2024年中考數(shù)學突破二次函數(shù)中的最值問題（原卷版）

專題2一7二次函數(shù)中的最值問題

H■/題型?解讀/

一題可破萬題山——二次函數(shù)最值常見模型小結，一題20問

題型一【鉛垂高系列】

2023?四川涼山?中考真題

2022?天津?中考真題

2022?湖北襄陽?統(tǒng)考中考真題

2023?湖南婁底?中考真題

2023?湖南中考真題

2023?青海西寧?中考真題

2023?四川廣安?中考真題

2023?湖南永州?中考真題

2022?四川廣元?中考真題

題型二【線段和差最值篇】

2023?湖南張家界中考真題

2022?山東淄博?統(tǒng)考中考真題

2022?四川遂寧中考真題

題型三【構造二次函數(shù)模型求最值】

2023?山東東營?中考真題

2023?四川巴中?中考真題

2023?湖南張家界中考真題

2023?山東聊城?中考真題

2022?湖北襄陽中考真題

2023?湖北荊州中考真題

2022?江蘇連云港中考真題

2022?湖南岳陽?中考真題

2023?寧夏?中考真題

2023?湖北襄陽中考真題

題型四【加權線段最值】

2023?四川內江?中考真題

2023?黑龍江綏化?中考真題

題型五【幾何構造最值篇】

2022?天津?統(tǒng)考中考真題

*W滿分?技巧/

一題可破萬題山——二次函數(shù)最值常見模型小結，一題20問

母題：如圖，已知拋物線過/(4,0)、B(0,4)、C(-2,0)三點，尸是拋物線上一點

(1)求拋物線解析式

,,1,

【答案】y=—x~+x+4

2

【鉛垂高系列】

本來這個屬于構造二次函數(shù)型最值問題，但是比較特殊所以單獨拿出來

(2)(☆)若尸在直線上方，求四邊形陽C4面積最大值，

【思路分析】先分離出面積為定值的△ZEC4/6C面積為12

1,、

設P(m,——"+加+4),H(m,-m+4)

PH=--nr+2m(上面的點減去下面的點)

2

當加=__L=2時，陰取最大值2,此時△力由面積為：S=-PH-AO=4^O^/\PBH,XPAH

2a2

兩個三角形高之和)

(3)(☆)若尸在直線力6上方，作尸￡1/8,尸在線段Z6上，求尸尸最大值

【思路分析】過戶作物平行V軸，〃在48上

導角可知△所八為等腰直角三角形，尸〃取最大時，尸尸也取到最大

(4)(★)若尸在直線46上方，作尸￡1/8,交線段46于片作尸勿y軸交于￡求WEF

周長和面積的最大值

【答案】2+2行和1

也

【思路分析】△尸￡尸形狀固定，PF=FE=-PE

2

PD

(5)若尸在直線Z6上方，連接。尸，交AB于D,求而■的最大值

y

【答案】

【思路分析】化斜為直，平行線，構造8字相似轉換￡2=里

ODB0

(6)(★☆)若尸在直線26上方，連接。尸，文AB干D,△尸。4面積為S，△CD4面積為

邑

S,求不的最小值

【思路分析】化斜為自

第一步：面積比轉換為共線的邊之比邑=生

S]PD

第二步：構造，共線的邊之比轉換成平行邊之比￡2=空=工

PDPHPH

(7)(★☆)點。是點E關于關于x軸的對稱點，連接CD,點尸是第一象限上一點，求KPCD

面積最大值

【答案】12

【思路分析】

過動點尸作y軸平行線交對邊(延長)于點H

1125

SNPCD=SNPCH—SLNXPiLDJlMVl=—2P2H,CO='PH=2—加？+3m+84—

推導過程如下：以尸〃為底，設△陰。的高為例，△尸?！ǖ母邽榕c

gpH.h「；PM.h=gpH?(%—瓦)=%H.CO

【幾何構造最值篇】

(8)(☆)點￡是對稱軸與x軸交點，過E作一條任意直線/,(點8。分別在直線/的異側),

設。、E兩點到直線/的距離分別為n,求〃的最大值

【答案】275

【思路分析】m+n>BC

特殊位置時有最小值，大多數(shù)題目都是共線時有最值，所以要重點去分析共線時的情況

(9)(☆)已知線段EC上有兩點且1,3),83,1),試在x,y軸上有兩動點?和/V,使得四

邊形WWE周長最小。

【答案】26

【思路分析】作兩次對稱即可，普通將軍飲馬問題，EM+MN+FN=E'M+MN+NF'>E'F'

(10)(★)若y軸上有兩點M(0,a)和A/(0,a+2),求△CM/V周長的最小值

y

【答案】2+2石

【思路分析】造橋選址問題，。點向上平移2個單位，得到平行四邊形CC'TW,

故CM+CN=C'N+CN,接下來就是常規(guī)的將軍飲馬了

(11)(★☆)點。為拋物線頂點,直線力。上有一點Q,連接6Q,將△60Q沿6Q折疊得△&7Q,

11)求的最小值

②連接例是線段”的中點，求4U的最小值

【思路分析】（1）。軌跡為圓（2）把力點變?yōu)橹悬c，則4U是中位線，點圓最值問題

（12）（★★☆）（隱圓）若在第一象限的拋物線下方有一動點。，滿足。2=3,過。作。

軸于點￡,設△/!，￡的內心為/,試求6/的最小值.

【答案】而-2行

【思路分析】易知^AID=AA/O=135°,而04為定線段

則點/在以04為弦，所含的圓周角等于135°的圓弧上，設該圓的圓心為￡連接尸。，F(xiàn)A,LOFA

=90°,itr=—AO=2y[2,BI>BF-r=y/lQ-272

2

【構造二次函數(shù)模型求最值】

(13)(☆)尸在第一象限，作尸Q〃x軸交拋物線于Q,過尸、。作x軸垂線交x軸于A、G兩點,

求矩形尸QG〃周長的最大值

【思路分析】設點坐標，用字母表示長和寬

設--a2+a+4j,則PH=—+。+4,而尸和Q點到對稱軸的距離為。一1,則

PQ=2a-2PQGH的周長為

2（尸0+尸〃）=4°-4一a?+2°+8=—°2+6°+4=-（a—3f+13V13

(14)(★)在線段/IC上有一點。，26上有一點￡旦阿BG求△80E面積的最大值

【答案】3

【思路分析】易卻XADEMACB,利用相似比得出高之比

1

設/1。=3/77,則E點到x軸的距離為2/77,ABDE的面積為:—x3m（4-2m）=3m（2-m）<3

2

(15)(★★☆)夕是第一象限上一點，線段電交9c于點。交y軸于點EXADP那XBDE

的面積分別為Si、S,求Si-$的最大值

設—2/+4+4）,E0=^.yJ+24+8=_4+4

I2Ja+2pa+2

138

2

則BE=a,S、-S?=Spa,—SR℃—SAFCC~-AC,y—8—（4—Q）=-o+4QW—

'izA/TIC△otzc△ZSC/C2JP、'23

(16)(★★☆)拋物線對稱交拋物線于點。，交x軸于點EM是線段上的動點，

Mn,0)為x軸上一點，魚BMlNM.

1,求〃的變化范圍

②當〃取最大值時，將直線6A/向上平移？個單位，使線段6/V與拋物線有兩個交點，求f的

取值范圍.

yy

【答案】⑴-3<?<3.25,(2)—<^<2

32

【思路分析】①由勾股定理構造出關于〃的函數(shù)模型,

【詳解】①設例坐標為(L777)

NM。+BM2=BN2，；.("-1)2+m2+l+(m—4)2=M2+42

整理得：n=m2-4m+l=(m-2)2-3■由0w?/w4.5可知，-3<n<3.25

ia

②y=-2x+^臺設平移后：y=-2x+6.5+t

分析：向上平移當/V點落在拋物線上時，恰好有2個交點，

此時/V點坐標為(",出)，則/=袋

43232

繼續(xù)向上平移，當△=€),此時只有一個交點

1

—2x+6.5+/=—x9+x+4

2

15

---X?+3xH---FZ—0

22

△=9+2(-3一。=0=>，=2

綜上史<t<2

32

【加權線段最值】

(17)(★)若y軸上有一動點例求/例+的最小值及M點坐標

5

【思路分析】胡不歸問題，作垂直代換加權線段即可

除MH1BC+H,則/河+=/G即所求

5

2cAC-RC

【法一：等面積】AG=—空也=--------,再由相似求出例點坐標

BCCB

法二：tanZSCO=2^—=2^—=，再由三角函數(shù)求例點坐標

CGAC5

法三：求出ZG解析式

(18)(★)若動點D從點Z出發(fā)先以■的速度朝x軸負方向運動到G,再以％的速度向6點

運動，且％=214,當運動時間最短時，求點G的坐標(匕為定值)

【思路分析】還是胡不歸問題，只不過需要翻譯成加權線段和

AGBGAGBG—[-AG+BG

【簡析】設運動總時間為t,----1---=---1---

匕/%(2

2匕V2

以力為頂點,在x軸下方構造一個30°的角，作垂線即可進行代換，!/G=G",當。G=BO_4百

2

時取到最小值.

(19)(☆☆)將線段。。繞。點進行旋轉，得線段CQ在旋轉過程中，求的最

2

小值.

【答案］V26

【思路分析】通過構造子母型相似代換阿氏圓模型

2

取點。(0,1),通過S4s可知△ODCsaoc'B,相似比為2,故3臺?！?。。',

AC'+^BC'=AC'+DC'>AD=y/26

(20)(★☆)點。(3,4),G是x軸上一動點，求G。-，/G的最小值

2

【思路分析】相減型胡不歸，反方向構造相關角

56

如圖，作GE1N3于￡,易知J/G=G￡，GD--AG=GD-GE<DE，

22

當G,D,￡三點共線時取到最小值，此時DEL48,DG=4亞,DE=g1=孚

*■/核心?題型/

題型一【鉛垂高系列】

2023?四川涼山?中考真題

1.如圖，已知拋物線與x軸交于/（L0）和2（-5,0）兩點，與V軸交于點C.直線y=-3x+3過拋物

線的頂點P.

（1）求拋物線的函數(shù)解析式；

（2）若直線尤=皿（-5＜加＜0）與拋物線交于點￡,與直線8C交于點尸，E尸取得最大值時，求加的值

和EF的最大值

2022-T東?統(tǒng)考中考真題

如圖，拋物線夕=必+&+。（b,c是常數(shù)）的頂點為C,與x軸交于43兩點，/（1,0）,AB=4,

點P為線段A8上的動點，過P作尸。〃8C交NC于點Q.

(1)求該拋物線的解析式；

(2)求ACPQ面積的最大值，并求此時P點坐標.

2022?天津?中考真題

2.已知拋物線y+6x+c(a,b,c是常數(shù)，?＞0)的頂點為尸，與x軸相交于點』(T,0)和點

B.

⑴若6=-2,°=-3,

①求點P的坐標；

②直線x=(加是常數(shù)，1＜機＜3)與拋物線相交于點與3尸相交于點G,當MG取得最大值時,

求點M,G的坐標

2022?湖北襄陽?統(tǒng)考中考真題

3.在平面直角坐標系中，直線y=與x軸，y軸分別交于4,8兩點，頂點為。的拋物線y

=-x2+2mx-m2+2與y軸交于點C.

(備用圖)

(1)如圖，當機=2時，點P是拋物線CD段上的一個動點.

①求1,B,C,。四點的坐標；

②當APAB面積最大時，求點P的坐標；

2023?湖南婁底?中考真題

4.如圖，拋物線y=x2+a+c過點點8(5,0),交y軸于點C.

(1)求仇c的值.

⑵點尸(%,%)(0</<5)是拋物線上的動點，當不取何值時，APBC的面積最大？并求出APBC面積

的最大值.

2023?湖南中考真題

5.如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=o?+x+c經過點/(-2,0)和點3(4,0),且與直線

/:y=r-l交于。、E兩點(點。在點E的右側)，點“為直線/上的一動點，設點M的橫坐標

(1)求拋物線的解析式.

⑵過點M作x軸的垂線，與拋物線交于點N.若0</<4,求ANED面積的最大值.

2023?青海西寧?中考真題

6.如圖，在平面直角坐標系中，直線/與x軸交于點/(6,0),與y軸交于點2(0,-6),拋物線經過

點aB,且對稱軸是直線x=i.

(1)求直線I的解析式；(2)求拋物線的解析式；

(3)點尸是直線/下方拋物線上的一動點，過點尸作尸軸，垂足為C,交直線/于點過點尸

作尸垂足為求的最大值及此時P點的坐標.

2023?四川廣安?中考真題

7.如圖，二次函數(shù)^=/+瓜+。的圖象交x軸于點4B,交V軸于點C,點8的坐標為(1,0),對

稱軸是直線x=-l,點尸是x軸上一動點，.1尤軸，交直線NC于點交拋物線于點N.

(1)求這個二次函數(shù)的解析式.

(2)若點P在線段NO上運動(點?與點A、點。不重合)，求四邊形N8CN面積的最大值，并求出此

時點尸的坐標.

2023?湖南永州?中考真題

8.如圖，拋物線了=辦2+樂+。(a,b,c為常數(shù))經過點尸(。,5),頂點坐標為(2,9),點尸(士,%)

為拋物線上的動點，尸"lx軸于且國之，

(1)求拋物線的表達式;

(2)如圖，直線。尸?=?》交B尸于點G,求^的最大值;

、2BOG

2022?四川廣元?中考真題

9.在平面直角坐標系中，直線y=-x-2與x軸交于點/,與y軸交于點2,拋物線y=ax2+bx+c

(a>0)經過4B兩點,并與x軸的正半軸交于點C.

⑴求。，6滿足的關系式及c的值；

(2)當°=2時，若點P是拋物線對稱軸上的一個動點，求△P/2周長的最小值；

(3)當。=1時，若點0是直線下方拋物線上的一個動點，過點。作。于點。當。D的

值最大時，求此時點。的坐標及QD的最大值.

10.已知拋物線>=-4與x軸交于4、2兩點，頂點為C,連接8C,點P在線段下方的拋

4

物線上運動.

3

⑴如圖1,連接P8,PC,若%.c=5，求點尸的坐標.

(2)如圖2,過點P作尸。〃>軸交8C于點Q,PHLBC交BC于點、H,求△尸。8周長的最大值.

題型二【線段和差最值篇】

2023?湖南張家界中考真題

11.如圖，在平面直角坐標系中，已知二次函數(shù)了="2+樂+。的圖象與了軸交于點/(-2,0)和點

5(6,0)兩點，與y軸交于點C(0,6).點。為線段8c上的一動點.

(1)求二次函數(shù)的表達式；(2)如圖，求△NOD周長的最小值;

2022?四川遂寧中考真題

12.如圖，在平面直角坐標系中，拋物線yuf+foc+c與x軸交于4、3兩點，與y軸交于點C,其

中點/的坐標為(TO),點C的坐標為(0,-3).

yy

⑴求拋物線的解析式;

（2）如圖1,￡為。邊48上的一動點，尸為2C邊上的一動點，。點坐標為（0,-2）,求尸周

長的最小值

2022?山東淄博?統(tǒng)考中考真題

13.如圖，拋物線y=-N+H+C與x軸相交于/,3兩點（點/在點2的左側），頂點。（1,4）在

（1）求這條拋物線對應的函數(shù)表達式；

（2）過點P作PMLx軸于點M,PN11于點N,當1＜加＜3時，求PM+PN的最大值

題型三【構造二次函數(shù)模型求最值】

2023?山東東營?中考真題

14.如圖，拋物線過點。（0,0）,￡（1。,0）,矩形/BCD的邊N2在線段OE上（點3在點/的左側）,

點C,。在拋物線上，設3&0),當"2時，BC=4.

(1)求拋物線的函數(shù)表達式；

(2)當t為何值時，矩形48co的周長有最大值？最大值是多少?

2023?四川巴中?中考真題

15.在平面直角坐標系中，拋物線了=依2+樂+以4/0)經過點4-1,0)和3(0,3),其頂點的橫坐標為

(1)求拋物線的表達式.

(2)若直線x=7"與x軸交于點N,在第一象限內與拋物線交于點當加取何值時，使得/N+MN

有最大值，并求出最大值.

2023?湖南張家界中考真題

16.如圖，在平面直角坐標系中，已知二次函數(shù)y=-g/+2x+6的圖象與x軸交于點/(-2,0)和點

8(6,0)兩點，與y軸交于點點。為線段8C上的一動點.

如圖，過動點。作。P〃/C交拋物線第一象限部分于點尸，連接尸4尸8,記AP4D與△網(wǎng)。的面積

和為S,當S取得最大值時，求點尸的坐標，并求出此時S的最大值.

2023?山東聊城?中考真題

17.如圖①，拋物線y=tz?+6x_9與x軸交于點-3,0),8(6,0),與〉軸交于點C,連接/C,BC.

點尸是x軸上任意一點.

(1)求拋物線的表達式;

(2)如圖②，當點尸(私0)從點N出發(fā)沿x軸向點3運動時(點P與點48不重合)，自點尸分別作

PE//BC,交/C于點E,作PD1BC,垂足為點。當機為何值時，VPEO面積最大，并求出最

大值.

2022?湖北襄陽中考真題

18.在平面直角坐標系中，直線y=與x軸，y軸分別交于/,8兩點，頂點為D的拋物線y

=-x2+2mx-m2+2與y軸交于點C.

7

在了軸上有一點M(0,~m),當點C在線段"5上時,

①求加的取值范圍；②求線段長度的最大值.

2023?湖北荊州中考真題

a-2)尤2+(a+l)x+b.

⑴若函數(shù)的圖象與坐標軸有兩個公共點，且。=46,則。的值是

(2)如圖，若函數(shù)的圖象為拋物線，與無軸有兩個公共點/(-2,0),8(4,0),并與動直線

/:X=TM(0<7"<4)交于點尸，連接尸區(qū),PB,PC,BC,其中P/交V軸于點。，交8c于點E.設

XPBE的面積為0,ACDE的面積為S2.

①當點尸為拋物線頂點時，求APBC的面積;

②探究直線/在運動過程中，百-$2是否存在最大值？若存在，求出這個最大值；若不存在，說明理

由.

2022?江蘇連云港中考真題

20.已知二次函數(shù)>=￡+(加一2)x+加一4,其中加>2.

(1)當該函數(shù)的圖像經過原點0(0,0),求此時函數(shù)圖像的頂點A的坐標；

(2)如圖，在(1)的條件下，若平移該二次函數(shù)的圖像，使其頂點在直線y=-入-2上運動，平移

后所得函數(shù)的圖像與V軸的負半軸的交點為B,求。。面積的最大值.

2022?湖南岳陽?中考真題

(2)如圖2,作拋物線外，使它與拋物線耳關于原點。成中心對稱，請直接寫出拋物線匕的解析式;

(3)如圖3,將(2)中拋物線鳥向上平移2個單位，得到拋物線拋物線耳與拋物線巴相交于C,

。兩點(點C在點。的左側).

①求點C和點。的坐標；

②若點河，N分別為拋物線々和拋物線馬上C,。之間的動點(點N與點C,。不重合)，

試求四邊形CMDN面積的最大值.

2023?寧夏?中考真題

22.如圖，拋物線了=研2+法+3(a力0)與x軸交于A,8兩點，與了軸交于點C.已知點A的坐標

是(-1,0),拋物線的對稱軸是直線X=L

(1)直接寫出點B的坐標；

(2)在對稱軸上找一點尸，使尸N+PC的值最小.求點P的坐標和尸/+PC的最小值；

⑶第一象限內的拋物線上有一動點過點M作九Wlx軸，垂足為N,連接8c交于點。.依

題意補全圖形，當M0+6C0的值最大時，求點W的坐標.

在平面直角坐標系xQv中，已知拋物線7=-/+2加x+3/",點/(3,0).

(1)當拋物線過點/時，求拋物線的解析式；

(2)在(1)的條