八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 講義（北師大版）第三章第04講 難點(diǎn)探究專題：旋轉(zhuǎn)中的常見類型(5類熱點(diǎn)題型講練)（解析版）

第04講難點(diǎn)探究專題：旋轉(zhuǎn)中的常見類型(5類熱點(diǎn)題型講練)目錄TOC\o"1-3"\h\u【類型一線段繞某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)綜合問題】 1【類型二直角三角形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)綜合問題】 14【類型三等腰直角三角形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)綜合問題】 22【類型四等邊三角形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)綜合問題】 37【類型一線段繞某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)綜合問題】例題：（23-24九年級(jí)上·貴州遵義·階段練習(xí)）如圖，在等腰直角中，，D為邊上一點(diǎn)，連接，將繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到，連接．(1)求證：．(2)若，求四邊形的面積．【答案】(1)見解析(2)8【分析】本題考查旋轉(zhuǎn)性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．（1）證明，利用全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等即可求解；（2）根據(jù)全等三角形的面積相等，將所求面積轉(zhuǎn)化為等腰直角的面積，進(jìn)而利用直角三角形的面積公式求解即可．【詳解】（1）證明：由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得，，又，∴，在和中，∴，∴；（2）解：∵，∴，∴，∵，∴四邊形的面積為．【變式訓(xùn)練】1．（23-24九年級(jí)上·吉林·期末）如圖，等邊三角形內(nèi)一點(diǎn)D，將線段繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到線段，連接．(1)請(qǐng)判斷的形狀__________，并寫出判斷的依據(jù)__________；(2)若，求的度數(shù)．【答案】(1)等邊三角形；有一個(gè)角是60度的等腰三角形是等邊三角形(2)【分析】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)：（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，結(jié)合旋轉(zhuǎn)角為60度，可證是等邊三角形；（2）先證，推出，再根據(jù)是等邊三角形，得出，即可求出的度數(shù)．【詳解】（1）解：將線段繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到線段，，，是等邊三角形（有一個(gè)角是60度的等腰三角形是等邊三角形），故答案為：等邊三角形；有一個(gè)角是60度的等腰三角形是等邊三角形；（2）解：是等邊三角形，，，由（1）知，，，在和中，，，，是等邊三角形，，．2．（23-24八年級(jí)上·四川成都·期末）（1）【問題】如下圖，中，，，D為邊上一點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），將線段繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，，則線段，之間滿足的數(shù)量關(guān)系式為______；直線，相交所夾的銳角的度數(shù)為______；（2）【探索】如圖2，中，，，D為外一點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，，延長(zhǎng)，交于點(diǎn)F．試問：（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)證明，若不成立，請(qǐng)說明理由；（3）【應(yīng)用】在（2）的條件下，，．求四邊形的面積．【答案】（1），；（2）成立，證明見解析；（3）【分析】本題考查了勾股定理、含30度角的直角三角形的性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識(shí)，通過作輔助線，構(gòu)造直角三角形是解題關(guān)鍵．（1）先證出，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求解即可得；（2）先證出，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，，然后根據(jù)三角形的外角性質(zhì)求解即可得；（3）先求出，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，利用勾股定理和含30度角的直角三角形的性質(zhì)求解即可得．【詳解】解：（1）∵在中，，，，，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，，，在和中，，，，，∴直線，相交所夾的銳角的度數(shù)為，故答案為：，；（2）（1）中的結(jié)論成立，證明如下：同理可得：，在和中，，，，，又，，解得，即直線，相交所夾的銳角的度數(shù)為；（3），∴，如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，，，，，，，，，在中，，即，解得（負(fù)值已舍），則，所以四邊形的面積為．3．（23-24八年級(jí)上·河南安陽·期末）實(shí)踐與探究點(diǎn)和線是最基本的圖形，點(diǎn)、線運(yùn)動(dòng)帶來的動(dòng)態(tài)幾何問題是常見的熱點(diǎn)題型之一．解這類題目要“以靜制動(dòng)”，把動(dòng)態(tài)問題變?yōu)殪o態(tài)問題來解．一般方法是抓住變化中的“不變量”，以不變應(yīng)萬變．為了培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維與探究能力，在數(shù)學(xué)實(shí)踐與探究課上，王老師讓同學(xué)們以“圖形的運(yùn)動(dòng)”為主題開展數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)．在中，，，點(diǎn)D是直線上的一點(diǎn)，連接，將線段繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到線段，連接．(1)操作發(fā)現(xiàn)①當(dāng)點(diǎn)D在線段上時(shí)，如圖1．請(qǐng)你直接寫出與的位置關(guān)系______；②請(qǐng)寫出線段、、的數(shù)量關(guān)系，并進(jìn)行證明．(2)猜想論證當(dāng)點(diǎn)D在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，如圖2，點(diǎn)D在射線上．請(qǐng)寫出線段、、的數(shù)量關(guān)系______；(3)拓展延伸如圖3，點(diǎn)D在射線上．若，，請(qǐng)求出的面積．【答案】(1)①；②，見解析(2)(3)2【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)等知識(shí)，正確找出全等三角形是解題關(guān)鍵．（1）①先求出，再證出，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，由此即可得；②根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，由此即可得；（2）先證出，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，由此即可得；（3）連接，先求出，再證出，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，然后證出，利用三角形的面積公式求解即可得．【詳解】（1）解：①∵在中，，，，，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，，，在和中，，，，，，故答案為：；②，證明如下：，，，．（2）解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，，即，在和中，，，，，，故答案為：．（3）解：如圖，連接，∵，，，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，，即，在和中，，，，，，即，則的面積為．4．（23-24八年級(jí)上·福建泉州·期末）在中，，，D在邊上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)D不與B，C重合），連接，把線段繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到，連接，交于點(diǎn)F．(1)如圖1，求證：；(2)如圖1，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)用等式表示線段，，三者之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；(3)如圖2，若，G為中點(diǎn)，連接，四邊形的面積是否會(huì)改變？若會(huì)改變請(qǐng)說明理由，若不會(huì)改變，請(qǐng)求出它的面積．【答案】(1)見解析(2)，證明見解析(3)不變，面積是16【分析】（1）根據(jù)即可證明；（2）先證明，根據(jù)證明，由全等三角形的性質(zhì)得出，則可得出結(jié)論；（3）先求出，根據(jù)證明得，可證，從而，進(jìn)而可求出四邊形的面積．【詳解】（1）∵繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)得到，∴為等腰直角三角形，∴，∵在中，，，∴，∵，∴，∴．（2），理由如下：由（1）得，當(dāng)時(shí)，∴∴，∴，由（1）得，，∴，∴，∵，∴．（3）四邊形的面積不變，理由如下：連接、，∵在中，，，G為中點(diǎn)，，∴，，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題．5．（23-24八年級(jí)上·重慶大渡口·期末）在中，，以為斜邊作，，再將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接分別交，于點(diǎn)，點(diǎn)．(1)如圖1，在右側(cè)，，，求的面積；(2)如圖2，在右側(cè)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，求證：；(3)如圖3，在左側(cè)，的延長(zhǎng)線過的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在的中垂線上時(shí)，交于點(diǎn)，直接寫出的值．【答案】(1)(2)詳見解析(3)【分析】（1）本題過點(diǎn)作，由題知，為等腰直角三角形，得出，利用30度所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，得出，利用勾股定理算出，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，為等腰直角三角形，得出，，為等腰直角三角形，設(shè)，則，由勾股定理可知，根據(jù)建立方程，求出，最后利用即可求解．（2）本題過點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接，由題意得出為等腰直角三角形，為等腰直角三角形，為等腰直角三角形，得到，由勾股定理推出，證明，推出，，證明，推出，再根據(jù)即可解題．（3）連接，作，，證明，為的角平分線，推出，設(shè)，利用等腰三角形直角三角形兩腰相等和勾股定理表示出，，，，在利用，即可解題．【詳解】（1）解：過點(diǎn)作，如圖所示：，由題知，為等腰直角三角形，，，在中，，，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，為等腰直角三角形，，，，，為等腰直角三角形，設(shè)，則，由勾股定理可知，，，解得，，．（2）證明：過點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，為等腰直角三角形，，，，為等腰直角三角形，由題知，為等腰直角三角形，，，，由勾股定理可知，在與中，，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，在與中，，，．（3）解：，理由如下：連接，作，，如圖所示：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，為等腰直角三角形，，，，，，為等腰直角三角形，點(diǎn)在的中垂線上，，，由題知，為等腰直角三角形，又點(diǎn)是的中點(diǎn)，，即，，為等腰直角三角形，，，在與中，，，，為的角平分線，，設(shè)，，，，，，，又，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、30度所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半、全等三角形的性質(zhì)和判定、勾股定理、角平分線的性質(zhì)和判定、中垂線性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于作輔助線構(gòu)造全等三角形，再結(jié)合相關(guān)性質(zhì)定理即可解題．【類型二直角三角形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)綜合問題】例題：（23-24九年級(jí)上·江西上饒·期末）如圖，在中，，，將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，交于點(diǎn)．若，求：(1)的長(zhǎng)；(2)的面積．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得到，，再求出，即可得到，根據(jù)勾股定理即可求出；（2）根據(jù)，得到，根據(jù)三角形面積公式即可求解．【詳解】（1）解：∵將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，∴，，∵，，∴，∴，∴，∵，∴，∴；（2）解：∵，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，含角直角三角形性質(zhì)，等腰三角形判定等知識(shí)，熟知相關(guān)定理，正確解直角三角形是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（22-23九年級(jí)上·新疆烏魯木齊·期末）如圖，在中，，，將繞點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)度后，得到，點(diǎn)剛好落在邊上．(1)求的值；(2)若，求的長(zhǎng)度．【答案】(1)(2)【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，證明是等邊三角形，即可求得旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)；（2）易得是含角的直角三角形，則可求得，根據(jù)，求出，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)，在直角三角形中求出；【詳解】（1）解：將繞點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)度后得到，在中，，是等邊三角形，（2），，，將繞點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到，，；【點(diǎn)睛】此題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、含角的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，屬于中考?？碱}型．2．（22-23九年級(jí)上·四川德陽·期中）如圖，在中，，將繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，與交于點(diǎn)O，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D落在線段上，連接．(1)求證：平分；(2)試判斷與的位置關(guān)系，并說明理由；(3)若，，求的面積．【答案】(1)證明見解析(2)BE⊥AB，理由見解析(3)【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，，因此，得到，即可證明平分；（2）由余角的性質(zhì)推出，由等腰三角形的性質(zhì)得到，由直角三角形的性質(zhì)，即可證明；（3）作于，由三角形內(nèi)角和定理，得到，得到，是等腰直角三角形，由勾股定理即可求解．【詳解】（1）證明：繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，，，，，平分；（2）解：，理由如下：，，，，，，，；（3）解：作于，，，，，是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，，，，的面積．【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，三角形內(nèi)角和定理，求三角形面積等知識(shí)，關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．3．（23-24九年級(jí)上·浙江臺(tái)州·期末）如圖，在中，，將繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，旋轉(zhuǎn)角為，，分別交于點(diǎn)F，G，連接．

(1)求證：；(2)若，，．①求的長(zhǎng)；②連接，，，求四邊形的面積．【答案】(1)見解析(2)①；②5【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理可證得結(jié)論；（2）①利用平行線的性質(zhì)和含30度角的直角三角形的性質(zhì)求得，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得到，然后利用勾股定理求解即可；②過E作交延長(zhǎng)線于M，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)求得，根據(jù)勾股定理求得，，由求解即可．【詳解】（1）證明：由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，得，，∵，，，∴，即；（2）解：①由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得，，，∵，，∴，，∴，∴；②如圖，過E作交延長(zhǎng)線于M，

則，，∴，∴，，∵，∴．【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、含30度角的直角三角形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理、勾股定理等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系與運(yùn)用是解答的關(guān)鍵．4．（23-24九年級(jí)上·安徽淮北·期末）如圖1，把兩個(gè)完全相同且有一個(gè)角為的直角三角板重合在一起，將固定，將繞直角頂點(diǎn)C順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)．

(1)如圖2，當(dāng)B，D，E三點(diǎn)在同一條直線上時(shí)，求旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)；(2)在（1）的條件下，連接，請(qǐng)判斷和的面積的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)(2)，理由見詳解【分析】本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊對(duì)等角以及全等三角形的判定和性質(zhì)，（1）由題意得，由旋轉(zhuǎn)得，可得．即可求得旋轉(zhuǎn)角；（2）過點(diǎn)D作于點(diǎn)M，延長(zhǎng)交于點(diǎn)N，由旋轉(zhuǎn)得和．進(jìn)一步求得和，可證，則有，結(jié)合面積公式即可求得相等．【詳解】（1）解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，．∴．∵點(diǎn)B，D，E在同一條直線上，∴，∴旋轉(zhuǎn)角．（2）．理由：過點(diǎn)D作于點(diǎn)M，延長(zhǎng)交于點(diǎn)N，如圖，

∵是由繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)得到，∴，．由（1）可得，∴，．∵，∴，∴，∴．在和中，，∴，∴．∵，，，∴．5．（23-24九年級(jí)上·天津河北·期末）在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，點(diǎn)，，把繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得，點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，記旋轉(zhuǎn)角為．

(1)如圖①，當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)；(2)如圖②，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)K為線段上一點(diǎn)，且，S為的面積，求的取值范圍（直接寫出結(jié)果即可）．【答案】(1)(2)(3)【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及勾股定理，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題，屬于中考?jí)狠S題．（1）根據(jù)勾股定理得，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得．繼而得出；（2）作軸，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：，在中，由得的長(zhǎng)，繼而得出答案；（3）如圖中，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，的面積最小，當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，的面積最大，求出面積的最小值以及最大值即可解決問題．【詳解】（1）∵點(diǎn)，點(diǎn)，∴．在中，由勾股定理得：．根據(jù)題意，繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：，，∴；（2）如圖②，過作軸于D，則，

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：，在中，由．∴，由勾股定理得：，∴，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為；（3）∵的值不變，∴當(dāng)點(diǎn)K到的距離最小時(shí)的面積最小，當(dāng)點(diǎn)K到的距離最大時(shí)的面積最大．當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，的面積最小，如圖③所示，

∵，∴，此時(shí)，，∴最小面積；當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，的面積最大，如圖④所示：

此時(shí)，，∴最大面積；綜上所述，．【類型三等腰直角三角形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)綜合問題】例題：（23-24八年級(jí)上·海南儋州·期末）如圖1，把兩個(gè)大小不同的等腰直角三角形，如圖所示擺放，使得點(diǎn)D、A、B在同一直線上，連結(jié)，．

(1)求證：；(2)如圖2，將繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)某個(gè)角度后，使得點(diǎn)B、C、E在同一直線上，與交于點(diǎn)O．①求證：；②求證：；③連結(jié)，如圖3，若，求的面積．【答案】(1)見解析(2)①見解析；②見解析；③1【分析】（1）利用等腰三角形的性質(zhì)證明即可；（2）①先證明，即可證明，②如圖，由可得，再結(jié)合角的和差運(yùn)算可得結(jié)論；③證明，求解如圖，過點(diǎn)A作于點(diǎn)F，求解，，再利用割補(bǔ)法求解面積即可．【詳解】（1）證明：∵和是等腰直角三角形∴，，在和中，∴；（2）①∵，∴即在和中，∴，②如圖，

∵是等腰直角三角形，∴，又∵∴，∴，∴③∵，∴又∵，∴又∵，∴如圖，過點(diǎn)A作于點(diǎn)F，

又∵是等腰直角三角形∴，∴∴在中，∴∴【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，等腰三角形的性質(zhì)，二次根式的乘法運(yùn)算，作出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（23-24九年級(jí)上·湖北省直轄縣級(jí)單位·期中）把兩個(gè)等腰直角三角形和按圖1所示的位置擺放，將繞點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，如圖2，連接，，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為．

(1)如圖1，與的數(shù)量關(guān)系是______，與的位置關(guān)系是______；(2)如圖2，（1）中與的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系是否仍然成立，若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說明理由；(3)當(dāng)旋轉(zhuǎn)角______填度數(shù)時(shí)，的面積最大．【答案】(1)，且，理由見解析(2)成立，理由見解析(3)或【分析】（1）由，，則，可得答案；（2）利用證明，得，作的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，由全等知，又，則，從而證明；（3）點(diǎn)的軌跡是以為圓心為半徑的圓，在中，當(dāng)為底時(shí)，點(diǎn)到的距離最大時(shí)，的面積最大，從而得出答案．【詳解】（1）解：結(jié)論：，且，理由如下：，，，；，點(diǎn)，分別在，上，；故答案為：；；（2）解：成立，理由：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：，，，，，作的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，

，，，，；（3）解：由題意知，點(diǎn)的軌跡是以為圓心為半徑的圓，在中，當(dāng)為底時(shí)，點(diǎn)到的距離最大時(shí)，的面積最大，

當(dāng)時(shí)，的面積最大，旋轉(zhuǎn)角為或，故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題是幾何變換綜合題，主要考查了等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識(shí)，證明是解題的關(guān)鍵．2．（23-24九年級(jí)上·山東日照·期末）如圖，在中，，，，分別為，的中點(diǎn)，將繞點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到（如圖），使直線恰好過點(diǎn)，連接．(1)判斷與的位置關(guān)系，并說明理由；(2)求的長(zhǎng)；(3)若將繞點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一周，當(dāng)直線過的一個(gè)頂點(diǎn)時(shí)，請(qǐng)直接寫出長(zhǎng)的其它所有值．【答案】(1)，理由見解析；(2)的長(zhǎng)為；(3)的長(zhǎng)為或．【分析】此題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用．（）由，得，證明，，再利用角度和差即可求解；（）由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知，的中點(diǎn)，再通過勾股定理得，，設(shè)，列出，然后求解即可；（）分當(dāng)直線恰好過點(diǎn)時(shí)當(dāng)直線恰好過點(diǎn)時(shí)幾種情況討論即可．【詳解】（1），理由，∵，∴，∵，，∴，，∴，∵恰好過點(diǎn)，∴，∴，∴；（2）∵，，∴在中，由勾股定理得，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知，的中點(diǎn)，∴同上可得，，由（），，∴，設(shè)，在中，由勾股定理得，，整理得：，解得：，（舍去），∴；（3）當(dāng)直線恰好過點(diǎn)時(shí)，如圖，由（）得：，當(dāng)直線恰好過點(diǎn)時(shí)，如圖，同（）理，，如圖，同（）理，，∴，設(shè)，∴，∵，∴，∴，在中，由勾股定理得，，解得：，（舍去），∴，綜上的長(zhǎng)為或．3．（23-24八年級(jí)上·山西呂梁·期中）綜合與實(shí)踐將一塊含角的大直角三角板和一塊含角的小直角三角板按如圖1所示的方式擺放．如圖2，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連結(jié)．

(1)求證：．(2)在旋轉(zhuǎn)的過程中，如圖3，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，設(shè)與交于點(diǎn)．①試判斷的形狀，并說明理由；②若是的中點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出和的面積關(guān)系．【答案】(1)見解析(2)①直角三角形，理由見解析；②相等【分析】該題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)“旋轉(zhuǎn)前后對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊相等，旋轉(zhuǎn)角相等”，全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的常用方法“”；（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可證明；（2）①等腰直角三角形可得，再根據(jù)三點(diǎn)共線，可得，再根據(jù)得出，即可求解．②根據(jù)是的中點(diǎn)，可得，再根據(jù)，可得，由即可解答；【詳解】（1）證明：和都是等腰直角三角形，．由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得．在與中，，．（2）解：①是直角三角形．理由：根據(jù)題意，得．三點(diǎn)共線，．由（1），得．．是直角三角形．②是的中點(diǎn)，又由（1）知，，和的面積相等．4．（23-24七年級(jí)上·河南駐馬店·期末）如圖1，將三角板與三角板擺放在一起；如圖2，其中，，．固定三角板，將三角板繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角（）．(1)當(dāng)為_________度時(shí)，，并在圖3中畫出相應(yīng)的圖形；(2)在旋轉(zhuǎn)過程中，試探究與之間的關(guān)系；(3)當(dāng)旋轉(zhuǎn)速度為秒時(shí)．且它的一邊與平行（不共線）時(shí)，直接寫出時(shí)間t的所有值．【答案】(1)15，圖見解析(2)當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，(3)或21或30【分析】（1）根據(jù)得出，根據(jù)即可求解；（2）設(shè)，，在旋轉(zhuǎn)過程中，分當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)9時(shí)，三種情況根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求解；（3）分①當(dāng)，②當(dāng)，③當(dāng)時(shí)，分別畫出圖形即可求解．【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，如圖：故答案為；（2）設(shè)：，，①如圖，當(dāng)時(shí)，，，故，即；②當(dāng)時(shí)，，即③當(dāng)時(shí)，，，即，即；（3）①當(dāng)時(shí)，由（1）可知，∴，∴；②當(dāng)時(shí)，則，∴，∴，∴∴；③當(dāng)時(shí)，則，∴，∴；綜上，或或或或．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角尺中角度的計(jì)算，解答此題的關(guān)鍵是通過畫圖，確定旋轉(zhuǎn)后△ADE的位置，還注意分類求解，避免遺漏．5．（23-24九年級(jí)上·河南洛陽·階段練習(xí)）一副三角板如圖1擺放，，，，點(diǎn)F在上，點(diǎn)A在上，且平分，現(xiàn)將三角板繞點(diǎn)F以每秒的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)（當(dāng)點(diǎn)落在射線上時(shí)停止旋轉(zhuǎn)），設(shè)旋轉(zhuǎn)時(shí)間為t秒．(1)當(dāng)秒時(shí)，；(2)在旋轉(zhuǎn)過程中，與的交點(diǎn)記為P，如圖2，若有兩個(gè)內(nèi)角相等，求t的值；(3)當(dāng)邊與邊、分別交于點(diǎn)M、N時(shí)，如圖3，連接，設(shè)，，，試問是否為定值？若是，請(qǐng)直接寫出答案；若不是，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)3(2)為6或15或24(3)是定值，，理由見解析【分析】（1）由平行求出旋轉(zhuǎn)角，結(jié)合旋轉(zhuǎn)速度求出旋轉(zhuǎn)時(shí)間；（2）畫出圖形，分類討論，①；②；③，求出旋轉(zhuǎn)角，再求出值；（3）找出與，，，有關(guān)的數(shù)量關(guān)系，再把無關(guān)的角消去，得出結(jié)論．【詳解】（1）∵，，，∴，，如圖，當(dāng)時(shí)，，平分，，，又為的一個(gè)外角，，；故答案為：3；（2）①如圖，當(dāng)時(shí)，

，，；②如圖，當(dāng)時(shí)，

，，，；③如圖，當(dāng)時(shí)，

，，綜上所述：當(dāng)為6或15或24時(shí)，有兩個(gè)內(nèi)角相等；（3）是為定值105，理由如下：是的一個(gè)外角，是的一個(gè)外角，，，又，，，，．【點(diǎn)睛】本題以求三角形旋轉(zhuǎn)時(shí)間為背景，考查了學(xué)生對(duì)圖形的旋轉(zhuǎn)變換、平行的性質(zhì)、垂直的性質(zhì)和求等腰三角形內(nèi)角的掌握情況，第（2）問分情況討論是解決問題的關(guān)鍵，第（3）問找到三個(gè)角之間的關(guān)系是關(guān)鍵．6．（2024·遼寧沈陽·模擬預(yù)測(cè)）數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師出示兩個(gè)大小不一樣的等腰直角和擺在一起，其中直角頂點(diǎn)重合，，，．(1)用數(shù)學(xué)的眼光觀察．如圖1，連接，，判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(2)用數(shù)學(xué)的思維思考．如圖2，連接，，若是中點(diǎn)，判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)．如圖3，延長(zhǎng)至點(diǎn)，滿足，然后連接，，當(dāng)，，繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到，，三點(diǎn)共線時(shí)，求線段的長(zhǎng)．【答案】(1)，理由見解析(2)，理由見解析(3)或【分析】（1）用證明，即可求解；（2）證明、，即可求解；（3）①如圖所示，過點(diǎn)作于，求出，，得到，即可求解；②如圖所示，過點(diǎn)作于，同理可解．【詳解】（1）解：，理由：，，，，則；（2）解：，理由：點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，，，是中點(diǎn)，則，，，，，，，，，，則；（3）解：旋轉(zhuǎn)得到，，三點(diǎn)共線，①如圖所示，過點(diǎn)作于，是等腰三角形，，，，，在中，，，，即旋轉(zhuǎn)得到，，三點(diǎn)共線時(shí)，；②如圖所示，過點(diǎn)作于，同理，，即旋轉(zhuǎn)得到，，三點(diǎn)共線時(shí)，，綜上所述，線段的長(zhǎng)為：或．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形的全等的判定和性質(zhì)，理解圖示中旋轉(zhuǎn)的規(guī)律，掌握三角形全等的判定和性質(zhì)，直角三角形中勾股定理的運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．【類型四等邊三角形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)綜合問題】例題：（23-24九年級(jí)上·廣東深圳·期中）【問題背景】：如圖1，在等邊中，點(diǎn)D是等邊內(nèi)一點(diǎn)，連結(jié)，，將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連結(jié)，觀察發(fā)現(xiàn)：與的數(shù)量關(guān)系為，度；【嘗試應(yīng)用】：如圖2，在等腰中，，，點(diǎn)D是內(nèi)一點(diǎn)，連結(jié)，，，，，，求面積．【拓展創(chuàng)新】：如圖3，在等腰中，，，點(diǎn)D為平面內(nèi)一點(diǎn)，且，，則的值為．

【答案】【問題背景】：，60；【嘗試應(yīng)用】：；【拓展創(chuàng)新】：或；【分析】問題背景：是等邊三角形，根據(jù)有一個(gè)角是的等腰三角形是等邊三角形判斷再用等邊三角形的性質(zhì)即可得出；嘗試應(yīng)用：如圖，將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，證明，推出，再證明C，D，T共線，可得結(jié)論；

拓展創(chuàng)新：分兩種情形：當(dāng)點(diǎn)D在的上方時(shí)，將線段繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，設(shè)，則.再求出，，可得結(jié)論；當(dāng)點(diǎn)D在的下方時(shí)，將線段繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，設(shè)，則，過點(diǎn)D作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H.再求出，，可得結(jié)論.【詳解】問題背景：由題意可知，是等邊三角形，，；故答案為：，；嘗試應(yīng)用：如圖，將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接.

，,共線，.拓展創(chuàng)新：①當(dāng)點(diǎn)D在的上方時(shí)，將線段繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，，，設(shè)，則.

，，，，過點(diǎn)B作于點(diǎn)H，則，，，，，.②當(dāng)點(diǎn)D在的下方時(shí)，將線段繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到,連接，設(shè)則過點(diǎn)D作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H.

同法可證，，，綜上所述，的值為或故答案為：或【點(diǎn)睛】本題屬于三角形綜合題，考查了旋轉(zhuǎn)變換，全等三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，學(xué)會(huì)利用參數(shù)解決問題，屬于中考?jí)狠S題.【變式訓(xùn)練】1．（23-24九年級(jí)上·福建廈門·期中）如圖，、均為等邊三角形，，．將繞點(diǎn)A沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，連接、．(1)在圖①中證明；(2)如圖②，當(dāng)時(shí)，連接，求的面積；(3)在的旋轉(zhuǎn)過程中，直接寫出的面積S的取值范圍．【答案】(1)證明見詳解(2)(3)【分析】（1）根據(jù)和為等邊三角形得到對(duì)應(yīng)邊和角相等，再利用角度的變化即可求證全等；（2）利用得，過點(diǎn)A作交與點(diǎn)H，過點(diǎn)D作交與點(diǎn)G，再利用含的直角三角形解得的值，結(jié)合面積公式即可求得；（3）利用第二問結(jié)論，分析出的面積最大時(shí)與在同一條直線上，且點(diǎn)D在外部，的面積最小時(shí)與在同一條直線上，且點(diǎn)D在內(nèi)部，根據(jù)三角形面積公式即可求得答案．【詳解】（1）證明：∵、均為等邊三角形，∴，∵∴，在和中，∴．（2）連接，同理有成立，得，∵，∴，過點(diǎn)A作交與點(diǎn)H，過點(diǎn)D作交與點(diǎn)G，如圖，∵為等邊三角形，∴，，∴，在中，在中，，∴，則．（3）過點(diǎn)A作交于點(diǎn)H，當(dāng)與在同一條直線上，且點(diǎn)D在外部時(shí)的面積最大，如圖，

∵，，∴，則；當(dāng)AD與AH在同一條直線上，且點(diǎn)D在內(nèi)部時(shí)的面積最小，如圖，

則，那么，的面積S的取值范圍：．【點(diǎn)睛】本題主要考查幾何圖形的變化，利用等邊三角形的性質(zhì)、勾股定理和含的直角三角形性質(zhì)判定三角形的全等、求三角形面積的知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵為作輔助線求面積．2．（20-21九年級(jí)上·河南周口·期中）如圖，和都是等邊三角形，直線，交于點(diǎn)F．(1)如圖1，當(dāng)A，C，D三點(diǎn)在同一直線上時(shí)，的度數(shù)為______，線段與的數(shù)量關(guān)系為______．(2)如圖2，當(dāng)繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，（1）中的結(jié)論是否還成立？若不成立，請(qǐng)說明理由：若成立，請(qǐng)就圖2給予證明．(3)若，，當(dāng)繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周時(shí)，請(qǐng)直接寫出長(zhǎng)的取值范圍．【答案】(1)，；(2)成立，理由見解析(3)【分析】本題考查了等邊三角形性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解答時(shí)證明三角形全等是關(guān)鍵．（1）利用等邊三角形的性質(zhì)證明，結(jié)合三角形的外角就可以得出結(jié)論；（2）同（1）中方法證明，得出，，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和得出；（3）當(dāng)B、C、D三點(diǎn)共線時(shí)得出的最大和最小值，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：是等邊三角形，，，是等邊三角形，，，，即，在和中，，，，，且（2）（1）中結(jié)論仍成立，是等邊三角形，，，是等邊三角形