高中二年級(jí)下學(xué)期數(shù)學(xué)《導(dǎo)數(shù)在解決實(shí)際問題中的應(yīng)用》課件

導(dǎo)數(shù)在解決實(shí)際問題中的應(yīng)用年級(jí)：高二（下）學(xué)科：數(shù)學(xué)（人教A版）

導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用（1）函數(shù)的單調(diào)性（2）函數(shù)的極值（3）函數(shù)的最大（?。┲敌抡n引入導(dǎo)數(shù)在研究實(shí)際問題中的應(yīng)用

導(dǎo)數(shù)是解決諸如增長(zhǎng)率、膨脹率、效率、密度速度、加速度以及用料最省、利潤(rùn)最大等實(shí)際問題的基本工具。新課引入問題

飲料瓶大小對(duì)飲料公司利潤(rùn)的影響？

（1）你是否注意過，市場(chǎng)上等量的小包裝的物品一般比大包裝的要貴些？你想從數(shù)學(xué)上知道它的道理嗎？（2）是不是飲料瓶越大，飲料公司的利潤(rùn)越大？探究新知例1

某制造商制造并出售球形瓶裝的某種飲料.瓶子的制造成本是

分，其中

（單位：cm）是瓶子的半徑.已知每出售1mL的飲料，制造商可獲利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半徑為6cm.

（1）瓶子半徑多大時(shí)，能使每瓶飲料的利潤(rùn)最大？

（2）瓶子半徑多大時(shí)，每瓶飲料的利潤(rùn)最小？

一瓶半徑為

的球形瓶裝飲料的容積為

cm3

，1cm3

等于1mL，故瓶?jī)?nèi)所裝飲料為mL，出售1mL飲料，制造商可獲利0.2分，瓶?jī)?nèi)飲料的利潤(rùn)為

分.又每個(gè)瓶子的制造成本是

分，因此每瓶飲料的利潤(rùn)為

分.問題1每瓶飲料的利潤(rùn)怎么表示？

每瓶飲料的利潤(rùn)=瓶?jī)?nèi)飲料的利潤(rùn)

-每個(gè)瓶子的制造成本

記問題2函數(shù)

的定義域是什么？函數(shù)

的定義域是.問題3如何求每瓶飲料利潤(rùn)的最大值和最小值呢？

可利用導(dǎo)數(shù)研究該函數(shù)的最大（?。┲?即求函數(shù)

的最大（?。┲?問題4利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)

在區(qū)間

的最大（小）值的基本步驟是什么？求出導(dǎo)函數(shù)

；令

，求出對(duì)應(yīng)方程的根；分析根左右兩側(cè)

的正負(fù)、

的單調(diào)性，確定

的極值點(diǎn)；將極值與端點(diǎn)值進(jìn)行比較，進(jìn)而求出最大（小）值.解：由題意可知，每瓶飲料的利潤(rùn)是：求導(dǎo)得令解得當(dāng)

時(shí)，當(dāng)

時(shí)，當(dāng)半徑

時(shí)，

，

單調(diào)遞增，即半徑越大，利潤(rùn)越高；當(dāng)半徑

時(shí)，

，

單調(diào)遞減，即半徑越大，利潤(rùn)越低.（1）瓶子半徑為6cm時(shí)，利潤(rùn)最大.此時(shí)每瓶飲料的利潤(rùn)為

（2）瓶子半徑為2cm時(shí)，利潤(rùn)最小.解：因此

，表示此種瓶?jī)?nèi)飲料的利潤(rùn)還不夠瓶子的成本，此時(shí)利潤(rùn)為負(fù)值.

此時(shí)

分.問題5如果我們不用導(dǎo)數(shù)工具，直接從函數(shù)

的圖象上觀察，你有什么發(fā)現(xiàn)？

當(dāng)

時(shí)，

即瓶子的半徑是3cm時(shí)，飲料的利潤(rùn)與飲料瓶的成本恰好相等；當(dāng)

時(shí)，利潤(rùn)才為正值.

當(dāng)

時(shí)，利潤(rùn)為負(fù)值，即飲料的利潤(rùn)不夠飲料瓶的成本；問題6

當(dāng)

時(shí)，

是減函數(shù)，你能解釋它的實(shí)際意義嗎？

當(dāng)

時(shí)，瓶子半徑

越大，每瓶飲料的利潤(rùn)越低，制造商虧損得越多.

問題7通過對(duì)此問題的解決，如何回答開始的問題呢？

以等量的球形瓶裝飲料為例，因?yàn)樾“b的半徑小，其成本比大包裝的高，要想保持一定的利潤(rùn)，就需要提高其銷售價(jià)格，所以比較起來等量的小包裝的物品一般比大包裝的要貴些.由例（1）知，飲料瓶半徑為6cm時(shí)，利潤(rùn)最大，所以飲料瓶越大飲料公司的利潤(rùn)越大.問題

飲料瓶大小對(duì)飲料公司利潤(rùn)的影響？

（1）你是否注意過，市場(chǎng)上等量的小包裝的物品一般比大包裝的要貴些？你想從數(shù)學(xué)上知道它的道理嗎？（2）是不是飲料瓶越大，飲料公司的利潤(rùn)越大？利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問題的基本思路實(shí)際問題用函數(shù)表示的數(shù)學(xué)問題利用導(dǎo)數(shù)解決數(shù)學(xué)問題實(shí)際問題的答案知識(shí)小結(jié)例2學(xué)?；虬嗉?jí)舉行活動(dòng)，通常需要張貼海報(bào)進(jìn)行宣傳，現(xiàn)讓你設(shè)計(jì)一張如圖所示的豎向張貼的海報(bào)，要求版心面積為128

dm2，上、下兩邊各空2

dm，左、右兩邊各空1

dm.如何設(shè)計(jì)海報(bào)的尺寸，才能使四周空白的面積最?。堪嫘闹R(shí)應(yīng)用

由題知，版心的面積是固定的，也即版心的高和寬的乘積是固定的，

但版心的高和寬是變化的. 版心問題1：怎樣合理引入變量？變量的取值范圍是什么？則版心的寬為dm，可設(shè)版心的高為dm，變量

四周空白面積=整張海報(bào)的面積-版心的面積上、下兩邊各空2

dm，所以海報(bào)的高為

左、右兩邊各空

1

dm，所以海報(bào)的寬為

四周空白面積與變量之間的函數(shù)關(guān)系為：?jiǎn)栴}2：引入的變量與四周空白面積的函數(shù)關(guān)系是怎樣的？版心

我們遵循著利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最大（?。┲档牟襟E來研究函數(shù)

的最小值.

問題3：如何求四周空白面積的最小值？版心當(dāng)

單調(diào)遞增.解：設(shè)版心的高為

dm

，則版心的寬為dm,則

四周空白面積為求導(dǎo)得

因此,是函數(shù)

的極小值點(diǎn)，也是最小值點(diǎn).

此時(shí)版心的寬為8dm.答:當(dāng)版心高為16dm，寬為8dm時(shí)，海報(bào)四周空白面積最小.解得當(dāng)

單調(diào)遞減；令解：設(shè)版心的高為

dm

，則版心的寬為dm

四周空白面積為答:當(dāng)版心高為16dm，寬為8dm時(shí)，海報(bào)四周空白面積最小.由基本不等式得：當(dāng)且僅當(dāng)

，即

時(shí)，

取最小值72.

此時(shí)版心的寬為8dm.問題4：除開導(dǎo)數(shù)工具，你還有其它方法求四周空白面積的最小值嗎？問題5：以上兩種方法哪種更簡(jiǎn)便？哪種更具一般性？

基本不等式、導(dǎo)數(shù)都是求函數(shù)最值的重要手段，但基本不等式求最值必須滿足一“正”，二“定”、三“相等”，三者缺一不可.因而導(dǎo)數(shù)更具一般性，是解決更為復(fù)雜函數(shù)最值的重要工具。課堂小結(jié)1、利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問題的基本思路2、利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問題過程是一個(gè)典型的數(shù)學(xué)建模過程.實(shí)際問題用函數(shù)表示的數(shù)學(xué)問題利用導(dǎo)數(shù)解決數(shù)學(xué)問題實(shí)際問題的答案建立數(shù)學(xué)模型解決數(shù)學(xué)模型實(shí)際問題的解決課后作業(yè)1.在邊長(zhǎng)為60cm的正方形鐵皮的四角切去相等的正方形，再把它的邊沿虛線折起，做成一個(gè)無蓋的方底箱子，箱底邊長(zhǎng)為多少時(shí)，箱子容積最大