八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 講義(北師大版)第三章第04講 難點(diǎn)探究專題:旋轉(zhuǎn)中的常見類型(5類熱點(diǎn)題型講練)(解析版)_第1頁
八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 講義(北師大版)第三章第04講 難點(diǎn)探究專題:旋轉(zhuǎn)中的常見類型(5類熱點(diǎn)題型講練)(解析版)_第2頁
八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 講義(北師大版)第三章第04講 難點(diǎn)探究專題:旋轉(zhuǎn)中的常見類型(5類熱點(diǎn)題型講練)(解析版)_第3頁
八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 講義(北師大版)第三章第04講 難點(diǎn)探究專題:旋轉(zhuǎn)中的常見類型(5類熱點(diǎn)題型講練)(解析版)_第4頁
八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 講義(北師大版)第三章第04講 難點(diǎn)探究專題:旋轉(zhuǎn)中的常見類型(5類熱點(diǎn)題型講練)(解析版)_第5頁
已閱讀5頁,還剩44頁未讀, 繼續(xù)免費(fèi)閱讀

下載本文檔

版權(quán)說明:本文檔由用戶提供并上傳,收益歸屬內(nèi)容提供方,若內(nèi)容存在侵權(quán),請(qǐng)進(jìn)行舉報(bào)或認(rèn)領(lǐng)

文檔簡(jiǎn)介

第04講難點(diǎn)探究專題:旋轉(zhuǎn)中的常見類型(5類熱點(diǎn)題型講練)目錄TOC\o"1-3"\h\u【類型一線段繞某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)綜合問題】 1【類型二直角三角形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)綜合問題】 14【類型三等腰直角三角形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)綜合問題】 22【類型四等邊三角形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)綜合問題】 37【類型一線段繞某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)綜合問題】例題:(23-24九年級(jí)上·貴州遵義·階段練習(xí))如圖,在等腰直角中,,D為邊上一點(diǎn),連接,將繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到,連接.(1)求證:.(2)若,求四邊形的面積.【答案】(1)見解析(2)8【分析】本題考查旋轉(zhuǎn)性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì),熟練掌握全等三角形的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵.(1)證明,利用全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等即可求解;(2)根據(jù)全等三角形的面積相等,將所求面積轉(zhuǎn)化為等腰直角的面積,進(jìn)而利用直角三角形的面積公式求解即可.【詳解】(1)證明:由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得,,又,∴,在和中,∴,∴;(2)解:∵,∴,∴,∵,∴四邊形的面積為.【變式訓(xùn)練】1.(23-24九年級(jí)上·吉林·期末)如圖,等邊三角形內(nèi)一點(diǎn)D,將線段繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),得到線段,連接.(1)請(qǐng)判斷的形狀__________,并寫出判斷的依據(jù)__________;(2)若,求的度數(shù).【答案】(1)等邊三角形;有一個(gè)角是60度的等腰三角形是等邊三角形(2)【分析】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì),全等三角形的判定和性質(zhì):(1)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得,結(jié)合旋轉(zhuǎn)角為60度,可證是等邊三角形;(2)先證,推出,再根據(jù)是等邊三角形,得出,即可求出的度數(shù).【詳解】(1)解:將線段繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),得到線段,,,是等邊三角形(有一個(gè)角是60度的等腰三角形是等邊三角形),故答案為:等邊三角形;有一個(gè)角是60度的等腰三角形是等邊三角形;(2)解:是等邊三角形,,,由(1)知,,,在和中,,,,是等邊三角形,,.2.(23-24八年級(jí)上·四川成都·期末)(1)【問題】如下圖,中,,,D為邊上一點(diǎn)(不與點(diǎn)B,C重合),將線段繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到,連接,,則線段,之間滿足的數(shù)量關(guān)系式為______;直線,相交所夾的銳角的度數(shù)為______;(2)【探索】如圖2,中,,,D為外一點(diǎn),將線段繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到,連接,,延長(zhǎng),交于點(diǎn)F.試問:(1)中的結(jié)論是否成立?若成立,請(qǐng)證明,若不成立,請(qǐng)說明理由;(3)【應(yīng)用】在(2)的條件下,,.求四邊形的面積.【答案】(1),;(2)成立,證明見解析;(3)【分析】本題考查了勾股定理、含30度角的直角三角形的性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識(shí),通過作輔助線,構(gòu)造直角三角形是解題關(guān)鍵.(1)先證出,再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求解即可得;(2)先證出,再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得,,然后根據(jù)三角形的外角性質(zhì)求解即可得;(3)先求出,過點(diǎn)作于點(diǎn),過點(diǎn)作于點(diǎn),利用勾股定理和含30度角的直角三角形的性質(zhì)求解即可得.【詳解】解:(1)∵在中,,,,,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得:,,,在和中,,,,,∴直線,相交所夾的銳角的度數(shù)為,故答案為:,;(2)(1)中的結(jié)論成立,證明如下:同理可得:,在和中,,,,,又,,解得,即直線,相交所夾的銳角的度數(shù)為;(3),∴,如圖,過點(diǎn)作于點(diǎn),過點(diǎn)作于點(diǎn),,,,,,,,,在中,,即,解得(負(fù)值已舍),則,所以四邊形的面積為.3.(23-24八年級(jí)上·河南安陽·期末)實(shí)踐與探究點(diǎn)和線是最基本的圖形,點(diǎn)、線運(yùn)動(dòng)帶來的動(dòng)態(tài)幾何問題是常見的熱點(diǎn)題型之一.解這類題目要“以靜制動(dòng)”,把動(dòng)態(tài)問題變?yōu)殪o態(tài)問題來解.一般方法是抓住變化中的“不變量”,以不變應(yīng)萬變.為了培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維與探究能力,在數(shù)學(xué)實(shí)踐與探究課上,王老師讓同學(xué)們以“圖形的運(yùn)動(dòng)”為主題開展數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng).在中,,,點(diǎn)D是直線上的一點(diǎn),連接,將線段繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),得到線段,連接.(1)操作發(fā)現(xiàn)①當(dāng)點(diǎn)D在線段上時(shí),如圖1.請(qǐng)你直接寫出與的位置關(guān)系______;②請(qǐng)寫出線段、、的數(shù)量關(guān)系,并進(jìn)行證明.(2)猜想論證當(dāng)點(diǎn)D在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí),如圖2,點(diǎn)D在射線上.請(qǐng)寫出線段、、的數(shù)量關(guān)系______;(3)拓展延伸如圖3,點(diǎn)D在射線上.若,,請(qǐng)求出的面積.【答案】(1)①;②,見解析(2)(3)2【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)等知識(shí),正確找出全等三角形是解題關(guān)鍵.(1)①先求出,再證出,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得,由此即可得;②根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得,由此即可得;(2)先證出,再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得,由此即可得;(3)連接,先求出,再證出,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得,然后證出,利用三角形的面積公式求解即可得.【詳解】(1)解:①∵在中,,,,,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得:,,,在和中,,,,,,故答案為:;②,證明如下:,,,.(2)解:由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得:,,即,在和中,,,,,,故答案為:.(3)解:如圖,連接,∵,,,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得:,,即,在和中,,,,,,即,則的面積為.4.(23-24八年級(jí)上·福建泉州·期末)在中,,,D在邊上運(yùn)動(dòng)(點(diǎn)D不與B,C重合),連接,把線段繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到,連接,交于點(diǎn)F.(1)如圖1,求證:;(2)如圖1,當(dāng)時(shí),請(qǐng)用等式表示線段,,三者之間的數(shù)量關(guān)系,并加以證明;(3)如圖2,若,G為中點(diǎn),連接,四邊形的面積是否會(huì)改變?若會(huì)改變請(qǐng)說明理由,若不會(huì)改變,請(qǐng)求出它的面積.【答案】(1)見解析(2),證明見解析(3)不變,面積是16【分析】(1)根據(jù)即可證明;(2)先證明,根據(jù)證明,由全等三角形的性質(zhì)得出,則可得出結(jié)論;(3)先求出,根據(jù)證明得,可證,從而,進(jìn)而可求出四邊形的面積.【詳解】(1)∵繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)得到,∴為等腰直角三角形,∴,∵在中,,,∴,∵,∴,∴.(2),理由如下:由(1)得,當(dāng)時(shí),∴∴,∴,由(1)得,,∴,∴,∵,∴.(3)四邊形的面積不變,理由如下:連接、,∵在中,,,G為中點(diǎn),,∴,,∴,∵,∴,∵,,∴,∴,∴,∴,∴,∴.【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì),三角形外角的性質(zhì),等腰直角三角形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識(shí),解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題.5.(23-24八年級(jí)上·重慶大渡口·期末)在中,,以為斜邊作,,再將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到,連接分別交,于點(diǎn),點(diǎn).(1)如圖1,在右側(cè),,,求的面積;(2)如圖2,在右側(cè),點(diǎn)是的中點(diǎn),求證:;(3)如圖3,在左側(cè),的延長(zhǎng)線過的中點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)在的中垂線上時(shí),交于點(diǎn),直接寫出的值.【答案】(1)(2)詳見解析(3)【分析】(1)本題過點(diǎn)作,由題知,為等腰直角三角形,得出,利用30度所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半,得出,利用勾股定理算出,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知,為等腰直角三角形,得出,,為等腰直角三角形,設(shè),則,由勾股定理可知,根據(jù)建立方程,求出,最后利用即可求解.(2)本題過點(diǎn)作交于點(diǎn),連接,由題意得出為等腰直角三角形,為等腰直角三角形,為等腰直角三角形,得到,由勾股定理推出,證明,推出,,證明,推出,再根據(jù)即可解題.(3)連接,作,,證明,為的角平分線,推出,設(shè),利用等腰三角形直角三角形兩腰相等和勾股定理表示出,,,,在利用,即可解題.【詳解】(1)解:過點(diǎn)作,如圖所示:,由題知,為等腰直角三角形,,,在中,,,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知,為等腰直角三角形,,,,,為等腰直角三角形,設(shè),則,由勾股定理可知,,,解得,,.(2)證明:過點(diǎn)作交于點(diǎn),連接,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知,為等腰直角三角形,,,,為等腰直角三角形,由題知,為等腰直角三角形,,,,由勾股定理可知,在與中,,,,點(diǎn)是的中點(diǎn),,在與中,,,.(3)解:,理由如下:連接,作,,如圖所示:由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知,為等腰直角三角形,,,,,,為等腰直角三角形,點(diǎn)在的中垂線上,,,由題知,為等腰直角三角形,又點(diǎn)是的中點(diǎn),,即,,為等腰直角三角形,,,在與中,,,,為的角平分線,,設(shè),,,,,,,又,,,.【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、30度所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半、全等三角形的性質(zhì)和判定、勾股定理、角平分線的性質(zhì)和判定、中垂線性質(zhì),解題的關(guān)鍵在于作輔助線構(gòu)造全等三角形,再結(jié)合相關(guān)性質(zhì)定理即可解題.【類型二直角三角形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)綜合問題】例題:(23-24九年級(jí)上·江西上饒·期末)如圖,在中,,,將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到,交于點(diǎn).若,求:(1)的長(zhǎng);(2)的面積.【答案】(1)(2)【分析】(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得到,,再求出,即可得到,根據(jù)勾股定理即可求出;(2)根據(jù),得到,根據(jù)三角形面積公式即可求解.【詳解】(1)解:∵將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到,∴,,∵,,∴,∴,∴,∵,∴,∴;(2)解:∵,∴,∴.【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),勾股定理,含角直角三角形性質(zhì),等腰三角形判定等知識(shí),熟知相關(guān)定理,正確解直角三角形是解題關(guān)鍵.【變式訓(xùn)練】1.(22-23九年級(jí)上·新疆烏魯木齊·期末)如圖,在中,,,將繞點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)度后,得到,點(diǎn)剛好落在邊上.(1)求的值;(2)若,求的長(zhǎng)度.【答案】(1)(2)【分析】(1)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),證明是等邊三角形,即可求得旋轉(zhuǎn)角的度數(shù);(2)易得是含角的直角三角形,則可求得,根據(jù),求出,再根據(jù)旋轉(zhuǎn),在直角三角形中求出;【詳解】(1)解:將繞點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)度后得到,在中,,是等邊三角形,(2),,,將繞點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到,,;【點(diǎn)睛】此題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、含角的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí),解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題,屬于中考??碱}型.2.(22-23九年級(jí)上·四川德陽·期中)如圖,在中,,將繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到,與交于點(diǎn)O,點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E,點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D落在線段上,連接.(1)求證:平分;(2)試判斷與的位置關(guān)系,并說明理由;(3)若,,求的面積.【答案】(1)證明見解析(2)BE⊥AB,理由見解析(3)【分析】(1)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到,,因此,得到,即可證明平分;(2)由余角的性質(zhì)推出,由等腰三角形的性質(zhì)得到,由直角三角形的性質(zhì),即可證明;(3)作于,由三角形內(nèi)角和定理,得到,得到,是等腰直角三角形,由勾股定理即可求解.【詳解】(1)證明:繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到,,,,,平分;(2)解:,理由如下:,,,,,,,;(3)解:作于,,,,,是等腰直角三角形,是等腰直角三角形,,,,的面積.【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),等腰直角三角形的性質(zhì),勾股定理,三角形內(nèi)角和定理,求三角形面積等知識(shí),關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).3.(23-24九年級(jí)上·浙江臺(tái)州·期末)如圖,在中,,將繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到,旋轉(zhuǎn)角為,,分別交于點(diǎn)F,G,連接.

(1)求證:;(2)若,,.①求的長(zhǎng);②連接,,,求四邊形的面積.【答案】(1)見解析(2)①;②5【分析】(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理可證得結(jié)論;(2)①利用平行線的性質(zhì)和含30度角的直角三角形的性質(zhì)求得,再根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得到,然后利用勾股定理求解即可;②過E作交延長(zhǎng)線于M,利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)求得,根據(jù)勾股定理求得,,由求解即可.【詳解】(1)證明:由旋轉(zhuǎn)性質(zhì),得,,∵,,,∴,即;(2)解:①由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得,,,∵,,∴,,∴,∴;②如圖,過E作交延長(zhǎng)線于M,

則,,∴,∴,,∵,∴.【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、含30度角的直角三角形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理、勾股定理等知識(shí),熟練掌握相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系與運(yùn)用是解答的關(guān)鍵.4.(23-24九年級(jí)上·安徽淮北·期末)如圖1,把兩個(gè)完全相同且有一個(gè)角為的直角三角板重合在一起,將固定,將繞直角頂點(diǎn)C順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn).

(1)如圖2,當(dāng)B,D,E三點(diǎn)在同一條直線上時(shí),求旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù);(2)在(1)的條件下,連接,請(qǐng)判斷和的面積的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.【答案】(1)(2),理由見詳解【分析】本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊對(duì)等角以及全等三角形的判定和性質(zhì),(1)由題意得,由旋轉(zhuǎn)得,可得.即可求得旋轉(zhuǎn)角;(2)過點(diǎn)D作于點(diǎn)M,延長(zhǎng)交于點(diǎn)N,由旋轉(zhuǎn)得和.進(jìn)一步求得和,可證,則有,結(jié)合面積公式即可求得相等.【詳解】(1)解:由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得,.∴.∵點(diǎn)B,D,E在同一條直線上,∴,∴旋轉(zhuǎn)角.(2).理由:過點(diǎn)D作于點(diǎn)M,延長(zhǎng)交于點(diǎn)N,如圖,

∵是由繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)得到,∴,.由(1)可得,∴,.∵,∴,∴,∴.在和中,,∴,∴.∵,,,∴.5.(23-24九年級(jí)上·天津河北·期末)在平面直角坐標(biāo)系中,O為原點(diǎn),點(diǎn),,把繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn),得,點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為,記旋轉(zhuǎn)角為.

(1)如圖①,當(dāng)時(shí),求的長(zhǎng);(2)如圖②,當(dāng)時(shí),求點(diǎn)的坐標(biāo);(3)K為線段上一點(diǎn),且,S為的面積,求的取值范圍(直接寫出結(jié)果即可).【答案】(1)(2)(3)【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及勾股定理,熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵,解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題,屬于中考?jí)狠S題.(1)根據(jù)勾股定理得,由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得.繼而得出;(2)作軸,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得:,在中,由得的長(zhǎng),繼而得出答案;(3)如圖中,當(dāng)點(diǎn)在上時(shí),的面積最小,當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí),的面積最大,求出面積的最小值以及最大值即可解決問題.【詳解】(1)∵點(diǎn),點(diǎn),∴.在中,由勾股定理得:.根據(jù)題意,繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得:,,∴;(2)如圖②,過作軸于D,則,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得:,在中,由.∴,由勾股定理得:,∴,∴點(diǎn)的坐標(biāo)為;(3)∵的值不變,∴當(dāng)點(diǎn)K到的距離最小時(shí)的面積最小,當(dāng)點(diǎn)K到的距離最大時(shí)的面積最大.當(dāng)點(diǎn)在上時(shí),的面積最小,如圖③所示,

∵,∴,此時(shí),,∴最小面積;當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí),的面積最大,如圖④所示:

此時(shí),,∴最大面積;綜上所述,.【類型三等腰直角三角形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)綜合問題】例題:(23-24八年級(jí)上·海南儋州·期末)如圖1,把兩個(gè)大小不同的等腰直角三角形,如圖所示擺放,使得點(diǎn)D、A、B在同一直線上,連結(jié),.

(1)求證:;(2)如圖2,將繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)某個(gè)角度后,使得點(diǎn)B、C、E在同一直線上,與交于點(diǎn)O.①求證:;②求證:;③連結(jié),如圖3,若,求的面積.【答案】(1)見解析(2)①見解析;②見解析;③1【分析】(1)利用等腰三角形的性質(zhì)證明即可;(2)①先證明,即可證明,②如圖,由可得,再結(jié)合角的和差運(yùn)算可得結(jié)論;③證明,求解如圖,過點(diǎn)A作于點(diǎn)F,求解,,再利用割補(bǔ)法求解面積即可.【詳解】(1)證明:∵和是等腰直角三角形∴,,在和中,∴;(2)①∵,∴即在和中,∴,②如圖,

∵是等腰直角三角形,∴,又∵∴,∴,∴③∵,∴又∵,∴又∵,∴如圖,過點(diǎn)A作于點(diǎn)F,

又∵是等腰直角三角形∴,∴∴在中,∴∴【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì),旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),勾股定理的應(yīng)用,等腰三角形的性質(zhì),二次根式的乘法運(yùn)算,作出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵.【變式訓(xùn)練】1.(23-24九年級(jí)上·湖北省直轄縣級(jí)單位·期中)把兩個(gè)等腰直角三角形和按圖1所示的位置擺放,將繞點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn),如圖2,連接,,設(shè)旋轉(zhuǎn)角為.

(1)如圖1,與的數(shù)量關(guān)系是______,與的位置關(guān)系是______;(2)如圖2,(1)中與的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系是否仍然成立,若成立,請(qǐng)證明;若不成立,請(qǐng)說明理由;(3)當(dāng)旋轉(zhuǎn)角______填度數(shù)時(shí),的面積最大.【答案】(1),且,理由見解析(2)成立,理由見解析(3)或【分析】(1)由,,則,可得答案;(2)利用證明,得,作的延長(zhǎng)線交于點(diǎn),交于點(diǎn),由全等知,又,則,從而證明;(3)點(diǎn)的軌跡是以為圓心為半徑的圓,在中,當(dāng)為底時(shí),點(diǎn)到的距離最大時(shí),的面積最大,從而得出答案.【詳解】(1)解:結(jié)論:,且,理由如下:,,,;,點(diǎn),分別在,上,;故答案為:;;(2)解:成立,理由:根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得:,,,,,作的延長(zhǎng)線交于點(diǎn),交于點(diǎn),

,,,,;(3)解:由題意知,點(diǎn)的軌跡是以為圓心為半徑的圓,在中,當(dāng)為底時(shí),點(diǎn)到的距離最大時(shí),的面積最大,

當(dāng)時(shí),的面積最大,旋轉(zhuǎn)角為或,故答案為:或.【點(diǎn)睛】本題是幾何變換綜合題,主要考查了等腰直角三角形的判定與性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),三角形的內(nèi)角和定理,旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識(shí),證明是解題的關(guān)鍵.2.(23-24九年級(jí)上·山東日照·期末)如圖,在中,,,,分別為,的中點(diǎn),將繞點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到(如圖),使直線恰好過點(diǎn),連接.(1)判斷與的位置關(guān)系,并說明理由;(2)求的長(zhǎng);(3)若將繞點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一周,當(dāng)直線過的一個(gè)頂點(diǎn)時(shí),請(qǐng)直接寫出長(zhǎng)的其它所有值.【答案】(1),理由見解析;(2)的長(zhǎng)為;(3)的長(zhǎng)為或.【分析】此題考查了等腰直角三角形的性質(zhì),全等三角形的性質(zhì)與判定,勾股定理,旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和解一元二次方程,解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用.()由,得,證明,,再利用角度和差即可求解;()由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知,的中點(diǎn),再通過勾股定理得,,設(shè),列出,然后求解即可;()分當(dāng)直線恰好過點(diǎn)時(shí)當(dāng)直線恰好過點(diǎn)時(shí)幾種情況討論即可.【詳解】(1),理由,∵,∴,∵,,∴,,∴,∵恰好過點(diǎn),∴,∴,∴;(2)∵,,∴在中,由勾股定理得,由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知,的中點(diǎn),∴同上可得,,由(),,∴,設(shè),在中,由勾股定理得,,整理得:,解得:,(舍去),∴;(3)當(dāng)直線恰好過點(diǎn)時(shí),如圖,由()得:,當(dāng)直線恰好過點(diǎn)時(shí),如圖,同()理,,如圖,同()理,,∴,設(shè),∴,∵,∴,∴,在中,由勾股定理得,,解得:,(舍去),∴,綜上的長(zhǎng)為或.3.(23-24八年級(jí)上·山西呂梁·期中)綜合與實(shí)踐將一塊含角的大直角三角板和一塊含角的小直角三角板按如圖1所示的方式擺放.如圖2,將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),連結(jié).

(1)求證:.(2)在旋轉(zhuǎn)的過程中,如圖3,當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí),設(shè)與交于點(diǎn).①試判斷的形狀,并說明理由;②若是的中點(diǎn),請(qǐng)直接寫出和的面積關(guān)系.【答案】(1)見解析(2)①直角三角形,理由見解析;②相等【分析】該題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì),旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)“旋轉(zhuǎn)前后對(duì)應(yīng)角相等,對(duì)應(yīng)邊相等,旋轉(zhuǎn)角相等”,全等三角形的判定和性質(zhì),解題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的常用方法“”;(1)根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可證明;(2)①等腰直角三角形可得,再根據(jù)三點(diǎn)共線,可得,再根據(jù)得出,即可求解.②根據(jù)是的中點(diǎn),可得,再根據(jù),可得,由即可解答;【詳解】(1)證明:和都是等腰直角三角形,.由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),得.在與中,,.(2)解:①是直角三角形.理由:根據(jù)題意,得.三點(diǎn)共線,.由(1),得..是直角三角形.②是的中點(diǎn),又由(1)知,,和的面積相等.4.(23-24七年級(jí)上·河南駐馬店·期末)如圖1,將三角板與三角板擺放在一起;如圖2,其中,,.固定三角板,將三角板繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn),記旋轉(zhuǎn)角().(1)當(dāng)為_________度時(shí),,并在圖3中畫出相應(yīng)的圖形;(2)在旋轉(zhuǎn)過程中,試探究與之間的關(guān)系;(3)當(dāng)旋轉(zhuǎn)速度為秒時(shí).且它的一邊與平行(不共線)時(shí),直接寫出時(shí)間t的所有值.【答案】(1)15,圖見解析(2)當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),(3)或21或30【分析】(1)根據(jù)得出,根據(jù)即可求解;(2)設(shè),,在旋轉(zhuǎn)過程中,分當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),當(dāng)9時(shí),三種情況根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求解;(3)分①當(dāng),②當(dāng),③當(dāng)時(shí),分別畫出圖形即可求解.【詳解】(1)當(dāng)時(shí),,如圖:故答案為;(2)設(shè):,,①如圖,當(dāng)時(shí),,,故,即;②當(dāng)時(shí),,即③當(dāng)時(shí),,,即,即;(3)①當(dāng)時(shí),由(1)可知,∴,∴;②當(dāng)時(shí),則,∴,∴,∴∴;③當(dāng)時(shí),則,∴,∴;綜上,或或或或.【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),三角尺中角度的計(jì)算,解答此題的關(guān)鍵是通過畫圖,確定旋轉(zhuǎn)后△ADE的位置,還注意分類求解,避免遺漏.5.(23-24九年級(jí)上·河南洛陽·階段練習(xí))一副三角板如圖1擺放,,,,點(diǎn)F在上,點(diǎn)A在上,且平分,現(xiàn)將三角板繞點(diǎn)F以每秒的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)(當(dāng)點(diǎn)落在射線上時(shí)停止旋轉(zhuǎn)),設(shè)旋轉(zhuǎn)時(shí)間為t秒.(1)當(dāng)秒時(shí),;(2)在旋轉(zhuǎn)過程中,與的交點(diǎn)記為P,如圖2,若有兩個(gè)內(nèi)角相等,求t的值;(3)當(dāng)邊與邊、分別交于點(diǎn)M、N時(shí),如圖3,連接,設(shè),,,試問是否為定值?若是,請(qǐng)直接寫出答案;若不是,請(qǐng)說明理由.【答案】(1)3(2)為6或15或24(3)是定值,,理由見解析【分析】(1)由平行求出旋轉(zhuǎn)角,結(jié)合旋轉(zhuǎn)速度求出旋轉(zhuǎn)時(shí)間;(2)畫出圖形,分類討論,①;②;③,求出旋轉(zhuǎn)角,再求出值;(3)找出與,,,有關(guān)的數(shù)量關(guān)系,再把無關(guān)的角消去,得出結(jié)論.【詳解】(1)∵,,,∴,,如圖,當(dāng)時(shí),,平分,,,又為的一個(gè)外角,,;故答案為:3;(2)①如圖,當(dāng)時(shí),

,,;②如圖,當(dāng)時(shí),

,,,;③如圖,當(dāng)時(shí),

,,綜上所述:當(dāng)為6或15或24時(shí),有兩個(gè)內(nèi)角相等;(3)是為定值105,理由如下:是的一個(gè)外角,是的一個(gè)外角,,,又,,,,.【點(diǎn)睛】本題以求三角形旋轉(zhuǎn)時(shí)間為背景,考查了學(xué)生對(duì)圖形的旋轉(zhuǎn)變換、平行的性質(zhì)、垂直的性質(zhì)和求等腰三角形內(nèi)角的掌握情況,第(2)問分情況討論是解決問題的關(guān)鍵,第(3)問找到三個(gè)角之間的關(guān)系是關(guān)鍵.6.(2024·遼寧沈陽·模擬預(yù)測(cè))數(shù)學(xué)活動(dòng)課上,老師出示兩個(gè)大小不一樣的等腰直角和擺在一起,其中直角頂點(diǎn)重合,,,.(1)用數(shù)學(xué)的眼光觀察.如圖1,連接,,判斷與的數(shù)量關(guān)系,并說明理由;(2)用數(shù)學(xué)的思維思考.如圖2,連接,,若是中點(diǎn),判斷與的數(shù)量關(guān)系,并說明理由;(3)用數(shù)學(xué)的語言表達(dá).如圖3,延長(zhǎng)至點(diǎn),滿足,然后連接,,當(dāng),,繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到,,三點(diǎn)共線時(shí),求線段的長(zhǎng).【答案】(1),理由見解析(2),理由見解析(3)或【分析】(1)用證明,即可求解;(2)證明、,即可求解;(3)①如圖所示,過點(diǎn)作于,求出,,得到,即可求解;②如圖所示,過點(diǎn)作于,同理可解.【詳解】(1)解:,理由:,,,,則;(2)解:,理由:點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn),,,是中點(diǎn),則,,,,,,,,,,則;(3)解:旋轉(zhuǎn)得到,,三點(diǎn)共線,①如圖所示,過點(diǎn)作于,是等腰三角形,,,,,在中,,,,即旋轉(zhuǎn)得到,,三點(diǎn)共線時(shí),;②如圖所示,過點(diǎn)作于,同理,,即旋轉(zhuǎn)得到,,三點(diǎn)共線時(shí),,綜上所述,線段的長(zhǎng)為:或.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形的全等的判定和性質(zhì),理解圖示中旋轉(zhuǎn)的規(guī)律,掌握三角形全等的判定和性質(zhì),直角三角形中勾股定理的運(yùn)算是解題的關(guān)鍵.【類型四等邊三角形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)綜合問題】例題:(23-24九年級(jí)上·廣東深圳·期中)【問題背景】:如圖1,在等邊中,點(diǎn)D是等邊內(nèi)一點(diǎn),連結(jié),,將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到,連結(jié),觀察發(fā)現(xiàn):與的數(shù)量關(guān)系為,度;【嘗試應(yīng)用】:如圖2,在等腰中,,,點(diǎn)D是內(nèi)一點(diǎn),連結(jié),,,,,,求面積.【拓展創(chuàng)新】:如圖3,在等腰中,,,點(diǎn)D為平面內(nèi)一點(diǎn),且,,則的值為.

【答案】【問題背景】:,60;【嘗試應(yīng)用】:;【拓展創(chuàng)新】:或;【分析】問題背景:是等邊三角形,根據(jù)有一個(gè)角是的等腰三角形是等邊三角形判斷再用等邊三角形的性質(zhì)即可得出;嘗試應(yīng)用:如圖,將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到,連接,證明,推出,再證明C,D,T共線,可得結(jié)論;

拓展創(chuàng)新:分兩種情形:當(dāng)點(diǎn)D在的上方時(shí),將線段繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到,連接,設(shè),則.再求出,,可得結(jié)論;當(dāng)點(diǎn)D在的下方時(shí),將線段繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到,連接,設(shè),則,過點(diǎn)D作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H.再求出,,可得結(jié)論.【詳解】問題背景:由題意可知,是等邊三角形,,;故答案為:,;嘗試應(yīng)用:如圖,將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到,連接.

,,共線,.拓展創(chuàng)新:①當(dāng)點(diǎn)D在的上方時(shí),將線段繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到,連接,,,設(shè),則.

,,,,過點(diǎn)B作于點(diǎn)H,則,,,,,.②當(dāng)點(diǎn)D在的下方時(shí),將線段繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到,連接,設(shè)則過點(diǎn)D作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H.

同法可證,,,綜上所述,的值為或故答案為:或【點(diǎn)睛】本題屬于三角形綜合題,考查了旋轉(zhuǎn)變換,全等三角形的判定和性質(zhì),解直角三角形知識(shí),解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線,構(gòu)造全等三角形解決問題,學(xué)會(huì)利用參數(shù)解決問題,屬于中考?jí)狠S題.【變式訓(xùn)練】1.(23-24九年級(jí)上·福建廈門·期中)如圖,、均為等邊三角形,,.將繞點(diǎn)A沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn),連接、.(1)在圖①中證明;(2)如圖②,當(dāng)時(shí),連接,求的面積;(3)在的旋轉(zhuǎn)過程中,直接寫出的面積S的取值范圍.【答案】(1)證明見詳解(2)(3)【分析】(1)根據(jù)和為等邊三角形得到對(duì)應(yīng)邊和角相等,再利用角度的變化即可求證全等;(2)利用得,過點(diǎn)A作交與點(diǎn)H,過點(diǎn)D作交與點(diǎn)G,再利用含的直角三角形解得的值,結(jié)合面積公式即可求得;(3)利用第二問結(jié)論,分析出的面積最大時(shí)與在同一條直線上,且點(diǎn)D在外部,的面積最小時(shí)與在同一條直線上,且點(diǎn)D在內(nèi)部,根據(jù)三角形面積公式即可求得答案.【詳解】(1)證明:∵、均為等邊三角形,∴,∵∴,在和中,∴.(2)連接,同理有成立,得,∵,∴,過點(diǎn)A作交與點(diǎn)H,過點(diǎn)D作交與點(diǎn)G,如圖,∵為等邊三角形,∴,,∴,在中,在中,,∴,則.(3)過點(diǎn)A作交于點(diǎn)H,當(dāng)與在同一條直線上,且點(diǎn)D在外部時(shí)的面積最大,如圖,

∵,,∴,則;當(dāng)AD與AH在同一條直線上,且點(diǎn)D在內(nèi)部時(shí)的面積最小,如圖,

則,那么,的面積S的取值范圍:.【點(diǎn)睛】本題主要考查幾何圖形的變化,利用等邊三角形的性質(zhì)、勾股定理和含的直角三角形性質(zhì)判定三角形的全等、求三角形面積的知識(shí)點(diǎn),解題的關(guān)鍵為作輔助線求面積.2.(20-21九年級(jí)上·河南周口·期中)如圖,和都是等邊三角形,直線,交于點(diǎn)F.(1)如圖1,當(dāng)A,C,D三點(diǎn)在同一直線上時(shí),的度數(shù)為______,線段與的數(shù)量關(guān)系為______.(2)如圖2,當(dāng)繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí),(1)中的結(jié)論是否還成立?若不成立,請(qǐng)說明理由:若成立,請(qǐng)就圖2給予證明.(3)若,,當(dāng)繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周時(shí),請(qǐng)直接寫出長(zhǎng)的取值范圍.【答案】(1),;(2)成立,理由見解析(3)【分析】本題考查了等邊三角形性質(zhì)的運(yùn)用,全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用,以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),解答時(shí)證明三角形全等是關(guān)鍵.(1)利用等邊三角形的性質(zhì)證明,結(jié)合三角形的外角就可以得出結(jié)論;(2)同(1)中方法證明,得出,,再根據(jù)三角形的內(nèi)角和得出;(3)當(dāng)B、C、D三點(diǎn)共線時(shí)得出的最大和最小值,即可得出結(jié)論.【詳解】(1)解:是等邊三角形,,,是等邊三角形,,,,即,在和中,,,,,且(2)(1)中結(jié)論仍成立,是等邊三角形,,,是等邊三角形

溫馨提示

  • 1. 本站所有資源如無特殊說明,都需要本地電腦安裝OFFICE2007和PDF閱讀器。圖紙軟件為CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.壓縮文件請(qǐng)下載最新的WinRAR軟件解壓。
  • 2. 本站的文檔不包含任何第三方提供的附件圖紙等,如果需要附件,請(qǐng)聯(lián)系上傳者。文件的所有權(quán)益歸上傳用戶所有。
  • 3. 本站RAR壓縮包中若帶圖紙,網(wǎng)頁內(nèi)容里面會(huì)有圖紙預(yù)覽,若沒有圖紙預(yù)覽就沒有圖紙。
  • 4. 未經(jīng)權(quán)益所有人同意不得將文件中的內(nèi)容挪作商業(yè)或盈利用途。
  • 5. 人人文庫網(wǎng)僅提供信息存儲(chǔ)空間,僅對(duì)用戶上傳內(nèi)容的表現(xiàn)方式做保護(hù)處理,對(duì)用戶上傳分享的文檔內(nèi)容本身不做任何修改或編輯,并不能對(duì)任何下載內(nèi)容負(fù)責(zé)。
  • 6. 下載文件中如有侵權(quán)或不適當(dāng)內(nèi)容,請(qǐng)與我們聯(lián)系,我們立即糾正。
  • 7. 本站不保證下載資源的準(zhǔn)確性、安全性和完整性, 同時(shí)也不承擔(dān)用戶因使用這些下載資源對(duì)自己和他人造成任何形式的傷害或損失。

評(píng)論

0/150

提交評(píng)論