2024年高考數(shù)學(xué)真題分類(lèi)匯編六 概率、統(tǒng)計(jì)與計(jì)數(shù)原理

年高考數(shù)學(xué)真題分類(lèi)匯編六概率、統(tǒng)計(jì)與計(jì)數(shù)原理一、選擇題1．已知?dú)夂驕囟群秃Ｋ韺訙囟认嚓P(guān)，且相關(guān)系數(shù)為正數(shù)，對(duì)此描述正確的是()A．氣候溫度高，海水表層溫度就高B．氣候溫度高，海水表層溫度就低C．隨著氣候溫度由低到高，海水表層溫度呈上升趨勢(shì)D．隨著氣候溫度由低到高，海水表層溫度呈下降趨勢(shì)2．下列圖中，相關(guān)性系數(shù)最大的是（）A． B．C． D．3．(x?x)4A．15 B．6 C．?4 D．?134．某農(nóng)業(yè)研究部門(mén)在面積相等的100塊稻田上種植一種新型水稻，得到各塊稻田的畝產(chǎn)量（單位：kg）并整理部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表所示：畝產(chǎn)量[900，950）[950，1000）[1000，1050）[1100，1150）[1150，1200）頻數(shù)612182410根據(jù)表中數(shù)據(jù)，下列結(jié)論中正確的是（）.A．100塊稻田畝產(chǎn)量的中位數(shù)小于1050kgB．100塊稻田中畝產(chǎn)量低于1100kg的稻田所占比例超過(guò)40C．100塊稻田畝產(chǎn)量的極差介于200kg至300kg之間D．100塊稻田畝產(chǎn)量的平均值介于900kg至1000kg5．甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排頭，且甲或乙在排尾的概率是（）A．14 B．13 C．126．有四種禮盒，前三種里面分別僅裝有中國(guó)結(jié)、記事本、筆袋，第四個(gè)禮盒里面三種禮品都有，現(xiàn)從中任選一個(gè)盒子，設(shè)事件A：所選盒中有中國(guó)結(jié)，事件B：所選盒中有記事本，事件C：所選盒中有筆袋，則（）A．事件A與事件B互斥 B．事件A與事件B相互獨(dú)立C．事件A與事件B∪C互斥 D．事件A與事件B∩C相互獨(dú)立二、多項(xiàng)選擇題7．為了解推動(dòng)出口后的畝收入（單位：萬(wàn)元）情況，從該種植區(qū)抽取樣本，得到推動(dòng)出口后畝收入的樣本均值x＝2.1，樣本方差s2＝0.01，已知該種植區(qū)以往的畝收入X服從正態(tài)分布N（1.8，0.12），假設(shè)推動(dòng)出口后的畝收入Y服從正態(tài)分布N（x，s2），則（）（若隨機(jī)變量Z服從正態(tài)分布N（μ，σ2），則P（Z＜μ+σ）≈0.8413）A．P（X＞2）＞0.2 B．P（X＞2）＜0.5C．P（Y＞2）＞0.5 D．P（Y＞2）＜0.8三、填空題8．在(3x39．（x﹣1）6展開(kāi)式中x4的系數(shù)為．10．二項(xiàng)式(13+x)11．在(x+1)n的二項(xiàng)展開(kāi)式中，若各項(xiàng)系數(shù)和為32，則x12．A，B，C，D，E五種活動(dòng)，甲、乙都要選擇三個(gè)活動(dòng)參加.(1)甲選到A的概率為；已知乙選了A活動(dòng)，他再選擇B活動(dòng)的概率為.13．某校舉辦科學(xué)競(jìng)技比賽，有A、B、C3種題庫(kù)，A題庫(kù)有5000道題，B題庫(kù)有4000道題，C題庫(kù)有3000道題.小申已完成所有題，他A題庫(kù)的正確率是0.92，B題庫(kù)的正確率是0.86，C題庫(kù)的正確率是0.72，現(xiàn)他從所有的題中隨機(jī)選一題，正確率是.14．有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1、2、3、4、5、6，從中不放回地隨機(jī)抽取3次，每次取1個(gè)球．記m表示前兩個(gè)球號(hào)碼的平均數(shù)，記n表示前三個(gè)球號(hào)碼的平均數(shù)，則m與n差的絕對(duì)值不超過(guò)12的概率是15．甲、乙兩人各有四張卡片，每張卡片上標(biāo)有一個(gè)數(shù)字，甲的卡片上分別標(biāo)有數(shù)字1，3，5，7，乙的卡片上分別標(biāo)有數(shù)字2，4，6，8，兩人進(jìn)行四輪比賽，在每輪比賽中，兩人各自從自己持有的卡片中隨機(jī)選一張，并比較所選卡片上數(shù)字的大小，數(shù)字大的人得1分，數(shù)字小的人得0分，然后各自棄置此輪所選的卡片（棄置的卡片在此后輪次中不能使用）．則四輪比賽后，甲的總得分不小于2的概率為．16．設(shè)集合A中的元素皆為無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位正整數(shù)，且元素中任意兩者之積皆為偶數(shù)，求集合中元素個(gè)數(shù)的最大值.17．在下圖的4×4方格表中選4個(gè)方格，要求每行和每列均恰有一個(gè)方格被選中，則共有種選法，在所有符合上述要求的選法中，選中方格中的4個(gè)數(shù)之和的最大值是．

18．a(chǎn)1＝2，a2＝4，a3＝8，a4＝16，任意b1，b2，b3，b4∈R，滿足{ai+aj|1≤i＜j≤4}＝{bi+bj|1≤i＜j≤4}，求有序數(shù)列{b1，b2，b3，b4}有對(duì)．四、解答題19．水果分為一級(jí)果和二級(jí)果，共136箱，其中一級(jí)果102箱，二級(jí)果34箱．（1）隨機(jī)挑選兩箱水果，求恰好一級(jí)果和二級(jí)果各一箱的概率；（2）進(jìn)行分層抽樣，共抽8箱水果，求一級(jí)果和二級(jí)果各幾箱；（3）抽取若干箱水果，其中一級(jí)果共120個(gè)，單果質(zhì)量平均數(shù)為303.45克，方差為603.46；二級(jí)果48個(gè)，單果質(zhì)量平均數(shù)為240.41克，方差為648.21；求168個(gè)水果的方差和平均數(shù)，并預(yù)估果園中單果的質(zhì)量．20．為了解某地初中學(xué)生體育鍛煉時(shí)長(zhǎng)與學(xué)業(yè)成績(jī)的關(guān)系，從該地區(qū)29000名學(xué)生中抽取580人，得到日均體育鍛煉時(shí)長(zhǎng)與學(xué)業(yè)成績(jī)的數(shù)據(jù)如下表所示：時(shí)間范圍學(xué)業(yè)成績(jī)[[[[[優(yōu)秀5444231不優(yōu)秀1341471374027（1）該地區(qū)29000名學(xué)生中體育鍛煉時(shí)長(zhǎng)大于1小時(shí)人數(shù)約為多少？（2）估計(jì)該地區(qū)初中學(xué)生日均體育鍛煉的時(shí)長(zhǎng)（精確到0.1）（3）是否有95%附：χ2=n21．已知某險(xiǎn)種的保費(fèi)為0.4萬(wàn)元，前3次出險(xiǎn)每次賠付0.賠償次數(shù)01234單數(shù)800100603010在總體中抽樣100單，以頻率估計(jì)概率：（1）求隨機(jī)抽取一單，賠償不少于2次的概率；（2）（i）毛利潤(rùn)是保費(fèi)與賠償金額之差．設(shè)毛利潤(rùn)為X，估計(jì)X的數(shù)學(xué)期望；（ⅱ）若未賠償過(guò)的保單下一保險(xiǎn)期的保費(fèi)下降4%，已賠償過(guò)的增加2022．某投籃比賽分為兩個(gè)階段，每個(gè)參賽隊(duì)由兩名隊(duì)員組成，比賽具體規(guī)則如下：第一階段由參賽隊(duì)中一名隊(duì)員投籃3次，若3次都未投中，則該隊(duì)被淘汰，比賽成績(jī)?yōu)?分；若至少投中一次，則該隊(duì)進(jìn)入第二階段，由該隊(duì)的另一名隊(duì)員投籃3次，每次投中得5分，未投中得0分，該隊(duì)的比賽成績(jī)?yōu)榈诙A段的得分總和.某參賽隊(duì)由甲、乙兩名隊(duì)員組成，設(shè)甲每次投中的概率為p，乙每次投中的概率為q，各次投中與否相互獨(dú)立．（1）若p=0.（2）假設(shè)0<p<q．（ⅰ）為使得甲、乙所在隊(duì)的比賽成績(jī)?yōu)?5分的概率最大，應(yīng)該由誰(shuí)參加第一階段的比賽?（ⅱ）為使得甲、乙所在隊(duì)的比賽成績(jī)的數(shù)學(xué)期望最大，應(yīng)該由誰(shuí)參加第一階段的比賽?23．某工廠進(jìn)行生產(chǎn)線智能化升級(jí)改造．升級(jí)改造后，從該工廠甲、乙兩個(gè)車(chē)間的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取150件進(jìn)行檢驗(yàn)，數(shù)據(jù)如下：

優(yōu)級(jí)品合格品不合格品總計(jì)甲車(chē)間2624050乙車(chē)間70282100總計(jì)96522150（1）填寫(xiě)如下列聯(lián)表：

優(yōu)級(jí)品非優(yōu)級(jí)品甲車(chē)間乙車(chē)間能否有95%的把握認(rèn)為甲、乙兩車(chē)間產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率存在差異？能否有99%的把握認(rèn)為甲、乙兩車(chē)間產(chǎn)品的估級(jí)品率存在差異？（2）已知升級(jí)改造前該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率p＝0.5．設(shè)p為升級(jí)改造后抽取的n件產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率．如果p＞p+1.65p(1?p)附：K2P（K2≥k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.82824．某工廠進(jìn)行生產(chǎn)線智能化升級(jí)改造．升級(jí)改造后，從該工廠甲、乙兩個(gè)車(chē)間的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取150件進(jìn)行檢驗(yàn)，數(shù)據(jù)如下：

優(yōu)級(jí)品合格品不合格品總計(jì)甲車(chē)間2624050乙車(chē)間70282100總計(jì)96522150（1）填寫(xiě)如下列聯(lián)表：

優(yōu)級(jí)品非優(yōu)級(jí)品甲車(chē)間乙車(chē)間能否有95%的把握認(rèn)為甲、乙兩車(chē)間產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率存在差異？能否有99%的把握認(rèn)為甲、乙兩車(chē)間產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率存在差異？（2）已知升級(jí)改造前該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率p＝0.5．設(shè)p為升級(jí)改造后抽取的n件產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率．如果p>p+1.65附：K2P（K2≥k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.82825．設(shè)m為正整數(shù)，數(shù)列a1，a2，…，a4m+2是公差不為0的等差數(shù)列，若從中刪去兩項(xiàng)ai和aj（i＜j）后剩余的4m項(xiàng)可被平均分為m組，且每組的4個(gè)數(shù)都能構(gòu)成等差數(shù)列，則稱(chēng)數(shù)列a1，a2…，a4m+2是（i，j）——可分?jǐn)?shù)列．（1）寫(xiě)出所有的（i，j），1≤i＜j≤6，使數(shù)列a1，a2，…，a6是（i，j）——可分?jǐn)?shù)列；（2）當(dāng)m≥3時(shí)，證明：數(shù)列a1，a2，…，a4m+2是（2，13）——可分?jǐn)?shù)列；（3）從1，2，…，4m+2中一次任取兩個(gè)數(shù)i和j（i＜j），記數(shù)列a1，a2，…，a4m+2是（i，j）——可分?jǐn)?shù)列的概率為Pm，證明：Pm＞18

答案解析部分1．【答案】C2．【答案】A3．【答案】B4．【答案】C5．【答案】B6．【答案】B7．【答案】B,C8．【答案】209．【答案】1510．【答案】511．【答案】1012．【答案】35；13．【答案】0.8514．【答案】71515．【答案】1216．【答案】32917．【答案】24；11218．【答案】4819．【答案】（1）解：從136箱中隨機(jī)挑選兩箱水果樣本空間Ω共有C1362=136×1352×1=9180個(gè)樣本點(diǎn)，

設(shè)事件M="恰好一級(jí)果和二級(jí)果各一箱"則事件M包含的樣本點(diǎn)共（2）解：因?yàn)橐患?jí)果箱數(shù)：二級(jí)果箱數(shù)=10234所以8箱水果中抽到一級(jí)果8×33+1=6綜上8箱水果中有一級(jí)果抽取6箱，二級(jí)果抽取2箱；（3）解：設(shè)一級(jí)果平均質(zhì)量為x，方差為Sx2，二級(jí)果質(zhì)量為y，方差為Sy由已知可得x=303.45，Sx2=603.46所以m=120S2預(yù)估：果園中單果平均質(zhì)量為102102+34綜上168個(gè)水果的平均數(shù)285.44克；方差1427.17克2，整個(gè)果園的單果的平均質(zhì)量約287.69克20．【答案】（1）解：由表可知，鍛煉時(shí)長(zhǎng)不少于1小時(shí)的人數(shù)占比為179+43+28580則估計(jì)該地區(qū)29000名學(xué)生中體育鍛煉時(shí)長(zhǎng)不少于1小時(shí)的人數(shù)為29000×25（2）解：該地區(qū)初中生的日均體育鍛煉時(shí)長(zhǎng)約為1580則該地區(qū)初中學(xué)生日均體育鍛煉的時(shí)長(zhǎng)為0.9小時(shí)；（3）解：由題，列出2×2聯(lián)表，如表所示：[1其他合計(jì)優(yōu)秀455095不優(yōu)秀177308485合計(jì)222358580零假設(shè)H0χ2即有95%的把握認(rèn)為學(xué)業(yè)成績(jī)優(yōu)秀與日均鍛煉時(shí)長(zhǎng)不小于1小時(shí)且小于2小時(shí)有關(guān)．21．【答案】（1）解：由題意可得：隨機(jī)抽取一單，賠償不少于2次的頻率為60+30+10800+100+60+30+10用頻率估計(jì)概率，所以“隨機(jī)抽取一單，賠償不少于2次”概率為110（2）解：（?。┰O(shè)Y為賠付金額，由題意可知：X=0.4?Y，且Y可取則有P(Y=0)=800P(Y=1.P(可得E(Y)=0×4所以X的數(shù)學(xué)期望E(X)=0.（ⅱ）由題意可得：保費(fèi)的變化為0.所以估計(jì)保單下一保險(xiǎn)期毛利潤(rùn)的數(shù)學(xué)期望0.???22．【答案】（1）解：甲、乙所在隊(duì)的比賽成績(jī)不少于5分，則甲在第一階段至少投中1次，乙在第二階段也至少投中1次，記甲在第一階段至少投中1次的事件為A，乙在第二階段也至少投中1次的事件為B，

則PA=0.63，（2）解：（i）若乙先參加第一階段比賽，則甲、乙所在隊(duì)的比賽成績(jī)?yōu)?5分的概率為P乙若甲先參加第一階段比賽，則甲、乙所在隊(duì)的比賽成績(jī)?yōu)?5分的概率為P甲因?yàn)?<p<q，所以P===3pq(所以P甲(ii)若甲先參加第一階段比賽，比賽成績(jī)X的所有可能取值為0，5，10，15，P(P(X=5)=[1?(1?p)P(P(則E(若乙先參加第一階段比賽，比賽成績(jī)Y的所有可能取值為0，5，10，15，同理EE(因?yàn)?<p<q，則p?q<0，p+q?3<1+1?3<0，則(p?q故應(yīng)該由甲參加第一階段比賽.23．【答案】（1）解：根據(jù)題意可得列聯(lián)表如下所示：優(yōu)級(jí)品非優(yōu)級(jí)品總數(shù)甲車(chē)間262450乙車(chē)間7030100總計(jì)96541將上面的數(shù)值代入公式計(jì)算得：K2=150(26×30?24×70)250×100×96×54=7516=4.（2）解：生產(chǎn)線智能化升級(jí)改造后，該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品的頻率為96150=0.64，

所以用頻率估計(jì)概率可得p=0.64，

根據(jù)題意，升級(jí)改造前該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率p=0.5，

24．【答案】（1）解：根據(jù)題意可得列聯(lián)表如下所示：優(yōu)級(jí)品非優(yōu)級(jí)品總數(shù)甲車(chē)間262450乙車(chē)間7030100總計(jì)9654150將上面的數(shù)值代入公式計(jì)算得：

K2又因?yàn)?.所以有95%的把握認(rèn)為甲、乙兩車(chē)間產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率存在差異，沒(méi)有99（2）解：生產(chǎn)線智能化升級(jí)改造后，該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品的頻率為96150所以用頻率估計(jì)概率可得p=0根據(jù)題意，升級(jí)改造前該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率p=0.則p+1.可知p>p+1所以可以認(rèn)為生產(chǎn)線智能化升級(jí)改造后，該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率提高了.25．【答案】（1）解：等差數(shù)列a1，a2，…，a6刪去兩項(xiàng)后，余下4項(xiàng)成等差數(shù)列，此時(shí)剩下的數(shù)列若想構(gòu)成數(shù)列，必然是公差為d的數(shù)列，

即可能的情況為a1，a2，a3，a4或a2，a3，a4，a5，或a3，a4，a5，a6，

故刪去的兩項(xiàng)（i，j）可以為（5，6），（1，6），（1，2）（2）證明：依題意得，數(shù)列a1，a2，…，a4m+2是（2，13）——可分?jǐn)?shù)列，

即a1，a3，a4，…，a10，a11，a13，a14，a4m+2，易分析連續(xù)的四項(xiàng)為等差數(shù)列，

即a14，a15，，a4m+2，后共有(4m-12)連續(xù)項(xiàng)，此時(shí)必然構(gòu)成等差數(shù)列，

即證得a1，a3，a4，…，a10，a11，a13，a14，為等差數(shù)列，則數(shù)列a1，a2，…，a4m+2是