武漢市2024屆高三年級五月模擬訓練試題數(shù)學試題及答案

武漢市2024屆高三年級五月模擬訓練試題

數(shù)學試卷

武漢市教育科學研究院命制2024.5.21

本試題卷共4頁，19題,全卷滿分150分。考試用時120分鐘。

祝考試順利

注意事項：

1.答題前，考生務必用黑色碳素筆將自己的姓名、準考證號、考場號、座位

號填寫在答題卡上，并認真核準條形碼上的準考證號、姓名、考場號、座位號

及科目，在規(guī)定的位置貼好條形碼。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案

標號涂黑。如需改動,用橡皮擦干凈，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題

時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題:本題共8小題,每小題5分，共40分。在每小題給出的四個

選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.設(shè)集合人=[0,a],_8=（2,3），若=則（）

A.0<a<2B.0<a<2C.0<a<3D.0<a<3

2.已知向量日=（1,血），1=（—通,1）,則日在1上的投影向量的模為（）

A.V3B.1C.0D.?

3.設(shè)拋物線=；過焦點尸的直線與拋物線。相交于兩點，則的最小值為（）

A.1B.4C.-4-D.-1-

24o

4.已知一組數(shù)據(jù)1,2,3,4,，的上四分位數(shù)是，，則名的取值范圍為（）

A.{3}B.[2,3]C.[3,4]D.{4}

5.若（1+2，）i°=a（）+5（1+/）+&2（1+2）2H--Faio（l+cc）i°,則a?=（）

A.180B.-180C.-90D.906.

6.已知菱形ABCD,ZDAB*，將△D4C沿對角線AC折起，使以A,B,四點為頂點的三

棱雉體積最大，則異面直線AB與CD所成角的余弦值為（）

7.拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣幾次，記事件人=”九次中既有正面朝上又有反面朝上"，B="幾次中

至多有一次正面朝上”，下列說法不正確的是()

A.當n=2時，P(AB)=[■B.當n=2時，事件A與事件B不獨立

C.當n=3時，P(A+B)=《D.當n=3時，事件A與事件B不獨立

O

8.在三角形ABC中，角A,。的對邊分別為a,b,。且滿足。2—Q2=QLC=2，則△ABC面積取

最大值時，cosC=()

A.勺TDV3+1c2—n2+

B

-^r-25-4-

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項

中,有多項符合題目要求。全部選對的得6分,有選錯的得0分,部分選

對的得部分分。

,3>0,0<0〈專)的部分圖像如圖所示，貝I]()

B./(T)的最小正周期為兀

5兀

內(nèi)有3個極值點D.f@)在區(qū)間[巖,2兀]上的最大值為同

12

10.在平面直角坐標系多。夕中，橢圓C：彳+才=1,圓04+才=5,P為圓。上任意一點，Q為橢

圓。上任意一點.過P作橢圓。的兩條切線打。，當Z1，。與坐標軸不垂直時，記兩切線斜率分

別為自，％2,則()

A.橢圓。的離心率為乎B.\PQ\的最小值為1

C.|PQ|的最大值為，^+2D.而+稻>3

11.對于函數(shù)/(乃=忘，下列說法正確的是()

A.函數(shù)/(①)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1)U(l,e)

B./(7t)</(2)

C.若方程|，(㈤)|=k有6個不等實數(shù)根，則k>e

D.對任意正實數(shù)如比2，且比1W比2,若/(%1)=/(%2)，則比1比2>e?

三、填空題:本題共3小題,每小題5分，共15分。

12.已知復數(shù)z滿足|z—i|=^，則同的最小值為.

13?已知罟翳=聲，則sin%+cos%=一.

14.已知正四棱臺的上底面與下底面的邊長之比為1:2，其內(nèi)切球的半徑為1,則該正四棱臺的體積為

四、解答題:本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或

演算步驟。

15.(13分)

已知/(2)=一/，(1)/+/+21na;.

(1)求r(i)并寫出了(0的表達式；

(2)證明：/(c)Wc—1.

16.(15分)

如圖，已知四棱雉P—4BCD中，P4_L平面4BCD，四邊形中，/ABC=90°,

AB//CD,AB=1,BC=1,CD=2，點A在平面PCD內(nèi)的投影恰好是△PCD的重心G.

(1)證明:平面PABL平面PBC；

(2)求直線DG與平面所成角的正弦值.

17.(15分)

已知雙曲線氏/一才=1,直線PQ與雙曲線E交于P,Q兩點,直線上W與雙曲線E交于M,N

兩點.

(1)若直線經(jīng)過坐標原點,且直線PM,PN的斜率kPM,kPN均存在，求kPMkPN；

(2)設(shè)直線PQ與直線MN的交點為T(l,2)，且喬?亍?=說?而，證明：直線PQ與直線

的斜率之和為0.

18.(17分)

某企業(yè)生產(chǎn)一種零部件，其質(zhì)量指標介于(49.6,50.4)的為優(yōu)品.技術(shù)改造前，該企業(yè)生產(chǎn)的該種

零部件質(zhì)量指標服從正態(tài)分布N(50,0.16)；技術(shù)改造后,該企業(yè)生產(chǎn)的同種零部件質(zhì)量指標服從

正態(tài)分布N(50,0.04).

附:若X?N(〃,/)，取P(|X—“<。)=0.6827,P(|X—“<2。)=0.9545.

(1)求該企業(yè)生產(chǎn)的這種零部件技術(shù)改造后的優(yōu)品率與技術(shù)改造前的優(yōu)品率之差；

(2)若該零件生產(chǎn)的控制系統(tǒng)中每個元件正常工作的概率都是p(0Vp<l)，各個元件能否正常

工作相互獨立，如果系統(tǒng)中有超過一半的元件正常工作，系統(tǒng)就能正常工作.系統(tǒng)正常工作的概

率稱為系統(tǒng)的可靠性.

(1)若控制系統(tǒng)原有4個元件，計算該系統(tǒng)的可靠性，并判斷若給該系統(tǒng)增加一個元件，可靠性是

否提高？

（2）假設(shè)該系統(tǒng)配置有n（n>3,neN）個元件；若再增加一個元件，是否一定會提高系統(tǒng)的可靠

性？請給出你的結(jié)論并證明.

19.（17分）

混沌現(xiàn)象普遍存在于自然界和數(shù)學模型中，比如天氣預測、種群數(shù)量變化和天體運動等等,其中一

維線段上的拋物線映射是混沌動力學中最基礎(chǔ)應用最廣泛的模型之一:假設(shè)在一個混沌系統(tǒng)中，

用0”來表示系統(tǒng)在第nMEN*）個時刻的狀態(tài)值，且該系統(tǒng)下一時刻的狀態(tài)人+1滿足4+1=

,0<<1，其中/（2）=—&/+ac.

⑴當a=3時，若滿足對VneN*，有為=/（4+1），求｛繪｝的通項公式；

（2）證明：當a=1時，｛Xn｝中不存在連續(xù)的三項構(gòu)成等比數(shù)列；

⑶若21=1，a=1,記S“=礁源+i，證明：Si+S2H---FS?<"

2o

武漢市2024屆高三年級五月模擬訓練試題

數(shù)學試卷參考答案及評分標準

一、選擇題

12345678

ACCCACDA

二、選擇題

91011

ABDACBCD

三、填空題

12.x/2-l13.114.學

四、解答題

15.解：

(1)因為/'(立)=一力+1+令7=1解得/'(1)=1,所以/(立)=—X2+x+2lnx.

.......5分

(2)構(gòu)造?(2)=/(乃一/+1=—*+2加劣+1,F(x)=—2]+,=2(1—2(1+少).當

0<c<l時，F(xiàn)r(x)>0,于是歹(①)在[0,1]單調(diào)遞增；當2之1時，F(xiàn)'(x)<0,于是F<)在

[l,+oo]單調(diào)遞減，所以％如⑶=F⑴=0,于是FQ)WF⑴=0,所以/(c)Wc—1.

........13分

16.

⑴證：

,：PA，平面4BCO,BCU平面ABCD,±BC,又=90",：.AB±BC,

：上4與AB相交于A點，：.BCL^-^PAB,又「右。_L平面RB。，平面P4B_L平面PBC.

7分

⑵解：

取CD中點E,CE//AB,；.四邊形4BCD是平行四邊形AAE//BC：.AE±

AB,AE1AP.\'PAL^^ABCD,ABU平面ABC。，：.PA±AB.

如圖所示，以4為原點，4B,力及AP所在直線為力軸，沙軸，z軸建立空間直角坐標系.此

時，A(0,0,0),5(1,0,0),(7(1,1,0),P(-l,1,0),E(fi,1,0).

連PE,：G為△%。的重心，；.G在線段理內(nèi)且理=3GE.設(shè)GE=

a,PE；=3a,R?=2a,平面ABC。，.,.FA_L4E,：.PA=y/9a2-1.

由題意知,AG_L平面R7O,又：理U平面R7O,；.4G±PE,J.PA2=PG-

PE,即9a2—l=6a2,解得a=尋，...PA=0，.?.0((),0,6).由于G是

△PCD的重心，所以用=4兩，于是G(0,I，挈)，，而=(I,—*挈),

OO?JOO

=(1,0,-\/2),皮=(0,1,0).設(shè)成=(c,",z)是平面PBC的法向量，則

[n-PB=工一\/2z=0

\n-BC=y=0'

令z=1,力=y/2jn=(v/2,0,1).

設(shè)直線OG與平面ESC所成角為仇則

.a?/一/、|n-DG272

srnt)=\cos<n,DG>\=--------「=-----.

11\n\\DG\3

所以直線OG與平面PBC所成角的正弦值為竽.........15分

17.解:

（1）當直線MN經(jīng)過坐標原點時，M,N兩點關(guān)于原點對稱.設(shè)

“（X，%）,N（-%,—%）,0（&,%）,于是

K

PM~oVQR]'KPN~?A/Q,?

因為M,N,P三點都在雙曲線42—“2=1,所以

[說一%=1

、若一比=1'

兩式作差，說一冶=謎一比，所以

卜k一%一%%+%笳一猶一1

KK

PMPN-tAJ0_<Xz]'<Xz0I,]-<7X/2Q—e吟V]-L

................6分

（2）已知T（l,2）,可設(shè)直線MN:g—2=&（/-1）,直線RQ:g—2=劣一1），

My。N@2,y?），P@3,V3），QyJ??=（勺-i,%—2）,西=（g-1,%一2）.聯(lián)

立直線MN方程與雙曲線E的方程：

ry-2=k1(x-l)

\x2—y2=l

整理得，（1—般）1+2月（耳-2）c—（一一2尸—1=0,當1—好#0時，A>0.

—2A：i&-2）—一（『2）2—1

】十%一（1—般），七3—碎）-

于是，

TM-TN=(X1-1)(g—1)+(陰一2)(%—2)

=(1+般)[立1立2—(立1+/2)+1]

―一肉—2尸一12kl(k1—2)-

=(1+的

.r^fc?一解_

同理可得,

界.同=（1+必）.-V2.

182

因為西?西=喬?福，所以

1+航1+阿

1—好1—

整理得，好=用，而卜1#k2，所以《+k2=。?........15分

18.解：

（1）技術(shù)改造前，易知%=50,%=0.4,則其優(yōu)品率為改（49.6VX<50.4）=

P(〃i—%<X<%+嗎)=P(|X—〃/<%)=0.6827；技術(shù)改造后，〃2=50曾2=

0.4,則其優(yōu)品率為P(49.6<X<50.4)=P(〃2—2b2<X<〃2+2b2)=P|X—〃2l<

2b2)=0.9545；所以優(yōu)品率之差為0.9545—0.6827=0.2718.

..........4分

(2)①記x為原系統(tǒng)中正常工作元件個數(shù)，y為增加一個元件后正常工作元件個數(shù).由

條件知,X~B(4,p),y~B(5,p).

3(1—M+3(1_4(1_p)+

P(X>3)=。沙C箝4,P(y>3)=。勖py+。如3P5.

因為P(X>3)-P(Y>3)=6P3(1—p)2>0,所以可靠性提高.

..........10分

②方法一：

根據(jù)上一問的假設(shè)，易知X~B(n,p),Y~B(n+l,p).

當"為奇數(shù)時，設(shè)九=2k—CN*),原系統(tǒng)的可靠性為P(X2k),新系統(tǒng)的

可靠性為p(y>k+l),由題意可知，

>k+l)=P(X2々+l)+p.P(X=A:).

所以，P(Y>k+1]-P(X>k)=[P(X>k+l)+p-P(X=k)]-

=fc)]=(p—kk

[P[X>k+l)+P(X1)P(X=k)=C^k_1P(l-p)-"p-1)<0,這說明

可靠性降低.

當"為偶數(shù)時，設(shè)九=2-&22,kcN*),原系統(tǒng)的可靠性為P(XN%+1),新系統(tǒng)的

可靠性為p(y2卜+1)，由題意可知，

P(Y2k+1)=P(X>k+Y)+p-P(X=k).

k+1k

所以，P(Y>k+1)-P(X>k+1)=p-P(X=k)=C^kP(l-p)>0,這說明

可靠性提高.

綜上，若原系統(tǒng)中元件個數(shù)為奇數(shù)，增加一個元件后可靠性會降低；若原系統(tǒng)中元件

個數(shù)為偶數(shù)，增加一個元件后可靠性會提高.

..........17分

方法二：

當"為奇數(shù)時，設(shè)n=2k—1住22/CN*),原系統(tǒng)的可靠性為P(X2卜)，新系統(tǒng)的

可靠性為P(V2卜+1),由題意可知，

2k-l2k-2

p(x卻=￡。短_出(1—P產(chǎn)-j=￡c.k_ipi(1_p)2k-i-i+p2k-i

i=ki=k

212k-2

/+i(i_p)2i-i=+2k

p(m)=￡。婷P產(chǎn)一口+P

i=ki=k

于是，P[Y>k+l)-P(X>k)

2k-2Ik-1

=￡(°短-1+-MO""】一￡CklPP—PPIT+p2k-p2k-1

i=ki=k

2k-2

=E+。聚J-P'(l—P)2IT—(1—P)p2LT

i=k

2k-2

=￡l^2k-lPi+1^—C虹/(I—P)2fc-i]—(1—p)p2-l

i=k

k

=-C^k_1P(l^Py<0,

這說明可靠性降低.

當"為偶數(shù)時，設(shè)7z=2k(%22,kcN*),原系統(tǒng)的可靠性為P(XN%+1),新系統(tǒng)的

可靠性為？(丫之人+1),由題意可知，

2k

P(X>k+1)=￡C￡p，Q_p)22i

i=k+l

2k+l2k

p(y2A：+1)=￡。短+]/(i—p產(chǎn)+j=￡(瑪/+。輔/(i—p產(chǎn)+i+鏟九+1

i=k+li=k+l

于是，P(Y>k+l)-P(X>k)

2fc2k

=￡(瑪/+QJp'(i—p產(chǎn)+」'一￡。短/(i—p)2J+p2Al

￡=k+li=fc+l

2k

=E—p產(chǎn)+1+?加(1—P產(chǎn)+j——I—P)2I)]+*+l

i=fc+l

2k

=.[您—p產(chǎn)+i+(-P)QQ'(I—P產(chǎn)+p2"i

i=k+l

2k

=￡Cl—P產(chǎn)+1—。短/+1(1—p)2kH+02-1

i=k+l

=C短0“+l(l—0尸〉0.

這說明可靠性提高.

綜上，若原系統(tǒng)中元件個數(shù)為奇數(shù)，增加一個元件后可靠性會降低；若原系統(tǒng)中元件

個數(shù)為偶數(shù)，增加一個元件后可靠性會提高.

........17分

19.解:

(1)當a=3時，/(為)=—3/2+3力，由題意可得，

%=-3右+3%①

x2=—3若+3%②

兩式作差,(力2—力1)[4—3(①1+[2)]=0，所以①1=/2或力1+12=*

當①1=/2時，代入①式解得，/1=0或力1=,，因為。<%<1,所以力1=/

當為1+/2=,時,將劣2=今一代入①式解得，X1=|?

經(jīng)過上述討論可知，叫=親下面考慮一般情況：由題意可知，

xn=-3烯+i+3力九+i③

Xn+1=~^Xn+3力九④

兩式作差，0+1—%)[4一3伉+%+/=0,所以吃=%+1或立n+嗎+1=方

如果%+1=%,這說明｛%｝是常數(shù)列，所以乙=%=,.

如果%+%+1=/將-+1=，-室代入③式,解得以=|,這說明UJ依然是常數(shù)

列%=3.

綜上，E｝的通項公式為?=條........5分

⑵下面假設(shè)乙,Xn+1,2n+2構(gòu)成等比數(shù)列，那么

__①2<Y>

*4十1一戲+74力n+24九十1丁4九+1

X

——xn+1n+1+1,

Xn+1Xn+1

于是%+1=Xn,又因為%+1=-球+%，所以一吟+/=解得①"=0,與假設(shè)

矛盾，所以｛%｝中不存在連續(xù)的三項構(gòu)成等比數(shù)列?