安徽省示范高中培優(yōu)聯盟2020-2021學年高二上學期秋季聯賽理科數學試題

安徽省示范高中培優(yōu)聯盟2020年秋季聯賽（高二）數學（理科）本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，第Ⅰ卷第1至第3頁，第Ⅱ卷第4至第6頁.全卷滿分150分，考試時間120分鐘.考生注意事項：1.答題前，務必在試題卷、答題卡規(guī)定的地方填寫自己的姓名、座位號，并認真核對答題卡上所粘貼的條形碼中姓名、座位號與本人姓名、座位號是否一致.2.答第Ⅰ卷時，每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.3.答第Ⅱ卷時，必須使用0.5毫米的黑色墨水簽字筆在答題卡上書寫，要求字體工整、筆跡清晰.作圖題可先用鉛筆在答題卡規(guī)定的位置繪出，確認后再用0.5毫米的黑色墨水簽字筆描清楚.必須在題號所指示的答題區(qū)域作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上答題無效.4.考試結束，務必將試題卷和答題卡一并上交.第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、選擇題（本大題共12小題，其中（6）、（9）、（12）為選考題.每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）1.已知集合，，那么（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】解不等式，求得整數的取值，由此可求得.【詳解】解不等式，得，，所以，整數的可能取值有、、，因此，.故選：C.【點睛】本題考查交集的計算，考查計算能力，屬于基礎題.2.如圖，向量等于（）A. B.C. D.【答案】D【解析】分析】由題得，，所以，即得解.【詳解】由題得，，所以，所以.故選：D【點睛】本題主要考查向量的坐標定義和運算，考查向量的減法運算，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.3.已知，那么在下列不等式中，不成立的是A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用作差法可判斷A、B選項的正誤，利用正弦、余弦值的有界性可判斷C、D選項的正誤.綜合可得出結論.【詳解】，則，，又、，，.可得：ABC成立，D不成立.故選：D.【點睛】本題考查不等式正誤的判斷，一般利用作差法來進行判斷，同時也要注意正弦、余弦有界性的應用，考查推理能力，屬于中等題.4.定義在上的函數既是偶函數又是周期函數，若的最小正周期是，且當時，，則的值為A. B. C. D.【答案】B【解析】【詳解】分析：要求，則必須用來求解，通過奇偶性和周期性，將變量轉化到區(qū)間上，再應用其解析式求解詳解：的最小正周期是是偶函數，當時，，則故選點睛：本題是一道關于正弦函數的題目，掌握正弦函數的周期性是解題的關鍵，考查了函數的周期性和函數單調性的性質．5.已知，，，則a，b，c的大小關系為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據指數函數、對數函數與冪函數的單調性，借助中間量即可比較大小.【詳解】解：由函數在上單調遞增，所以，由于函數在上單調遞減，所以，由于函數在上單調遞增，所以，故.故選：A.【點睛】本題考查指對數冪的大小比較，是基礎題.6.下列命題正確的是（）A.經過定點的直線都可以用方程表示B.經過點且在x軸和y軸上截距都相等的直線方程為C.經過任意兩個不同的點，的直線都可以用方程表示D.不經過原點的直線都可以用方程表示【答案】C【解析】【分析】A.由直線的斜率是否存在判斷；B.由截距是否為零判斷；C.由直線的兩點式方程判斷；D.由斜率是否存在判斷；【詳解】當直線的斜率不存在時，經過定點的直線方程為，不能寫成的形式，故A錯誤.經過點且在x軸和y軸上截距都相等的直線方程為或，所以B錯誤；經過任意兩個不同的點，的直線，當斜率等于零時，，，方程為，能用方程表示；當直線的斜率不存在時，，，方程為，能用方程表示，故C正確，不經過原點的直線，當斜率不存在時，方程為（）的形式，故D錯誤.故選：C【點睛】本題主要考查直線方程的形式的使用條件，還考查了理解辨析的能力，屬于基礎題.7.執(zhí)行下面的程序框圖，如果輸入的，，，則輸出的x，y的值滿足（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】該程序的功能是利用循環(huán)結構計算并輸出變量x，y的值，模擬程序的運行過程，分析循環(huán)中各變量值的變化情況，可得答案．【詳解】輸入的，，，則，，不滿足，故；則，，不滿足，故；則，，滿足，則輸出的，滿足.故選：C【點睛】本題考查的知識點是程序框圖，當循環(huán)的次數不多，或有規(guī)律時，常采用模擬循環(huán)的方法解答，屬于基礎題．8.已知變量x，y滿足，則的最小值是（）A. B. C. D.9【答案】A【解析】【分析】首先畫出可行域，設，并令，作出初始目標函數表示的直線，根據圖象判斷目標函數的最大值.【詳解】由不等式組表示區(qū)域，端點分別為，，，當直線過點B時t有最小值，此時有最小值，故選：A【點睛】本題考查線性規(guī)劃，重點考查數形結合分析問題的能力，屬于基礎題型.9.已知相鄰兩條射線，所成的角是，線段.若，且滿足“，”的點P所構成的圖形為G，則圖形G是（）A.線段 B.射線 C.直線 D.圓【答案】A【解析】【分析】設，，則可得，從而可得點P，，共線，再根據可得的軌跡.【詳解】因，令，，則，整理得到：，所以點P，，共線，又，，故即，所以的軌跡為線段，圖中線段為所求.故選：A.【點睛】本題考查共線向量定理的推論的應用、平面上動點的軌跡，注意三點共線的向量刻畫，本題屬于中檔題.10.如圖，在正方體中，P為線段上的動點（不含端點），則下列結論不正確的為（）A.平面平面 B.平面C. D.平面【答案】B【解析】【分析】根據正方體中的線面關系、面面關系，逐項判斷，即可得出結果.【詳解】因為在正方體中，易知，，平面，平面，，所以平面，又平面，從而平面平面，A正確；因為平面即為平面，而點P為線段上的動點，所以不能滿足恒成立，因此不一定垂直平面，即平面不一定成立；故B錯；因為正方體中，平面，所以，所以當點P在線段上運動時，始終有，所以C正確；因為在正方體中，平面平面，而平面，所以平面，D選項正確；故選：B.【點睛】本題主要考查線面、面面垂直或平行關系的判定，屬于?？碱}型.11.某單位為了解用電量y度與氣溫之間的關系，隨機統(tǒng)計了其中4天的用電量與當天氣溫，并制作了對照表：氣溫（）181310用電量（度）24343864由表中數據得回歸直線方程，其中，預測當氣溫為時，用電量的度數約為（）A.64 B.68C.68.8 D.69.6【答案】B【解析】【分析】根據所給的表格做出本組數據的樣本中心點，根據樣本中心點在線性回歸直線上，利用待定系數法做出的值，現在方程是一個確定的方程，根據所給的的值，代入線性回歸方程，預報要銷售的件數．【詳解】解：由表格得，為：，又在回歸方程上且，解得：，．當時，．故選：B．【點評】本題考查直線方程，考查分類討論的數學思想，考查點到直線的距離公式的運用，屬于中檔題．12.在中，三個內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若內角A，B，C依次成等差數列，且不等式的解集為，則b等于（）A. B.C.2 D.【答案】A【解析】【分析】利用等差數列性質，可得B，由不等式的解集為，求出a，c，再利用余弦定理，可得結論．【詳解】因A、B、C依次成等差數列，則，解得，不等式的解集為，所以方程的兩根為和2，解得，，，得.故選：A【點睛】本題考查等差數列的性質，考查解不等式、余弦定理，考查學生的計算能力，屬于基礎題．13.向量數列滿足，且，，令，則當取最大值時的n為（）A.2 B.3 C.4 D.6【答案】B【解析】【分析】根據新定義可得：，所以，結合基本不等式即可得解.【詳解】，，若要取最大，則要最小，根據基本不等式當或時取最小，當時，，當，，故當，取最大值，故選：B.【點睛】本題考查了新定義數列，考查了數列的最值問題，解此類問題的關鍵是理解新定義并能正確的運算，有一定的計算量，屬于中檔題.14.阿波羅尼斯是古希臘著名數學家，與歐幾里得、阿基米德被稱為亞歷山大時期數學三巨匠，他對圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究，主要研究成果在他的代表作《圓錐曲線》一書，阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一，指的是：已知動點M與兩個定點A、B的距離之比為（，），那么點M的軌跡就是阿波羅尼斯圓.若已知圓O：和點，點，M為圓O上的動點，則的最小值為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】令，則，所以，整理，得，，點M位于圖中、的位置時，的值最小可得答案.【詳解】設，令，則，由題知圓是關于點A、C阿波羅尼斯圓，且，設點，則，整理得：，比較兩方程可得：，，，即，，點，當點M位于圖中、的位置時，的值最小，最小為.故選：B.【點睛】本題主要考查直線和圓位置關系，圓上動點問題，考查兩點間線段最短.15.氣象意義從春季進入夏季的標志是連續(xù)5天的日平均溫度都不低于，現有甲乙丙三地連續(xù)5天的日平均溫度（都是正整數，單位）的記錄數據如下：①甲地五個數據的中位數為26，眾數為22；②乙地五個數據的平均數為26，方差為5.2；③丙地五個數據的中位數為26，平均數為26.4，極差為8.則從氣象意義上肯定進入夏季的地區(qū)是（）A.①② B.①②③C.②③ D.①③【答案】B【解析】【分析】①若有一天低于22，則中位數不可能是26，所以甲地肯定進入夏季；②若有一天低于22，不妨設，則只有21，25，26，26，26，而不滿足平均數26，故沒有低于22的，所以乙地進入夏季；③若，取，則，不滿足平均數26，故沒有低于22的，所以丙地進入夏季.【詳解】①因為眾數為22，所以至少出現2次，若有一天低于22，則中位數不可能是26，所以甲地肯定進入夏季；②設溫度由低到高為：，，，，，根據方差的定義，，所以，若有一天低于22，不妨設，則只有21，25，26，26，26，而不滿足平均數26，故沒有低于22的，所以乙地進入夏季；③設溫度由低到高為：，，，，，由題意可得，，由平均數的定義可得：，即，若，取，則，不滿足平均數26，故沒有低于22的，所以丙地進入夏季；故選：B【點睛】本題主要考查樣本的數字特征．利用中位數、眾數、平均數、極差、方差來估算該組數據的其他數，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.第Ⅱ卷（非選擇題共90分）考生注意事項：請用0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上作答，在試題卷上答題無效.二、填空題（本大題共4小題，其中（15）為選考題.每小題5分，共20分.把答案填在答題卡的相應位置.）16.已知關于的不等式對恒成立，則實數的取值范圍是_______.【答案】【解析】【分析】對和討論，利用二次函數的性質列不等式求實數的取值范圍.【詳解】解：當時，對恒成立；當時，，解得，綜合得：，故答案為.【點睛】本題考查二次不等式恒成立的問題，要特別注意討論二次項系數為零的情況，是基礎題.17.已知向量，，若，則向量，的夾角是______.【答案】【解析】【分析】由條件算出，然后可得答案.【詳解】知，由知，得，則，的夾角余弦值為，兩個向量的夾角范圍為，所以，的夾角為.故答案為：【點睛】本題考查的是平面向量數量積的應用，屬于基礎題.18.沙漏是古代的一種計時裝置，它由兩個形狀完全相同的容器和一個狹窄的連接管道組成，開始時細沙全部在上部容器中，利用細沙全部流到下部容器所需要的時間進行計時.如圖，某沙漏由上、下兩個圓錐組成，這兩個圓錐的底面直徑和高分別相等，細沙全部在上部時，其高度為圓錐高度（h）的（細管長度忽略不計）.假設細沙全部漏入下部后，恰好堆成一個蓋住沙漏底部的圓錐形沙堆.這個沙堆的高與圓錐的高h的比值為______.【答案】【解析】【分析】設沙漏上下兩個圓錐的底面半徑為r，高為h，根據等體積法求解即可.【詳解】解：設沙漏上下兩個圓錐的底面半徑為r，高為h，左側倒圓錐形沙堆的體積，右側圓錐形沙堆的體積，由得.故答案為：.【點睛】本題考查等體積法求，圓錐的體積計算公式，考查運算能力，是基礎題.19.明朝著名易學家來知德以其太極圖解釋一年、一日之象的圖式，一年氣象圖將二十四節(jié)氣配以太極圖，說明一年之氣象，來氏認為“萬古之人事，一年之氣象也，春作夏長秋收冬藏，一年不過如此”.上圖是來氏太極圖，其大圓半徑為4，大圓內部的同心小圓半徑為1，兩圓之間的圖案是對稱的，若在大圓內隨機取一點，則該點落在黑色區(qū)域的概率為______.【答案】【解析】【分析】設大圓面積為，小圓面積，求得，，進而求得黑色區(qū)域的面積，結合面積比，即可求解.【詳解】設大圓面積為，小圓面積，則，，可得黑色區(qū)域的面積為，所以落在黑色區(qū)域的概率為.故答案為：.【點睛】本題主要考查了幾何概型的概率的計算問題，解決此類問題的步驟：求出滿足條件A的基本事件對應的“幾何度量”，再求出總的基本事件對應的“幾何度量”，然后根據求解，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎題．20.設函數.若恰有2個零點，則實數a的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】討論的取值范圍，分情況討論在時與x軸有一個交點或與x軸無交點，進而確定的零點個數，結合端點值即可求解.【詳解】①若函數在時與x軸有一個交點，則，解得，函數與x軸有一個交點，所以，解得；②若函數與x軸無交點，當時與x軸無交點，在與x軸無交點，不合題意；則需函數與x軸有兩個交點，令，可得和，則，解得，綜上所述a的取值范圍為.故答案為：【點睛】本題考查了由函數的零點個數求參數的取值范圍，考查了分類討論以及函數與方程的思想，屬于中檔題.三、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.）21.如圖所示，已知四棱錐的底面是直角梯形，，，側面底面.（Ⅰ）若M為上一點，且，求證：平面；（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）證明：連接交于點N，連接，通過底面為直角梯形的特征，得出，，從而證明，從而得出，借助線面平行的判定定理可知平面.（Ⅱ）取中點O，連接，，通過側面底面可證底面，從而可知為直線與平面所成角的平面角，在中，計算可得結果.【詳解】（Ⅰ）證明：連接交于點N，連接，因為底面是直角梯形，且，所以，所以，所以，因為，所以，所以，所以，因為平面，平面，所以平面.（Ⅱ）取的中點O，連接，，，為等邊三角形，平面底面，平面底面，平面，底面.為在平面內的投影，即為直線與平面所成角的平面角.在中，，，.即直線與平面所成角的正弦值為.【點睛】本題考查了直線與平面平行的判定定理，考查了平面與平面垂直的性質定理，考查了直線與平面所成角，屬于中檔題.22.某校為了解疫情期間學生線上學習效果，進行一次摸底考試，從中選取出40名同學的成績（百分制，均為正數），分成，，，，，六組后，得到其頻率分布直方圖（如圖），觀察圖形，回答下列問題：（Ⅰ）根據頻率分布直方圖，估計本次考試成績的中位數和平均值；（Ⅱ）為分析線上學習效果的差異，從和這兩組中隨機抽取3人的成績，求這兩組中至少各抽取1人的概率.【答案】（Ⅰ）72；70.5；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）根據中位數將所有小矩形的面積之和平分，中位數為y，列出可求中位數；平均數等于小矩形的面積乘以小矩形底邊中點橫坐標之和即可求解.（Ⅱ）利用組合數以及古典概率計算公式即可求解.【詳解】（Ⅰ）由圖知，，所以，中位數位于70到80之間，設中位數為y，則，解得均值為：.（Ⅱ）由題意知組抽取的人數有4人，組抽取的人數有2人.從中任抽取3人共有種可能，其中抽取的3人均來自同一組的有種可能，由對立事件和古典概率計算公式知，這兩組中至少各有1人的概率.【點睛】本題考查了頻率分布直方圖求中位數、平均數、古典概型的概率計算公式，屬于基礎題.23.在中，已知角A、B、C所對的邊分別為a，b，c，且滿足.（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若，，求的面積.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）由正弦定理可化為，由三角恒等變換求解即可；（Ⅱ）由余弦定理可求出，代入面積公式求解.【詳解】（Ⅰ）因為，，所以.因為，所以，即.所以.又因為，所以，所以（Ⅱ）因，，則在中，由余弦定理，得，解得或（舍）.所以.所以的面積為【點睛】本題主要考查了正弦定理、余弦定理，三角形的面積公式，考查了三角恒等變換，屬于中檔題.24.已知函數.（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）求函數在時的最值.【答案】（Ⅰ）最小正周期是；（Ⅱ）最大值為2，最小值為1.【解析】【分析】（Ⅰ）首先利用三角恒等變換公式將函數化簡，再根據正弦函數的周期公式計算可得；（Ⅱ）首先求出函數的單調性，再求出函數的最值；【詳解】解：（Ⅰ），所以函數的最小正周期（Ⅱ）因為當時，，所以當，即時，單調遞增；當，即時，單調遞減；所以，函數在的最大值為，最小值為，【點睛】本題考查三角恒等變換及三角函數的性質的應用，屬于中檔題.25.已知集合M是滿足下列性質的函數的全體：在定義域內存在實數，使得成立.（1）判定函數是否屬于集合M？并說明你的理由；（2）已知，若函數，求實數a的取值范圍.【答案】（1）函數，理由見解析；（2）.【解析】【分析】（1）