八年級數(shù)學下冊 講義（北師大版）第二章第01講 不等關系、不等式的基本性質(zhì)、不等式的解集(5類熱點題型講練)（解析版）

第01講不等關系、不等式的基本性質(zhì)、不等式的解集(5類熱點題型講練)1.了解不等式的概念；將自然語言轉(zhuǎn)化為符號語言．2.經(jīng)歷不等式基本性質(zhì)的探索過程，初步體會不等式與等式的異同.3.掌握不等式的基本性質(zhì)，并能初步運用不等式的基本性質(zhì)把比較簡單的不等式轉(zhuǎn)化為“x>a”或“x<a”的形式.4.理解不等式的解與解集的意義.知識點01不等式的概念一般地，用“＜”、“＞”、“≤”或“≥”表示大小關系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等關系的式子也是不等式．特別說明：(1)不等號“＜”或“＞”表示不等關系，它們具有方向性，不等號的開口所對的數(shù)較大．(2)五種不等號的讀法及其意義：符號讀法意義“≠”讀作“不等于”它說明兩個量之間的關系是不相等的，但不能確定哪個大，哪個小“＜”讀作“小于”表示左邊的量比右邊的量小“＞”讀作“大于”表示左邊的量比右邊的量大“≤”讀作“小于或等于”即“不大于”，表示左邊的量不大于右邊的量“≥”讀作“大于或等于”即“不小于”，表示左邊的量不小于右邊的量(3)有些不等式中不含未知數(shù)，如3＜4，-1＞-2；有些不等式中含有未知數(shù)，如2x＞5中，x表示未知數(shù)，對于含有未知數(shù)的不等式，當未知數(shù)取某些值時，不等式的左、右兩邊符合不等號所表示的大小關系，我們說不等式成立，否則，不等式不成立．知識點02不等式的基本性質(zhì)不等式的基本性質(zhì)1：不等式兩邊加(或減)同一個數(shù)(或式子)，不等號的方向不變．用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c．不等式的基本性質(zhì)2：不等式兩邊都乘(或除以)同一個正數(shù)，不等號的方向不變．用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或)．不等式的基本性質(zhì)3：不等式兩邊乘(或除以)同一個負數(shù)，不等號的方向改變．用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或)．特別說明：不等式的基本性質(zhì)的掌握注意以下幾點：(1)不等式的基本性質(zhì)是對不等式變形的重要依據(jù)，是學習不等式的基礎，它與等式的兩條性質(zhì)既有聯(lián)系，又有區(qū)別，注意總結、比較、體會．(2)運用不等式的性質(zhì)對不等式進行變形時，要特別注意性質(zhì)2和性質(zhì)3的區(qū)別，在乘(或除以)同一個數(shù)時，必須先弄清這個數(shù)是正數(shù)還是負數(shù)，如果是負數(shù)，不等號的方向要改變．知識點03不等式的解與解集1.不等式的解：能使不等式成立的未知數(shù)的值，叫做不等式的解.2.不等式的解集：對于一個含有未知數(shù)的不等式，它的所有解組成這個不等式的解集．注意：不等式的解是具體的未知數(shù)的值，不是一個范圍不等式的解集是一個集合，是一個范圍．其含義：①解集中的每一個數(shù)值都能使不等式成立；②能夠使不等式成立的所有數(shù)值都在解集中題型01不等式的定義【例題】（2023下·遼寧撫順·七年級統(tǒng)考期末）下列數(shù)學式子：①；②；③；④；⑤；其中是不等式的有（

）A．5個 B．4個 C．3個 D．2個【答案】C【分析】根據(jù)不等式的定義：用不等號連接的式子是不等式，逐個進行判斷即可．【詳解】解：①，是不等式，符合題意；②，是不等式，符合題意；③，是等式，不符合題意；④，是多項式，不符合題意；⑤，是不等式，符合題意；綜上：是不等式的有①②⑤，共3個，故選：C．【點睛】本題主要考查了不等式的定義，解題的關鍵是掌握用不等號連接的式子是不等式．【變式訓練】1．（2023下·全國·八年級假期作業(yè)）有下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥．其中不等式的個數(shù)是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【解析】略2．（2023下·河北保定·八年級統(tǒng)考階段練習）下列各式：①；②；③；④，不等式的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】運用不等式的定義進行判斷．【詳解】解：①沒有不等號，不是不等式；②是不等式；③是不等式；④是等式；∴不等式的個數(shù)是2個，故選：B．【點睛】本題考查不等式的識別，一般地，用不等號表示不相等關系的式子叫做不等式．解答此類題關鍵是要識別常見不等號：、、、、．題型02列不等式【例題】（2023下·河南安陽·七年級統(tǒng)考期末）“的倍與的和不小于”可以用不等式表示為．【答案】【分析】根據(jù)字母表示數(shù)及數(shù)量關系的書寫規(guī)則，不等式的概念即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意得，，故答案為：．【點睛】本題主要考查運用字母表示數(shù)（或數(shù)量關系），不等式的概念，掌握其書寫規(guī)程，數(shù)量關系，不等式的概念的知識是解題的關鍵．【變式訓練】1．（2023下·江蘇鎮(zhèn)江·七年級丹陽市第八中學?？计谀┠呈心程斓淖罡邭鉁厥?，最低氣溫是，則當天該市氣溫的變化范圍用不等式表示為．【答案】/【分析】根據(jù)題意列出不等式組即可得到答案．【詳解】解：某市某天的最高氣溫是，最低氣溫是，當天該市氣溫的變化范圍用不等式表示為，故答案為：．【點睛】本題考查了一元一次不等式的意義，熟練掌握相關知識點是解題關鍵．2．（2023下·黑龍江哈爾濱·八年級哈爾濱市虹橋初級中學校校考階段練習）將“與1的差不大于與4的和”用不等式表示為.【答案】【分析】根據(jù)題意選準不等號列出不等式即可．【詳解】由題意可得，，故答案為：．【點睛】此題主要考查了由實際問題抽象出一元一次不等式，關鍵是要抓住題目中的關鍵詞，如“大于（小于）、不超過（不低于）、是正數(shù)（負數(shù)）”“至少”、“最多”等等，正確選擇不等號．題型03不等式的基本性質(zhì)【例題】（2023上·湖南永州·八年級?？茧A段練習）下列判斷不正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】C【分析】本題主要考查不等式的性質(zhì)，熟練掌握不等式的性質(zhì)是解題的關鍵．根據(jù)不等式的性質(zhì)即可得到答案．【詳解】解：若，則，故選項A正確；若，則，故選項B正確；若，則，故選項C不正確；若，則，故選項D正確．故選C．【變式訓練】1．（2023上·浙江杭州·八年級統(tǒng)考期末）若，，則（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由不等式的性質(zhì)1，，再由性質(zhì)3得，．主要考查了不等式的基本性質(zhì)：（1）不等式兩邊加（或減）同一個數(shù)（或式子），不等號的方向不變．（2）不等式兩邊乘（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變．（3）不等式兩邊乘（或除以）同一個負數(shù)，不等號的方向改變．【詳解】解：∵，∴由不等式的性質(zhì)1，得，∵，∴．故選：A．2．（2023下·海南省直轄縣級單位·七年級統(tǒng)考期末）下列說法中錯誤的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】C【分析】本題主要考查了不等式的基本性質(zhì)，靈活運用不等式的基本性質(zhì)是解答本題的關鍵．根據(jù)不等式的基本性質(zhì)逐項排查即可解答．【詳解】解：A．∵，∴，選項正確，不符合題意；B．∵，∴，選項正確，不符合題意；C．當時，由得到，選項錯誤，符合題意；D．∵，∴，選項正確，不符合題意故選：C．題型04利用不等式的基本性質(zhì)解不等式【例題】（2023下·湖南衡陽·七年級?？计谥校┫铝姓f法中，正確的是（

）A．不等式的解集是 B．是不等式的一個解C．不等式的整數(shù)解有無數(shù)個 D．不等式的正整數(shù)解有4個【答案】C【分析】先求出不等式的解集，再依次判斷解的情況．【詳解】解：A、該不等式的解集為，故錯誤，不符合題意；B、∵，故錯誤，不符合題意；C、正確，符合題意；D、因為該不等式的解集為，所以無正整數(shù)解，故錯誤，不符合題意；故選：C．【點睛】本題考查了不等式的性質(zhì)和不等式的解集的理解，解題關鍵是根據(jù)解集正確判斷解的情況．【變式訓練】1．（2023下·八年級課時練習）下列說法錯誤的是（）A．是不等式的解 B．是不等式的解C．的解集是 D．的解集就是、、【答案】D【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：A選項，是不等式的解，把代入不等式，不等式成立，故正確；B選項，是不等式的解，把代入不等式，不等式成立，故正確；C選項，的解集是，解不等式得，故正確；D選項，的解集就是、、，不是不等式的解，故錯誤．故選：D．【點睛】本題主要考查不等式的性質(zhì)解一元一次不等式，掌握不等式的性質(zhì)是解題的關鍵．2．（2023下·七年級課時練習）下列說法錯誤的是（

）A．不等式的解是3 B．3是不等式的解C．不等式的解集是 D．是不等式的解集【答案】A【分析】使不等式成立的未知數(shù)的值叫做不等式的解，能使不等式成立的未知數(shù)的取值范圍，叫做不等式的解的集合，簡稱解集，結合各選項進行判斷即可．【詳解】解∶A、3是不等式的解，但是不等式的解集不是3，故本選項錯誤，符合題意；B、3是不等式的解，說法正確，故本選項不符合題意；C、不等式的解集是，說法正確，故本選項不符合題意；D、是不等式的解集，說法正確，故本選項不符合題意．故選∶A．【點睛】本題考查了不等式的解及解集，注意區(qū)分不等式的解與解集是解題的關鍵．題型05不等式的解集【例題】（2023下·河南周口·八年級校聯(lián)考階段練習）將下列不等式化成“”或“”的形式：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用不等式的性質(zhì)求解即可；（2）利用不等式的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）解：兩邊同時減去，得，即；（2）解：兩邊同時加上2，得，兩邊同時乘，得．【點睛】本題考查不等式的性質(zhì)，解答關鍵是熟知不等式的基本性質(zhì)：不等式基本性質(zhì)1：不等式的兩邊同時加上(或減去)同一個數(shù)(或式子)，不等號的方向不變；不等式基本性質(zhì)2：不等式的兩邊同時乘(或除以)同一個正數(shù),不等號的方向不變；不等式基本性質(zhì)3：不等式的兩邊同時乘(或除以)同一個負數(shù)，不等號的方向變．【變式訓練】1．（2023下·全國·七年級專題練習）把下列各不等式化成“”或“”的形式．(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）不等式的兩邊都加上1即可；（2）不等式兩邊都減去即可；（3）不等式兩邊都乘以2即可；（4）不等式兩邊都除以即可．【詳解】（1）解：，，；（2），，；（3），，；（4），，．【點睛】此題考查了不等式的基本性質(zhì)，熟練掌握不等式的基本性質(zhì)是解題關鍵．2．（2023下·全國·七年級專題練習）將下列不等式化成“”或“”的形式：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）根據(jù)不等式的性質(zhì)進行運算，即可得答案；（2）根據(jù)不等式的性質(zhì)進行運算，即可得答案；（3）根據(jù)不等式的性質(zhì)進行運算，即可得答案；（4）根據(jù)不等式的性質(zhì)進行運算，即可得答案．【詳解】（1）兩邊同時減去得：，即；（2）兩邊同時加上2得：，兩邊同時乘得：；（3），兩邊同時除以得：；（4），兩邊同時減去得：，合并同類項得：，兩邊同時乘2得：．【點睛】本題考查了不等式的性質(zhì)，不等式兩邊同乘以（或除以）同一個數(shù)時，不僅要考慮這個數(shù)不等于0，而且必須先確定這個數(shù)是正數(shù)還是負數(shù)，如果是負數(shù)，不等號的方向必須改變．一、單選題1．（2023下·山東淄博·七年級統(tǒng)考期末）在下列數(shù)學表達式中，不等式的個數(shù)是（

）①；②；③；④；⑤．A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】C【分析】由不等號（，，，，）連接的式子叫不等式，據(jù)此進行判斷．【詳解】不等式有：①；②；④；⑤．所以共有4個故選擇：C．【點睛】本題考查來了不等式的定義，熟練掌握不等式的定義是解題的關鍵．2．（2021下·全國·八年級專題練習）下列說法中，正確的是（

）A．x＝3是不等式2x＞1的解 B．x＝3是不等式2x＞1的唯一解C．x＝3不是不等式2x＞1的解 D．x＝3是不等式2x＞1的解集【答案】A【分析】對A、B、C、D選項進行一一驗證，把已知解代入不等式看不等式兩邊是否成立．【詳解】解：A、當x＝3時，2×3＞1，成立，故A符合題意；B、當x＝3時，2×3＞1成立，但不是唯一解，例如x＝4也是不等式的解，故B不符合題意；C、當x＝3時，2×3＞1成立，是不等式的解，故C不符合題意；D、當x＝3時，2×3＞1成立，是不等式的解，但不是不等式的解集，其解集為：x＞，故D不符合題意；故選：A．【點睛】此題著重考查不等式中不等式的解、唯一解、解集概念之間的區(qū)別和聯(lián)系，是一道非常好的基礎題．3．（2023下·河北石家莊·七年級統(tǒng)考期末）下列表示的不等關系中，正確的是（

）A．不是負數(shù)，表示為 B．比3至少多1，表示為C．與1的和是非負數(shù)，表示為 D．不大于3，表示為【答案】B【分析】由不是負數(shù)即為正數(shù)或0可判斷A，由至少表示大于或等于可判斷B，由非負數(shù)表示正數(shù)或0可判斷C，由不大于即小于或等于可判斷D，從而可得答案．【詳解】解：不是負數(shù)，表示為，故A不符合題意；比3至少多1，表示為，表示正確，故B符合題意；與1的和是非負數(shù)，表示為，故C不符合題意；不大于3，表示為，故D不符合題意；故選：B．【點睛】本題考查的是根據(jù)語句的描述列不等式，理解語句的含義是解本題的關鍵．4．（2023上·浙江·八年級?？计谥校┫铝胁坏仁降淖冃握_的是（

）A．由，得 B．由，得C．由，得 D．由，得【答案】D【分析】本題主要考查了不等式的性質(zhì)，解題的關鍵是熟練掌握不等式的基本性質(zhì)，“不等式的性質(zhì)1：把不等式的兩邊都加(或減去)同一個整式，不等號的方向不變；不等式的性質(zhì)2：不等式兩邊都乘(或除以)同一個正數(shù)，不等號的方向不變；不等式的性質(zhì)3：不等式兩邊都乘(或除以)同一個負數(shù)，不等號的方向改變”．【詳解】解：A.當時，，，故選項錯誤，不符合題意；

B.當，，，故選項錯誤，不符合題意；C.當，由，得，故選項錯誤，不符合題意；

D.由，得，故選項正確，符合題意．故選：D．二、填空題5．（2023下·吉林長春·七年級統(tǒng)考期中）將“a與b的和是負數(shù)”用不等式表示為．【答案】【分析】a與b的和為負數(shù)即是小于0的數(shù)，據(jù)此列不等式．【詳解】解：由題意得，．故答案為：．【點睛】本題考查了由實際問題抽象出一元一次不等式，讀懂題意，抓住關鍵詞語，弄清運算的先后順序和不等關系，才能把文字語言的不等關系轉(zhuǎn)化為用數(shù)學符號表示的不等式．6．（2023下·七年級課時練習）根據(jù)不等式的基本性質(zhì)填空：（1）已知，則；（2）若，則．（填“”“”或“”）【答案】【解析】略7．（2023下·全國·八年級假期作業(yè)）有下列各數(shù)：0，，4，，，，．其中是不等式的解；是不等式的解．【答案】6.0，4，，，【解析】略8．（2021上·江西景德鎮(zhèn)·七年級景德鎮(zhèn)一中校考期中）以下說法正確的是：.①由，得；②由，得③由，得；④由，得⑤和互為相反數(shù)；⑥是不等式的解【答案】②③④【分析】根據(jù)不等式的基本性質(zhì)得出結論即可．【詳解】解：①由，當時，得，故結論①錯誤；②由，得，故結論②正確；③由，得；故結論③正確；④由，得；故結論④正確；⑤和互為相反數(shù)，當為奇數(shù)時，，故結論⑤錯誤；⑥是不等式的解，故結論⑥錯誤；故正確的結論為：②③④．【點睛】本題考查了不等式的基本性質(zhì)，熟知不等式的基本性質(zhì)是解本題的關鍵．三、解答題9．（2023下·全國·七年級假期作業(yè)）下列各式哪些是不等式2(2x+1)＞25的解？哪些不是？(1)x=1．(2)x=3．(3)x=10．(4)x=12．【答案】(1)不是(2)不是(3)是(4)是【分析】把未知數(shù)的值代入計算，比較后，判斷即可【詳解】（1）把x=1代入不等式2(2x+1)＞25，因為：左邊=2×(2×1+1)=6＜25，所以x=1不是不等式2(2x+1)＞25的解．（2）把x=3代入不等式2(2x+1)＞25，因為：左邊=2×(2×3+1)=14＜25，所以x=3不是不等式2(2x+1)＞25的解．（3）把x=10代入不等式2(2x+1)＞25，因為：左邊=2×(2×10+1)=42＞25，所以x=10是不等式2(2x+1)＞25的解．（4）把x=12代入不等式2(2x+1)＞25，因為：左邊=2×(2×12+1)=50＞25，所以x=12是不等式2(2x+1)＞25的解．【點睛】本題考查了不等式的解即使不等式左右兩邊成立的未知數(shù)的值，正確理解不等式的解是解題的關鍵．10．（2021下·湖北十堰·七年級統(tǒng)考期中）運用不等式的性質(zhì)，將下列不等式化為x＞a或x＜a的形式．（1）x-1＜5

（2）x＜3x-12【答案】（1）x＜12；（2）x＞6．【分析】（1）根據(jù)不等式的性質(zhì)1和不等式的性質(zhì)2即可求解；（2）根據(jù)不等式的性質(zhì)1和不等式的性質(zhì)3即可求解．【詳解】解：（1）（2）【點睛】主要考查了不等式的基本性質(zhì)：（1）不等式兩邊加（或減）同一個數(shù)（或式子），不等號的方向不變；（2）不等式兩邊乘（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變；（3）不等式兩邊乘（或除以）同一個負數(shù)，不等號的方向改變．11．（2023下·江蘇·七年級專題練習）用適當?shù)姆柋硎鞠铝嘘P系：(1)x的與x的2倍的和是非正數(shù)；(2)一枚炮彈的殺傷半徑不小于300米；(3)三件上衣與四條長褲的總價錢不高于268元；(4)明天下雨的可能性不小于；(5)小明的體重不比小剛輕．【答案】(1)(2)設炮彈的殺傷半徑為r，則應有(3)設每件上衣為a元，每條長褲是b元，應有(4)用P表示明天下雨的可能性，則有(5)設小明的體重為a千克，小剛的體重為b千克，則應有【分析】（1）非正數(shù)用“”表示；（2）、（4）不小于就是大于等于，用“≥”來表示；（3）不高于就是等于或低于，用“≤”表示；（5）不比小剛輕，就是與小剛一樣重或者比小剛重．用“≥”表示．【詳解】（1）；（2）設炮彈的殺傷半徑為r，則應有；（3）設每件上衣為a元，每條長褲是b元，應有；（4）用P表示明天下雨的可能性，則有；（5）設小明的體重為a千克，小剛的體重為b千克，則應有．【點睛】本題考查了不等式的定義．一般地，用不等號表示不相等關系的式子叫做不等式．解答此類題關鍵是要識別常見不等號：＞，＜，≤，≥，≠．12．（2023下·全國·八年級假期作業(yè)）說出下列不等式的變形依據(jù)．(1)若，則；(2)若，則；(3)若，則．【答案】(1)根據(jù)不等式的性質(zhì)，不等式的兩邊同時減去(2)根據(jù)不等式的性質(zhì)，不等