河北省張家口市橋西區(qū)2024年中考數(shù)學最后沖刺濃縮卷含解析

河北省張家口市橋西區(qū)2024年中考數(shù)學最后沖刺濃縮精華卷

考生請注意：

1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。

2.第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的

位置上。

3.考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）

1.如圖，是一個工件的三視圖，則此工件的全面積是（）

A.60ncm2B.907rcm2C.967tcm2D.120ncm2

2.如圖，拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于點A（-1,0）,頂點坐標（1,n）與y軸的交點在（0,2）,（0,3）之間（包

含端點），則下列結(jié)論：①3a+bv0；②③對于任意實數(shù)m,a+b>am2+bm總成立；④關(guān)于x的方程ax2+bx+c=n-l

有兩個不相等的實數(shù)根.其中結(jié)論正確的個數(shù)為（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

3.下列幾何體是由4個相同的小正方體搭成的，其中左視圖與俯視圖相同的是（）

4.當函數(shù)y=（x-1）2?2的函數(shù)值y隨著x的增大而減小時，x的取值范圍是（）

A.x>0B.x<1C.x>1D.x為任意實數(shù)

2I

5.四組數(shù)中：①1和1；②-1和1；③0和0；④-—和-1—,互為倒數(shù)的是（）

「-一~',-32

A.①②B.①③C.①④D.①③④

6.如圖，在AABC中，邊上的高是（）

A.ECB.BHC.CDD.AF

/-11

7.若4--—-二--,貝?。啊鳌笨赡苁牵ǎ?/p>

aa-l

a+\aaa—1

A.------B.------C.-----D.------

aa—1〃+la

8.若實數(shù)a,b滿足|a|>|b|,則與實數(shù)a,b對應的點在數(shù)軸上的位置可以是（）

A.-6B.'aQbyC.-b~a-Q~》D.-a~O-^

9.若一組數(shù)據(jù)1、。、2、3、4的平均數(shù)與中位數(shù)相同，則。不可熊是下列選項中的（）

A.0B.2.5C.3D.5

10.已知一元二次方程3%—1=0的兩個實數(shù)根分別是對、X2貝!I川2必+均必2的值為（）

A.-6B.-3C.3D.6

二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，共18分）

11.分解因式：2x3-4X2+2X=.

12.若反比例函數(shù)y=-9的圖象經(jīng)過點A（m,3）,則m的值是.

x

13.大自然是美的設計師，即使是一片小小的樹葉，也蘊含著“黃金分割”，如圖，P為AB的黃金分割點（AP>PB）,

如果AB的長度為10cm,那么PB的長度為cm.

14.已知一組數(shù)據(jù)一3,x,-2,3,1,6的眾數(shù)為3,則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為.

“2+1

15.如圖，矩形ABCD的對角線BD經(jīng)過的坐標原點，矩形的邊分別平行于坐標軸，點C在反比例函數(shù)y=""

x

的圖象上，若點A的坐標為（-2,-3）,則k的值為

16.分解因式8，,-2/=.

三、解答題(共8題，共72分)

4

17.(8分)如圖，在△ABC中，ZACB=90°,AC=1.sinZA=點D是BC的中點，點P是AB上一動點(不與

點B重合)，延長PD至E,使DE=PD,連接EB、EC.

(1)求證；四邊形PBEC是平行四邊形；

(2)填空：

①當AP的值為時，四邊形PBEC是矩形；

②當AP的值為時，四邊形PBEC是菱形.

18.(8分)已知關(guān)于x的一元二次方程好+2*+"於-3=0有兩個不相等的實數(shù)根.

(1)求機的取值范圍；

(2)若m為非負整數(shù)，且該方程的根都是無理數(shù)，求m的值.

19.(8分)一個不透明的袋子中裝有紅、白兩種顏色的小球，這些球除顏色外都相同，其中紅球有1個，若從中隨機

2

摸出一個球，這個球是白球的概率為求袋子中白球的個數(shù)；(請通過列式或列方程解答)隨機摸出一個球后，放

回并攪勻，再隨機摸出一個球，求兩次都摸到相同顏色的小球的概率.(請結(jié)合樹狀圖或列表解答)

20.(8分)如圖1,反比例函數(shù)y=&(x>0)的圖象經(jīng)過點A(2百，1),射線A3與反比例函數(shù)圖象交于另一點

x

B(1,a),射線AC與y軸交于點C,NR4c=75。，軸，垂足為O.

(1)求上的值；

(2)求tanNZMC的值及直線AC的解析式；

(3)如圖2,M是線段AC上方反比例函數(shù)圖象上一動點，過M作直線軸，與AC相交于點N,連接CM,求4CMN

面積的最大值.

21.(8分)如圖，已知A(3,0),B(0,-1),連接A8,過5點作A3的垂線段3C,使3A=BC,連接AC.如圖

1,求C點坐標；如圖2,若尸點從A點出發(fā)沿x軸向左平移，連接8尸，作等腰直角ABP。，連接CQ,當點尸在線

段。4上，求證：PA^CQi在(2)的條件下若C、P,。三點共線，求此時NAPB的度數(shù)及P點坐標.

22.(10分)關(guān)于x的一元二次方程x?+(m—1)x—(2m+3)=1.

(1)求證：方程總有兩個不相等的實數(shù)根;

(2)寫出一個m的值，并求出此時方程的根.

3(x-1)<2x

23.(12分)解不等式組：\x1+x?

--------<1

132

24.如圖，口45。中，點E,尸分別是5c和AO邊上的點，AE垂直平分5尸，交3尸于點P,連接E尸，PD.求證:

平行四邊形ABE尸是菱形；若45=4,AO=6,ZABC=60°,求tan/AOP的值.

B

參考答案

一、選擇題(共10小題，每小題3分，共30分)

1、C

【解析】

先根據(jù)三視圖得到圓錐的底面圓的直徑為12cm,高為8cm,再計算母線長為10,根據(jù)圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，

這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形半徑等于圓錐的母線長計算圓錐的側(cè)面積和底面積的和即可.

【詳解】

圓錐的底面圓的直徑為12cm,高為8cm,

所以圓錐的母線長=點詬=10,

所以此工件的全面積=m6?+；.27i.6.10=967r(cm2).

故答案選C.

【點睛】

本題考查的知識點是圓錐的面積及由三視圖判斷幾何體，解題的關(guān)鍵是熟練的掌握圓錐的面積及由三視圖判斷幾何體.

2、D

【解析】

利用拋物線開口方向得到aVO,再由拋物線的對稱軸方程得到b=-2a,貝!J3a+b=a,于是可對①進行判斷；利用把處3

和c=-3a可對②進行判斷；利用二次函數(shù)的性質(zhì)可對③進行判斷；根據(jù)拋物線y=ax2+bx+c與直線y=n-l有兩個交點可

對④進行判斷.

【詳解】

???拋物線開口向下，

/.a<0,

而拋物線的對稱軸為直線x=-^=l,即b=-2a,

/.3a+b=3a-2a=a<0,所以①正確；

V2<c<3,

而c=-3a,

/.2<-3a<3,

所以②正確;

???拋物線的頂點坐標（Ln）,

，x=l時，二次函數(shù)值有最大值n,

a+b+c>am2+bm+c,

即a+b>am2+bm,所以③正確；

???拋物線的頂點坐標（Ln）,

二拋物線y=ax2+bx+c與直線y=n-l有兩個交點，

二關(guān)于x的方程ax2+bx+c=n-l有兩個不相等的實數(shù)根，所以④正確.

故選D.

【點睛】

本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系：二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小.當a>0時，拋物線向上開口；

當a<0時，拋物線向下開口；一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置：當a與b同號時，對稱軸在y

軸左；當a與b異號時，對稱軸在y軸右.常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點：拋物線與y軸交于（0,c）.拋物線與

x軸交點個數(shù)由判別式確定：△=b2-4ac>0時，拋物線與x軸有2個交點；A=b2-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點;

△=b2-4acV0時，拋物線與x軸沒有交點.

3、C

【解析】

試題分析：從物體的前面向后面投射所得的視圖稱主視圖（正視圖）——能反映物體的前面形狀；從物體的上面向下

面投射所得的視圖稱俯視圖——能反映物體的上面形狀；從物體的左面向右面投射所得的視圖稱左視圖——能反映物

體的左面形狀.選項C左視圖與俯視圖都是

4、B

【解析】

分析：利用二次函數(shù)的增減性求解即可，畫出圖形，可直接看出答案.

詳解：對稱軸是：x=l,且開口向上，如圖所示，

.?.當xVl時，函數(shù)值y隨著x的增大而減小;

故選B.

點睛：本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟記二次函數(shù)的性質(zhì).

5、C

【解析】

根據(jù)倒數(shù)的定義，分別進行判斷即可得出答案.

【詳解】

?.?①1和1；1x1=1,故此選項正確；

②-1和1；-1x1=1，故此選項錯誤；

③0和0；0x0=0,故此選項錯誤；

2121

④和-1—，—x(-1—)=1,故此選項正確；

3232

.?.互為倒數(shù)的是：①④，

故選C.

【點睛】

此題主要考查了倒數(shù)的概念及性質(zhì).倒數(shù)的定義：若兩個數(shù)的乘積是1,我們就稱這兩個數(shù)互為倒數(shù).

6、D

【解析】

根據(jù)三角形的高線的定義解答.

【詳解】

根據(jù)高的定義，AF為AABC中邊上的高.

故選D.

【點睛】

本題考查了三角形的高的定義，熟記概念是解題的關(guān)鍵.

7、A

【解析】

直接利用分式的乘除運算法則計算得出答案.

【詳解】

a2-l1

4+-------------=---------7,

aa-1

1a"-1a+1

A=------x---------=--------o

a-1aa

故選：A.

【點睛】

考查了分式的乘除運算，正確分解因式再化簡是解題關(guān)鍵.

8、D

【解析】

根據(jù)絕對值的意義即可解答.

【詳解】

由|a|>|b|,得a與原點的距離比b與原點的距離遠，只有選項D符合，故選D.

【點睛】

本題考查了實數(shù)與數(shù)軸，熟練運用絕對值的意義是解題關(guān)鍵.

9、C

【解析】

解：這組數(shù)據(jù)1、a、2、1、4的平均數(shù)為：(l+a+2+1+4)+5=(a+10)+5=0.2a+2,

(1)將這組數(shù)據(jù)從小到大的順序排列后為a,1,2,1,4,中位數(shù)是2,平均數(shù)是0.2a+2,

?.?這組數(shù)據(jù)1、a、2、1、4的平均數(shù)與中位數(shù)相同，...0.22+2=2,解得a=0,符合排列順序.

(2)將這組數(shù)據(jù)從小到大的順序排列后為1,a,2,1,4,中位數(shù)是2,平均數(shù)是0.2a+2,

?.?這組數(shù)據(jù)1、a、2、1、4的平均數(shù)與中位數(shù)相同，.?.0.2a+2=2,解得a=0,不符合排列順序.

(1)將這組數(shù)據(jù)從小到大的順序排列后1,2,a,1,4,中位數(shù)是a,平均數(shù)是0.2a+2,

?.?這組數(shù)據(jù)1、a、2、1、4的平均數(shù)與中位數(shù)相同，.?.0.2a+2=a,解得a=2.5,符合排列順序.

(4)將這組數(shù)據(jù)從小到大的順序排列后為1,2,1,a,4,中位數(shù)是1,平均數(shù)是0.2a+2,

?.?這組數(shù)據(jù)1、a、2、1、4的平均數(shù)與中位數(shù)相同，.?.0.2a+2=l,解得a=5,不符合排列順序.

(5)將這組數(shù)據(jù)從小到大的順序排列為1,2,1,4,a,中位數(shù)是1,平均數(shù)是0.2a+2,

?.?這組數(shù)據(jù)1、a、2、1、4的平均數(shù)與中位數(shù)相同，.?.0.2a+2=l,解得a=5；符合排列順序；

綜上，可得：a=0、2.5或5,:.a不可能是1.

故選C.

【點睛】

本題考查中位數(shù)；算術(shù)平均數(shù).

10、B

【解析】

根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到Xl+X2=l,Xl"2=-1,再把X82+X1X22變形為X1?X2(X1+X2),然后利用整體代入的方法計算即

可.

【詳解】

根據(jù)題意得：Xl+X2=l,X1*X2=-1,所以原式=X/X2(X1+X2)=~lxl=-1.

故選B.

【點睛】

,hc

本題考查了一元二次方程ad+Ar+cu。(存0)的根與系數(shù)的關(guān)系：若方程兩個為Xi,xi,則xi+X2=------,xi*X2=—.

aa

二、填空題(本大題共6個小題，每小題3分，共18分)

11、2x(x-1)2

【解析】

2x3-4x2+2x=2x(x2-2x+1)=2x(x-I)2

12、-2

【解析】

?.?反比例函數(shù)y=—9的圖象過點A(m,3),

X

：.3=--,解得=-2.

m

13、(15-575)

【解析】

先利用黃金分割的定義計算出AP,然后計算AB-AP即得到PB的長.

【詳解】

?.?尸為AB的黃金分割點CAP>PB),

：.AP=AB=xl0=575-5,

22

：.PB=AB-PA=10-(575-5)=(15-575)cm.

故答案為(15-5石).

【點睛】

本題考查了黃金分割：把線段AB分成兩條線段AC和BC（AOBC）,且使AC是AB和BC的比例中項（即AB：

AC=AC：BC）,叫做把線段AB黃金分割，點C叫做線段AB的黃金分割點.其中AC=或二1AB.

2

14、2

【解析】

分析：找中位數(shù)要把數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列，位于最中間的一個數(shù)（或兩個數(shù)的平均數(shù)）為中位數(shù)；眾數(shù)是一組

數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)，注意眾數(shù)可以不只一個.

詳解：??,一3,x,—1,3,1,6的眾數(shù)是3,

/.x=3,

先對這組數(shù)據(jù)按從小到大的順序重新排序?3、4、1、3、3、6位于最中間的數(shù)是1,3,

這組數(shù)的中位數(shù)是9=1.

2

故答案為：1.

點睛：本題屬于基礎題，考查了確定一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和眾數(shù)的能力.一些學生往往對這個概念掌握不清楚，計算方

法不明確而誤選其它選項，注意找中位數(shù)的時候一定要先排好順序，然后再根據(jù)奇數(shù)和偶數(shù)個來確定中位數(shù)，如果數(shù)

據(jù)有奇數(shù)個，則正中間的數(shù)字即為所求，如果是偶數(shù)個則找中間兩位數(shù)的平均數(shù).

15、1或-1

【解析】

根據(jù)矩形的對角線將矩形分成面積相等的兩個直角三角形，找到圖中的所有矩形及相等的三角形，即可推出S四覦

CEOF=S四娜HAG。，根據(jù)反比例函數(shù)比例系數(shù)的幾何意義即可求出k2+4k+l=6,再解出k的值即可.

【詳解】

如圖：

?四邊形ABCD、HBEO、OECF、GOFD為矩形，

又為四邊形HBEO的對角線，OD為四邊形OGDF的對角線，

:.SABEO=SABHO,SAOFD=SAOGD,SACBD=SAADB,

??SACBD-SABEO-SAOFD=SAADB-SABHO-SAOGD,

??S四邊形CEOF=S四邊形HAGO=2X3=6,

.\xy=k2+4k+l=6,

解得k=l或k=-1.

故答案為1或-1.

【點睛】

本題考查了反比例函數(shù)k的幾何意義、矩形的性質(zhì)、一元二次方程的解法，解題的關(guān)鍵是判斷出S四娜CEOF=S四邊形HAGO.

16、2y(2x+l)(2x-1)

【解析】

首先提取公因式2y,再利用平方差公式分解因式得出答案.

【詳解】

8x2y-2y=2y(4x2-l)

=2y(2x+l)(2x-l).

故答案為2y(2x+l)(2x-l).

【點睛】

此題主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正確應用公式是解題關(guān)鍵.

三、解答題(共8題，共72分)

17、證明見解析；(2)①9；②12.5.

【解析】

(1)根據(jù)對角線互相平分的四邊形為平行四邊形證明即可；

(2)①若四邊形P8EC是矩形，則NAPC=90。，求得AP即可；

②若四邊形尸5EC是菱形，則CP=PJB,求得AP即可.

【詳解】

?..點。是3c的中點，：.BD=CD.

?.,OE=P。，.?.四邊形P3EC是平行四邊形；

(2)①當NAPC=90。時，四邊形P3EC是矩形.

4

VAC=1.sinZA=j,：.PC=12,由勾股定理得：AP=9,...當AP的值為9時，四邊形P8EC是矩形；

4_

②在△ABC中，ZACB=90°,AC=1.sinZA=—,所以設BC=4x,AB=5x,貝！)(4x)2+l2=(5x)2,解得：x=5,.\AB=5x=2.

當PC=PB時，四邊形PBEC是菱形，此時點尸為A3的中點，所以AP=12.5,...當AP的值為12.5時，四邊形PBEC

是菱形.

【點睛】

本題考查了菱形的判定、平行四邊形的判定和性質(zhì)、矩形的判定，解題的關(guān)鍵是掌握特殊圖形的判定以及重要的性質(zhì).

18>(1)m<2；(2)m=l.

【解析】

(1)利用方程有兩個不相等的實數(shù)根，得A=[2(m-1)]2-4(m2-3)=-8m+2>3,然后解不等式即可；

(2)先利用m的范圍得到m=3或m=l,再分別求出m=3和m=l時方程的根，然后根據(jù)根的情況確定滿足條件的m

的值.

【詳解】

(1)△=[2(m-1)]2-4(m2-3)=-8m+2.

???方程有兩個不相等的實數(shù)根，

.,.△>3.

即-8m+2>3.

解得m<2；

(2)Vm<2,且m為非負整數(shù)，

/.m=3或m=l,

當m=3時,原方程為x2-2x-3=3,

解得xi=3,X2=-1(不符合題意舍去)，當m=l時，原方程為x2-

2=3,

解得Xl=72>X2=-72，

綜上所述，m=L

【點睛】

本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c=3(a#)的根與△=b2-4ac有如下關(guān)系：當△>3時，方程有兩個不

相等的實數(shù)根；當A=3時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當A<3時，方程無實數(shù)根.

19、(1)袋子中白球有2個；(2)見解析，|.

【解析】

X2

(D首先設袋子中白球有X個，利用概率公式求即可得方程：-解此方程即可求得答案；

X+13

(2)首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結(jié)果與兩次都摸到相同顏色的小球的情況，再利用概

率公式即可求得答案.

【詳解】

解：（1）設袋子中白球有X個，

Y2

根據(jù)題意得：-

X+13

解得：x=2,

經(jīng)檢驗，x=2是原分式方程的解，

二袋子中白球有2個；

（2）畫樹狀圖得：

白白紅

/N/N/N

白白紅白白紅白白紅

???共有9種等可能的結(jié)果，兩次都摸到相同顏色的小球的有5種情況，

二兩次都摸到相同顏色的小球的概率為：--

9

【點睛】

此題考查了列表法或樹狀圖法求概率.注意掌握方程思想的應用.注意概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

20、（1）2收（2）顯,尸旦一1；（3）-+V3

334

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征易得k=2石；

（2）作BHLAD于H,如圖1,根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征確定B點坐標為（1,273）.貝！|AH=2，^-1,

BH=2j^-l,可判斷△ABH為等腰直角三角形，所以NBAH=45。，得到NDAC=NBAC-NBAH=30。，根據(jù)特殊角

的三角函數(shù)值得tan/DAC=1；由于AD，y軸，貝！IOD=L2=20然后在RtAOAD中利用正切的定義可計算

3

出CD=2,易得C點坐標為（0,-1）,于是可根據(jù)待定系數(shù)法求出直線AC的解析式為y=1x-l；

3

（3）利用M點在反比例函數(shù)圖象上，可設M點坐標為（t,2叵）（0VtV2G）,由于直線ll_x軸，與AC相交于

t

點N,得到N點的橫坐標為3利用一次函數(shù)圖象上點的坐標特征得到N點坐標為（t,&t-1）,則MN=2叵-

3t

旦+1,根據(jù)三角形面積公式得到SACMN=Lt?（2叵-立t+1）,再進行配方得到S=-3昱7+巫（0

32t3628

<t<2石），最后根據(jù)二次函數(shù)的最值問題求解.

試題解析：（1）把A（2百，1）代入y=￡得k=20xl=2Q；

（2）作BH_LAD于H,如圖1,

把B（1,a）代入反比例函數(shù)解析式y(tǒng)=2叵，得a=2若，

X

?\B點坐標為（1,273），

/.AH=2^-1,BH=2班-1,

，AABH為等腰直角三角形，二ZBAH=45°,

■:ZBAC=75°,:.ZDAC=ZBAC-ZBAH=30°,

tanZDAC=tan30°=^^-；

3

?.，AD_Ly軸，?，.OD=1,40=273?VtanZDAC=—=—,

,DA3

：.CD=2,.?.OC=L

???C點坐標為（0,-1）,

設直線AC的解析式為y=kx+b,

rr-+_][—走

把A（2白，1）、C（0,-1）代入得廣弘—1,解得卜一行，

〔b=-l[/?=-1

二直線AC的解析式為y=Y3x-1；

3

（3）設M點坐標為（t,2叵）（0Vt<26）,

t

?.?直線l_Lx軸，與AC相交于點N,...N點的橫坐標為t,...N點坐標為（t,走t-1）,

3

2出（后_2拒V3.

??MN=-------（-----1-19=-------------1f+1,

t3t3

???SACMN=；?t?(平-$t+D=邛吟+1-*(t-T)2+2T"t<2指),

Va=-^-<0,.?.當t=走時，S有最大值，最大值為2叵.

【解析】

(1)作CH，y軸于H,證明AABO也△BCH,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BH=OA=3,CH=OB=1,求出OH,得到

C點坐標；

(2)證明APBA也△QBC,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到PA=CQ；

(3)根據(jù)C、P,Q三點共線，得到NBQC=135。，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到NBPA=NBQC=135。，根據(jù)等腰三角

形的性質(zhì)求出OP,得到P點坐標.

【詳解】

圖1

貝！JNBCH+NCBH=9O°,

VAB±BC,

.\ZABO+ZCBH=90°,

:.ZABO=ZBCH,

在4ABO^DABCH中,

NABO=NBCH

<ZAOB=ZBHC,

AB=BC

/.△ABO^ABCH,

/.BH=OA=3,CH=OB=1,

；.OH=OB+BH=4,

.??C點坐標為(1,-4)；

(2)VZPBQ=ZABC=90°,

/.ZPBQ-ZABQ=ZABC