2024年皖江高三數(shù)學(xué)考前模擬預(yù)測(cè)卷附答案解析

2024年皖江名校高三數(shù)學(xué)考前模擬預(yù)測(cè)卷

（全卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘）

考生注意事項(xiàng)：

1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的

指定位置.

2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.寫在試卷、草稿

紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.

3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫在試卷、草稿紙和答題卡上的

非答題區(qū)域均無效.

4.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并上交.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目

要求的.

1.已知集合/={T0,l},8={y|y=2",xe4,則（）

A.4cB={l}B.=C.BqAD.A=B

2.已知雙曲線工-E=1的焦距為4,則該雙曲線經(jīng)過一、三象限的漸近線的斜率為（）

3m2

V3B.近V6D.甄

A.r?----

333

-04

3.記。=244,b=O.4,=log042,則（）

A.b<a<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

4.已知空間中不過同一點(diǎn)的三條直線冽，n,I,則“冽，n,/在同一平面“是"加，/兩兩相交”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

5.已知復(fù)數(shù)z滿足z2+z+l=0,則下列結(jié)論正確的是（）

A.z=\B.z+z=1C.z—z=1D.z3=1

6.在二項(xiàng)式（6-的展開式中，下列說法正確的是（）

A.常數(shù)項(xiàng)為:B.各項(xiàng)的系數(shù)和為64

C.第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大D.奇數(shù)項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)和為-32

7.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知向量次與礪關(guān)于V軸對(duì)稱，若向量3=（1,0）滿足近五方=0,

記A的軌跡為E,則（）

A.E是一條垂直于x軸的直線B.E是兩條平行直線

C.E是一個(gè)半徑為1的圓D.￡是橢圓

1（［、

8.設(shè)正數(shù)數(shù)列{%}的前〃項(xiàng)和為5,，且S“=5??+—（〃eN*）,則（）

a

nJ

A.｛叫是等差數(shù)列B.阻｝是等差數(shù)列C.｛叫單調(diào)遞增D.母｝單調(diào)遞增

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求,

全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得。分.

9.設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列如表，若離散型隨機(jī)變量Y滿足Y=2X-1,則()

X01234

P0.10.4X0.20.2

A.x=0.2B.E(X)=2,￡)(X)=1.8

C.E(X)=2,O(X)=L4D.E(y)=3,￡>(￥)=7.2

10.已知函數(shù)/1(尤)=4sin(0x+0)(/>0,?>0,|^|<y)的部分圖象如圖所示，且圖中陰影部分的

B.點(diǎn)［石",0j是曲線y=/(x)的一個(gè)對(duì)稱中心

C.直線x=:7兀是曲線y=〃x)的一條對(duì)稱軸

6

D.函數(shù)"X)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減

11.拋物線*=8y的焦點(diǎn)為下，準(zhǔn)線為直線/,過點(diǎn)廠的直線交拋物線于A,8兩點(diǎn)，分別過A,B作

拋物線的切線交于點(diǎn)P,443/于點(diǎn)H,BB」l于點(diǎn)、B',貝U()

A.點(diǎn)尸在直線>=-4上B.點(diǎn)P在直線42上的投影是定點(diǎn)

C.以4?為直徑的圓與直線A8相切D.,的最小值為:

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知lgx+lgy=2,則x+y的最小值為.

13.已知三棱錐尸-4BC的外接球?yàn)榍騉,PC為球。的直徑，且尸C=2,PA=PB=6,AB=1,則

三棱錐尸-48C的體積為.

14.“完全數(shù)”是一類特殊的自然數(shù)，它的所有正因數(shù)的和等于它自身的兩倍.尋找“完全數(shù)”用到函數(shù)

b(〃)：V〃eN*,6")為"的所有正因數(shù)之和，如66)=1+2+3+6=12,則b(20)=；

。(6")=.

四、解答題：共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.設(shè)xeR,函數(shù)/(x)=cos(°x+9)(o>0,-［<e<o］的最小正周期為7i,且/(無)圖象向左平移!■后

2

得到的函數(shù)為偶函數(shù).

⑴求“X)解析式，并通過列表、描點(diǎn)在給定坐標(biāo)系中作出函數(shù)“X)在［0,可上的圖象；

⑵在銳角中，。也c分別是角4RC的對(duì)邊，若生］=，G，求的值域.

cosncosC

16.籃球運(yùn)動(dòng)深受青少年喜愛，2024《街頭籃球》SFSA全國超級(jí)聯(lián)賽賽程正式公布，首站比賽將于4

月13日正式打響，于6月30日結(jié)束，共進(jìn)行13站比賽.

(1)為了解喜愛籃球運(yùn)動(dòng)是否與性別有關(guān)，某統(tǒng)計(jì)部門在某地隨機(jī)抽取了男性和女性各100名進(jìn)行調(diào)查,

得到2x2列聯(lián)表如下：

喜愛籃球運(yùn)動(dòng)不喜愛籃球運(yùn)動(dòng)合計(jì)

男性6040100

女性2080100

合計(jì)80120200

依據(jù)小概率值a=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為喜愛籃球運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)？

(2)某?；@球隊(duì)的甲、乙、丙、丁四名球員進(jìn)行傳球訓(xùn)練，第1次由甲將球傳出，每次傳球時(shí)，傳球者都

等可能將球傳給另外三個(gè)人中的任何一人，如此不停地傳下去，且假定每次傳球都能被接到.記甲第〃次

觸球的概率為勺，則月=1.

(i)證明：數(shù)列］匕-；:是等比數(shù)列；

(ii)判斷第24次與第25次觸球者是甲的概率的大小.

_n(ad-be)2

(q+b)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.10.050.010.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

17.如圖，在圓臺(tái)oq中，44,分別為上、下底面直徑，且44///B,AB=2AXBX,eq為異于與

的一條母線.

3

⑴若“為/c的中點(diǎn)，證明：6河//平面/844；

(2)若oq=3,AB=4,NABC=30°,求二面角A-QC-O的正弦值.

18.已知函數(shù)/(x)=ax"-blnx,其中。＞0.

(1)若曲線y=/(x)在點(diǎn)(1,1)處的切線方程為y=1,求/(x)的最小值；

(2)若/為23x-2對(duì)于任意x>0均成立，且g(a)=b+Z的最小值為1,求實(shí)數(shù)h

a

22

19.如e圖，各邊與坐標(biāo)軸平行或垂直的矩形N8CO內(nèi)接于橢圓r￡:=v+二=1(。>6>0),其中點(diǎn)A,B分

a~b

別在第三、四象限，邊8C與X軸的交點(diǎn)為〃1，M2.

(1)若/8=8C=1,且監(jiān)，屈2為橢圓E的焦點(diǎn)，求橢圓E的離心率；

(2)若44G2是橢圓E的另一內(nèi)接矩形，且點(diǎn)4也在第三象限，若矩形ABCD和矩形44G2的面積相

等，證明：ICMF+Qzj是定值，并求出該定值；

(3)若/BCD是邊長為1的正方形，邊4B,CQ與>軸的交點(diǎn)為M，峪，設(shè)月(z=1,2,100)

100

是正方形/BCD內(nèi)部的100個(gè)點(diǎn)，記及用，其中左=1，2,3,4,證明：4，4,4，4中至

Z=1

少有兩個(gè)小于81.

4

1.A

【分析】借助元素與集合的關(guān)系可得5,即可得解.

【詳解】依題意4={-1,0,1},3={y|y=2，,xe/}=g,l,21,因此/c8={l}.

故選：A.

2.B

【分析】根據(jù)焦距為4得。=2,由02=3+加2得加2=1,再根據(jù)漸近線方程求經(jīng)過一、三象限的漸近線

的斜率.

【詳解】因?yàn)殡p曲線工-￡=1的焦距為4,所以3+機(jī)2=22,

解得刃2=1，

3m2

T_G

所以則該雙曲線經(jīng)過一、三象限的漸近線的斜率為

3-V

故選：B

3.C

【分析】由指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出答案.

【詳解】因?yàn)?<°=2"<2。=1,6=0.4">0.4°=1,

c=logo.42<log041=0,

故選：C.

4.B

【分析】將兩個(gè)條件相互推導(dǎo)，根據(jù)能否推導(dǎo)的結(jié)果判斷充分必要條件.

【詳解】依題意見〃，/是空間不過同一點(diǎn)的三條直線，

當(dāng)孫小/在同一平面時(shí)，可能加〃〃〃/,故不能得出機(jī)兩兩相交.

當(dāng)兩兩相交時(shí)，設(shè)mcn=A,mcl=B,ncl=C,根據(jù)公理2可知私"確定一個(gè)平面夕，而

Bwmua,Cwnua,根據(jù)公理1可知，直線3c即/ua,所以〃在同一平面.

綜上所述，“外〃,/在同一平面”是“見名/兩兩相交”的必要不充分條件.

故選：B

【點(diǎn)睛】本小題主要考查充分、必要條件的判斷，考查公理1和公理2的運(yùn)用，屬于中檔題.

5.D

【分析】對(duì)于D,由z3_l=（2-l）（z2+z+l）=0即可判斷；對(duì)于ABC,只需求出z即可逐一判斷.

【詳解】對(duì)于D,因?yàn)閦2+z+l=0,所以z3-l=（2-l）（22+z+l）=0,從而z3=l，故D正確,

對(duì)于A,z=±逅或2=土且，故A錯(cuò)誤；

22

對(duì)于B,z+z=-l,故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,z-F=±V3i,故C錯(cuò)誤.

故選：D.

6.A

【分析】對(duì)于A,由二項(xiàng)式展開式，通過賦值即可得解；對(duì)于B,直接賦值即可得解；對(duì)于C,由二項(xiàng)

式系數(shù)的性質(zhì)即可判斷；對(duì)于D,由奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)即可判斷.

的展開式通項(xiàng)為=C；?（?）j=C>H2

【詳解】對(duì)于A,

5

當(dāng)/*=2時(shí)，常數(shù)項(xiàng)為C：選項(xiàng)A正確；

對(duì)于B,令x=l,得各項(xiàng)的系數(shù)和為(1一,丫=_1,選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

I2J64

對(duì)于C,展開式共7項(xiàng)，二項(xiàng)式系數(shù)最大應(yīng)為第4項(xiàng)，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

26

對(duì)于D,依題意奇數(shù)項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)和為C：+C"C：+C=5=32,選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

故選：A.

7.C

【分析】由題意設(shè)(%)),結(jié)合條件等式即可列式化簡，從而判斷求解即可.

【詳解】不妨設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2),OA=(x,y),OB=(-x,y),AB=OB-OA=(-2x,0),

由OA+無方=0可得/+/—2x=°，即(x-l)2+j2=1?

故選：C.

8.D

【分析】先利用%和S〃的關(guān)系求出S;=〃，進(jìn)而得出J=6，%=6—冊(cè)=1;再逐項(xiàng)判斷即可.

【詳解】依題意可得：an=Sri_Sn_A,n>2.

因?yàn)橐?\。.+，](〃€川)，

21。J

i(i、ici)

所以當(dāng)"=1時(shí)，5-%+一,即耳=彳E+F,解得E=i,

1=21aj21SJ

當(dāng)〃22時(shí)，,整理得：S；-S3=l,

所以數(shù)列｛s；｝是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列.

從而S；=n,Sn=4n.

因?yàn)楫?dāng)〃=1時(shí)，6=S[=1,

當(dāng)“22時(shí)，c1n=Sn一Sn_i=4n-y/n-l.

〃=1也適合上式，

所以?！?&7幾-1，故選項(xiàng)A、B錯(cuò)誤，選項(xiàng)D正確.

因?yàn)椤?=血-0=血-1<1，

所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤.

6

故選：D.

9.BD

【分析】根據(jù)分布列的性質(zhì)計(jì)算q的值，然后根據(jù)期望、方差公式及性質(zhì)計(jì)算.

【詳解】因?yàn)?.1+0.4+x+0.2+0.2=l,所以尤=0]，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

由E(X)=OxO.l+lxO.4+2xO,l+3xO.2+4xO.2=2,

故O(X)=(0-2尸x0.1+(l-2)2x04+(2-2-xO.l+(3-2)2x02+(4-2)乙0.2=1.8,

因此選項(xiàng)B正確；

又y=2X-l,所以，E(Y)=2E(X)-1=3,。⑶=4O(X)=7.2,故C錯(cuò)D對(duì).

故選：BD

10.ABC

7T

【分析】根據(jù)題意利用五點(diǎn)法可得/=2,。=2,(p=-,即可判斷A；對(duì)于BC：代入檢驗(yàn)結(jié)合正弦函

6

數(shù)性質(zhì)分析判斷；對(duì)于D：以2x+B為整體，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性分析判斷.

6

【詳解】設(shè)函數(shù)〃x)=/sin(s+")的最小正周期為T,

由題意可知：4=2,47=4兀，則7=71,

即函數(shù)/(x)的最小正周期為兀，可得/(x+兀)=/"),故A正確；

27r

且①〉0,可得。=—=2,

71

又因?yàn)椤?)=1,所以2sin夕=1,即Sin0=；,

且-工＜9(工，可得"=巴，所以/(x)=2sin[2x+2].

226I6J

?十.丁「(HTI＞IC?r11兀兀、八

對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)?R[wj=2sin[u-1--I=0,

所以點(diǎn)(詈，o)是曲線V="X)的一個(gè)對(duì)稱中心，故B正確；

對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)?sin(等+0=2sing=2為最大值，

7兀

所以直線x=；是曲線了=〃尤)的一條對(duì)稱軸，故C正確；

6

對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)椋海紉＜T，則與＜2x+[＜，，

且〉=$也》在不單調(diào)，所以函數(shù)Ax)在區(qū)間內(nèi)不單調(diào)，故D錯(cuò)誤；

故選：ABC.

11.BCD

【分析】對(duì)于A,設(shè)直線的方程，與拋物線方程聯(lián)立，根據(jù)韋達(dá)定理得到兩根之和與兩根之積，根

據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義求出切線方程，聯(lián)立求解點(diǎn)尸的坐標(biāo)；對(duì)于B,根據(jù)坐標(biāo)運(yùn)算即可得在.而=0,即可判

斷B；對(duì)于C,由直角三角形全等，可得尸P=4'P=B'P,即可判斷；對(duì)于D,利用兩點(diǎn)間距離公式可

求盧尸構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性即可求解.

【詳解】對(duì)于A,依題意焦點(diǎn)廠的坐標(biāo)為(0,2),準(zhǔn)線為直線/：了=-2,

7

不妨設(shè)/（國,必），8G2，%），直線48的方程為V=h+2,

聯(lián)立了=履+2與f=8＞，得》2-8區(qū)-16=0,

從而項(xiàng)+%2=8左，再入2=—16,

；

_xlXy+y=kx+2+kx+2=Sk2+4,

~T~~82xi2

由題意N=：X2,所以y=!x,

o4

故拋物線過點(diǎn)A,B的切線方程分別為

解得點(diǎn)尸的坐標(biāo)為故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,因?yàn)?8=（%-%,%-%），尸尸=（_占，4）

所以刀.而=一包當(dāng)5+4（%一%）=0,

所以尸尸1.48,

即點(diǎn)尸在直線N2上的投影是點(diǎn)尸（定點(diǎn)），故選項(xiàng)B正確;

對(duì)于C,可證RtA/"=RtA/'FP,RtABFP三RtAB'FP,

因此尸P=4尸=27,

即以H夕為直徑的圓與直線相切，選項(xiàng)C正確；

對(duì)于選項(xiàng)D,因?yàn)閨|=乂+%+4=8K+8,

|PF\=J16^+16=WF+l>

\AB\+\8r+91

從而=2，■+1+

l^l47F7T4A/F+1，

令"TFITzl，由函數(shù)夕=2/+看在［1，+8）上單調(diào)遞增，

9

所以當(dāng)，=1,即左=0時(shí)，函數(shù)取最小值;，故D正確.

4

故選：BCD.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：拋物線的切線問題，常常需要設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程,

結(jié)合題干中的條件求解.

12.20

8

【分析】由lgx+lgy=2可得中=100,再由基本不等式求解即可.

【詳解】依題意x>0,?>0,由lgx+lgy=2可得孫=100,

所以x+y22向^=20,等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)x=y=10.

故答案為：20.

13.正#/亞

66

【分析】所求體積可表示為『=七TKB，故只需求出三角形/期的面積即可，其中/〃，尸C,

由對(duì)稱性也有尸C,由于/5=1是已知的，所以只要求得=也即可進(jìn)一步求解.

2

TT

【詳解】如圖，易知/尸力。=/"。=90。，AC=BC=\,所以乙4PC=/5PC=—,

6

作。于點(diǎn)〃，易知BHLPC,所以AH=BH=J,

2

I「/2\IcosZAHB=AH一+BH——=-,sinZAHB=^-,

1/一二二工二A闋2AH-BH33

c

sAHB'AH-BH-sinNAHB=-義巫=—,

"*HB2834

故三棱錐P-ABC的體積為

/=Vp-AHB+Vc-AHB[s.AHB{PH+HQS"PC.

故答案為：1.

6

14.421(2"+1-l)(3n+1-l)

【分析】根據(jù)“")為〃的所有正因數(shù)之和，直接計(jì)算。(20),分析6”的正因數(shù)的特點(diǎn)，利用等比數(shù)列求

和求解.

【詳解】根據(jù)新定義可得，<7(20)=1+2+4+5+10+20=42,

因?yàn)?"=2"?3"正因數(shù)2°3°,2°3',2°3?,2°3",2*3°,2q,2匕2,…,22",2,,3°,2呀,2"3?,2"3",

所以b(6")=(1+2+2?+…+2")(1+3+32+…+3")=(2向-1)(3'用T)

故答案為：42；1(2"+1-1)(3"+1-1)

15.(l)/(x)=cos2x-jj,圖象答案見解析

9

【分析】(1)由函數(shù)/(x)的最小正周期為兀，結(jié)合周期公式求0,求出平移后的函數(shù)解析式，結(jié)合余

弦函數(shù)的性質(zhì)求。，再由五點(diǎn)法列表，并描點(diǎn)連線作出圖象；

(2)由條件結(jié)合邊角互化求出角C,根據(jù)銳角三角形內(nèi)角關(guān)系求3的范圍，結(jié)合余弦函數(shù)性質(zhì)求/(B)的

值域.

【詳解】⑴?.?函數(shù)/(x)的最小正周期丁吟=兀，，0=2,

???/(X)圖象向左平移1后得到的函數(shù)為昨cos12x+g+”,

兀71

由已知0+1=E，左EZ,又一5<"<0,

71

,:.（p=-

解析式為：/(x)=cos^2x-j

由五點(diǎn)法可得，列表如下：

兀5兀2兀1ITI

X071

677T~12

,兀71713715兀

2x-----071

3下2~2T

j_

~210-107

“X)在［0,句上的圖象如圖所示:

（2）-二一--（2a-b）cosC=ccosB=>2acosC=bcosC+ccosB,

cosBcosC

由正弦定理可得，2sin/cosC=sinBcosC+sinCcos3,

所以2sinAcosC=sin（5+C）,即2sin4cosC=sin力,

因?yàn)閟in/w0,所以IsinAcosC=1

所以cosC='，

2

又Ce0，3,所以C=；,

10

jrTT

又因?yàn)槿切螢殇J角三角形，0<3<彳，-<B+C<TI,

22

所以

62

所以0<28-1<］，又/⑻=COS|2B-3

所以「⑶

16.(1)能認(rèn)為喜愛籃球運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)

⑵(i)證明見解析；(ii)甲第25次觸球者的概率大

【分析】(1)根據(jù)2x2列聯(lián)表給出的數(shù)據(jù)計(jì)算/,并把計(jì)算結(jié)果和10.828比較大小，可得判斷結(jié)果.

(2)(i)根據(jù)題意，先寫出數(shù)列｛￡｝的遞推公式，再利用等比數(shù)列的定義證明數(shù)列［匕-；;為等比數(shù)

列；(ii)比較乙與心的大小，得出結(jié)論.

【詳解】(1)假設(shè)“。：喜愛籃球運(yùn)動(dòng)與性別獨(dú)立，即喜愛籃球運(yùn)動(dòng)與性別無關(guān).

根據(jù)列聯(lián)表數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算得力2=200x(60x80-20x40)2=100>10.828=x0001,

100x100x80x12030001

依據(jù)小概率值a=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷不成立，

即能認(rèn)為喜愛籃球運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過0.001.

(2)(i)由題意，

所以《一；=一1以「｛!

又所以是以:為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.

44I4J43

(ii)由⑴得，Pn+；，

所以％=:［-3+；<小%卜:+"?

故甲第25次觸球者的概率大.

17.(1)證明見解析(2)1p

【分析】(1)如圖根據(jù)題意和圓臺(tái)的結(jié)構(gòu)可知平面/3C//平面4月G，有面面平行的性質(zhì)可得4G〃NC,

根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得￡為PC中點(diǎn)，則GM//44-結(jié)合線面平行的判定定理即可證明；

(2)建立如圖空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求出平面OCG、平面/CG的法向量，結(jié)合空間向量數(shù)

11

量積的定義和同角的三角函數(shù)關(guān)系計(jì)算即可求解.

【詳解】(1)如圖，連接4G.

因?yàn)樵趫A臺(tái)。中，上、下底面直徑分別為且4月

所以N4,84,GC為圓臺(tái)母線且交于一點(diǎn)尸，所以44,G，c四點(diǎn)共面.

在圓臺(tái)OQ中，平面/8C//平面/百q,

由平面44℃n平面/3C=/C,平面//ccn平面451G=4G，得4G〃NC.

又A\BJ/AB,AB=2AE，所以必=2=!，

PAAB2

所以等=爵=」，即G為尸c中點(diǎn)?

在△尸/C中，又M為NC的中點(diǎn)，所以GM7/44-

因?yàn)閡平面4BB4,CtM<z平面ABBH,

所以GM//平面月4；

(2)以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，。民。。1分別為％z軸，過。且垂直于平面的直線為x軸,

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。-孫z.

因?yàn)?/BC=30。，所以N/OC=60。.

則A(0,-2,0),C(V3,-1,0),Ox(0,0,3).

因?yàn)榉?(6,-1,0),所以配^=(室

所以G(孚所以錄=(*

設(shè)平面OCC,的法向量為點(diǎn)=(無?%Z1),

—必=0

nOC=0

所以<t所以6

小*=0，「3句=0

令國=1,則必=JJ,Z]=0,所以或=(1,3,0),又就=(在1,0),

設(shè)平面4CG的法向量為〃2=(工2,%/2),

-,,

>/3X2+>2=0

n?-AC=0

所以「一，所以月1.n

XZ

n2C]C=0~Y2--y2-^2=0

、乙乙

12

令工2=1'貝U>2=—Z?，所以〃2=(1,—，

=

設(shè)二面角M-C}C-O的大小為。,則cos6=k()s〃i,712|~^~，

所以sin。=Vl-cos20=，：；。,

所以二面角M-G。-。的正弦值為回.

13

【分析】(1)對(duì)"%)求導(dǎo)，求出了'⑴J⑴，再由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出參數(shù)代入函數(shù)，對(duì)其求導(dǎo)，求出

函數(shù)的單調(diào)性即可得出答案；

(2)記〃(x)=x。-^Inx-3x+2,將題意轉(zhuǎn)化為證明人(x)>0,對(duì)Zz(x)求導(dǎo)可得⑴=0即

a

b^a2-3a,代入〃(無)，分類討論0<”3和。23,由〃(爪加士。，即可求出。的范圍，貝U

g(a)=b+ka=a2-G-k)a,由二次函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合。的范圍即可得出答案.

【詳解】(1)由題意，且/⑸的定義域?yàn)?0,+功，且一2=色1心，

XX

"⑴=1ra=l[a=1/、x-1

依題意工n即2八c，從而八J故〃x)=x-lnx,rx=—,

從而函數(shù)/(X)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,”)上單調(diào)遞增，所以⑴=1.

6b

(2)依題意，X”--lnx23尤一2,其中。>0,記〃(x)=x"--lnx-3x+2,則〃(x)20,

aa

因?yàn)椤?1)=0,h(x)>h(l),即阿1)是力(x)的極小值也是最小值，故〃(1)=0,

a

Jfjjh\x)=ax--------3,所以Q-------3=0,解得^二力―3。，

axa

13

止匕時(shí)〃(%)=—3)Inx—3x+2(x>0),

若0＜”3,則％趨近0時(shí)，￡趨近0,-(a-3)lnx趨近負(fù)無窮，-3x+2趨近2,

即%(x)趨近負(fù)無窮，與〃(xRO矛盾！

a(x0-l)-3(x-l)

若此3,A,(x)=ax-1---3=axa-3x-a+3

XXX

、r,八'rt_L7,/、CI(X—1)—3(X—1)("3)(1)wo

當(dāng)0<x<l時(shí)，h\x)<——---——-〃(x)單調(diào)遞減,

xx

當(dāng)x>l時(shí)，>公-1)-3(x-1)=(。-3)(x-D0,〃(x)單調(diào)遞增，符合題意.

XX

故〃23.

所以g(a)=b+左a=/一(3—左)〃，其中a>3.

若；一V3即左13