江蘇省宿遷市2023-2024學(xué)年高二年級下冊6月期末考試數(shù)學(xué)試題（含解析）

高二年級調(diào)研測試數(shù)學(xué)

本試卷共4頁，19小題，滿分150分，考試用時120分鐘.

注意事項：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.將

條形碼橫貼在答題卡上“條形碼粘貼處”.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上對應(yīng)題目的答案

標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號.

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目

指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上.如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案.不

準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答無效.

4.考生必須保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項

中，只有一項是符合題目要求的.

I.計算c；+c；+c；=（）

A.20B.21C.35D.36

2.已知樣本數(shù)據(jù)2與+1,2X2+1,2匕+1的平均數(shù)為5,則3網(wǎng)+1,3X2+1,3x?+l

的平均數(shù)為（）

A.6B.7C.15D.16

3.下表是大合唱比賽24個班級的得分情況，則80百分位數(shù)是（）

得分78910111314

頻數(shù)4246242

A.13.5B.10.5C.12D.13

4.已知6為兩條不同直線，a,夕，/為三個不同平面，則下列說法正確的是（）

A.若a〃b,bua,則B.若a//a,bua,貝?。輆//Z>

C.ally,尸〃y,則a〃/?D.若a_Ly,,則a〃刀

5.已知45c三點不共線，。為平面ABC外一點，下列條件中能確定跖A8,c四點共面的

是（）

A.OM=OA+OB+OCB.OM=3OA-OB-BC

C.OM=OA+^OB+^OCD.OM=3OA-?.OB-BC

311

6.已知隨機(jī)事件A,B,P(A)=—,P(8)=5，P(3|A)=§,則P(A|8)=()

A.-B.-C.—D.—

562010

7.已知(2x+l)9=%+qx+%苫？H1-cigX9,貝U寸+寸+6+?■的值為()

A.255B.256C.511D.512

8.某工廠有甲、乙、丙3個車間生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，其中甲車間的產(chǎn)量占總產(chǎn)量的20%,乙

車間占35%,丙車間占45%.已知這3個車間的次品率依次為5%,4%,2%,若從該廠生

產(chǎn)的這種產(chǎn)品中取出1件為次品，則該次品由乙車間生產(chǎn)的概率為()

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項

中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的

得0分.

9.下列選項中敘述正確的有()

A.在施肥量不過量的情況下，施肥量與糧食產(chǎn)量之間具有正相關(guān)關(guān)系

B.在公式孫=i中，變量y與x之間不具有相關(guān)關(guān)系

C.相關(guān)系數(shù)6=0-6時變量間的相關(guān)程度弱于弓=-0.8時變量間的相關(guān)程度

D.某小區(qū)所有家庭年收入X(萬元)與年支出y(萬元)具有相關(guān)關(guān)系，其線性回歸方程

為3=+0.8.若x=20,y=16,貝。分=0.76.

10.已知點A(-2,3,-3),3(2,5,1),C(l,4,0),平面a經(jīng)過線段A8的中點D,且與直線相

垂直，下列選項中敘述正確的有()

A.線段A8的長為36

B.點尸(1,2,-1)在平面a內(nèi)

C.線段A3的中點。的坐標(biāo)為(。,4,-1)

D.直線。與平面a所成角的正弦值為逆

3

11.甲袋中有2個紅球、3個黃球，乙袋中有3個紅球、2個黃球，同時從甲、乙兩袋中取

出2個球交換，分別記交換后甲、乙兩個袋子中紅球個數(shù)的數(shù)學(xué)期望為E(X)、￡(r),方差

為。(X)、r?(y),則下列結(jié)論正確的是()

A.E(X)+E(y)=5B.￡(x)<E(y)

C.￡>(X)<D(Y)D.D(x)=r>(y)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.己知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(95,〃)，若尸(X<80)=0.3,則P(95<X<110)=.

13.如圖，用四種不同顏色給圖中的AB.CAE五個點涂色，要求每個點涂一種顏色，且

圖中每條線段的兩個端點涂不同顏色.則不同的涂色方法共有種.

14.如圖，已知三棱錐P-ABC的底面是邊長為2的等邊三角形，ZAPB=60°,。為AB中

點，PALCD,則三棱錐尸-ABC的外接球表面積為.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算

步聚.

15.在，尤+七］(〃23,〃eN*)的展開式中，第2,3,4項的二項式系數(shù)依次成等差數(shù)列.

(1)證明展開式中不存在常數(shù)項；

(2)求展開式中所有的有理項.

16.某校天文社團(tuán)將2名男生和4名女生分成兩組，每組3人，分配到A,3兩個班級招募

新社員.

(1)求到A班招募新社員的3名學(xué)生中有2名女生的概率；

(2)設(shè)到A,8兩班招募新社員的男生人數(shù)分別為。，6,記X=a-6,求X的分布列和方差.

17.如圖，正三棱柱ABC-ABC1中，。為A8的中點.

(1)求證：BCX//平面AjCD；

⑵當(dāng)受的值為多少時，做，平面*8請給出證明.

18.會員足夠多的某知名戶外健身俱樂部，為研究不高于40歲和高于40歲兩類會員對服務(wù)

質(zhì)量的滿意度.現(xiàn)隨機(jī)抽取100名會員進(jìn)行服務(wù)滿意度調(diào)查，結(jié)果如下:

滿意度

年齡段合計

滿意不滿意

不高于40歲502070

高于40歲25530

合計7525100

(1)問：能否認(rèn)為，會員不高于40歲和高于40歲年齡結(jié)構(gòu)對服務(wù)滿意度有關(guān);

⑵用隨機(jī)抽取的100名會員中的滿意度頻率代表俱樂部所有會員的滿意度概率.從所有會

員中隨機(jī)抽取3人，記抽取的3人中，對服務(wù)滿意的人數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

參考公式：（其中〃=a+6+c+d）.

參考數(shù)據(jù):

0.150.100.050.0250.0100.0050.001

%2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

19.如圖，在三棱臺ABC-DEF中，AB=BC=AC=2,AD=DF=FC=l,N為Db的中

點，二面角D-AC-B的大小為氏

TT

(2)若6=5，求三棱臺ABC-DEF的體積；

⑶若A到平面3a芯的距離為逅，求cos。的值.

2

1.B

【分析】利用組合數(shù)計算公式計算可得結(jié)果.

【詳解】由組合數(shù)計算公式可得c；+c；+或=1+5+*=21.

1x2

故選：B

2.B

【分析】根據(jù)平均數(shù)的性質(zhì)即可得西,孫…，尤”的平均數(shù)為2,則可得到新的一組數(shù)據(jù)的平均

數(shù).

【詳解】由題意，樣本數(shù)據(jù)2占+1,2%+1,…，2%+1的平均數(shù)為5,

設(shè)玉,尤2,…,x”的平均數(shù)為7,

即25+1=5,解得；=2,

根據(jù)平均數(shù)的性質(zhì)知3再+1,3%+1,…，3%+1的平均數(shù)為3*1=7.

故選：B.

3.D

【分析】根據(jù)百分位數(shù)的定義求解即可.

【詳解】因為24x80%=19.2,24個班級的得分按照從小到大排序，

可得80百分位數(shù)是第20個數(shù)為13.

故選：D

4.C

【分析】由線線、線面、面面的位置關(guān)系即可求得本題.

【詳解】若bua,貝!]a//a或aua,則A錯；

若a//a,bua,貝!I或。與〃異面，則B錯；

ally,4//7,由平行的傳遞性可知，?///?,則C對;

若a，7,J31y,則a〃6或相交.，D錯，

故選：C.

5.D

【分析】根據(jù)空間向量基本定理對選項逐個進(jìn)行驗證即可得出結(jié)論.

【詳解】由空間向量基本定理可知，若氏C四點共面，則需滿足存在實數(shù)％Xz使得

OM=xOA+yOB+zOC,且x+y+z=l,

顯然選項A,C不成立；

對于選項B,由OM=3OA_08-BC可得。河=30A-OB-[OC-。8)=3OA-OC,

不合題意，即B錯誤；

對于D,化簡0M=30A_20B-BC可得OM=3OA-2OB-(OC-OB)=3OA-OB-OC,

滿足3+(-1)+(-1)=1,可得D正確；

故選：D

6.A

【分析】根據(jù)題意，由乘法公式代入計算可得P(AB),再由條件概率公式，代入計算，即

可得到結(jié)果.

311

【詳解】因為尸(A)=歷，P(B)=-,P(B\A)=~,

i31

貝!JP(叫=P(例A)xP(A)=§x正=正，

5

故選：A

7.A

【分析】利用二項式定理寫出展開式的通項，令x=0求出4=1,分別令x=；、x=-1,

再兩式相加可得/+墨+-+4=256,再減去%即可.

【詳解】令x=0,得4=1,

令尤=工，得%+4+與+*++與+*=29=512,

20222232829

令X,，得°幺+多々++$一牛=o,

20222232829

兩式相加得2(%+合++墨］=512,

得%+卷++|=256,

則生+合+祟+爭=255.

故選：A.

8.C

【分析】根據(jù)題意，由全概率公式可得抽取到次品的概率，再由條件概率公式代入計算，即

可求解.

【詳解】記事件A表示甲車間生產(chǎn)的產(chǎn)品，

記事件8表示乙車間生產(chǎn)的產(chǎn)品，

記事件C表示丙車間生產(chǎn)的產(chǎn)品，

記事件。表示抽取到次品，

貝IjP(A)=0.2,P(B)=0.35,P(c)=0.45,

P(D|A)=0.05,P(D|B)=0.04,P(￡>|C)=0.02,

取到次品的概率為

P(D)=P(A)P(D|A)+P(B)P(D|B)+P(C)P(D|C)

=0.2x0.05+0.35x0.04+0.45x0.02=0.033,

若取到的是次品，此次品由乙車間生產(chǎn)的概率為：

p(B\D\_P(BD)_P(2)P(必3)_0.35x0.04_0.014_14

'?)一尸⑵一P(D)-0.033-0.03333,

故選：C

9.ACD

【分析】根據(jù)相關(guān)關(guān)系的定義和性質(zhì)可判斷AB的正誤，根據(jù)相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)可判斷C的正

誤，根據(jù)回歸方程的性質(zhì)可判斷D的正誤.

【詳解】對于A,在施肥量不過量的情況下，施肥量越大，糧食產(chǎn)量越高，

故兩者之間具有正相關(guān)關(guān)系，故A正確.

對于B,變量y與X之間是函數(shù)關(guān)系，不是相關(guān)關(guān)系，故B錯誤.

對于C因為同=0.8>同=0.6,

故相關(guān)系數(shù)4=0.6時變量間的相關(guān)程度弱于4=-。-8時變量間的相關(guān)程度，故C正確.

對于D,因為回歸直線過(元歹)，故16=嬴20+0.8，故g=0.76，故D正確.

故選：ACD.

10.BCD

【分析】由空間兩點間的距離公式即可得到線段A8的長，判斷A；由2平面垂足

為點PDLAB,即可判斷B；由中點坐標(biāo)公式可得點。的坐標(biāo)，判斷C；設(shè)直線8與

ABCD

平面a所成的角為夕，sin^=cos(^AB,CD,通過坐標(biāo)運算可得，判斷D.

AB\\CD

【詳解】因為點A(-2,3,-3),8(2,5/)，

所以48二^(2-(-2))2+(5-3)2+(1-(-3))2=6,故A錯誤;

設(shè)。點的坐標(biāo)為(x,y,z),因為。為線段48的中點，

則。的坐標(biāo)為(。，4,-1),故C正確；

因為點尸(1,2,-1),則尸力=(-1,2,0),又AB=(4,2,4),

則尸力.市=(-1,2,0>(4,2,4)=0,所以即

又工平面垂足為點。，即Oe平面a,所以PDu平面故B正確;

由C(l,4,0),0(0,4,-1),得=

設(shè)直線8與平面。所成的角為P,

I/\iABCD_4+0-4272

則sinp=cos(AB,CD)\=-n-=——L=,故D正確.

1'/IAB\\CD6j23

故選：BCD.

11.ABD

【分析】依題意可知不管如何交換紅球個數(shù)始終只有5個，易知x+y=5,利用期望值和

方差性質(zhì)可得A,D正確，C錯誤；易知隨機(jī)變量X的所有可能取值為0,1,2,3,4,寫出對應(yīng)

的概率并得出分布列，可得E（X）=2.4,E（y）=5-E（X）=2.6,可得B正確.

【詳解】根據(jù)題意，記甲、乙兩個袋子中紅球個數(shù)分別為X,Y,

不管如何交換紅球個數(shù)始終只有5個，易知X+y=5,

對于A,由期望值性質(zhì)可得E（x）=E（5-y）=5-磯y）,即E（x）+E（y）=5,所以A正確;

對于B,易知隨機(jī)變量X的所有可能取值為QL2,3,4；

當(dāng)從甲袋中取出2個紅球，乙袋中取出2個黃球后交換，可得

唳=0）=尸（￥=5）=與冬=」-,

當(dāng)從甲袋中取出1個紅球，1個黃球，乙袋中取出2個黃球后交換，或者從甲袋中2個紅球,

乙袋中取出1個紅球，1個黃球后交換，可得

z~il02「2123

p(x=i)=p(y=4)=------「X---\—-x-----——

C砥C-ci10025

當(dāng)從甲袋中取出1個紅球，1個黃球，乙袋中取出1個紅球，1個黃球；或者從甲袋中取出

2個紅球，乙袋中取出取出2個紅球；或者從甲袋中取出2個黃球，乙袋中取出取出2個黃

球后交換，可得

C；C；C'C'

尸（X=2）==3）=營

C110050,

當(dāng)從甲袋中取出2個黃球，乙袋中取出1個紅球,1個黃球；或者從甲袋中取出1個紅球,

1個黃球，乙袋中取出取出2個紅球后交換，可得

p(x=3)=p(y=2)=||C'C*C；C；9

Cf10025'

當(dāng)從甲袋中取出2個黃球，乙袋中取出2個紅球后交換，可得

C1C￡_9

p(x=4)=p(y=i)=X=

cic|io。'

隨機(jī)變量X的分布列為

X01234

132199

p

100255025100

132199

所以期望值E(X)=Ox^+lx甚+2x——+3x——+4x——=2.4

5025100

可得E(F)=5—E(X)=2.6,即E(X)<E/),可得B正確;

對于C,D,由方差性質(zhì)可得。(y)=o(5-x)=(-l)2￡>(x)=￡>(x),即可得。(X)=D(y),

所以C錯誤，D正確.

故選：ABD

【點睛】關(guān)鍵點點睛：根據(jù)題意可得隨機(jī)變量滿足x+y=5,利用期望值和方差性質(zhì)可判

斷出AD選項，再求出隨機(jī)變量X的分布列可得結(jié)論.

12.0.2##-

5

【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對稱性結(jié)合已知條件求解即可.

【詳解】因為隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N05,4),尸(X<80)=0.3,

所以尸(95<X<110)=P(80<X<95)=0.5-P(X<80)=0.2,

故答案為：0.2

13.72

【分析】由圖形可知點E比較特殊，所以按照分類分步計數(shù)原理從點E開始涂色計算可得結(jié)

果.

【詳解】根據(jù)題意按照A民CD,E的順序分5步進(jìn)行涂色，

第一步，點E的涂色有C：種，

第二步，點A的顏色與E不同，其涂色有C；種，

第三步，點B的顏色與AE都不同，其涂色有C；種，

第四步，對點C涂色，當(dāng)A,C同色時，點C有1種選擇；當(dāng)A,C不同色時，點C有1種選

擇；

第五步，對點O涂色，當(dāng)AC同色時，點。有2種選擇；當(dāng)AC不同色時，點D有1種選

擇；

根據(jù)分類分步計數(shù)原理可得，不同的涂色方法共有C；C；C；(1x2+1x1)=72種.

故答案為：72

【分析】設(shè)R鉆外接圓的圓心為E,三棱錐尸-ABC的外接球的球心為0,連接0E,

ABC的外接圓的圓心為G,連接0G,0B,可證四邊形0GDE為矩形，利用解直角三角

形可求外接球半徑，故可求其表面積.

【詳解】因為：ABC為等邊三角形，。為A3中點，故

而PA_LCD,PAAB=A,PA,ABu平面R4S,所以CD_L平面R4s.

設(shè)，R記外接圓的圓心為E,三棱錐尸-ABC的外接球的球心為0,連接OE,BE,

設(shè),ABC的外接圓的圓心為G,連接。G,0B,

則0E_L平面承B,OG1CD

故OEHCD,故0,G,D,E共面，而￡>Eu平面

故CDLDE,故四邊形0GDE為矩形.

的14」12K,r-

又一2sin/APB一石一3，0E=DG=-CD=—,

了

故外接球半徑為OB=^BE2+OE2=J|+|=平，

故外接球的表面積為4兀、個=等，

(2)128/,672/,280x,—.

X

【分析】（1）根據(jù)題意可求得〃=7,利用二項展開式的通項可得展開式中不存在常數(shù)項;

（2）由二項展開式的通項令x的指數(shù)為整數(shù)即可解得合適的％值，求出所有的有理項.

【詳解】（1）易知第2,3,4項的二項式系數(shù)依次為C：,C：,C：,

可得C!,+C：=2C；,即〃+皿R色二義=2、也匚1,

62

整理得5-2）（"-7）=0,解得九=7或』=2（舍）；

所以二項式為12尤+\J,假設(shè)第％+1項為常數(shù)項，其中ZeN,

即可得C；（2x廣［味］=2,-yj共為常數(shù)項，所以7"=0,

解得人=?eN,不合題意；

即假設(shè)不成立，所以展開式中不存在常數(shù)項；

⑵由（1）可知，二項展開式的通項C：⑵廣［；］=27飛*”權(quán)可得,

13

其中的有理項需滿足7—左一一左￡Z,即7—7左cZ,且上《7；

22

當(dāng)k=a,7-jk=7sZ,此時有理項為27c獷=128p.

3

當(dāng)k=2,7-1左=4eZ,此時有理項為25C；X4=672x4；

當(dāng)k=A,7-：k=\eZ,止匕時有理項為23cb=280x；

2

當(dāng)k=6,7—k=-2GZ,此時有理項為21———；

2x

14

綜上可知，展開式中所有的有理項為128/,672/,280.x,—.

X

3

16.（1）-

12

【分析】（1）由古典概型的概率求解尸C=C等=13;

（2）由題意，X的可能取值為-2,0,2,算出對應(yīng)概率P（X=-2）,P（X=0）,P（X=2）,

即可列出X的分布列，再求出E（X）,進(jìn)而由公式求出方差.

!2

【詳解】（1）到A班招募新社員的3名學(xué)生中有2名女生的概率為尸=CaC=?3

C65

（2）由題意，X的可能取值為-2,0,2,則

「0031「1023C2Cl

P（X=-2）=段=[P（X=0）=去=：,尸（X=2）=皆i

5

所以X的分布列為

所以r>(X)=(-2-0逞+(0-0)鼠］+(2-0)弋=|.

17.(1)證明見答案.

(2)T

【分析】(1)連接AG,交aC于點0,連接。o,能證出//。。,則能證出BG〃平面AC，

(2)先把A與，平面AC。當(dāng)做條件，得出A瓦，A。，得出其的值，過程要正面分析.

【詳解】(1)

連接4G,交AC于點。，連接。0,

因為。是AG的中點，。為AB的中點，

所以。。是ABG的中位線，即8CJ/。。，

BG(z平面4C。，。。匚平面4"),

所以8G〃平面4CD.

(2)44=走時，A與，平面ACO,證明如下：

AB2

因為:^_=也，/.tanZAAB,=42,tan,

AB2AD

,ZAiABl=ZDAJBJ,

TTrr

ZDAiB,+ZAA1D=-,ZAiABI+ZAA,D=-,即

因為三棱柱ABC-A與G為正三棱柱，，ABC為正三角形，且平面ABC,

CDJ_AB,CD-LA4j,ABcA4|=A,ABu平面ABB1A,AA^u平面ABg4,

\CDA平面ABB^,因為AB】u平面ABB^,

所以Ag_LCD,A。CD=D,ARGDu平面4。。，

「.A耳，平面4。。.

.A4V2

18.（1）不能認(rèn)為會員不高于40歲和高于40歲年齡結(jié)構(gòu)對服務(wù)滿意度有關(guān).

9

（2）分布列見解析；

【分析】（1）首先根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)結(jié)合公式計算/值，然后對照表格得到結(jié)論;

（2）由表格可知，對服務(wù)滿意的人的概率為:，且*~3,高，根據(jù)二項分布公式即可求

解.

【詳解】⑴

100(50x5-25x20)2

由列聯(lián)表可知：/=——?1.587<2.072

75x25x70x3063

所以不能認(rèn)為會員不高于40歲和高于40歲年齡結(jié)構(gòu)對服務(wù)滿意度有關(guān).

（2）由表格可知，對服務(wù)滿意的人的概率為：，且*~8（3,|）,

則X=0,1,2,3,

329

可得:尸(x=o)=c；(，p(x=l)=C；

64

27

P（X=3）=C；

64

故X的分布列如圖:

X0123

192727

P

64646464

3Q

可得E(X)=3xz="

19.(1)證明見解析；

⑵二

8

3

(3)cos^=-j

【分析】（1）利用三棱柱性質(zhì)，根據(jù)線面垂直的判定定理可得AC，平面可證明結(jié)

論；

（2）由二面角定義并利用棱臺的體積公式代入計算可得結(jié)果；

（3）建立空間坐標(biāo)系，求出平面3CEE的法向量，利用點到平面距離的向量求法即可得出

cos。的值.

【詳解】（1）取AC的中點為連接如下圖所示：

F

E

易知平面ABC/