專題11.5-用一元一次不等式解決問題(知識講解)七年級數學下冊基礎知識專項講練(蘇科版)

專題11.5用一元一次不等式解決問題（知識講解）【學習目標】1．會從實際問題中抽象出不等的數量關系，會用一元一次不等式解決實際問題；2.熟悉常見一些應用題中的數量關系．【要點梳理】要點一、常見的一些等量關系1.行程問題：路程＝速度×時間2.工程問題：工作量＝工作效率×工作時間，各部分勞動量之和＝總量3.利潤問題：商品利潤＝商品售價－商品進價，4.和差倍分問題：增長量＝原有量×增長率5.銀行存貸款問題：本息和＝本金+利息，利息＝本金×利率6.數字問題：多位數的表示方法：例如：.要點二、列不等式解決實際問題列一元一次不等式解應用題與列一元一次方程解應用題類似，通常也需要經過以下幾個步驟：(1)審：認真審題，分清已知量、未知量及其關系，找出題中不等關系要抓住題中的關鍵字眼，如“大于”、“小于”、“不大于”、“至少”、“不超過”、“超過”等；(2)設：設出適當的未知數；(3)列：根據題中的不等關系，列出不等式；(4)解：解所列的不等式；(5)答：寫出答案，并檢驗是否符合題意．特別說明：(1)列不等式的關鍵在于確定不等關系；(2)求得不等關系的解集后，應根據題意，把實際問題的解求出來；(3)構建不等關系解應用題的流程如圖所示．（4）用不等式解決應用問題，有一點要特別注意：在設未知數時，表示不等關系的文字如“至少”不能出現，即應給出肯定的未知數的設法，然后在最后寫答案時，應把表示不等關系的文字補上．如：若“設還需要B型車x輛”，而在答中應為“至少需要11輛B型車”．這一點應十分注意．【典型例題】類型一、行程問題1.油電混動汽車是一種節(jié)油、環(huán)保的新技術汽車．某品牌油電混動汽車售價是16.48萬元，百公里燃油成本20元；同一品牌的普通汽車售價16萬元，百公里燃油成本50元．問至少行駛多少公里油電混動汽車的總成本不高于普通汽車的總成本？【答案】行駛的公里數至少為16000公里．【分析】設行駛的公里數為x公里，根據題意列出不等式即可得出答案．解：設行駛的公里數為x公里，根據題意得：164800＋x≤160000＋x，解得：x≥16000．答：行駛的公里數至少為16000公里．【總結升華】本題考查了一元一次不等式的應用，根據各數量之間的關系，正確列出一元一次不等式是解題的關鍵．類型二、工程問題2.計劃對河道進行改造，現有甲乙兩個工程隊參加改造施工，受條件限制，每天只能由一個工程隊施工．若甲工程隊先單獨施工天，再由乙工程隊單獨施工天，則可以完成米施工任務：若甲工程隊先單獨施工天，再由乙工程對單獨施工天，則可以完成米的施工任務．（1）求甲、乙兩個工程隊平均每天分別能完成多少米施工任務？（2）該河道全長米，若兩隊合作工期不能超過天，乙工程隊至少施工多少天？【答案】（1）甲工程隊每天能完成施工任務米，乙工程隊每天能完成施工任務米；（2）乙工程隊至少施工天【分析】（1）設甲工程隊每天施工x米，乙工程隊每天施工y米，根據等量關系列出二元一次方程組，即可求解；（2）設乙工程隊施工a天，根據不等量關系，列出一元一次不等式，即可求解．解：（1）設甲工程隊每天施工x米，乙工程隊每天施工y米，根據題意得：，解得：，答：甲工程隊每天能完成施工任務米，乙工程隊每天能完成施工任務米；（2）設乙工程隊施工a天，根據題意得：80a+50（90-a）≥6000，解得：a≥50，答：乙工程隊至少施工天【總結升華】本題主要考查二元一次方程組與一元一次不等式的實際應用，找出等量關系和不等量關系，列出方程組和不等式，是解題的關鍵．舉一反三：【變式】某工廠計劃m天生產2160個零件，安排15名工人每人每天加工a個零件（a為整數）恰好完成．（1）直接寫出a與m的數量關系：；（2）若原計劃16天完成生產任務，但實際開工6天后，有3名工人外出參加培訓，如果剩下的工人要在規(guī)定時間里完成這批零件生產任務，每人每天至少要多加工多少個零件？【答案】（1）a＝；（2）3個【分析】（1）根據工作總量=參加工作的人數×人均工作效率×工作時間，即可得出a與m的數量關系；

（2）將m=16代入a=中求出a的值，設每人每天多加工x個零件，根據要在規(guī)定時間里完成這批零件生產任務，即可得出關于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范圍，再取其中最小整數值即可得出結論．【詳解】（1）依題意得：15am＝2160，∴a＝，即a＝．故答案為：a＝．（2）當m＝16時，a＝＝9．設每人每天多加工x個零件，依題意得：15×9×6＋（15﹣3）×（16﹣6）×（9＋x）≥2160，解得：x≥，又∵x為正整數，∴x的最小值為3．答：每人每天至少要多加工3個零件．【總結升華】本題考查了一元一次不等式的應用以及列代數式，解題的關鍵是：（1）根據各數量之間的關系，找出a，m之間的數量關系；（2）根據各數量之間的關系，正確列出一元一次不等式．類型三、方案選擇3.（2021·浙江寧波市·八年級期末）倡導垃圾分類，共享綠色生活．為了對回收的垃圾進行更精準的分類，某垃圾處理廠計劃向機器人公司購買A型號和B型號垃圾分揀機器人共60臺，其中B型號機器人不少于A型號機器人的1.4倍．（1）該垃圾處理廠最多購買幾臺A型號機器人？（2）機器人公司報價A型號機器人6萬元/臺，B型號機器人10萬元/臺，要使總費用不超過510萬元，則共有幾種購買方案？【答案】（1）25臺；（2）3種【分析】（1）設該垃圾處理廠購買x臺A型號機器人，根據“B型號機器人不少于A型號機器人的1.4倍”列出不等式求解即可；（2）根據“總費用不超過510萬元”列出不等式，結合（1）中不等式的解和x為整數，即可得出共有3種方案．解：（1）設該垃圾處理廠購買x臺A型號機器人．由題意得，解得，∴該垃圾處理廠最多購買25臺A型號機器人；（2），解得，，且x為整數，或24或25，答：共有3種購買方案．【點撥】本題考查一元一次不等式的應用．能根據題中不等關系列出不等式是解題關鍵．舉一反三：【變式】（2021·山東濟寧市·七年級期末）某市出租車的起步價是7元（起步價是指不超過行程的出租車價格），超過3km行程后，其中除的行程按起步價計費外，超過部分按每千米1.6元計費（不足按計算）．如果僅去程乘出租車而回程時不乘坐此車，并且去程超過，那么顧客還需付回程的空駛費，超過部分按每千米0.8元計算空駛費（即超過部分實際按每千米2.4元計費）．如果往返都乘同一出租車并且中間等候時間不超過3分鐘，則不收取空駛費而加收1.6元等候費．現設小文等4人從市中心A處到相距（）的B處辦事，在B處停留的時間在3分鐘以內，然后返回A處．現在有兩種往返方案：方案一：去時4人同乘一輛出租車，返回都乘公交車（公交車票為每人2元）；方案二：4人乘同一輛出租車往返．問選擇哪種計費方式更省錢？（寫出過程）【答案】當x小于5時，方案二省錢；當x=5時，兩種方案費用相同；當x大于5且不大于12時時，方案一省錢【分析】先根據題意列出方案一的費用：起步價+超過3km的km數×1.6元+回程的空駛費+乘公交的費用，再求出方案二的費用：起步價+超過3km的km數×1.6元+返回時的費用1.6x+1.6元的等候費，最后分三種情況比較兩個式子的大小．解：方案一的費用：7+（x-3）×1.6+0.8（x-3）+4×2=7+1.6x-4.8+0.8x-2.4+8=7.8+2.4x，方案二的費用：7+（x-3）×1.6+1.6x+1.6=7+1.6x-4.8+1.6x+1.6=3.8+3.2x，①費用相同時x的值7.8+2.4x=3.8+3.2x，解得x=5，所以當x=5km時費用相同；②方案一費用高時x的值7.8+2.4x＞3.8+3.2x，解得x＜5，所以當x＜5km方案二省錢；③方案二費用高時x的值7.8+2.4x＜3.8+3.2x，解得x＞5，所以當x＞5km方案一省錢．【點撥】此題考查了應用類問題，解答本題的關鍵是根據題目所示的收費標準，列出x的關系式，再比較．類型四、幾何問題4.（2020·哈爾濱市虹橋初級中學校七年級月考）如圖，在平面直角坐標系中，點O為坐標原點．△ABC的邊BC在x軸上，A（0，4）．B、C兩點的坐標分別為B（m，0）、C（n，0），且m、n滿足：．（1）求線段BC的長．（2）若點P從點B出發(fā)，以每秒2個單位的速度沿射線BO勻速運動，點Q從點C出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿線段CB向終點B勻速運動，當一個點停止運動時，另一個點也停止運動．如果時間為t，PQ的長度為d，請用含t的式子表示d．（3）在（2）的條件下，若△APQ的面積不小于△ABC的面積的二分之一，求出t的范圍．【答案】（1）BC＝8；（2）當0≤t≤時，d＝8﹣3t；當＜t≤8時，d＝3t﹣8；（3）0≤t≤或4≤t≤8．【分析】（1）解方程組可求m，n的值，即可求解；（2）分相遇前和相遇后兩種情況討論，由路程＝速度×時間，可求解；（3）分兩種情況討論，由面積公式列出不等式，即可求解．解：（1）∵m、n滿足：，∴解得，∴點B（﹣5，0），點C（3，0），∴BC＝8；（2）點B（﹣5，0），點C（3，0），分兩種情況討論：當0≤t≤時，即點P、Q相遇前，d＝8﹣3t；當＜t≤8時，當P、Q相遇后，d＝3t﹣8，綜上所述，d＝8﹣3t或d＝3t﹣8；（3）當0≤t≤時，∵△APQ的面積不小于△ABC的面積的二分之一，∴×4×（8﹣3t）≥××4×8，∴t≤，∴0≤t≤；當＜t≤8時，∵△APQ的面積不小于△ABC的面積的二分之一，∴×4×（3t﹣8）≥××4×8，∴t≥4，∴4≤t≤8，綜上所述：當0≤t≤或4≤t≤8時，△APQ的面積不小于△ABC的面積的二分之一．【點撥】本題考查二元一次方程組的解法，其中涉及分類討論法、線段上的動點與線段的和差、一元一次不等式等知識，是重要考點，難度一般，掌握相關知識是解題關鍵．舉一反三：【變式】如圖，在矩形ABCD中，AB＝2cm，BC＝4cm．點M從A出發(fā)，沿矩形的邊A→B→C運動，速度為1.5cm/s；點N從B出發(fā)，沿矩形的邊B→C→D