2024年中考數(shù)學(xué)二次函數(shù)壓軸題典型例題分類

2024年中考數(shù)學(xué)二次函數(shù)壓軸題典型例題分類

垂直平分線

方法說(shuō)明

垂直平分線的定義：經(jīng)過(guò)線段中點(diǎn)并且垂直于這條線段的直線，叫作這條線段的垂直平分線。

如圖，若OA=OB,且直線1LAB,則直線1是線段AB的垂直平分線.

垂直平分線的性質(zhì)：線段垂直平分線上的任意一點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等。如圖,PA=PB。

典型例題

例1在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-#+b久+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)看和點(diǎn)B(4,0),與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)P為為物線上一動(dòng)

點(diǎn)。

(D求拋物線和直線AB的解析式。

(2)如圖，點(diǎn)P為第一象限內(nèi)拋物線上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PDLAB,垂足為D,作PE_Lx軸,垂足為E,交AB于點(diǎn)F,設(shè)APDF的面積為

Si,△BEF的面積為Sz,當(dāng)年=豢寸.求點(diǎn)P坐標(biāo)。

(3)點(diǎn)N為拋物線對(duì)稱軸上的動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)N,使得直線BC垂直平分線段PN?若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)N坐標(biāo)，若不存在，

思路點(diǎn)撥

(1)根據(jù)待定系數(shù)法，把點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別代入拋物線和直線AB的解析式即可。

(2)本題有兩種方向，一種是用未知數(shù)表示出S】和Sz,代入已知條件解方程，另一種是根據(jù)相似把Si與S2的比轉(zhuǎn)化為線段

的比，再進(jìn)行求解。

(3)設(shè)直線BC與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)E。由已知條件易得△BOC為等腰直角三角形，則BC與拋物線的對(duì)稱軸的夾角為45。。

若直線BC垂直平分線段PN,則NBEP=NBEN=45。且NE=PEO此時(shí)PE與x軸平行，那么易得點(diǎn)P的坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)NE=PE求出點(diǎn)

N的坐標(biāo)。當(dāng)然，本題還可以根據(jù)直線BC垂直平分線段PN構(gòu)造全等三角形進(jìn)行求解。

解題過(guò)程

111,27

一爐廠7#+。=看b=l

解:⑴：拋物線y=-\x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)4(-］高和點(diǎn)B(4,0),

/xl6+4b+c=0口=4,，拋物線的解析式為y

1O

=--X+汽+4。

127z3

T+bf'=豆，解得/=一/直線AB的解析式為y=-jx+3.

(4k+b'=0(，=34

(2)【方法一】

如圖，設(shè)直線AB與y軸交于點(diǎn)G,.IG(0,3),OG=3。

YOB=4,/BOG=90。,BG=5....sinzOBG啜哼

VPD±AB,PE±x軸,ZPDF=ZBEF=90°o

?/ZPFD=ZBFE,AAPDF^ABEF,???$=儒。

,4=￡?,￡=.即5PF=7BFO

、2brb

設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，則P(m,—|^2+m+4)(0<m<4),F(m>—|m+3^,E(m,0)PF——1m2+m+4-m+3^=

1c273BF2

——m+-m+1,BE=4—m,FE=——m+3。==-：租+5,；?5(-|m+^m+l)=7(-1m+5),解得mx=3,m2

244

=4(舍去),P(3,§。

【方法二】

如圖，設(shè)直線AB與y軸交于點(diǎn)G,AG(0,3),OG=3,OB=4,BG=5o

VPD±AB,PE±OB,.\ZPDF=ZBEF=ZGOB=90°o

?/ZP+/PFD=NBFE+/OBE=90°,NPFE=ZBFE,ZP=ZOBE,AAPDF^ABOG,/.PD:DF:PF=OB:OG\AB=4:3:5,:.PD

=^PF,DF=|PF,SL/PD.DF=

設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m,則P(m,—^m2+m+4)(0<m<4),F(m>—|mPF=—|m2+m+4—(一*0

27n22

+3^=—jm++1,BE=4—m,FE=-+3,???=卷(一巳病+j+1)=—4).(2m+V),S2=|?BE-FF=|(4

-m).(-*+3)=1(m-4)2。

22

咤=孩,二島(血-4-(2m+l)]:[|(m-4)]=.解得=3,m2=一4(舍去),:.P(3,|)。

(3)存在點(diǎn)N，使得直線BC垂直平分線段PN,點(diǎn)N的坐標(biāo)為(1，3-停)或(1,3+V3)o理由如下。

【方法一】

如圖，設(shè)BC與對(duì)稱軸交于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)E作x軸的平行線分別交拋物線于點(diǎn)Pi,P2,Z.ZP2EB=ZOBC=45°o

???ZBDE=90°,ZOBC=45°,AZOBC=ZDEB=45°,.，.DE=BD=3,AE(l,3)o

乙PzEB=乙DEB=45。,直線PxP2和直線DE都經(jīng)過(guò)點(diǎn)E,.?.直線P】P?和直線DE關(guān)于直線BC對(duì)稱。

當(dāng)y=3時(shí),一。/+久+4=3,解得久1=+V3,x2=1-V5,Pt（l-3）,P2（l+V3,3）,PrE=P2E=VL

...直線BC垂直平分線段PN,.,.PE=NE,ENi=EN2=PrE=P2E=W.點(diǎn)N的坐標(biāo)為（（h3-舊）或（1-3+V3）.

存在點(diǎn)N，使得直線BC垂直平分線段PN,此時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo)為（（1，3-V5）或（（1，3+V3）.

【方法二】

拋物線y=+x+4與y軸交于點(diǎn)C,；.C（0,4）,，OB=OC=4,.,.ZOBC=ZOCB=45°o

①如圖，當(dāng)點(diǎn)P在直線AB上方時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PH〃x軸過(guò)點(diǎn)B作x軸的垂線交PH于點(diǎn)H。

：BC垂直平分PN,BN=BP,NPBC=NNBC。

ZOBC=ZCBH=45°,/.ZPBH=ZOBNo

ZH=ZBKN=90°,二APHBANKB（AAS）,HB=BK,PH=NKO

拋物線的對(duì)稱軸為x=l,BK=3,BH=3。

2

當(dāng)y=30^,-1x+x+4=3,解得小=1+V3,x2=1-遍（舍去），P（1+V5,3）。:NK=PH=4-（1+相）=3-痘，:.N

（L3-V3）O

②當(dāng)點(diǎn)P在直線AB下方時(shí)，過(guò)點(diǎn)N作NM〃x軸，過(guò)點(diǎn)B作x軸的垂線BM交NM于點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)P作PQ_Lx軸于點(diǎn)Qo

角的平分線

方法歸納

角的平分線的定義：一般地，從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成兩個(gè)相等的角的射線，叫作這個(gè)角的平分線。三角形的角平

分線是線段。

如圖,若NAOC=NBOC,則射線0C是NAOB的平分線。

角的平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等。如圖，若PD_LOA,PE_LOB,則PD=PE。

典型例題

例2如圖拋物線y=ax2+bx-3與x軸交于A(-1,O),B(3,O)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn)。

(D求拋物線的解析式。

(2)點(diǎn)N是y軸負(fù)半軸上的一點(diǎn),且ON=魚(yú),，點(diǎn)Q在對(duì)稱軸右側(cè)的拋物線上運(yùn)動(dòng)，連接QO,QO與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)M,

連接MN,當(dāng)MN平分NOMD時(shí),求點(diǎn)Q的坐標(biāo)。

(3)直線BC交對(duì)稱軸于點(diǎn)E,P是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出△PCE與^ACD全等時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)。

(備用圖)

思路點(diǎn)撥

(1)待定系數(shù)法，代入點(diǎn)A,B的坐標(biāo)求解。

(2)根據(jù)角的平分線的定義得到NOMN=NDMN,又因?yàn)镸N〃ON,所以得到NONM=ZDMN=ZOMN.JJI!]OM=0N,以0

為圓心，ON為半徑畫圓即可得到點(diǎn)M的坐標(biāo)，進(jìn)而得到0M的解析式，聯(lián)立求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)即可。

(3)易得點(diǎn)A,C,D,E的坐標(biāo)，可以求得△ACD的三邊長(zhǎng)，再得CD=CE,因止熾需PC與PE和另外兩條邊分別對(duì)應(yīng)相等即可0點(diǎn)P分

別位于CE的兩側(cè)，共4種可能，并組成矩形。直接設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)列方程求解，或構(gòu)造全等進(jìn)行求解。

解題過(guò)程

2312

解:⑴I?拋物線y=ax+bx-3經(jīng)過(guò)人(-1,0),13(3,0)兩點(diǎn),”[0。；院=%解得=r...拋物線的解析式為y=x-2x-30

wa十DO—3=u=—z

⑵如圖，設(shè)對(duì)稱軸與X軸交于點(diǎn)H。

,/MN平分NOMD,Z.ZOMN=ZDMN0

又DM〃ON,JZDMN=ZMNO,:.ZMNO=ZOMN,:.OM=ON=伉

222

在RtAOHM中,NOHM=90°,OH=,HM=VOM-OH=J(V2)-1=L「?Mi(1,1),M2(l,-l)o

2

①當(dāng)Mi(1,1)時(shí)，直線OM解析式為y=x,*,*%=%-2%-3,解得xr=9嚴(yán),x2=咨互。

???點(diǎn)Q在對(duì)稱軸右側(cè)的拋物線上運(yùn)動(dòng)一IQ點(diǎn)的縱坐標(biāo)為y=xi=手,；.Qi(手)手)。

②當(dāng)(1,-1)時(shí),直線OM解析式為y=-xo

同理可得Qz(誓，-誓)。

綜上所述，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為Qi(1)手),Q2(電竺一子)。

(3)答案為:點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-3,-4),(-1,-6),(2,1)或(4,-1),理由如下。

.?,拋物線的解析式為丫=7-2%-3,.\A(-l,0),C(0,-3),D(1,-4),AC=J(-l-0尸+(0+3解=同==

J(0-1尸+(-3+4產(chǎn)=也

...直線BC經(jīng)過(guò)B(3,0),C(0,-3),...直線BC解析式為y=x-3o

.?,拋物線對(duì)稱軸為x=l,而直線BC交對(duì)稱軸于點(diǎn)E,/.E坐標(biāo)為(1,-2),.,.CE=V(0-l)2+(-2+3)2=也

設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為伍》),則(CP2=(x-0)2+(y+3產(chǎn)EP2=(x-I)2+(y+2)2

,.^CE=CD,若△PCE與^ACD全等，則共有兩種情況。

①PC=AC,PE=AD%PCE當(dāng)ACD(SSS),一%=非,解得片Z一；相：二.?.點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-3,-4)或(-1.

z

((%-l)+(y+2)/=20(.71--4{y2一

-6)o

②PC=AD,PE=AC9PCE之△ADC(SSS),??.舊一"X=T，解得:之,，點(diǎn)P的坐標(biāo)為Q.l)或(4,-1)。

((%—1)/+(y+2)z=10U3-1174-T

綜上所述，當(dāng)△PCE與AACD全等時(shí)，點(diǎn)P有四個(gè)，坐標(biāo)分別為(-3,-4),(7,-6),(2,1)或(4,-1)。

舉一反三

⑵如圖.在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-/+4久經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，與X軸正半軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)M(m,n)是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)。

動(dòng)點(diǎn)軌跡問(wèn)題

方法歸納

⑴到定點(diǎn)距離為定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡為圓。

如圖，若點(diǎn)A到點(diǎn)0的距離等于d,則點(diǎn)A在以點(diǎn)O為圓心，d為半徑的圓上。

0I

⑵與兩定點(diǎn)連線形成的角度數(shù)不變，則該點(diǎn)的軌跡為圓弧。

如圖，點(diǎn)A,B為平面內(nèi)的兩個(gè)定點(diǎn)，若NAPB的大小不變，則點(diǎn)P在以AB為弦,且AB所對(duì)圓周角為NAPB的圓（即△ABP的

外接圓）的弧上。

⑶與兩定點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)的軌跡為直線。

如圖，點(diǎn)A,B為平面內(nèi)的兩個(gè)定點(diǎn)，若AP=BP,則點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上。

⑷到定直線的距離不變的點(diǎn)的軌跡為直線。

如圖，點(diǎn)A到直線1的距離d不變，則點(diǎn)A在直線1的平行線r上。

AA

I-----------------1---------------V

典型例題

例3在矩形ABCD中點(diǎn)P在AD上.AB=2,AP=L將直角尺的頂點(diǎn)放在點(diǎn)P處,直角尺的兩邊分別交AB.BC于點(diǎn)E,F,連接EF

（見(jiàn)圖Do

⑴當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時(shí)，點(diǎn)F恰好與點(diǎn)C重合(見(jiàn)圖2),求PC的長(zhǎng)。

⑵探究：將直尺從圖2中的位置開(kāi)始，繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)E和點(diǎn)A重合時(shí)停止。在這個(gè)過(guò)程中，請(qǐng)你觀察、猜想，并

解答：

①tanZPEF的值是否發(fā)生變化？請(qǐng)說(shuō)明理由。

②直接寫出從開(kāi)始到停止，線段EF的中點(diǎn)經(jīng)過(guò)的路線長(zhǎng)。

思路點(diǎn)撥

(1)觀察圖2可以發(fā)現(xiàn)△APB^ADCP,利用相似比可以求得PC的長(zhǎng)。

⑵①過(guò)點(diǎn)F作FGAD,垂足為G,同⑴的方法證明八APEs/XGPF,得相似比^=^=|=2,所以tanZPEF的值不變。

②先判斷EF中點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑，設(shè)EF的中點(diǎn)為O,易得OP=OB,所以點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)的路線為線段，找出起始位置，連接即可求出。

解題過(guò)程

解:⑴在矩形ABCD中,NA=ND=90o,AP=1,CD=AB=2,則.PB=V5,.\ZABP+ZAPB=90°o

又：ZBPC=9O0,.,.ZAPB+ZDPC=90°,AZABP=ZDPC,△APBADCP,???m=霹，即|=PC=2而。

(2)①tan/PEF的值不變。理由如下。

如圖,過(guò)點(diǎn)F作FG_LAD,垂足為G,則四邊形ABFG是矩形,，ZA=ZPGF=90°,GF=AB=2,ZAEP+ZAPE=90°1,

ZEPF=90。,；.ZAPE+ZGPF=90°,AZAEP=ZGPF,AAAPEsGPF,|=2,1-,RtEPF中,

tanZ-PEF=—=2,tan/PEF的值不變。

②【方法一】

如圖，設(shè)線段EF的中點(diǎn)為O,連接OP,OB。

,在RtAEPF中,OP=gEF,在RtAEBF中,(OB=^EF,.-.OP=OB=..點(diǎn)O在線段BP的垂直平分線上，，如圖，線段E

F的中點(diǎn)經(jīng)過(guò)的路線長(zhǎng)為內(nèi)生=號(hào)PC=瓜

【方法二】

如圖，分別以邊AB,BC所在直線為y軸，x軸，點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系。過(guò)點(diǎn)F作FG±AD于點(diǎn)G,設(shè)線段EF

的中點(diǎn)O的坐標(biāo)為(x,y),則點(diǎn)E的坐標(biāo)為(0,2y),點(diǎn)F的坐標(biāo)為(2x,0),.\AE=2-2y,FG=2,PG=2x-l。

由(2)①得△APE^AGPF,PAE=弟即2^2y=2工\,'y=-+*即點(diǎn)o在直線y=-"+1上運(yùn)動(dòng)，，點(diǎn)o運(yùn)動(dòng)的路線為線

段。

當(dāng)點(diǎn)F的橫坐標(biāo)2x=l,即x=泄,y=l,此時(shí)點(diǎn)O的坐標(biāo)為(&1)。

當(dāng)點(diǎn)F的橫坐標(biāo)2x=5,即x=用寸,y=0,此時(shí)點(diǎn)O的坐標(biāo)為((|,0)。

線段EF的中點(diǎn)經(jīng)過(guò)的路線長(zhǎng)為d=J(|-1)2+(l-0)2=瓜

例4在矩形ABCD中,BC=gCD,點(diǎn)E,F分別是邊AD,BC上的動(dòng)點(diǎn)，且AE=CF,連接EF,將矩形ABCD沿EF折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)G

處，點(diǎn)D落在點(diǎn)H處。

(1)如圖1,當(dāng)EH與線段BC交于點(diǎn)P時(shí).求證:PE=PFO

⑵如圖2,當(dāng)點(diǎn)P在線段CB的延長(zhǎng)線上時(shí),GH交AB于點(diǎn)M,求證:點(diǎn)M在線段EF的垂直平分線上。

(3)當(dāng)AB=5時(shí)在點(diǎn)E由點(diǎn)A移動(dòng)至I」AD中點(diǎn)的過(guò)程中，計(jì)算出點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)的路線長(zhǎng)。

(備用圖)

思路點(diǎn)撥

(1)根據(jù)折疊與平行彳導(dǎo)到NPEF=/DEF=NEFP,貝?。軵E=PF。

⑵只需證明ME=MF或PM垂直平分EF,需要根據(jù)矩形與軸對(duì)稱的性質(zhì)得到全等進(jìn)行證明。

(3)根據(jù)矩形的性質(zhì)易得矩形對(duì)角線的交點(diǎn)0到點(diǎn)A,D,G的距離相等，那么在點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)G始終在以O(shè)為圓心、

OA為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)。確定起點(diǎn)、終點(diǎn)，再得到扇形圓心角的度數(shù)即可得到結(jié)論。

解題過(guò)程

解：(1)：四邊形ABCD是矩形,r.AD〃:BC".NDEF=NEFB。

將矩形ABCD沿EF折疊，,ZDEF=ZPEF,AZPEF=ZPFE,PE=PFO

⑵【方法一】

如圖，連接AC交EF于O,連接PM,ME,MF。

?/四邊形ABCD是矩形,，AD=BC,ND=NABC=90。。

?.,AE=CF,/.DE=BF0

:將矩形ABCD沿EF折疊點(diǎn)C落在點(diǎn)G處，點(diǎn)D落在點(diǎn)H處,DE=HE,ZEHG=ZD=90°,BF=DE=HE0

由⑴得PE=PF,PH=PB。

VPM=PM,.,.RtAPMH咨RtAPMB(HL),ZMPE=ZMPF,/.AMPE^AMPF(SAS),.,.ME=MF,PM為EF的垂直平分線，即點(diǎn)

M在線段EF的垂直平分線上。

【方法二】

如圖，連接AC交EF于0,連接PM,POo

VAE^CF,ZEAO=ZFCOo

AE=CF,NAOE=NCOF,AAEO咨ACFO(AAS),AOE=OF.

PE=PF,PO平分NEPF。

VPE=PF,AD=BC,AE=FC,，ED=BFO

,?,將矩形ABCD沿EF折疊點(diǎn)C落在點(diǎn)G處，點(diǎn)D落在點(diǎn)H處".ED=EH,BF=EH,PE-EH=PF-BF,PB=PH。

ZPHM=ZPBM=90°,PM=PM,.,.RtAPMH^RtAPMB(HL),，NMPH=/MPB,即PM平分/EPF,.?.點(diǎn)P,M,O三點(diǎn)共線。

PO_LEFQE=OF..?.點(diǎn)M在線段EF的垂直平分線上。

(3)如圖.：0A=0D=0G,.-.點(diǎn)E由點(diǎn)A移動(dòng)到AD中點(diǎn)的過(guò)程中，點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)的路徑是圖中弧BC.

在RtABCD中,tanzCBD=—=ZCBD=30°,/.ZABO=ZOAB=60o,.\AAOB是等邊三角形,.,.OA=OD=OB=OC=AB=5,N

BC3

BOC=120。,...點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)的路徑的長(zhǎng)為I=U鬻=號(hào)兀。

技巧點(diǎn)撥

建立平面直角坐標(biāo)系,用函數(shù)思想解幾何題。如圖，四邊形ABCD為矩形，分別以邊AB,BC所在直線為y軸,x軸點(diǎn)B為坐標(biāo)

原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系。

Cx

舉一反三

[3]如圖在RtAABC中,/C=9(r,AC=6,BC=8,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始沿邊AC向點(diǎn)C以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從

點(diǎn)C開(kāi)始沿邊CB向點(diǎn)B以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)P作PD〃:BC,交AB于點(diǎn)D,連接PQ。點(diǎn)P.Q分別從點(diǎn)A,C同時(shí)出

發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts(t>0)o

(D直接用含t的代數(shù)式分別表示：QB=_,PD=_O

⑵是否存在t的值，使四邊形PDBQ為菱形？若存在，求出t的值；若不存在，說(shuō)明理由。并探究如何改變點(diǎn)Q的速度(勻速運(yùn)

動(dòng))，使四邊形PDBQ在某一時(shí)刻為菱形，求點(diǎn)Q的速度.

⑶如圖，在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，求出線段PQ中點(diǎn)M所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)。

C——pA

[4]如圖,在菱形ABCD中./DAB=6(r,AB=2,點(diǎn)E為邊AB上一動(dòng)點(diǎn)，延長(zhǎng)BA到點(diǎn)F,使AF=AE,且CF,DE相交于點(diǎn)G。

D-

(備用圖)

⑴當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到AB中點(diǎn)時(shí),證明:四邊形DFEC是平行四邊形。

⑵當(dāng)CG=2時(shí),求AE的長(zhǎng)。

⑶當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)A開(kāi)始向右運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，求點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)度。

比例問(wèn)題

方法說(shuō)明

遇到線段乘積或比例的問(wèn)題時(shí)，常常利用相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化。

典型例題

例5(2021?泰安)二次函數(shù)y=ax2+bx+4(a*0)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-4,0),B(l,0),與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)P為第二象限內(nèi)拋物線上一

點(diǎn)，連接BP,AC,交于點(diǎn)Q,過(guò)點(diǎn)P作PD_Lx軸于點(diǎn)D.

(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式。

⑵連接BC,當(dāng)NDPB=2NBCO時(shí),求直線BP的表達(dá)式。

⑶請(qǐng)判斷:黑是否有最大值，如有，請(qǐng)求出有最大值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；如沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由。

思路點(diǎn)撥

(1)根據(jù)待定系數(shù)法，把點(diǎn)A,B的坐標(biāo)代入求解。

(2)設(shè)BP與y軸交于點(diǎn)E,易得NBEO="DPB=2NBCO,則BE=CEO因此可以求得點(diǎn)E的坐標(biāo)，再求BE(直線BP)的函數(shù)表達(dá)

式即可。

(3)構(gòu)造相似三角形，把器轉(zhuǎn)化為其他的線段的比即可。可以過(guò)點(diǎn)B作x軸的垂線，構(gòu)造X字型相似，或者過(guò)點(diǎn)P作x軸的平

行線構(gòu)造X字型相似進(jìn)行轉(zhuǎn)化。

解題過(guò)程

解:⑴?二次函數(shù)y=公2+"+4(a力0)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-4,0),B(1,0),二｛a■(-4)2+b.(-4)+4=0,解得...二

次函數(shù)的表達(dá)式為y=-%2一3%+4。

(2)如圖，設(shè)BP與y軸交于點(diǎn)E。

PD〃y軸,?,.ZDPB=ZOEBo

■:ZDPB=2ZBCO,AZOEB=2ZBCO,AZECB=ZEBC,/.BE=CEO

當(dāng)x=0時(shí),y=4,.?.C(0,4)。

設(shè)OE=a則CE=4-a,BE=4-a。

在RtABOE中，由勾股定理得.BE2=OE2+。加，即(4-a)2=a2+-解得@=不:.E(0，￡)。

_15I772------

n8

~~8魂牟得|15,.,.直線BP的表達(dá)式為y=-得久+M

{m+n=OIn=-88

(3)當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-2,6)時(shí),笠取最大值。理由如下。

QB

如圖.設(shè)PD與AC交于點(diǎn)N.過(guò)點(diǎn)B作y軸的平行線與AC相交于點(diǎn)M。

設(shè)直線AC表達(dá)式為y=px+q把點(diǎn)A(-4,0),C(0,4)代入得。解得*二:，，直線AC表達(dá)式為y=x+4".M點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,

5),ABM=5O

,/BM〃PN,.,.△PNQ^ABMQ,.?嗡=需=.。

設(shè)P(a(f-詬—3ao+4)(-4<a0<0)廁.N(a(),a0+4),

.PQ__-若-3ao+4_(ao+4)

"QB~5

_-就-4ao_-(劭+2)2+4

一5一5，

.?.當(dāng)a=-2時(shí),黑有最大值，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-2,6)。

0QB

【總結(jié)】見(jiàn)比例，則相似。

舉一反三

[6]攻口圖拋物線y=a/+|x+c與x軸交于點(diǎn)A,B,與y軸交于點(diǎn)C.已知A,C兩點(diǎn)坐標(biāo)分別是A(l,0),C0-2),連接AC,BC。

⑴求拋物線的表達(dá)式和AC所在直線的表達(dá)式。

⑵將^ABC沿BC所在直線折疊，得到△DBC，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D是否落在拋物線的對(duì)稱軸上，若點(diǎn)D在對(duì)稱軸上，請(qǐng)求出點(diǎn)D

的坐標(biāo)；若點(diǎn)D不在對(duì)稱軸上，請(qǐng)說(shuō)明理由。

(3)若點(diǎn)P是拋物線位于第三象限圖象上的一動(dòng)點(diǎn)，連接AP交BC于點(diǎn)Q,連接BP,ABPQ的面積記為S1，AABQ的面積記為S2,

求總的值最大時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)。

(備用圖)

典型例題

例6如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，坐標(biāo)原點(diǎn)為0,點(diǎn)A坐標(biāo)為(4,0),點(diǎn)B坐標(biāo)為(-1,0),以AB的中點(diǎn)P為圓心,AB為直徑作。P,與

y軸的正半軸交于點(diǎn)C。

⑴求經(jīng)過(guò)A,B,C三點(diǎn)的拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式。

⑵設(shè)M為⑴中拋物線的頂點(diǎn)，求直線MC對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式。

⑶試說(shuō)明直線MC與。P的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論。

思路點(diǎn)撥

(D連接PC,因?yàn)锳B為直徑，所以可以得出點(diǎn)P的坐標(biāo)以及PC的長(zhǎng)度，根據(jù)勾股定理易得點(diǎn)C的坐標(biāo)。把點(diǎn)A,B,C代入拋

物線的解析式中，即可求出結(jié)論。

⑵根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)公式，得出點(diǎn)M的坐標(biāo)，由待定系數(shù)法把點(diǎn)M,C代入直線的解析式中，即可求出直線MC的解析式。

(3)假設(shè)直線MC與x軸交于點(diǎn)D,容易發(fā)現(xiàn)^PCD為直角三角形，根據(jù)勾股定理的逆定理得出NPCD=90。,即可得出直線MC與

OP相切。

解題過(guò)程

解:⑴連接PC。

?.,A(4,0),B(--l,0),.\AB=5,半徑PC=PB=P.4=OP=|-1=|?

在RtACPO中.由勾股定理得OC=7cp2一OP?=2".C(0,2)。

設(shè)經(jīng)過(guò)A,B,(2三點(diǎn)的拋物線解析式是y=a(x-4)(x+l)。

把C(0,2)代入得2=a(0-4)(0+l),a=，，經(jīng)過(guò)A,B,C三點(diǎn)的拋物線解析式是y=-4)(久+1)=+|x+2.

22

(2)y=-ix+|x+2=-i(x-|)+^,M(|^)0

253(3

V=2k+4，解得卜=。?.直線MC的函數(shù)解析式為y="+

(b=2(b=24

(3)MC與。P的位置關(guān)系是相切。理由如下。

如圖.設(shè)直線MC交x軸于點(diǎn)D,當(dāng)y=0時(shí),0=：久+2,二x=-￡。。=。(一上。

在RtACOD中,C￡>2=22+(芋=等=署PC2=(丁=B=篝,p02=(I+[_1)2=署...亦+p(：2=p02,...“⑺=

90°,；.PC_LDC。

1?,PC為半徑,；.MC與OP的位置關(guān)系是相切。

例7如圖，已知拋物線y=-|x2+bx+c與x軸相交于A,B兩點(diǎn)，其對(duì)稱軸為直線x=2,且與x軸交于點(diǎn)D,AO=1。

(1)填空b=____,c=____，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(____,____).

⑵若線段BC的垂直平分線EF交BC于點(diǎn)E,交x軸于點(diǎn)F,求FC的長(zhǎng)。

⑶探究：在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P,使。P與x軸，直線BC都相切？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理

思路點(diǎn)撥

(1)由OA=1,得點(diǎn)A的坐標(biāo)。又由對(duì)稱軸為直線x=2,可得點(diǎn)B的坐標(biāo)，代入即可求出b,c的值。

(2)因?yàn)橹本€EF垂直平分線段BC,所以FC=FB,先設(shè)出FC的長(zhǎng)度，再得出FD,CD的長(zhǎng)在R3FCD中，利用勾股定理建立等量關(guān)

系即可。

(3)作NOBC的平分線交DC于點(diǎn)P,并設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)。在RtABCD中,求出NBCD的正弦值。易得sinzBCD=/建立等量關(guān)

系，即可得出點(diǎn)P的坐標(biāo)。本題應(yīng)該分類討論，分別為點(diǎn)P在x軸的上方或下方。

解題過(guò)程

解:⑴???AO=1,...A(-1,0)。

-b

-8

點(diǎn)A,B關(guān)于直線x=2對(duì)稱,.,.B(5,y，解得=g,點(diǎn)B的坐標(biāo)為(5,0)。

0=------b+c

99

⑵【方法一】

:y=-#+/+鄉(xiāng)=-2-2)2+4,，C(2,4)".D(2,0),CD=4,BD=3。

...直線EF垂直平分線段BC,FC=FBO

設(shè)FC=x，則FB=x,FD=x-3o

在RtAFCD中,FC2=CD2+FD2,BPx2=42+(x-3產(chǎn)解得x=g,.1FC的長(zhǎng)用為。

66

【方法二】

由⑴求得y=-/2+畀+g=一數(shù)-2)2+4,C(2,4)。

E為BC的中點(diǎn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得點(diǎn)E的坐標(biāo)為(，,2),.,.直線BC的表達(dá)式為y=-[x+當(dāng)整理得4x+3y-20=0o

設(shè)直線EF的表達(dá)式為y=kx+b(krO)。

VEF為BC的中垂線,???EF_LBC。

???互相垂直的兩條直線的斜率的積是-1,二k=符巴E6,2)代入求得b=-3.?直線EF的表達(dá)式為y=|x-1.

在y=%-沖.令y=o得x=F0),.-.FC=FB=5-1

4OOXO/OO

(3)存在。如圖，作/OBC的平分線交DC于點(diǎn)P,則點(diǎn)P滿足條件。

設(shè)P(2,a),則點(diǎn)P到x軸的距離為等于點(diǎn)P到直線BC的距離,都是|a|。

:拋物線解析式是y=-久久-2尸+4,.?.點(diǎn)C的坐標(biāo)是(2,4)。

7點(diǎn)B的坐標(biāo)是(5,0),，CD=4,DB=5-2=3,BC=VCD2+DB2=V42+32=5

,?"OP與x軸，直線BC都相切,

ZCGP=ZCDB=90°,Z.ZPCG+ZCPG=90°,ZCBA+ZCPG=90°,AZCPG=ZCBAO

當(dāng)點(diǎn)P在x軸上方時(shí),sinZBCD=-^—=|,解得a=,。當(dāng)點(diǎn)P在x軸的下方時(shí)，同法得出者=|,解得a=-6。

4—a524—a5

即點(diǎn)P的坐標(biāo)是(2,-6)或((2,|

綜上所述，在拋物線的對(duì)稱軸上存在點(diǎn)P,使OP與x軸、直線BC都相切，點(diǎn)P的坐標(biāo)是(2,-6)或((2,|)0

例8如圖，已知二次函數(shù)y=-x2+bx+c的對(duì)稱軸為x=2,且經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，直線AC解析式為y=kx+4。

y

K\

Tv

⑴求二次函數(shù)解析式。

⑵若衿=今求k。

、BOC§

(3)若以BC為直徑的圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，求k0

思路點(diǎn)撥

⑴由對(duì)稱軸為x=2,且經(jīng)過(guò)原點(diǎn)(0,0)，代入即可得出二次函數(shù)解析式。

(2)由醇=今易得黑=今過(guò)點(diǎn)B,C分別作y軸的垂線，可得點(diǎn)B,C的橫坐標(biāo)的比為=i分別設(shè)B&山),C(x2,y2),聯(lián)

JBOC3DC3AC4

立直線AC與二次函數(shù)的解析式，由根與系數(shù)的關(guān)系，可得k的值。

(3)以BC為直徑的圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，可得/BOC=90。。過(guò)點(diǎn)B,C分別作y軸的垂線，垂足分別為E,F,分別表示出EB,EO,OF,OC的長(zhǎng),

根據(jù)4EBOS^FOC,得EBFC=EO-FO,建立等量關(guān)系即可得出k的值。

解題過(guò)程

22

解:⑴.二次函數(shù)y=-x+bx+c的對(duì)稱軸為x=2,且經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，.：-^―=2,0=0+0+c,b=4,c=0,y=-x+4xo

(2)【方法一】

如圖，連接OB,OC,過(guò)點(diǎn)B作BE±y軸于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)C作CF_Ly軸于點(diǎn)F。

設(shè)點(diǎn)B,C的坐標(biāo)分別為((X]),(x2,丫2)，%2=4%i，：,%1+%2==4%工

;直線y=kx+4與拋物線y=—x2+4%交于點(diǎn)B,C,kx+4=—x2+4%,整理得%2+(fc-4)%+4=0,:.%i+%2=5%i=4—

,%1%2==4,:.=±1,???當(dāng)Xi=1時(shí),k=-l;當(dāng)％2=—1時(shí),k=9,「.kug或k=-l。

【方法二】

如圖，連接OBQC,過(guò)點(diǎn)B作BE±y軸于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)C作CF±y軸于點(diǎn)F。

..SAOB_1.絲_工.

?SBOC_3，,,BC一3，,,AC-4

*/y=kx+4交y=—x2+4%于點(diǎn)B,C,:.kx+4=—x2+4比，即%2+(k-4)x+4=0.,J=(k-4)2—4-4=k2—8k,:.x=

(4-k)-Vk2-8k_ix_(4-k)+Vk2-8k

"或X=2°________________

VXB<xc,.-.EB=XB=就FC=xc=絲竽E巫，...42產(chǎn)吏=生岑三更，解得k=9或k=-l,...k=9或k=-l。

(3)【方法一】

如圖，連接OBQC,過(guò)點(diǎn)B作BE_Ly軸于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)C作CF_Ly軸于點(diǎn)F。；.ZBEO=ZCFO=90°,/.ZEOB+ZEBO=90°o

,/以為直徑的圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn),，。，

BCNBOC=90+ZFOC=90°,AZEBO=ZFOC,/.AEBO^AFOC,.?.EBO=FC

EB?FC=EO?F0o

設(shè)點(diǎn)B,C的坐標(biāo)分別為(xi,yi),(x2,、2)，…％62=-%丫2。

22

由(2)得Xi+%2=4—k,%i%2=4,S/2=(kx1+4)(kx2+4)=kxrx2+1k(x、+x2)+16=4k+4k(4—k)+16,:.4=—[4

2

k+4k(4—k)]+16,Jc=-1o

【方法二】

???ZBOC=90°,.\ZEOB+ZFOC=90°o

■:ZEOB+ZEBO=90°,?.ZEBO=ZFOCo

ZBEO=ZOFC=90°,AEBO^FOC,.?.吧=U:.EB-FC=EO-F01

EOFC

：XB=5一嚴(yán),Xc=鋁等E嗎且點(diǎn)B,c在y=kx+4上".yB=k-(1)-尸+4,yc=-+%...EO=”=k

22222

(4-/c)-Vfc-8k?4小廠.(4-fc)+Vk-8k.(4-k)-y/k-8k(4-fc)+V/c-8fcr,(4-k)-Vfc-8k,\-k-(4國(guó)+產(chǎn)』_可,整理得

---------------+4,OF=-yc=-k-------------------4,----------------.---------------=[k-----------------+4]?

16k=-20,k=--

4o

舉一反三

[8]如圖,拋物線y=ax2+\+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-l,0)和點(diǎn)C(0,3)與x軸的另一交點(diǎn)為點(diǎn)B,點(diǎn)M是直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作M

P〃y軸，交拋物線于點(diǎn)P。

⑴求該拋物線的解析式。

(2)在拋物線上是否存在一點(diǎn)Q,使得△QCO是等邊三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

⑶以點(diǎn)M為圓心.MP為半徑作。M,當(dāng)G>M與坐標(biāo)軸相切時(shí)，求出。M的半徑。

新定義

方法說(shuō)明

1.點(diǎn)

⑴在矩形ABCD的內(nèi)部(不含邊界)，把橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)稱為“好點(diǎn)工

⑵M(m,O)為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M且垂直于x軸的直線與直線AB及拋物線分別交于點(diǎn)P,No若三個(gè)點(diǎn)M,P,N中恰有一點(diǎn)

是其他兩點(diǎn)所連線段的中點(diǎn)(三點(diǎn)重合除外)，則稱M,P,N三點(diǎn)為“共諧點(diǎn)”。

(3)在平面直角坐標(biāo)系中，把橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)相等的點(diǎn)叫“夢(mèng)之點(diǎn)'，例如點(diǎn)(1,1),(-2,-2),……都是“夢(mèng)之點(diǎn)”。

(4)如圖，在四邊形ABCD的邊AB上任取一點(diǎn)E(點(diǎn)E不與點(diǎn)A,B重合),分別連接ED,EC,可以把四邊形ABCD分成3個(gè)三角

形，如果其中有2個(gè)三角形相似，我們就把點(diǎn)E叫作四邊形ABCD的邊AB上的“相似點(diǎn)”；如果這3個(gè)三角形都相似，我們就把點(diǎn)E

叫作四邊形ABCD的邊AB上的“強(qiáng)相似點(diǎn)”。

2.線

(D如果一條直線把一個(gè)平面圖形的面積分成相等的兩部分，我們把這條直線稱為這個(gè)平面圖形的一條“面積等分線工

⑵如果兩條線段將一個(gè)三角形分成3個(gè)等腰三角形，我們把這兩條線段叫作這個(gè)三角形的“三分線”。

(3)我們常見(jiàn)的炒菜鍋和鍋蓋都是拋物

線面，經(jīng)過(guò)鍋心和蓋心的縱斷面是兩段拋物線組合而成的封閉圖形，不妨簡(jiǎn)稱為“鍋線”。

(4)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A,B為x軸上兩點(diǎn),C,D為y軸上的兩點(diǎn),經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,C,B的拋物線的一部分Cx與經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,D,B

的拋物線的一部分C?組合成一條封閉曲線，我們把這條封閉