2024年中考數(shù)學(xué)突破倍半角模型與絕配角（解析版）

二倍角的解題策略：倍半角模型與絕配角

導(dǎo)語(yǔ)：見到2倍角的條件，首先想到"導(dǎo)"，將圖形中的角度都推導(dǎo)出來(lái)，挖掘出隱藏邊的信息，再觀察角

度的位置，結(jié)合其他條件，這里做題的經(jīng)驗(yàn)，總結(jié)了六個(gè)字：翻、延、倍、分、導(dǎo)、造

題型?歸納

目錄

知識(shí)點(diǎn)梳理.................................................................................

策略一：向外構(gòu)造等腰（大角減半）......................................................

策略二：向內(nèi)構(gòu)造等腰（小角加倍或大角減半）...........................................

策略三：沿直角邊翻折半角（小角加倍）..................................................

策略四：鄰二倍角的處理.................................................................

【經(jīng)典例題講解】.......................................................................

【一題多解1】圍繞2倍角條件，解法圍繞“翻”“延“倍”“分”.................................

【一題多解2】常規(guī)法與倍半角處理對(duì)比...................................................

策略五：絕配角模型.....................................................................

題型一向外構(gòu)造等腰三角形（大角減半）....................................................

2023?深圳南山區(qū)聯(lián)考二模................................................................

2023?山西?統(tǒng)考中考真題.................................................................

題型二向內(nèi)構(gòu)造等腰（小角加倍或大角減半）................................................

題型三沿直角邊翻折半角（小角加倍）......................................................

2023?深圳寶安區(qū)二模.................................................................

2023?深圳中學(xué)聯(lián)考二模...............................................................

題型四鄰二倍角的處理.....................................................................

題型五絕配角.............................................................................

題型六坐標(biāo)系中的二倍角問(wèn)題...............................................................

宿遷?中考...............................................................................

鹽城?中考...............................................................................

河南.中考...............................................................................

2023?內(nèi)蒙古赤峰?統(tǒng)考中考真題...........................................................

資料整理

江蘇蘇州?統(tǒng)考中考真題..................................................................

內(nèi)蒙古鄂爾多斯?統(tǒng)考中考真題............................................................

2022?內(nèi)蒙古呼和浩特?統(tǒng)考中考真題.......................................................

2023?湖北黃岡?統(tǒng)考中考真題.............................................................

題型七其它構(gòu)造方式.......................................................................

|知識(shí)點(diǎn)?梳理］

知識(shí)點(diǎn)梳理

策略一：向外構(gòu)造等腰（大角減半）

已知條件：如圖，在△28。中，乙ABC=2乙ACB

DB

輔助線作法：延長(zhǎng)C6到。，梭BD=BA,連接力。

結(jié)論：AD=AC,LBDA^LADC

策略二：向內(nèi)構(gòu)造等腰（小角加倍或大角減半）

已知條件：如圖，在△ZEC中，2ABC=22B

輔助線作法：法一：作4/6。的平分線交力。于點(diǎn)。，結(jié)論：乙DBC=2C,DB=DC

法二：在6C上取一點(diǎn)￡使/則4/￡8=24。=（作ZC中垂線得到點(diǎn)日

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A

總結(jié)：策喀一和策略二都是當(dāng)2倍角和1倍角共邊時(shí)對(duì)應(yīng)的構(gòu)造方法，下面我們?cè)賮?lái)看看不在同一個(gè)三角

形中時(shí)該如何處理

策略三：沿直角邊翻折半角（小角加倍）

已知條件：如圖，在RtZiZEC中，AACB=90°,點(diǎn)。為邊6。上一點(diǎn)，連接Z。，2B=22CAD

輔助線作法：沿力。翻折△ZC。得到△ZCE

結(jié)論；AD=AE,乙DAE=2B,BA=BE,△ADE^△BAE

策略四：鄰二倍角的處理

已知條件：如圖，在Rt^/IQC中，乙。=90°,點(diǎn)。為邊6C上一點(diǎn)，乙BAD=22CAD

輔助線作法：

法一：向外構(gòu)造等腰（導(dǎo)角得相似）

延長(zhǎng)力。到E,使AE=AB,連接BE

結(jié)論：BD=BE,4DBE=4BAD,△BDE^△ABE

E

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法二：作平行線，把二倍角轉(zhuǎn)到同一個(gè)三角形中

延長(zhǎng)力。到F,使CEHAB,則乙尸=乙BAD

F

【經(jīng)典例題講解】

例題1如圖，在正方形中，/6=1,點(diǎn)￡尸分別在邊6C和上，AE=AF,乙&尸=60°,則

。尸的長(zhǎng)是（）

V3+1V3A12

A.---------B.——C.V3-1D.-

423

【簡(jiǎn)析】（1）方法一（常規(guī)解法）：如圖，連接&；易證△ZEF為等邊三角形,

員AAD0XABRHL2],魁DF=BE,從而。尸=CE即△<?可為等腰直角三角形；設(shè)。尸=%

則。尸=l—x,AF=EF=VTX在Rt4/I。尸中，由勾股定理可得1+（1—刈2=24,

解得x=J3—l（x=——1舍去），故選G

方法二（倍半角模型）：如圖，在邊47上取點(diǎn)尸，使AP=PF,

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同上可得t\ADBAABRHf則乙DAF=/_BAE=15°,從而ZDPF=30°；設(shè)DF=x,則PD=也x,

AP=PF=2x,故/。=(2+)x=1,解得x=2-CT=選。

例題2如圖，正方形為EC。的邊長(zhǎng)為4,點(diǎn)E是CO的中點(diǎn)，Z廠平分4交EC于點(diǎn)尸，將△/!〃￡繞

點(diǎn)Z順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得△/6G,則。尸的長(zhǎng)為.

【簡(jiǎn)析】（1）方法一（常規(guī)解法）：由題可得44cG=4D4尸=乙￡4尸=484G+乙歷I尸=乙笈6即

AAFG=AFAG,故FG=AG=AE=2逐,從而。尸=CG一尸G=6-2石；

方法二（倍半角模型）：如圖17—2—3,延長(zhǎng)力尸、。。交于點(diǎn)尸，易將■乙P=LBAF=LEAF,則窄=2￡

.—.—.—CFCPCF2\15—2

=2、/5，故。尸=2、/5-2,DP=2JS+2：又易證△尸。尸S△尸。4故一=—,即一、二，

37°7,DADP42亞+2

從而CF—6-^5；

【反思】方法一的關(guān)鍵是通過(guò)導(dǎo)角得到等腰△/!25,方法二由"倍角4造"半角乙尸”，并且這里的

構(gòu)造是通過(guò)"角平分線+平行線一等腰三角形”自然衍生出來(lái)的

例題3如圖，面積為24的28。。中，對(duì)角線6。平分乙46G過(guò)點(diǎn)。作?！闘交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)

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E,DE=6,則sin的值為（）

【簡(jiǎn)析】方法一（常規(guī)解法）：如圖，作。G，%于點(diǎn)G,由題易得乙CBD=LABD=LCDB,則BC=CD

進(jìn)一步由DEA.BD,可將乙CDE=ZE貝UCD=CE=BC,從而SaABCD=2SABCD=SABDE,即SABDE

2424

=24,故60=8,BE=10,所以。G=,CD=5,s\n/LDCE=,選/

55

方法二（倍半角模型）：如圖，在8。上取點(diǎn)6梗EF=BF,易跡乙DFE=2jEBF,乙DCE=22EBF,故4

DFE=2DCE,要求sin4的值，只需求sin乙。任；議EF=BF=x,同上可得以?=8,貝尸=8-x,

在Rt△。守中，由勾股定理可得36+（8-毋=解得x=——,從面sin乙。生=——=——,即sin

5EF5

/_DCE=—^―,選A.

【反思】方法一通過(guò)作高是線構(gòu)造內(nèi)△COG,結(jié)合面積法求解，方法二由“半角4CEO'造"倍角Z。FE',

結(jié)合勾股定理列方程求.

例題4如圖，在Rt^/18。中，乙/09=90°,28=10,BC=6,CD//AB,4/8。的平分線8。交力C

于點(diǎn)二則?！?

簡(jiǎn)析（1）方法一（常規(guī)解法）：由題得乙CBD=LABD=乙。,則C0=EC=6；又易得巫；則——

DECD3,339V5

=—=—=—,故CE=-AC—3,從而BE=3￡,DE=-BE=----；

BEAB58"55

方法二（倍半角模型）：如圖，延長(zhǎng)C6至點(diǎn)6使8尸=26=10,連接力￡由題可得/C=8,CF=16,則

[1CE]

tan乙尸二一；叉易得乙CBE=乙下,故tan乙C6￡=一,即——二一,從而C￡=3,BE=3片；再作CG

22BC245

工BD于點(diǎn)、G,易得BG=06。=05；同上可得。6=。。，故8。=28G=*'：，因此?！?包?一

±_55

BE二巫;

5

總結(jié)：具體問(wèn)題具體對(duì)待，并非哪一種方法絕對(duì)簡(jiǎn)單，需根據(jù)問(wèn)題特征選取較為合適的方法.

【一題多解1】圍繞2倍角條件，解法圍繞“翻”“延“倍""分”

如圖，在△/EC中，2ABC=22ACB,AB=3,BC=5,求線段ZC的長(zhǎng).

法1：延長(zhǎng)或翻折向外構(gòu)造等腰（雙等腰）

A

易知AE=2gnAC=276

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法2：翻折或取點(diǎn)向內(nèi)構(gòu)造等腰（雙等腰）

易生口△ABHs^ACB------='==

x+y35

法4：翻折一邊+平行線向外作等腰（補(bǔ)成等腰梯形）

法5：向外延長(zhǎng)作等腰

易知△ABC7ADC

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A

H

【一題多解2】常規(guī)法與倍半角處理對(duì)比

如圖，為。。的直徑，BC、。。是。。的切線，切點(diǎn)分別為點(diǎn)8、。，點(diǎn)￡為線段06上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),

連接CE、DE,已知26=2行，BC=2,當(dāng)CE+*的值最小時(shí)，則——的值為（）

簡(jiǎn)析⑴方法一（常規(guī)解法）：如圖，作點(diǎn)C關(guān)于28的對(duì)稱點(diǎn)。，連接C。，交力8于點(diǎn)￡連接CE此時(shí)

CE+*取得最小值，且一=^；再作。G,26于點(diǎn)G,連接。CBD,易證4OBg4ODC,則乙

DEDE

2亞

BOC-乙DOC=/-A,故sin乙Z=sin/BOC二—,cos/-A=cos/-BOC=——,從而BD=ABs\r\/-A=

33

勺5；又易證乙包;G=44故DG=BDcos乙BDG=BDcos乙A=也二型；由4CBES^DGE,

3339

可得IfCB9CE

=——，因此——=10,選4

DG10DE

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D

OGE\

方法二（倍半角模型）：如圖17-4—3,同上作相關(guān)輔助線，易得乙DOG=2乙BOG在06上取點(diǎn)￡使

OF=CF,題乙BFC=2乙BOC=LDOG；設(shè)OF=CF=x,則8尸=指一X在Rt^EC廠中，由勾股定理

得4+（右一X）2=*,解得x=9下,故sinZZ9°G=sin48P。=4囪，從而0G=°￡7sin乙。0G=20，

OGE\F

方法三（面積法）：如圖17—4—4,同上作相關(guān)輔助線（為說(shuō)理方便，省去部分線段），則4,OG=228OC=

ACOC,再作于點(diǎn)H,易得CH=CC'OB=4由，故sin乙。。G=sin△C。。=4生，下略?

反思：本題結(jié)構(gòu)相當(dāng)于已知"半角46。。，求“倍角4OOGI方法一通過(guò)作高法，構(gòu)造直角三角形求解；方

法二構(gòu)造“倍半角模型”，結(jié)合勾股定理列方程求解；方法三依然基于導(dǎo)角分析，借助對(duì)稱性，結(jié)合面積法求

解.以上提供的三種方法都是“倍半角”處理的常見方法.

如圖，為。。般直徑，。溟弧6C的中點(diǎn)，BC與AD、8分別交于點(diǎn)￡F.

⑴求證：DO//AC；

（2）求證：DEDA=DC^

（3）若tan/G4D=g,求sin/C"的值。

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c

D

E

簡(jiǎn)析(1)如圖，連接OC易證。。，9。且故DOIIAC

⑵由題可得乙日》二乙C4。故NDCEs'DAC,進(jìn)一步可證圮."二瓦2；

]CE1DEDC1]

⑶方法一（母子型相似）：由tanNC4Z）=—,可得=—；又NDCE—NDAC,故===—；設(shè)

2AC2DCDAAC2

FEDEFE1

DE=k,則DC=2k,DA=4k,AE=3k；又易證——=-----,故——二一；由此再設(shè)在二〃7,貝寸CE=3/77,

CEAECE3

33

CF=4m,仄而BC=8m,AC-6/n,因此10/77,sin乙6二一,即sin/CCM=—；

55

方法二（角平分線之雙垂法）：如，作EG_L49于點(diǎn)G,易證△/EXzX/EG由tan乙C40=g,

BCBAAC

可設(shè)CE=1,AC=2,貝UEG=LAG=2；丸易得ABEG^ABAC,—=—=——=2,；再設(shè)9G=x

BGBEEG

-4

則BC=2x,BA-BG^AG=x+2,BE=BC-CE=2x-1,從而有x+2=2（2x-1）,解得x=§,所以

10.AC33

=—,sinZB==一，即SHINCCL4=一；

3AB55

方法三(角平分線之對(duì)稱策略)：如圖，連接比并延長(zhǎng)，交49的延長(zhǎng)線于點(diǎn)尸，由題可設(shè)6。二尸。=1,

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p

c

B

則/。AB=AP=5又乙由以。二77

=2,sinC=sin4g故PC=PB-s\nAPBC=土?從而AC=

5

a/sAC33

AP-CP=----因土tssinZS=------=—,即sinZ.CDA=-

5AB55

方法四（倍半角模型）：如圖17—14—4,在ZC上取點(diǎn)M根AM=EM,則4aUE=24C40=乙84G

由題可設(shè)CE=1,AC=2,再設(shè)AM=ME=x,則CM=2—x,在RtAC/V隹中，由勾股定理可得1+（2-x）2=x2,

解得x=2,從而CM=—,故cosNCW=—=—,即cos/A4C=—,所以sinN5=3sin/S4=—.

44ME5555

反思：本題的結(jié)構(gòu)為已知"半角4C4Z7求"倍角484。，，從而轉(zhuǎn)化為其余角乙84。以上提供的前三種方

法都是借助相似或三角函數(shù)等進(jìn)行計(jì)算，屬常規(guī)思路，方法四基于導(dǎo)角分析，構(gòu)造"倍半角模型”，顯得尤

為簡(jiǎn)單、直接，直指問(wèn)題本質(zhì)。

策略五：絕配角模型

【釋義】當(dāng)m,〃兩個(gè)角滿足6+2/7=180°時(shí)，稱其為一對(duì)絕配角，或者：半角的余角與它本身稱為絕配

角

【舉例】常見的劇配角組合如下：

絕配角組合1組合2組合3組合4組合5

m2a90+2a90-2a60+2。60-2a

n90-a45-cz45+a60-a60-a

【解決】

思路（一）：根據(jù)三角形內(nèi)角和是180°,構(gòu)造等腰三角形。

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思路（二）：根據(jù)平角是180。，777和2個(gè)〃構(gòu)成一個(gè)平角（有兩條邊在同一直線上）

用一句話概括為：有等腰找等腰，沒(méi)等腰造等腰

其中“等腰”指的是以/77為頂角、以〃為底角的等腰三角形，了解絕配角模型，可以給我們提供一些輔助

線思路

（一）共頂共邊翻折

當(dāng)兩個(gè)角滿足兩個(gè)角滿足m+2n=180。時(shí)，且共頂點(diǎn)共一邊，這樣的兩個(gè)角是什么樣的呢?

C

B/

'XEMa：!

、、900--/

/……-D

發(fā)現(xiàn)。。為4力。8鄰補(bǔ)角的平分線，此時(shí)處理問(wèn)題一般用翻折，把沿。。翻折.

4F

例題1：已知Rt443C中乙。=90°,DE=3DC,2ZE=ZCAD,求一的值.

AD

方法一：分析：NE4C與4DAC是共點(diǎn)A的絕配角,

絕配角重疊，要翻折兩次.

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解：將AAEC關(guān)于AE作軸對(duì)稱圖形，將AADC關(guān)于AC作軸對(duì)稱圖形，如圖，4EFG為直角三角形

設(shè)OC=x,=3x,則EE=4x,CG=xnEG=5xnFG=3x

一0454所

△-△AC=—,=—x,AE=-------x

333

即可求出任=￡叵

AD5

方法二：分析：由于乙CAD=2t,構(gòu)造一個(gè)以4A為頂點(diǎn)的等腰△ADK,然后出現(xiàn)4ECA?△DCK

解：構(gòu)造以4A為頂點(diǎn)的等腰△ADK(AD=AK).

導(dǎo)角易得乙CDK=4AEC,AECA-ADCK

ACEC?

——=——=A4,設(shè)CK=x,AC=4x,AD=5x,DC=3x,ED=9x

CKDC

/￡=4所蒼江=包^

AD5

(二)共三角形等腰

⑴若掰,〃=90°-萬(wàn)為同一個(gè)三角形的內(nèi)角，則此時(shí)三角形為等腰三角形.

(2)若加,〃=90°+三分別為同一個(gè)三角形的內(nèi)角和外角，則另一內(nèi)角為90°-三，此時(shí)三角形為等腰三角

形

⑶若加,〃=90°-%分別為同一個(gè)三角形的內(nèi)角和外角，此時(shí)可以以加為頂角作等腰三角形，此時(shí)會(huì)構(gòu)成

2

另一個(gè)相似的等腰三角形.

(4)若m,n=90°+-為同一個(gè)三角形的內(nèi)角,與(3)的情況相同.

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總結(jié)："半角的余角，等腰形來(lái)找”

例題2：如圖在矩形中，點(diǎn)￡尸分別為/。，C。的中點(diǎn)，連接BF,且乙ABE=22FBC,若

BE=5,則8廠的長(zhǎng)度為

解法一：將46尸。沿CE翻折，交。。的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,延長(zhǎng)CD爻的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H,

ZG=ZSFC=90-a,ZH=2a,△EA/G為等腰，5x=10,x=2,AE=3,BC=6,BF=375.

解法二：

連接并延長(zhǎng)交84的延長(zhǎng)導(dǎo)角，得出△斤/。為等腰三角形，平行不改變形狀，麗為等腰三角形。根據(jù)

腰等得出10-x=4x,可求BF=3#>

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解法三：取力6中點(diǎn)G,連接CG,延長(zhǎng)交。。的延長(zhǎng)線于點(diǎn)〃，得到AEC良△CEG,導(dǎo)角得出△8GK

為等腰平行不改變形狀，△HKC也為等腰。根據(jù)腰等得出10—x=4x,可求6廠

以上三種解法都是利用造全等，轉(zhuǎn)移角，構(gòu)等腰，得出邊的等量關(guān)系來(lái)求解。

此題還可以構(gòu)直接造等腰。用相似得出邊的數(shù)量關(guān)系求解。請(qǐng)看解法四

ApG/5

解法四：可以直接利用4ABE=2a,構(gòu)等腰AGBE,ABCF-AEAG—=——.根據(jù)腰等得出彳x=5,

BCCF2

可求BF

G

Xj_

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重點(diǎn)題型?歸類精練

題型一向外構(gòu)造等腰三角形（大角減半）

1.如圖，在A/IE。中，乙ABC=22C,BC=a,AC=b,AB=c,探究a,b,c滿足的關(guān)系.

解：延長(zhǎng)C6到。粳BD=AB=c,連接ZD.

則4歷1。=4。，AABC=2AD.

■:2ABC=22C,乙。=4C

:.AD=AC=b,/\BAD^/\ACD,

ADCDba+c

BDADcb

:.b2=c(a+c).

2.如圖，在△45。中，zLABC=2,AC,AB=3,AC=2\[6,求EC的長(zhǎng).

解：延長(zhǎng)C6到。，段DB=AB=3,連接ZD.

則乙。=乙DAB,AABC=2AD.

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,:乙ABC=2/-C,:./_C=ZD=/LDAB,

AD=AC^2^>,4BDAsXADC,

絲=色2^6_CD

BDAD32"

CD—87:.BC=5.

2023?深圳南山區(qū)聯(lián)考二模

3.一副三角板按如圖1放置，圖2為簡(jiǎn)圖，。為N3中點(diǎn)，E,尸分別是一個(gè)三角板與另一個(gè)三角板直角邊

AC.2c的交點(diǎn)，已知/E=2,CE=5,連接。E,M為BC上一點(diǎn)，且滿足4c21e=2440及EM=

【分析】由CE=5,AE=2,得AC=7,利用勾股定理，得到AD的長(zhǎng)度，過(guò)E作EN_LAD于N,求出EN

和DN的長(zhǎng)度，由于乙CME=22ADE,延長(zhǎng)MB至P,是MP=ME,可以證明ADNE~?CE,MP=x,在Rt^MCE

中，利用勾股定理列出方程，即可求解.

【詳解】解：如圖，過(guò)E作EN_LAD于N,

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/./END=AENA=90°,

/.ZNEA=/A=45°,

.?.NE=NA,

t：AE=y/NE2+NA2=>/2NA,

4Fr-

:.NE=NA=-^=42,

V2

同理，AD=^=—

2

:.DN=AD-NA=^^,

2

延長(zhǎng)MB至P,使MP=ME,連接PE,

可設(shè)AMPE=AMEP=x,

/EMC=ZMPE+AMEP=2x,

?「/EMC=2/ADE,

/ADE=/MPE=x,

叉/DNE=NPCE=90。,

:ADNE?APCE,

CENE62

~PE~^N5V25?

r

???PC言

25

設(shè)A/P=MEx,則CM=——x,

2

在Rt^MCE中,ME?=CM?+CE?,

25

--x|+25=x2,-'-^=y

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2023?山西?統(tǒng)考中考真題

4.如圖，在四邊形48co中，ZSCZ)=90°,對(duì)角線1C,8。相交于點(diǎn)。.若

AB=AC=5,BC=6,AADB=1ACBD,則AD的長(zhǎng)為.

【思路點(diǎn)撥】過(guò)點(diǎn)Z作/于點(diǎn)〃，延長(zhǎng)8C交于點(diǎn)E,根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得出

BH=HC=；BC=3,根據(jù)勾股定理求出AH=d4C2-CH2=4,證明NCBD=NCED,得出DB=DE,根

據(jù)等腰三角形性質(zhì)得出CE=8C=6,證明CD〃/H,得出生=空，求出=Z根據(jù)勾股定理求出

AHHE3

O/Q7DFC'F2y197

DE=』CE，CD2二-------,根據(jù)CD//AH,得出-----=------,即36,求出結(jié)果即可.

3ADCH---=-

AD3

【詳解】解：過(guò)點(diǎn)/作Z7/16C于點(diǎn)4,延長(zhǎng)4。，5C交于點(diǎn)￡如圖所示:

則/〃/C=N4/ffi=90。，

...AB=AC=5,BC=6,

BH=HC=-BC=3,

2

??.AH=yjAC2-CH2=4，

/AADB=ACBD+ACED,ZADB=2ZCBD,

，4CBD=4CED,

DB=DE,

/BCD=90。,

DC1BEf

：.CE=BC=6f

EH=CE+CH=9,

/DCLBE,AHLBC,

CD//AH,

AECDfEHA,

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CD_CE

~AH~HE

即29

49

Q

解得：CD=—,

3

DE=y/CE2+CD2=卜+(|)=

CD//AH,

DECE

一而一而’

2797

即3_6,

AD-3

解得；AD=—

3

5.如圖，在RtZ\46C中，4/8=90°,AC=6,BC=8,2。平分484C,AD交BC于點(diǎn)D,EDlAD

交48于點(diǎn)￡△/比的外接圓。。交2C于點(diǎn)￡連接不

⑴求證：是。。的切線；

⑵求。。的半徑/?及43的正切值.

簡(jiǎn)析(1)如圖，連接。。，由題易得42=41=乙。。4,則O￡?〃/C,故乙乙。=90°,即。2L6C

所以EC是。。的切線;

⑵方法一■(常規(guī)解法)：由OD//AC,可得△BOD^△BAC,則----=—,即一=-------,解得r——；

ACAB6104

BDOD,,BD5<CD33CD1

又可一----,故----一,從而——,CD--BC=3,所以tan/3二tan乙2二——二一；

BCACBC8BC88AC2

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B

方法二(倍半角模型)：如圖17—8—3,延長(zhǎng)C4至點(diǎn)尸，使/尸=/夕=10,易證乙3=42=41=乙0，故

Be]]315

tan乙3二tan乙9=——=—；又由tan乙2二一,可得。。=3,故BD=5,仄而易得r=OD=—BD=—.

PC2244

6.如圖，28為。。的直徑，點(diǎn)尸在的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)。在。。上，豆PG=PB?PA

⑴求證：電是。。的切線；

⑵已知％=20,陽(yáng)=10,點(diǎn)。是弧25的中點(diǎn)，DEIAC,垂足為EDE交AB于點(diǎn)、F,求EF的長(zhǎng).

簡(jiǎn)析(1)如圖，連接。C由PCZ=PBPA,可得——=——,又乙9二4只故NPCB-NPAC,隊(duì)融乙PCB

PAPC

=乙/二4/。9,進(jìn)一步可證乙0c尸=4/8=90°,即OC_LCF,所以％是O。的切線；

(2)方法一(常規(guī)解法)：連接易證由PC1=PBPA,可得外=40,43=30；又由△氣汨心

CBPB1111515

△PAC,可得——=——=—,故tan乙。=tan4/l=一,從而。尸二—。。=一,AF-OA-OF--,

ACPC22222

a/s

進(jìn)一步可得&二/尸sin乙/二止；

2

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c

方法二（倍半角模型）：同上可得43=30,則。。=15,OP=25,即。CCP：。尸=3：4：5；如圖17—9

-3,延長(zhǎng)CO至點(diǎn)Q,極OQ=OP,易得tan4Z7=tan乙/二tan乙Q=',下略

2

反思：這是一個(gè)確定性問(wèn)題，其結(jié)構(gòu)相當(dāng)于已知“倍角/POC'求“半角4方法一利用“母子型相思似”

求解，方法二構(gòu)造“倍半角模型”求解，相對(duì)而言，前者更簡(jiǎn)單，后者更通用

題型二向內(nèi)構(gòu)造等腰（小角加倍或大角減半）

AD1

7.如圖，在RtZ\ZEC中，乙90°,點(diǎn)。為邊26上一點(diǎn)，乙ACD=22B,——=-,求cos6的值.

BD3

解：過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)￡

428=90°,LACE=90°-ABCE=AB.

?:aACD=22B,:.乙ACD=22ACE,

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:/ACE=Z_DCE,ZCDE,

:.AC=DC,:.AE=DE.

設(shè)AE=DE=a,貝（J/lZ7=2a,BD=6a,BE=73.

?.?乙ACE=AAEC=ACEB=90°,

AECE

△CEA^△BEC,-----=------,

CEBE

aCE廠I「

-----=——，CE=\j7a,：,BC=\]BP+CP=2\14a,

CE7a

，―絲=「=必

BC2\14a4

8.如圖，在RtZiZEC中，Z.84C=90°,點(diǎn)。為邊6。上一點(diǎn)，乙BAD=22C,BD=2,CD=3,求2。

的長(zhǎng).

BDC

解：過(guò)點(diǎn)Z作于點(diǎn)E

BEDC

?.?乙E4c=90。，ZBAE=90°-ZCAE=AC.

乙BAD=2乙C,乙BAD=2乙BAE,

:.乙BAE=^DAE,:.乙B=^ADE,

:.AB=AD,.?.BE=DE=工BD=1,.?.CE=4.

2

■:乙BAE=LC,AAEB=ACEA=90°,

AECE

:.'ABE—/\CAE,：.------=------,

BEAE

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/E4/i-

——=,.?./￡=2,：.AD=\DE2+AE2=45.

1AE'

9.如圖，8例是以Z8為直徑的。。的切線，6為切點(diǎn)，BC平分乙ABM,弦CD交AB于點(diǎn)E,DE=OE.

⑴求證：△/!四是等腰直角三角形；

⑵求證：O42=OEDC-,

⑶求tanz/IC。的值.

簡(jiǎn)析(1)由題易得乙/6。=45°,從而易證△ZC6是等腰直角三角形;

(2)如圖，連接OC、OD,易證乙。?！?乙。=乙。CD故xDOEsdDCO,從而易得力即

O42=OEDC；

(3)方法一(倍半角模型)：如圖，連接Z。、BD,設(shè)aZCO=x,則jAOD=2x,從而乙C￡O=

4x,乙CAE=3x=45°,所以x=15°；在8。上取點(diǎn)F,使力尸=BF,則2AFD=30°；由此可設(shè)AD=k,

4D

則DF=yfjk,AF=BF=2k,從而BD=Q+6)k,ittar\AABD=------=2一百，即tan4/CZ?=2一百

BD

方法二(解三角形)：同上可得乙28=15°,則N9CE=75°,ABEC=60°；如圖17—10—4,EGA.

BErzB

EC于點(diǎn)G可設(shè)OE=1,則OB=OC=5BC=&,BE=C+L從而BG=EG=石=~7

J6-V2CGr-

CG=BC-BG=-----------,故tan4/C0=tan乙CEG=——=2-J3.

2EG?

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圖17-10-4

反思：（2）主要通過(guò)換邊，結(jié)合相似證乘積式；（3）通過(guò)導(dǎo)角得到15。，方法一借助“倍半角模型“，由特殊角

30。求“特殊半角”15。，方法二的本質(zhì)是解△8CE顯然前者更為簡(jiǎn)便

10.如圖，在四邊形中，乙ABD=22BDC,AB=AC=BD=4,CD=1,求6C的長(zhǎng).

解：過(guò)點(diǎn)8作于點(diǎn)E過(guò)點(diǎn)。作。尸，6E于點(diǎn)尸

?：AB=BD,：.AE=DE,2ABE=22DBE,

乙ABD=22DBE.

-：/_ABD=24BDC,：,z_BDC=Z.DBE,

CD//BE,.-.CDLAD,

四邊形COE廠是矩形，AD=yjAC2-CD2=A/15,

；.EF=CD=LAE=DE=a,

2

BE=〈BDJDE2=；,BF=BE-EF=-1,

:.BC"B尸+。產(chǎn)=而.

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11.如圖，在△力6。中，乙。=246,點(diǎn)。是6。的中點(diǎn)，ZE是6。邊上的高，若力￡=4,CE=2,求

的長(zhǎng).

BDEC

解：取力6的中點(diǎn)M連接M。，ME.

A

BDEC

?.?點(diǎn)。是EC中點(diǎn)，,也是△力6。的中位線,

MD//AC,MD=—AC,：,^BDM=AC.

2

,:乙C=2乙B,:.乙BDM=2乙B.

?.?ZE是9c邊上的高，-.AAEB=90°,

ME=-AB=MB,乙B=乙MED,

2

ZBDM=2/_MED,/_DME=乙MED,

DE=DM=—AC=—A//IE2+CE1=,舊

22V

12.如圖，在△/6C中，2ABC=22C,力。，EC于點(diǎn)。，ZE為8。邊上的中線，BD=3,DE=2,求

的長(zhǎng).

解：延長(zhǎng)8到6使叱=26,連接/￡

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則乙尸.,.乙ABC=2乙F.

?/力￡是中線，BE=EC,；.BD+DE=EC.

■:乙ABC=2/_C,Z_F=/_C,AF=/IC.

?「ADLBC,：.DF=DC,BF+BD=DE+EC,

:.AB+BD=DE+BD+DE,:.AB=2DE=4,

.-,AD2=AB2-BD2=1,.-.AE=-XJDP+AD2