課件成果講稿

期末高數(shù)復(fù)習(xí)資一、二重積分的計(jì)算將已給的二次積分的積分限得出相應(yīng)的二重積分的積分區(qū)域,并畫(huà)出草圖按相反順序?qū)懗鱿鄳?yīng)的二次積分注： f(x,y)在考慮的區(qū)域上連續(xù)時(shí)，二次積分才可以交換積分次序在直角坐標(biāo)系下計(jì)算三重積分思想是在直角坐標(biāo)系下將三重積分化為三次積注注：當(dāng)被積函數(shù)僅與z有關(guān)，且截面知時(shí)，用截面法比較簡(jiǎn)單注：利用柱面坐標(biāo)系計(jì)算三重積分通常是先積z,再積ρ，后積θf(wàn)(x2+y2+z2)的形式時(shí)，用球坐標(biāo)系計(jì)算三重積分更簡(jiǎn)便。第十章.一一．曲線積分：性質(zhì)大部分與一次積分相同f(x,yf(x,y)dsβφ(t),ψ φ'2(t)+ψ第二類(lèi)曲線積分（對(duì)坐標(biāo)的積分{ 第一類(lèi)曲線積分（{ 第一類(lèi)曲線積分（對(duì)弧長(zhǎng)的積分∫αP(x,y)dx+Q(x,y)dy 設(shè)夾角為θ就可得出兩者轉(zhuǎn)化關(guān)系。0當(dāng)β∫Lf(x,y)ds=∫αf(x,g(x))1β當(dāng)曲線弧置于空間坐標(biāo)系中，即 ∫f(x,y,z)ds=∫βf(φ(t),ψ(t),ω(t))φ'2(t)+ψ'2(t) 第二類(lèi)曲線積分：積分曲線與其路徑無(wú)關(guān),計(jì)算方法的常用變換：當(dāng)β∫LP(x,y)dx+Q(x,y)dy=∫α(P(x,g(x))β將曲線弧置于空間坐標(biāo)系中，即 設(shè)閉區(qū) 由分段光滑的曲 圍成 函數(shù) 上具有一階續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則有 （其中L是 是u的全微分。即是du=解法是：將全微分從(0,0)積到（xy。計(jì)算,其中 L為一條無(wú)重點(diǎn),分段光滑且不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的連續(xù)閉曲線,L求L

(xy)dx+(x+y)dy,LAa,0)y=bx2+y2

a-到a-a的弧段a{二．曲面{第一類(lèi)曲面積分（對(duì)面積第二類(lèi)曲面積分（對(duì)坐標(biāo)第二類(lèi)曲面積分（對(duì)坐標(biāo) 例題 ________,其中 是柱面 被平面 設(shè)空間閉區(qū)域 由分片光滑的閉曲面Σ圍成,函數(shù)、、在 上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) 則有公式或stokes公式Green

求向量,穿過(guò)曲 :為立方 的全表面,流向外側(cè)的通量第十一 無(wú)窮級(jí)一.常數(shù)項(xiàng)級(jí)1、數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)2、正項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法步驟（先預(yù)估級(jí)數(shù)收斂性向數(shù) un，先看limun=0是否成立（級(jí)數(shù)收斂的必要條件n 用limun+1=L（比值審斂法）或 （0nnn→∞ 3、任意項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的判定A、（1）任意項(xiàng)級(jí)數(shù) un，先看是否滿足limn

考慮正項(xiàng)級(jí)數(shù)∑∞|un|（利用絕對(duì)收斂的性質(zhì)，原數(shù)列也收斂

nn

(-1)n-1u滿n （2）lim則級(jí)數(shù)收斂，和S≤u，|rn|≤ nn nn

n -n(1)∑(2n2+lnn+1)n+1n

∑(nn

n

n n

=nn

22 2n2+n+1nn2n2+n(nlim(1+1)n

=e<3,故limun+1= ,得n→∞ 1n(13(1(13(1lim3(1+n)2=1。所以級(jí)數(shù) 發(fā)散，級(jí)數(shù) nn n

∑n=1(1

∑n=1(n+1)n由lim = n→∞n

1(1 un n（1+n）單調(diào)遞增且有界 n

1n≥1，故un1≥un>0∞

(1n注：此題還可用拉阿伯判別法：若有l(wèi)∞n(uun-1=L,其中0≤Ln項(xiàng)級(jí)數(shù)∑∞un當(dāng)L>1時(shí)收斂，1時(shí)發(fā)散，L=1nex=1+

x3+…,-∞<x<∞可得e

，由 ∑n=1e-n （n→∞）的高階無(wú)窮小，α>0，因（e（elime-n n→∞

二．冪級(jí)冪級(jí) 求冪級(jí)數(shù)的和函 應(yīng)1.⑵收斂半徑如果其中 則R為冪函數(shù)的收斂半徑。注：求收斂域還需將區(qū)間端點(diǎn)代入原級(jí)數(shù)，判斷此時(shí)級(jí)數(shù)的斂散性 例1.求的收斂解1：令，則化 得則發(fā)散；發(fā)散，所以收斂域?yàn)?即，后面步驟同解1⑶運(yùn)算見(jiàn)書(shū)本212頁(yè)213冪函數(shù)的和函 在其收斂域I上連續(xù)冪函數(shù)的和函 ，逐項(xiàng)積分后所得冪級(jí)數(shù)的和函 在其收斂區(qū) 變量替換法——通過(guò)變量替換化為一較簡(jiǎn)單的冪級(jí)數(shù)拆項(xiàng)法——將冪級(jí)數(shù)分拆成兩個(gè)（或幾個(gè)）簡(jiǎn)單冪級(jí)數(shù)的和逐項(xiàng)求導(dǎo)法——通過(guò)逐項(xiàng)求導(dǎo)得出另一冪級(jí)數(shù)而此冪級(jí)數(shù)的和 例2：求冪函數(shù)的收斂域與和函 設(shè)， 時(shí)，有，..所以又綜上 = 的和則 代入（，其中為拉格朗日余項(xiàng) ，介 ⑵展開(kāi)方法（無(wú)論怎樣，先求收斂域，求出展開(kāi)式后，寫(xiě)出x范圍求，若x=0處某階導(dǎo)數(shù)不存在，就停止求C.寫(xiě)出麥克勞林級(jí)數(shù)，d.判別在，，，，，x例4：將函數(shù)展開(kāi)成 又，；，所 三.傅里葉級(jí)：f(x)

∞ n

ancosnπx+bnsin

（x 其中

=1∫Lan

L-L

L∫-Lbn=1L

nLxdxL∫- L=π

0 =1∫π 0n =1∫πf(xn bn=1∫πf(x)sinnxdxπ-2、(收斂定理,展開(kāi)定理設(shè)f(x)2p的周期函數(shù),并滿足狄利克雷Dirichlet)條件在一個(gè)周期內(nèi)連續(xù)或只有有限個(gè)第一類(lèi)間斷點(diǎn) F(x)=a0

n 3（1）正弦級(jí)數(shù)（即f（x）為奇函數(shù)a0bn=2∫πf(x)sinπ余弦級(jí) an=2∫πf(x)cosπbn=：L2x

4、cos

=（-1、將函數(shù)f(x)=1-x2(0≤x≤π)∞（-1）n1∑n 先作圖，將函數(shù)f(x)=1-x2(0≤x≤π) =1 2 π∫-π1-xdx=2- an=∫π1-x2cosnxdx=（-1）n-1

bnπn πn=1-3π2=1-3π2（-1）n-1cos，(0≤xn 2令x=0，f(0)=1，所以∞（-1）n-1 ∑n 第十二章.微分一．可分離變量(1)形 的微分方程，稱(chēng)為可分離變量的方程.該微分方程的特⑵求解方 可分離變量的微分方的求解方法,一般有如下兩步第一步:，第二步:兩邊積 第三步:計(jì)算上述不定積分，得通解.）例2 的解． 分離變量 , 為任意常數(shù)1.一階線性微分定義：形 的方程,稱(chēng)為一階線性方程,其 已知函數(shù) 時(shí), 時(shí), 為非齊次線性方程即令為非齊次線性方程的解,代入 代入得通解上式稱(chēng)為一階線性非齊次程的通解公式。上述求解方法稱(chēng)為常數(shù)變易法,根據(jù)所求出的齊次方程的通解設(shè)出非齊次線性方程的解(將所求出的齊次方程的通解中的任意常數(shù)C改為