正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的概念及其性質(zhì)教學(xué)設(shè)計(jì) 高一下學(xué)期數(shù)學(xué)北師大版（2019）必修第二冊(cè)

§4正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的概念及其性質(zhì)一、單元內(nèi)容及內(nèi)容解析內(nèi)容本單元內(nèi)容包括任意角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義、利用單位圓研究其性質(zhì)、判斷正弦函數(shù)值和余弦函數(shù)值的符號(hào).由三角函數(shù)的定義及終邊的對(duì)稱性和旋轉(zhuǎn)得到誘導(dǎo)公式.內(nèi)容框圖如下：本單元建議教學(xué)用時(shí)為4課時(shí)，第1課時(shí):單位圓與任意角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義;第2課時(shí)：?jiǎn)挝粓A與正余弦函數(shù)的基本性質(zhì)；第3課時(shí)：誘導(dǎo)公式與對(duì)稱；第4課時(shí)：誘導(dǎo)公式與旋轉(zhuǎn).內(nèi)容解析（1）內(nèi)容的本質(zhì)任意角的三角函數(shù)是三角學(xué)內(nèi)容的基礎(chǔ)，是后續(xù)內(nèi)容學(xué)習(xí)的思維起點(diǎn)，是整個(gè)三角學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的生長(zhǎng)點(diǎn).它的學(xué)習(xí)既是學(xué)科系統(tǒng)內(nèi)部知識(shí)發(fā)展的需要，又是坐標(biāo)思想、數(shù)形結(jié)合思想的載體，更是對(duì)函數(shù)概念理解和認(rèn)識(shí)的一次升華.本單元內(nèi)容是在前面角的擴(kuò)充和弧度制引入的基礎(chǔ)上，先通過初中三角函數(shù)的推廣得出任意角的三角函數(shù)，再利用單位圓研究正余弦函數(shù)的性質(zhì)及誘導(dǎo)公式.（2）蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想和方法三角函數(shù)的概念及基本性質(zhì)：這兩節(jié)是概念的形成課，應(yīng)按“事實(shí)—概念”的路徑，即學(xué)生要經(jīng)歷“背景—研究對(duì)象—對(duì)應(yīng)關(guān)系的本質(zhì)—定義”的過程．學(xué)生在經(jīng)歷這個(gè)過程而形成三角函數(shù)概念的同時(shí)，得到值域、函數(shù)值的符號(hào)、誘導(dǎo)公式一及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系等性質(zhì)．在三角函數(shù)定義形成的過程中體現(xiàn)了抽象與概括、特殊與一般、對(duì)應(yīng)等思想.誘導(dǎo)公式：借助其內(nèi)容本質(zhì)分析可知，研究路徑可以歸結(jié)為：圓的對(duì)稱性——角的終邊的對(duì)稱性——點(diǎn)的坐標(biāo)間的關(guān)系——三角函數(shù)的關(guān)系。從整體上看，各種各樣的三角函數(shù)關(guān)系式所研究的問題是：角的終邊具有某種特殊關(guān)系時(shí)，相應(yīng)的三角函數(shù)值之間具有怎樣的特殊關(guān)系，本質(zhì)上都是圓的幾何性質(zhì)（主要是對(duì)稱性）的直接反映.在推導(dǎo)誘導(dǎo)公式的過程中，蘊(yùn)含這著對(duì)稱、坐標(biāo)變換、函數(shù)變換等數(shù)學(xué)思想.（3）知識(shí)的上下位關(guān)系三角函數(shù)的概念及基本性質(zhì)：在此之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)過銳角三角函數(shù)，它是用直角三角形邊長(zhǎng)的比來刻畫的，任意角的三角函數(shù)看成是銳角三角函數(shù)的推廣，利用象限角終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)比定義三角函數(shù)．后續(xù)的內(nèi)容，特別是在微積分中，最常用的是弧度制以及弧度制下的三角函數(shù)，從定義可以方便地推導(dǎo)任意角三角函數(shù)的性質(zhì)、誘導(dǎo)公式，為公式的記憶提供了圖形支持.誘導(dǎo)公式：前面已經(jīng)研究“角的終邊相同”時(shí)同名三角函數(shù)，而誘導(dǎo)公式研究的是直角坐標(biāo)系下“角的終邊具有某種特殊對(duì)稱性”時(shí)三角數(shù)之間的關(guān)系.如果在誘導(dǎo)公式的基礎(chǔ)上，把2kπ+α(k∈Z),α,α±π,2π±α與α的三角函數(shù)關(guān)系進(jìn)行擴(kuò)充，可得出和（差）角的三角函數(shù)，從而使所有三角公式形成一個(gè)有機(jī)整體.（4）育人價(jià)值本單元的學(xué)習(xí)有助于學(xué)生學(xué)會(huì)合乎邏輯地、有條理地、嚴(yán)謹(jǐn)精確地思考和解決問題，有助于發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象等方面的素養(yǎng).（5）教學(xué)重點(diǎn)基于以上分析，確定本單元的教學(xué)重點(diǎn):利用單位圓探究正余弦函數(shù)的定義、性質(zhì)及誘導(dǎo)公式.二、單元目標(biāo)及目標(biāo)解析目標(biāo)第一課時(shí)：?jiǎn)挝粓A與任意角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義（1）了解三角函數(shù)的背景，體會(huì)三角函數(shù)與現(xiàn)實(shí)世界的密切聯(lián)系；（2）經(jīng)歷三角函數(shù)概念的抽象過程，借助單位圓理解任意角三角函數(shù)（正弦、余弦）的定義，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)；第二課時(shí)：?jiǎn)挝粓A與任意角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)（1）引導(dǎo)學(xué)生借助單位圓推導(dǎo)正弦函數(shù)的基本性質(zhì)（2）類比得出余弦函數(shù)的基本性質(zhì)（3）利用正余弦函數(shù)基本性質(zhì)解決相關(guān)問題第三課時(shí)：誘導(dǎo)公式與對(duì)稱（1）借助單位圓的對(duì)稱性，利用定義推導(dǎo)出前四組誘導(dǎo)公式；（2）能綜合運(yùn)用誘導(dǎo)公式將任意給定的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)值，第四課時(shí)：誘導(dǎo)公式與旋轉(zhuǎn)（1）根據(jù)角的終邊的旋轉(zhuǎn)關(guān)系，推導(dǎo)并掌握對(duì)應(yīng)的誘導(dǎo)公式.（2）能運(yùn)用誘導(dǎo)公式解決三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)、求值和證明.目標(biāo)解析第一、二課時(shí)：?jiǎn)挝粓A與任意角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義、性質(zhì)達(dá)成上述目標(biāo)的標(biāo)志是：（1）學(xué)生在經(jīng)歷“銳角三角函數(shù)終邊上一點(diǎn)定義—銳角三角函數(shù)在單位圓上定義—任意角三角函數(shù)在單位圓上定義”的抽象活動(dòng)中，明確研究的問題，使研究對(duì)象簡(jiǎn)單化、本質(zhì)化；學(xué)生能類比初中三角函數(shù)定義，抽象出任意角正余弦函數(shù)概念；能根據(jù)定義求給定角的正余弦函數(shù)值；（2）學(xué)生能根據(jù)定義得出三角函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性等性質(zhì)；能根據(jù)定義，結(jié)合終邊相同的角的表示，得出一組誘導(dǎo)公式，并能據(jù)此描述三角函數(shù)周而復(fù)始的取值規(guī)律，求某些特殊角的三角函數(shù)值；第三、四課時(shí)：誘導(dǎo)公式達(dá)成上述目標(biāo)的標(biāo)志是：（1）能利用定義，借助單位圓上關(guān)于原點(diǎn)、x軸、y軸、直線y=x對(duì)稱的點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)之間的關(guān)系，推導(dǎo)誘導(dǎo)公式；（2））能歸納運(yùn)用誘導(dǎo)公式解題的基本步驟：先確定角的象限，再選擇恰當(dāng)?shù)恼T導(dǎo)公式，并按照一定的順序進(jìn)行運(yùn)算，求得運(yùn)算結(jié)果.三、教學(xué)問題診斷分析三角函數(shù)概念的學(xué)習(xí)，其認(rèn)知基礎(chǔ)是函數(shù)的一般觀念及對(duì)指、對(duì)、冪函數(shù)的研究經(jīng)驗(yàn)，另外還有圓的集合知識(shí)，對(duì)于分析周期函數(shù)能夠起到引領(lǐng)作用.但是之前的函數(shù)定義都以“運(yùn)算”為基礎(chǔ)，而三角函數(shù)的定義是建立在對(duì)應(yīng)的基礎(chǔ)之上，以前的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)無法直接遷移，特別是對(duì)三角函數(shù)的本質(zhì)特征：任意角的三角函數(shù)是研究一個(gè)實(shí)數(shù)集(角的弧度數(shù)構(gòu)成的集合)到另一個(gè)實(shí)數(shù)集(角的終邊與單位圓交點(diǎn)的坐標(biāo)或其比值構(gòu)成的集合)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，會(huì)形成認(rèn)知難點(diǎn).在利用單位圓抽象出正余弦函數(shù)性質(zhì)可能稍有困難，不能從“數(shù)”出發(fā)，準(zhǔn)確和諧地將“數(shù)”與“形”進(jìn)行轉(zhuǎn)化。因此性質(zhì)探究過程中借助單位圓、角的終邊以及二者的交點(diǎn)這些幾何圖形的直觀幫助,激發(fā)學(xué)生從“數(shù)”與“形”的角度思考，從學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，環(huán)環(huán)緊扣提出問題，讓學(xué)生經(jīng)歷由特殊到一般、一般到特殊的認(rèn)知過程，初步形成運(yùn)用函數(shù)思想解決問題的習(xí)慣。誘導(dǎo)公式內(nèi)容較多，推導(dǎo)過程基于三角函數(shù)的定義，借助于單位圓的對(duì)稱性，以及平面直角坐標(biāo)系內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)的特點(diǎn)，以定義為紐帶進(jìn)行轉(zhuǎn)化理解.會(huì)形成理解上的難點(diǎn)，教學(xué)中要強(qiáng)調(diào)標(biāo)題的作用，如“誘導(dǎo)公式與對(duì)稱”“誘導(dǎo)公式與旋轉(zhuǎn)”等，再次強(qiáng)化學(xué)生對(duì)三角函數(shù)這種“對(duì)應(yīng)”式定義的理解，會(huì)更好的服務(wù)于后續(xù)的三角函數(shù)基礎(chǔ)性質(zhì)的發(fā)現(xiàn).基于以上的分析，確立本單元教學(xué)中正余弦概念及性質(zhì)的抽象、誘導(dǎo)公式的推導(dǎo)及應(yīng)用為教學(xué)難點(diǎn).四、單元教學(xué)支持條件分析在本單元的教學(xué)中，充分發(fā)揮信息技術(shù)的作用，特別利用單位圓探究正余弦函數(shù)的定義、性質(zhì)及誘導(dǎo)公式等問題中都起到重要的作用.五、課時(shí)教學(xué)設(shè)計(jì)課題：4.1單位圓與任意角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)定義一．課時(shí)教學(xué)內(nèi)容利用單位圓抽象出任意角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義二．課時(shí)教學(xué)目標(biāo)1.了解三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式的意義和作用，理解誘導(dǎo)公式的推導(dǎo)過程；2.經(jīng)歷自主探究發(fā)現(xiàn)問題（任意角的三角函數(shù)值與銳角三角函數(shù)值之間的內(nèi)在聯(lián)系），提出研究方法（利用坐標(biāo)的對(duì)稱關(guān)系，從三角函數(shù)的定義得出相應(yīng)的關(guān)系式）并完成推導(dǎo)過程，并對(duì)任意角三角函數(shù)化簡(jiǎn)、求值；3.在探究活動(dòng)中，學(xué)生通過獨(dú)立思考和合作交流，發(fā)展思維，從探索中獲得成功的體驗(yàn)，落實(shí)數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理素養(yǎng).三．教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：借助單位圓認(rèn)識(shí)和理解任意角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義；教學(xué)難點(diǎn)：借助終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)理解任意角正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義.四．教學(xué)過程設(shè)計(jì)（一）創(chuàng)設(shè)情境?明確對(duì)象赴九天、探蒼穹，神州十四號(hào)載人飛船出征，中國空間站迎來第三批訪客。中國空間站每90分鐘繞地球運(yùn)行一周，每天繞地球約15至16圈。必修一我們學(xué)習(xí)了函數(shù)，知道函數(shù)是刻畫客觀世界變化的數(shù)學(xué)模型。中國空間站圍繞地球是周而復(fù)始的圓周運(yùn)動(dòng)，我們已有的函數(shù)模型可以刻畫這種周期變化嗎？從剛才的視頻，我們抽象出天宮繞地球旋轉(zhuǎn)的數(shù)學(xué)模型，為動(dòng)點(diǎn)P繞圓做圓周運(yùn)動(dòng)?？梢?，點(diǎn)P在旋轉(zhuǎn)過程中，OP與x非負(fù)半軸形成角α，所以，刻畫圓周運(yùn)動(dòng)的函數(shù)模型一定與角α有關(guān)。設(shè)計(jì)意圖：用數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)、函數(shù)的視角看待自然現(xiàn)象和客觀世界運(yùn)行規(guī)律，體現(xiàn)函數(shù)的重要性，定義新函數(shù)的必要性，經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問題→尋求方案→明確方向的過程。復(fù)習(xí)銳角三角函數(shù)的定義問題1：在初中，我們借助直角三角形學(xué)習(xí)了銳角三角函數(shù)，你能回憶初中銳角的正弦、余弦是如何定義的？它們自變量是什么？以什么為函數(shù)值？自變量的范圍是什么？函數(shù)值的范圍是什么？設(shè)計(jì)意圖：溫故知新，尋找新知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn)，讓學(xué)生體會(huì)知識(shí)的產(chǎn)生、發(fā)展過程，就要從源頭上開始，從學(xué)生現(xiàn)有認(rèn)知狀況開始，因此對(duì)銳角三角函數(shù)的復(fù)習(xí)是必不可少的.將銳角三角函數(shù)融入學(xué)生已有的函數(shù)知識(shí)結(jié)構(gòu)中，容易為學(xué)生建立起任意角的三角函數(shù)獲取心理邏輯的自然.當(dāng)α為鈍角或者任意角時(shí)，提出問題問題2：在高中，隨著角的概念的推廣和弧度制的引入，角的范圍變成了全體實(shí)數(shù)R，那么對(duì)于任意角α，比如當(dāng)α為鈍角時(shí)，角α的“斜邊”這種說法還存在嗎？三角函數(shù)不能用邊長(zhǎng)的比值來定義。那么任意角的三角函數(shù)該如何定義呢？這是我們本節(jié)課研究重點(diǎn)設(shè)計(jì)意圖：制定方案：類比反思→結(jié)合經(jīng)驗(yàn)→知識(shí)遷移。問題1到問題2是溫故知新化過程，利用角a的變化作為思維的切入點(diǎn)，打破學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的平衡，感受學(xué)習(xí)新知識(shí)的必要性，即角的范圍擴(kuò)大了，初中銳角三角函數(shù)的定義也應(yīng)該與時(shí)俱進(jìn)，這有利于將探究的主動(dòng)權(quán)交給學(xué)生.（二）探究新知?構(gòu)建定義終邊上點(diǎn)坐標(biāo)表示的銳角三角函數(shù)問題3：（定義坐標(biāo)化）要想研究任意角的三角函數(shù)，中國有句古話：“工欲善其事，必先利其器”.隨著角的概念推廣和弧度制的引入，我們一般借助什么工具來研究角？設(shè)計(jì)意圖：依托學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)，啟發(fā)學(xué)生聯(lián)想，觸發(fā)學(xué)生的靈感，為坐標(biāo)法的實(shí)施奠定研究的基礎(chǔ).師：平面直角坐標(biāo)系是聯(lián)系幾何與代數(shù)的橋梁，是實(shí)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想的關(guān)鍵。我們先研究哪種角的三角函數(shù)？是直接研究任意角的情形還是先研究銳角的情形呢？追問：我們把一個(gè)銳角放在直角坐標(biāo)系內(nèi)。由于任意角α都有始邊和終邊.在直角坐標(biāo)系中，如何放置銳角α可以方便研究？設(shè)計(jì)意圖：以銳角三角函數(shù)的研究為本節(jié)課知識(shí)的“生長(zhǎng)點(diǎn)”，這樣的研究符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，學(xué)生有思考的落腳點(diǎn)，更能夠激發(fā)學(xué)生的求知欲，由特殊到一般的思想突破本節(jié)課任意角三角函數(shù)概念的建構(gòu)這一教學(xué)難點(diǎn).問題4：（表達(dá)式形式優(yōu)化）在銳角α的終邊上任取一點(diǎn)P(u,v)，它與原點(diǎn)O的距離為r，過點(diǎn)P做x軸的垂線，垂足為M,直角邊、斜邊有新的寓意嗎？你能用點(diǎn)P的坐標(biāo)及r來表示銳角α的三角函數(shù)嗎？設(shè)計(jì)意圖：把銳角α放在直角坐標(biāo)系下對(duì)學(xué)生來說比較簡(jiǎn)單，構(gòu)造直角三角形也是一目了然的，這樣可以把初中銳角三角函數(shù)的定義納入直角坐標(biāo)系，將邊長(zhǎng)的比變成坐標(biāo)關(guān)系，為任意角的三角函數(shù)定義的給出做好鋪墊.利用數(shù)形結(jié)合思想，完成長(zhǎng)度和坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換。追問1：當(dāng)銳角α確定，如果改變?chǔ)恋慕K邊上的P位置，角α的正弦值會(huì)發(fā)生改變嗎？原因是什么？設(shè)計(jì)意圖：?jiǎn)栒抑颠@一種情況，方便師生研究.余弦值可以類比得到，更方便學(xué)生理解（下面有類似問法也是同樣考慮）;由三角形相似，說明在終邊上任意取點(diǎn)不影響三角函數(shù)值.這是為單位圓定義的提出做好鋪墊,也為任意角的終邊定義法奠定基礎(chǔ)。追問：數(shù)學(xué)追求“簡(jiǎn)潔美”，既然這個(gè)比值與終邊上點(diǎn)P的位置無關(guān)，那么當(dāng)P點(diǎn)選在何處時(shí)，sinα和cosα的形式最簡(jiǎn)單？設(shè)計(jì)意圖:通過問題的形式過渡，自然得出單位圓的概念.由此便可順勢(shì)得出sinα和cosα的簡(jiǎn)化形式，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的“簡(jiǎn)潔美”.同時(shí)也明確在單位圓的背景下，銳角和單位圓上P點(diǎn)有對(duì)應(yīng)關(guān)系.2．單位圓上的點(diǎn)坐標(biāo)表示的銳角三角函數(shù)由上一環(huán)節(jié)得到單位圓上的點(diǎn)坐標(biāo)表示的銳角三角函數(shù)：sina=v cosa=u由此可知：對(duì)于銳角α來說，P的縱坐標(biāo)v是該角的正弦函數(shù)值，記作v=sinαP的橫坐標(biāo)u是該角的正弦函數(shù)值，記作u=cosα問題5：(函數(shù)化過程)當(dāng)銳角α發(fā)生變化時(shí)，P點(diǎn)的坐標(biāo)會(huì)發(fā)生相應(yīng)的改變嗎？相應(yīng)的正弦、余弦函數(shù)值呢？也就是說：當(dāng)銳角α確定了，P點(diǎn)的坐標(biāo)是唯一確定（配合動(dòng)畫演示）設(shè)計(jì)意圖：在初中，學(xué)生對(duì)函數(shù)理解還比較膚淺，這里提出的問題扣準(zhǔn)了函數(shù)概念的內(nèi)涵，突出了變量之間的依賴關(guān)系及對(duì)應(yīng)關(guān)系，是從一般函數(shù)知識(shí)演繹到三角函數(shù)知識(shí)的重要環(huán)節(jié)，是準(zhǔn)確理解三角函數(shù)概念的關(guān)鍵.追問1：通過上述演示，你能說出銳角α正弦v=sinα、余弦u=cosα的自變量嗎？以什么為函數(shù)值呢？我們?cè)诟咭簧蠈W(xué)期學(xué)過了函數(shù)的概念，知道函數(shù)是兩個(gè)非空數(shù)集之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。追問2：你能從函數(shù)的觀點(diǎn)出發(fā)，給出銳角的正弦函數(shù)形如y=f(x)的定義嗎？對(duì)于任意一個(gè)銳角x（x弧度表示），都有唯一確定的正弦值sinx與之對(duì)應(yīng)，按照這個(gè)對(duì)應(yīng)法則所建立的函數(shù)，叫做銳角的正弦函數(shù)，記作y=sinx,函數(shù)的定義域是(0,2π)中間強(qiáng)調(diào)：初中的自變量是60進(jìn)制的角度，不是10進(jìn)制的實(shí)數(shù)，所以初中所學(xué)不符合函數(shù)定義，故角一定是弧度。設(shè)計(jì)意圖：用文字語言、圖形語言、符號(hào)語言分別描述概念，深入理解數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵與外延。只單問一個(gè)函數(shù)，可以方便學(xué)生思考，也方便師生共同總結(jié)，還可以讓學(xué)生在自行總結(jié)任意角的三角函數(shù)概念時(shí)有參照對(duì)象，為總結(jié)任意角三角函數(shù)定義打好基礎(chǔ).追問3：函數(shù)角度下的銳角三角函數(shù)概念和初中所學(xué)有什么區(qū)別？設(shè)計(jì)意圖：加強(qiáng)學(xué)生對(duì)新的定義方式的理解，讓學(xué)生意識(shí)到任意角沒有“斜邊”，但是有“始邊”、“終邊”，從而發(fā)現(xiàn)對(duì)于任意角，如果始邊放在x軸非負(fù)半軸上，其終邊與單位圓有唯一交點(diǎn)，從而能形成函數(shù)關(guān)系.彌補(bǔ)初中銳角三角函數(shù)對(duì)“函數(shù)性”解釋，為歸納任意角三角函數(shù)概念掃清心理障礙.推廣至任意角三角函數(shù)的概念問題6：由特殊到一般的思想，結(jié)合銳角三角函數(shù)概念形成和發(fā)展的過程，你能給任意角的三角函數(shù)下一個(gè)定義嗎？任意角正弦函數(shù)定義：對(duì)于任意一個(gè)角x（x弧度表示），都有唯一確定的正弦值sinx與之對(duì)應(yīng)，按照這個(gè)對(duì)應(yīng)法則所建立的函數(shù)，叫做正弦函數(shù)，記作y=sinx,函數(shù)的定義域是R注1：任意角的三角函數(shù)是以角為自變量，單位圓上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)、橫坐標(biāo)為函數(shù)值的函數(shù)注2：角α的弧度數(shù)與實(shí)數(shù)一一對(duì)應(yīng)，所以角α是R上的實(shí)數(shù)，與之對(duì)應(yīng)的函數(shù)值sinα是閉區(qū)間[?1,1]上的實(shí)數(shù)3：建立了兩個(gè)實(shí)數(shù)集的對(duì)應(yīng)關(guān)系（使三角函數(shù)抽象為一個(gè)與角無關(guān)的函數(shù)，只是刻畫周期變化規(guī)律的、實(shí)數(shù)到實(shí)數(shù)上的映射）設(shè)計(jì)意圖：利用類比、遷移的認(rèn)知規(guī)律，學(xué)生容易給出任意角的三角函數(shù)定義.學(xué)生可以意識(shí)到銳角三角函數(shù)是任意角三角函數(shù)的特例，任意角三角函數(shù)是銳角三角函數(shù)的自然延伸.體現(xiàn)知識(shí)的螺旋上升，讓學(xué)生經(jīng)歷模型解構(gòu)與數(shù)學(xué)化的過程，突出用函數(shù)的觀點(diǎn)全面認(rèn)識(shí)三角函數(shù)概念形成和發(fā)展過程，落實(shí)數(shù)學(xué)抽象和直觀想象的核心素養(yǎng)。（三）強(qiáng)化定義?鞏固新知我們利用坐標(biāo)思想、數(shù)形結(jié)合思想實(shí)現(xiàn)了初中三角函數(shù)到銳角三角函數(shù)的拓展，并由特殊到一般得到任意角三角函數(shù)的概念，下面能不能利用“三角函數(shù)的本質(zhì)特征”過三關(guān)、斬六將。第一關(guān)：在單位圓中，α=?4π，你能畫出角α并求出角α的正弦、余弦函數(shù)值嗎？若α=7π4呢？設(shè)計(jì)意圖：從最簡(jiǎn)單的問題入手，通過變式，讓學(xué)生學(xué)習(xí)如何利用定義來解決不同的問題，加深對(duì)定義的理解。第二關(guān)：已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(12,23)，你能求出角α的正弦、余弦值嗎？設(shè)計(jì)意圖：引起學(xué)生發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)角的終邊是重合的，所以它們與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)相同，由任意角三角函數(shù)的定義可知，終邊相同的角的同一三角函數(shù)值是相等的.讓學(xué)生體驗(yàn)到公式一的作用和三角函數(shù)的周期性.第三關(guān)：已知任意角α終邊上除原點(diǎn)外的一點(diǎn)Q(x,y)，求角α的正弦函數(shù)值、余弦函數(shù)值。師：以問題驅(qū)動(dòng)學(xué)生思考：你對(duì)該問題有什么思路？可以用圖形語言和數(shù)學(xué)語言描述它嗎？怎樣利用三角函數(shù)概念輔助解決這個(gè)問題?角α在運(yùn)動(dòng)變化過程中，終邊有哪些特殊位置?怎樣求這些特殊位置上的正、余弦函數(shù)值？對(duì)于沒有思路小組，可以提出問題：若α=2π3終邊上作一點(diǎn)P且OP=2，你能求點(diǎn)P的坐標(biāo)嗎？觀察橫、縱坐標(biāo)分別除以2得到的值，與α=2π3的三角函數(shù)值有關(guān)系嗎？若OP=r,點(diǎn)P的坐標(biāo)分別除以r后的值，與α=2π3的三角函數(shù)值有關(guān)系嗎？得出sinα=yr，cosα=xr，其中r= x2+y2,你能證明這個(gè)結(jié)論嗎？追問：當(dāng)角α的終邊在坐標(biāo)軸上，上述結(jié)論能成立嗎？也就是這個(gè)結(jié)論能一般化嗎？抽象概括：設(shè)角α終邊上除原點(diǎn)外的一點(diǎn)Q(x0,y0)，則sinα=y，cosα=x，其中r