的解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是或或.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知集合，且.（1）若“命題，”是真命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若是的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由命題是真命題，可知，又，可得的取值范圍；（2）由是的充分不必要條件,得是的真子集，又，可得的取值范圍.【小問(wèn)1詳解】因，所以2m-命題是真命題，可知，因?yàn)椋?，m>2-1<故的取值范圍是.【小問(wèn)2詳解】若是的充分不必要條件,得是的真子集，，2m-1>故的取值范圍是.16.化簡(jiǎn)求值：（1）已知，且為第四象限的角，求的值．（2）已知，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，即可求解；（2）首先利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)原式，并用正切表示，即可求解.【小問(wèn)1詳解】，且為第四象限的角，小問(wèn)2詳解】原式17.已知二次函數(shù)且，．（1）若函數(shù)的最小值為，求的解析式，并寫出單調(diào)區(qū)間；（2）在（1）的條件下，在區(qū)間上恒成立，試求k的取值范圍．【答案】（1），單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)最小值為，可得，且，可得的值，從而得到的解析式，根據(jù)對(duì)稱軸和開口方向?qū)憜握{(diào)區(qū)間；（2）分離參數(shù)，求解二次函數(shù)在區(qū)間上的最小值，即可得的范圍．【小問(wèn)1詳解】由題意知，且，∴，∴，因?yàn)楹瘮?shù)對(duì)稱軸，開口向上，∴單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為；【小問(wèn)2詳解】在區(qū)間上恒成立，轉(zhuǎn)化為在上恒成立．設(shè)，且對(duì)稱軸為，則在取得最小值，∴．∴，即的取值范圍為．18.已知函數(shù)是奇函數(shù).（1）求函數(shù)最大值與最小值，并寫出取得最大值、最小值時(shí)自變量的集合；（2）求函數(shù)，的單調(diào)遞增區(qū)間.【答案】（1）；（2）增區(qū)間.【解析】【分析】（1）由奇函數(shù)知：，結(jié)合已知求，并寫出的解析式，確定其最值和對(duì)應(yīng)自變量的集合即可.（2）由（1）得，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)，確定上的增區(qū)間.【詳解】由是奇函數(shù)，有，∴，即，∵，∴，即.（1）當(dāng)時(shí)，，即對(duì)應(yīng)自變量集合為，當(dāng)時(shí)，，即對(duì)應(yīng)自變量集合為.（2），由，有，而在上遞增，在上遞減，∴在上遞減，在上遞增，即在上遞減，在上遞增，∴在上遞增.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：由是奇函數(shù)，即化簡(jiǎn)后為的形式，進(jìn)而求參數(shù)值并寫出函數(shù)解析式，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)，求最值及對(duì)應(yīng)自變量，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性確定閉區(qū)間的遞增區(qū)間.19.已知函數(shù)為偶函數(shù)．（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）解關(guān)于的不等式；（3）設(shè)，若函數(shù)與圖象有個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)偶函數(shù)的定義建立方程，解出即可；（2）考查函數(shù)在的單調(diào)性，根據(jù)條件轉(zhuǎn)化不等式，