人教版七年級數(shù)學(xué)下冊 命題、定理與證明 分層作業(yè)

5.3.2命題'定理與證明分層作業(yè)

基礎(chǔ)訓(xùn)練

1.數(shù)學(xué)巨著《幾何原本》以基本事實和原始概念為基礎(chǔ)，推演出更多的結(jié)論，體現(xiàn)了公理化思想.《幾何

原本》的作者是（）

A.阿基米德B.歐幾里得C.畢達(dá)哥拉斯D.泰勒斯

【答案】B

【分析】根據(jù)數(shù)學(xué)史，即可得到答案；

【詳解】解：《幾何原本》的作者是：歐幾里得，

故選：B.

【點睛】本題考查了《幾何原本》，早在公元前3世紀(jì)，希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得用由反復(fù)實踐所證實而被認(rèn)為

不需要證明的少數(shù)命題為前提，用邏輯推理的方法，將前人在幾何方面的研究成果整理成《幾何原本》.

2.下列語句中，是命題的個數(shù)為（）

①若兩個角相等，則它們是對頂角；②等腰三角形兩底角相等；③畫線段AB=lcm；④同角的余角相等；

⑤同位角相等.

A.2個B.3個C.4個D.5個

【答案】C

【分析】本題主要考查命題，熟練掌握命題的概念是解題的關(guān)鍵；因此此題可根據(jù)“一般的，在數(shù)學(xué)中把用

語言、符號或式子表達(dá)的，可以判斷真假的陳述句叫做命題”進(jìn)行排除選項.

【詳解】解：①②④⑤符合命題的定義，而③不能寫出題設(shè)與結(jié)論出來，故不是命題，所以是命題的個數(shù)

有4個；

故選C.

3.下列句子中，屬于命題的是（）

A.直線A3和8垂直嗎？B.過線段A3的中點C作的垂線

C.同旁內(nèi)角互補，兩直線平行D.己知片=1,求。的值

【答案】C

【分析】此題考查了命題的定義，熟記定義是解題的關(guān)鍵.對一件事情作出判斷的語句叫做命題，注意，

假命題也是命題.根據(jù)命題的定義判斷即可.

【詳解】解：A.是問句，不是命題，故該選項不符合題意，

B.是作圖，沒有對一件事情作出判斷，不是命題，故該選項不符合題意，

C.對一件事情作出判斷，是命題，故該選項符合題意，

D.沒有對一件事情作出判斷，不是命題，故該選項不符合題意.

故選：C.

4.下列命題；

①內(nèi)錯角相等；

②兩個銳角的和是鈍角；

③a,b,。是同一平面內(nèi)的三條直線，若ab,6/c,則a，c；

④“，b,。是同一平面內(nèi)的三條直線，若q_Lb,6J_c,則ac；

其中真命題的個數(shù)是（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】B

【分析】本題考查了命題與定理的知識.利用平行線的性質(zhì)及判定方法分別判斷后即可確定正確的選項.

【詳解】解：①兩直線平行，內(nèi)錯角相等，故原命題錯誤，是假命題，不符合題意；

②兩個銳角的和不一定是鈍角，錯誤，是假命題，不符合題意；

③a,b,c是同一平面內(nèi)的三條直線，若ab,b,'c,則a/c；正確，是真命題，符合題意；

④。，b,c是同一平面內(nèi)的三條直線，若b±c,則a.c,正確，是真命題，符合題意；

真命題有2個，

故選：B.

5.下面關(guān)于實數(shù)4，6的值中，能說明“若同=例，則a=6”這個命題是假命題的是（）

A.a=2,b=2B.a=—2,b——2

C.a=2,b=—2D.a=—2,Z?=—3

【答案】C

【分析】本題主要考查假命題的判斷，舉反例是說明假命題不成立的常用方法，但需要注意所舉反例需要

滿足命題的題設(shè)，但結(jié)論不成立.說明命題為假命題，即。、6的值滿足同=同，但。=6不成立，把四個

選項中的a、b的值分別代入驗證即可.

【詳解】解：當(dāng)。=2,6=2時，同=回，而。=6成立，故A選項不符合題意；

當(dāng)a=-2,6=-2時，同=同，而。=6成立，故B選項不符合題意；

當(dāng)a=2,6=-2時，何=同，但。=6不成立，故C選項符合題意;

當(dāng)a=-2,6=-3時，同=例不成立，故D選項不符合題意;

故選：C.

6.對于命題“如果Nl+N2=90。，那么Nlw/2.”能說明它是假命題的反例是()

A.Z1=Z2=45°B.Nl=40。，/2=50°

C.Zl=50°,N2=50。D.4=40。，Z2=40°

【答案】A

【分析】本題考查了反證法；

根據(jù)反例滿足條件，不滿足結(jié)論可對各選項進(jìn)行判斷.

【詳解】解：A.Z1=Z2=450,滿足條件，不滿足結(jié)論，可作為說明原命題是假命題的反例，符合題意；

B./l=40。，Z2=50°,滿足條件和結(jié)論，不能作為說明原命題是假命題的反例，不符合題意；

C.Zl=50°,Z2=50°,不滿足條件，不能作為說明原命題是假命題的反例，不符合題意；

D./l=40。，/2=40。，不滿足條件，不能作為說明原命題是假命題的反例，不符合題意；

故選：A.

7.下列命題中，真命題是()

A.若兩個角相等，則這兩個角是對頂角B.同位角一定相等

C.平行于同一條直線的兩直線平行D.若"=萬2,則〃

【答案】C

【分析】本題主要考查了判斷命題真假，根據(jù)對頂角的定義即可判斷A；根據(jù)平行線的性質(zhì)與判定即可判

斷B、C；根據(jù)乘方的意義即可判斷D.

【詳解】解：A、若兩個角相等，則這兩個角不一定是對頂角，原命題是假命題，不符合題意；

B、兩直線平行，同位角一定相等，原命題是假命題，不符合題意；

C、平行于同一條直線的兩直線平行，原命題是真命題，符合題意；

D、若"=萬2,貝6或。=一6,原命題是假命題，不符合題意；

故選C.

8.命題“同角的補角相等”是命題.寫成“如果…那么...”的形式.

【答案】真如果兩個角是同一個角的補角，那么這兩個角相等

【分析】本題考查了命題與定理：判斷一件事情的語句，叫做命題，許多命題都是由題設(shè)和結(jié)論兩部分組

成，題設(shè)是已知事項，結(jié)論是由已知事項推出的事項，把一個命題寫成“如果???那么形式是解決問題

的關(guān)鍵.

把命題的題設(shè)和結(jié)論，寫成“如果那么”的形式即可；

【詳解】解：命題“同角的補角相等”是真命題，把命題“同角的補角相等”改寫成“如果...那么”的形式為如

果兩個角是同一個角的補角，那么這兩個角相等；

故答案為：真；如果兩個角是同一個角的補角，那么這兩個角相等.

9.有下列命題①對頂角相等；②同位角相等；③從直線外一點到這條直線的垂線段，叫做這點到這條直線

的距離；④平行于同一條直線的兩條直線平行.其中是真命題的是（填序號）

【答案】①④

【分析】根據(jù)對頂角的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，點到直線距離的定義，平行線的判定判斷即可.

【詳解】???對頂角相等；

故①正確；

同位角不一定相等；

故②錯誤；

從直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫做這點到這條直線的距離；

故③錯誤；

平行于同一條直線的兩條直線平行，

故④正確；

故答案為①④.

【點睛】本題考查了對頂角的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，點到直線距離的定義，平行線的判定，熟練掌握相應(yīng)

的知識是解題的關(guān)鍵.

10.命題“若"％b^c,貝1J"c”是命題.（填嗔”“假”）

【答案】假

【分析】本題考查了判定命題的真假，令a=2,b=3,c=2,根據(jù)a=2w6=3,b=3手c=2,a=c,進(jìn)

而可求解，熟練掌握基礎(chǔ)知識是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：令a=2,b=3,c=2,

則a=2關(guān)6=3,b=3手c=2,a=c,

則原命題是假命題，

故答案為：假.

H.命題“如果實數(shù)。、》滿足"＞），那么四'的題設(shè)是,它是命題（填嗔”或“假”）.

【答案】實數(shù)》滿足。＞8假

【分析】根據(jù)命題的定義先判斷出命題的題設(shè)，再舉實例證明命題為假命題即可.

【詳解】解：命題：如果實數(shù)。、。滿足那么時＞網(wǎng)，

題設(shè)為：實數(shù)。、方滿足“＞萬，結(jié)論為：同＞同，

如果實數(shù)。、6滿足。＞8,

當(dāng)。=1,b=-2時，。＞6,但是同＜同，故原命題為假命題,

故答案為：實數(shù)。、人滿足。＞＞；假.

【點睛】本題考查了命題的定義，真假命題的判斷，根據(jù)舉例的方式判斷命題的真假是解答本題的關(guān)鍵.

12.對于下列假命題，各舉一個反例寫在橫線上.

⑴"如果ac=bc,那么。=6"是一個假命題；

反例：;

(2)“如果問=問，那么。=8"是一個假命題.

反例：?

【答案】3x0=(-2)x0|3|=|-3|

【解析】略

13.判斷下列語句是否是命題，若是，寫成“如果...那么...”的形式，并判斷其是真命題還是假命題.

(1)同位角相等，兩直線平行；

(2)延長54到點C；

(3)同角的補角相等；

⑷平方后等于1的數(shù)是1.

【答案】(1)見解析

(2)見解析

(3)見解析

(4)見解析

【分析】(1)根據(jù)命題的定義和平行線的判定方法進(jìn)行判斷；

(2)根據(jù)命題的定義進(jìn)行判斷；

(3)根據(jù)命題的定義和補角的定義進(jìn)行判斷；

(4)根據(jù)命題的定義得到平方后等于1的數(shù)是1是命題，然后利用-1的平方等于1判斷它為假命題.

【詳解】(1)解：同位角相等，兩直線平行是真命題，寫成“如果...那么...”的形式為：如果兩直線被第三條

直線所截，同位角相等，那么這兩直線平行；

(2)延長到點C不是命題；

(3)同角的補角相等是真命題；寫成“如果…那么…”的形式為：如果兩個角都是同一個角的補角，那么這

兩個角相等；

(4)VI2=1，(-I),，

平方后等于1的數(shù)是1是假命題，寫成“如果...那么...”的形式為：如果一個數(shù)的平方等于1,那么這個數(shù)為

1

【點睛】本題考查命題：判斷事物的語句叫命題；正確的命題稱為真命題；錯誤的命題稱為假命題.掌握

命題的相關(guān)概念是解題的關(guān)鍵.

14.判斷下列命題是真命題還是假命題，若是假命題，請舉出一個反例進(jìn)行說明.

(1)一個銳角與一個鈍角的和是180。；

⑵若孫=。，貝！!x=0或y=0；

(3)若則/>萬2；

(4)有公共頂點且相等的角是對頂角；

(5)倒數(shù)等于它本身的數(shù)是1.

【答案】(1)假命題，理由見解析

(2)真命題

(3)假命題，理由見解析

(4)假命題，理由見解析

(5)假命題，理由見解析

【分析】(1)根據(jù)銳角和鈍角的概念判斷；

(2)根據(jù)有理數(shù)的乘法法則判斷；

(3)根據(jù)有理數(shù)的大小比較法則、有理數(shù)的乘方法則計算，判斷即可；

(4)根據(jù)對頂角的概念判斷；

(5)根據(jù)倒數(shù)的概念判斷.

【詳解】(1)一個銳角與一個鈍角的和是180。，是假命題，例如：30。的角是銳角，100。的角是鈍角，

30°+100°=130°,130°不是180°；

(2)若孫=0,貝!]x=0或y=。，是真命題；

(3)若則則若是假命題,例如：1>-2,而/<(-2)2；

(4)有公共頂點且相等的角是對頂角，是假命題，90。的角和它的鄰補角有公共頂點且相等，但不是對頂角；

(5)倒數(shù)等于它本身的數(shù)是1,是假命題，例如-1的倒數(shù)等于它本身的數(shù)是-L

【點睛】本題考查的是命題的真假判斷，任何一個命題非真即假.要說明一個命題的正確性，一般需要推

理、論證，而判斷一個命題是假命題，只需舉出一個反例即可.

15.指出下列命題的題設(shè)和結(jié)論，并判斷它們是真命題還是假命題，如果是假命題，舉出一個反例.

(1)兩個角的和等于平角時，這兩個角互為補角；

(2)內(nèi)錯角相等；

(3)兩條平行線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補.

【答案】(1)題設(shè)：如果兩個角的和等于平角時，結(jié)論：那么這兩個角互為補角；是真命題

(2)題設(shè)：如果兩個角是內(nèi)錯角，結(jié)論：這兩個角相等；是假命題，舉反例見解析；

(3)題設(shè)：如果兩條平行線被第三條直線所截，結(jié)論：那么同旁內(nèi)角互補.是真命題

【分析】(1)如果引出的部分就是命題的題設(shè)，那么引出的部分就是命題的結(jié)論，題設(shè)成立，結(jié)論也成立

命題是真命題，否則是假命題，據(jù)此結(jié)合補角的定義判定即可；

(2)兩直線平行，內(nèi)錯角才相等，畫出不平行的直線形成的內(nèi)錯角即可；

(3)利用平行線的性質(zhì)判定即可；

【詳解】(1)解：題設(shè)：如果兩個角的和等于平角時，

結(jié)論：那么這兩個角互為補角；

是真命題；

(2)解:題設(shè)：如果兩個角是內(nèi)錯角，

結(jié)論：這兩個角相等；

是假命題，如圖N1與N2是內(nèi)錯角，Z2<Z1；

(3)解：題設(shè)：如果兩條平行線被第三條直線所截，

結(jié)論：那么同旁內(nèi)角互補.

是真命題.

【點睛】本題考查了命題，掌握命題的概念和真假命題的判定方法是解題的關(guān)鍵.

16.如圖，已知兩平行直線A3、CD被直線￡F所截，射線EM、FN分別平分ZBEF和/CFE.

（1）判斷現(xiàn)f與FN之間的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

⑵由（1）的結(jié)論可以得到一個命題：如果（），那么（）.

【答案】（1）EM〃RV,證明見解析

（2）兩條直線平行，內(nèi)錯角的角平分線平行

【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)：

（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)可得NBEF=NCFE,再結(jié)合角平分線的性質(zhì)可得ZMEF=ZNFE,根據(jù)“內(nèi)錯角相

等，兩直線平行”即可得證；

（2）結(jié)合（1）的結(jié)論即可得到答案.

【詳解】（1）解：EM//FN.證明如下：

AB//CD（已知）

ZBEF=ZCFE（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）

射線EM、FN分別平分ZB￡F和/CEE（已知）

ZMEF=-ZBEF,ZNFE=-ZCFE（角平分線的定義）

22

ZBEF=Z.CFE（已證）

ZMEF=ZNFE（等量代換）

■■EM//FN（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）

（2）解：如果兩條直線平行，那么內(nèi)錯角的角平分線平行.

故答案為：兩條直線平行，內(nèi)錯角的角平分線平行.

|能力提升|

17.下列命題中，是假命題的是（）

A.若AB〃EF,貝!1N4=ZBB.若DE〃BC,則N2=/4

C.若N1=NB,貝Ij/3=NCD.若Nl=/2,貝！1/2=14

【答案】D

【分析】本題主要考查了真假命題，平行線的判定與性質(zhì)，根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)一一判斷即可.

【詳解】解：A.若根據(jù)兩直線平行，同位角相等，則/4=/3,是真命題，故本選項不符合

題意；

B.若DE〃BC,根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等，則/2=24,是真命題，故本選項不符合題意；

C.若4=々，根據(jù)同位角相等，兩直線平行，則DE〃臺C,根據(jù)兩直線平行，同位角相等，則/3=/C,

是真命題，故本選項不符合題意；

D.若/1=/2,根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行，則〃跖，無法推出一2=/4,是假命題，故本選項符

合題意；

故選：D.

18.要說明命題“若。＞＞，則a?＞a6”是假命題，能舉的一個反例是（）

A.a=l,b=—2B.a=2,b=lC.。=4,b=-lD.a=—2,b=—3

【答案】D

【分析】根據(jù)有理數(shù)的大小比較法則判斷即可.

【詳用軍】解：當(dāng)。=一2,匕=-3時，a＞b,而。2＜。方，

命題“若。＞6,則6＜融”是假命題，

故選：D.

【點睛】本題考查的是命題的知識，任何一個命題非真即假.要說明一個命題的正確性，一般需要推理、

論證，而判斷一個命題是假命題，只需舉出一個反例即可.

19.甲、乙、丙、丁四個人參加一個比賽，有兩個人獲獎.在比賽結(jié)果揭曉之前，四個人做了如下猜測：

甲：兩名獲獎?wù)咴谝?、丙、丁?乙：我沒有獲獎，丙獲獎了.

丙：甲、乙兩個人中有且只有一個人獲獎.?。阂艺f得對.

已知四個人中有且只有兩個人的猜測是正確的，則兩名獲獎?wù)邽椋ǎ?

A.甲丁B.乙丙C.乙丁D.以上都不正確

【答案】C

【分析】本題主要抓住乙、丁的預(yù)測是一樣的這一特點，則乙、丁的預(yù)測要么同時與結(jié)果相符，要么同時

與結(jié)果不符.先假設(shè)乙、丁的預(yù)測成立，則甲、丙的預(yù)測不成立，可推出矛盾，故乙、丁的預(yù)測不成立，

則甲、丙的預(yù)測成立，再分析可得出獲獎的是乙和丁.

【詳解】解：由題意，可知：

?.?乙、丁的預(yù)測是一樣的，

乙、丁的預(yù)測要么同時與結(jié)果相符，要么同時與結(jié)果不符.

①假設(shè)乙、丁的預(yù)測成立，則甲、丙的預(yù)測不成立，

根據(jù)乙、丁的預(yù)測，丙獲獎，甲、丁中必有一人獲獎；

這與丙的預(yù)測不成立相矛盾.

故乙、丁的預(yù)測不成立，

②乙、丁的預(yù)測不成立，則甲、丙的預(yù)測成立，

..?甲、丙的預(yù)測成立，

...丁必獲獎.

..?乙、丁的預(yù)測不成立，甲的預(yù)測成立，

...丙不獲獎，乙獲獎.

從而獲獎的是乙和丁.

故選：C.

【點睛】本題主要考查合情推理能力，主要抓住共同點及矛盾點去探索結(jié)果.本題屬中檔題.

20.如圖，三角形A3C中，D,E是邊3c上的兩點，G是邊上一點，連接EG并延長.交C4的延長

線于點現(xiàn)有以下條件：①AD平分NR4C；②防〃A。；③ZAGF=NF.從三個條件中選兩個作為

條件，另一個作為結(jié)論，構(gòu)成一個真命題，并加以證明.

條件：;

結(jié)論：.（填序號）

【答案】①②（

【詳解】條件：①②

結(jié)論：③

證明：4。平分/BAC,

:.ZDAB=ZDAC.

EF//AD,

.-.ZAGF=ZBAD,NF=NDAC.

ZAGF=ZF.（答案不唯一）

21.（1）如圖，DE//BC,Z1=Z3,CDLAB.求證：FG±AB-,

（2）若把（1）中的“￡>E〃3C”與結(jié)論“FG1AB”對調(diào)，所得命題是否為真命題？試說明理由;

（3）若把（1）中的“4=N3”與結(jié)論“FG1AB”對調(diào)呢？

A

BGC

【答案】（1）證明見解析；（2）所得命題為真命題.理由見解析；（3）所得命題為真命題.理由見解析

【詳解】（1）證明：DE//BC,

,-.Zl=Z2.又Z1=Z3,

,-.Z2=Z3.:.CD//FG.

:.ZBFG=ZCDB.

CDLAB,:.ZCDB=90°.

ZBFG=90°.:.FG±AB.

（2）所得命題為真命題.理由如下：

CD1AB,FG1AB,

:.CD//FG..-.Z2=Z3.

Z1=Z3,.-.Z1=Z2.

:.DE//BC.

（3）所得命題為真命題.理由如下：

同（2）可得N2=/3.

DE//BC,.-.Z1=Z2.二/1=/3

22.如圖，有如下四個論斷：QDCHEF；②AC//DE；③平分/BC4；④EF平分NBED.

若選擇四個論斷中的三個作為題設(shè)，余下的一個作為結(jié)論，構(gòu)成一個命題，請將你的選擇填在下面框中并

證明.（只寫一種情況即可）

B

F

1

CA

我選擇的三個題設(shè)序號是：

我選擇的結(jié)論序號是：

證明：

【答案】①②③；④，證明見解析

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的定義即可得到結(jié)論.

【詳解】己知：@DC//EF,?AC//DE,③CO平分NBC4,

求證：④EF平