專(zhuān)題11.5-用一元一次不等式解決問(wèn)題(知識(shí)講解)七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)基礎(chǔ)知識(shí)專(zhuān)項(xiàng)講練(蘇科版)

專(zhuān)題11.5用一元一次不等式解決問(wèn)題（知識(shí)講解）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1．會(huì)從實(shí)際問(wèn)題中抽象出不等的數(shù)量關(guān)系，會(huì)用一元一次不等式解決實(shí)際問(wèn)題；2.熟悉常見(jiàn)一些應(yīng)用題中的數(shù)量關(guān)系．【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、常見(jiàn)的一些等量關(guān)系1.行程問(wèn)題：路程＝速度×?xí)r間2.工程問(wèn)題：工作量＝工作效率×工作時(shí)間，各部分勞動(dòng)量之和＝總量3.利潤(rùn)問(wèn)題：商品利潤(rùn)＝商品售價(jià)－商品進(jìn)價(jià)，4.和差倍分問(wèn)題：增長(zhǎng)量＝原有量×增長(zhǎng)率5.銀行存貸款問(wèn)題：本息和＝本金+利息，利息＝本金×利率6.數(shù)字問(wèn)題：多位數(shù)的表示方法：例如：.要點(diǎn)二、列不等式解決實(shí)際問(wèn)題列一元一次不等式解應(yīng)用題與列一元一次方程解應(yīng)用題類(lèi)似，通常也需要經(jīng)過(guò)以下幾個(gè)步驟：(1)審：認(rèn)真審題，分清已知量、未知量及其關(guān)系，找出題中不等關(guān)系要抓住題中的關(guān)鍵字眼，如“大于”、“小于”、“不大于”、“至少”、“不超過(guò)”、“超過(guò)”等；(2)設(shè)：設(shè)出適當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)；(3)列：根據(jù)題中的不等關(guān)系，列出不等式；(4)解：解所列的不等式；(5)答：寫(xiě)出答案，并檢驗(yàn)是否符合題意．特別說(shuō)明：(1)列不等式的關(guān)鍵在于確定不等關(guān)系；(2)求得不等關(guān)系的解集后，應(yīng)根據(jù)題意，把實(shí)際問(wèn)題的解求出來(lái)；(3)構(gòu)建不等關(guān)系解應(yīng)用題的流程如圖所示．（4）用不等式解決應(yīng)用問(wèn)題，有一點(diǎn)要特別注意：在設(shè)未知數(shù)時(shí)，表示不等關(guān)系的文字如“至少”不能出現(xiàn)，即應(yīng)給出肯定的未知數(shù)的設(shè)法，然后在最后寫(xiě)答案時(shí)，應(yīng)把表示不等關(guān)系的文字補(bǔ)上．如：若“設(shè)還需要B型車(chē)x輛”，而在答中應(yīng)為“至少需要11輛B型車(chē)”．這一點(diǎn)應(yīng)十分注意．【典型例題】類(lèi)型一、行程問(wèn)題1.油電混動(dòng)汽車(chē)是一種節(jié)油、環(huán)保的新技術(shù)汽車(chē)．某品牌油電混動(dòng)汽車(chē)售價(jià)是16.48萬(wàn)元，百公里燃油成本20元；同一品牌的普通汽車(chē)售價(jià)16萬(wàn)元，百公里燃油成本50元．問(wèn)至少行駛多少公里油電混動(dòng)汽車(chē)的總成本不高于普通汽車(chē)的總成本？【答案】行駛的公里數(shù)至少為16000公里．【分析】設(shè)行駛的公里數(shù)為x公里，根據(jù)題意列出不等式即可得出答案．解：設(shè)行駛的公里數(shù)為x公里，根據(jù)題意得：164800＋x≤160000＋x，解得：x≥16000．答：行駛的公里數(shù)至少為16000公里．【總結(jié)升華】本題考查了一元一次不等式的應(yīng)用，根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式是解題的關(guān)鍵．類(lèi)型二、工程問(wèn)題2.計(jì)劃對(duì)河道進(jìn)行改造，現(xiàn)有甲乙兩個(gè)工程隊(duì)參加改造施工，受條件限制，每天只能由一個(gè)工程隊(duì)施工．若甲工程隊(duì)先單獨(dú)施工天，再由乙工程隊(duì)單獨(dú)施工天，則可以完成米施工任務(wù)：若甲工程隊(duì)先單獨(dú)施工天，再由乙工程對(duì)單獨(dú)施工天，則可以完成米的施工任務(wù)．（1）求甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)平均每天分別能完成多少米施工任務(wù)？（2）該河道全長(zhǎng)米，若兩隊(duì)合作工期不能超過(guò)天，乙工程隊(duì)至少施工多少天？【答案】（1）甲工程隊(duì)每天能完成施工任務(wù)米，乙工程隊(duì)每天能完成施工任務(wù)米；（2）乙工程隊(duì)至少施工天【分析】（1）設(shè)甲工程隊(duì)每天施工x米，乙工程隊(duì)每天施工y米，根據(jù)等量關(guān)系列出二元一次方程組，即可求解；（2）設(shè)乙工程隊(duì)施工a天，根據(jù)不等量關(guān)系，列出一元一次不等式，即可求解．解：（1）設(shè)甲工程隊(duì)每天施工x米，乙工程隊(duì)每天施工y米，根據(jù)題意得：，解得：，答：甲工程隊(duì)每天能完成施工任務(wù)米，乙工程隊(duì)每天能完成施工任務(wù)米；（2）設(shè)乙工程隊(duì)施工a天，根據(jù)題意得：80a+50（90-a）≥6000，解得：a≥50，答：乙工程隊(duì)至少施工天【總結(jié)升華】本題主要考查二元一次方程組與一元一次不等式的實(shí)際應(yīng)用，找出等量關(guān)系和不等量關(guān)系，列出方程組和不等式，是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式】某工廠計(jì)劃m天生產(chǎn)2160個(gè)零件，安排15名工人每人每天加工a個(gè)零件（a為整數(shù)）恰好完成．（1）直接寫(xiě)出a與m的數(shù)量關(guān)系：；（2）若原計(jì)劃16天完成生產(chǎn)任務(wù)，但實(shí)際開(kāi)工6天后，有3名工人外出參加培訓(xùn)，如果剩下的工人要在規(guī)定時(shí)間里完成這批零件生產(chǎn)任務(wù)，每人每天至少要多加工多少個(gè)零件？【答案】（1）a＝；（2）3個(gè)【分析】（1）根據(jù)工作總量=參加工作的人數(shù)×人均工作效率×工作時(shí)間，即可得出a與m的數(shù)量關(guān)系；

（2）將m=16代入a=中求出a的值，設(shè)每人每天多加工x個(gè)零件，根據(jù)要在規(guī)定時(shí)間里完成這批零件生產(chǎn)任務(wù)，即可得出關(guān)于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范圍，再取其中最小整數(shù)值即可得出結(jié)論．【詳解】（1）依題意得：15am＝2160，∴a＝，即a＝．故答案為：a＝．（2）當(dāng)m＝16時(shí)，a＝＝9．設(shè)每人每天多加工x個(gè)零件，依題意得：15×9×6＋（15﹣3）×（16﹣6）×（9＋x）≥2160，解得：x≥，又∵x為正整數(shù)，∴x的最小值為3．答：每人每天至少要多加工3個(gè)零件．【總結(jié)升華】本題考查了一元一次不等式的應(yīng)用以及列代數(shù)式，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，找出a，m之間的數(shù)量關(guān)系；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式．類(lèi)型三、方案選擇3.（2021·浙江寧波市·八年級(jí)期末）倡導(dǎo)垃圾分類(lèi)，共享綠色生活．為了對(duì)回收的垃圾進(jìn)行更精準(zhǔn)的分類(lèi)，某垃圾處理廠計(jì)劃向機(jī)器人公司購(gòu)買(mǎi)A型號(hào)和B型號(hào)垃圾分揀機(jī)器人共60臺(tái)，其中B型號(hào)機(jī)器人不少于A型號(hào)機(jī)器人的1.4倍．（1）該垃圾處理廠最多購(gòu)買(mǎi)幾臺(tái)A型號(hào)機(jī)器人？（2）機(jī)器人公司報(bào)價(jià)A型號(hào)機(jī)器人6萬(wàn)元/臺(tái)，B型號(hào)機(jī)器人10萬(wàn)元/臺(tái)，要使總費(fèi)用不超過(guò)510萬(wàn)元，則共有幾種購(gòu)買(mǎi)方案？【答案】（1）25臺(tái)；（2）3種【分析】（1）設(shè)該垃圾處理廠購(gòu)買(mǎi)x臺(tái)A型號(hào)機(jī)器人，根據(jù)“B型號(hào)機(jī)器人不少于A型號(hào)機(jī)器人的1.4倍”列出不等式求解即可；（2）根據(jù)“總費(fèi)用不超過(guò)510萬(wàn)元”列出不等式，結(jié)合（1）中不等式的解和x為整數(shù)，即可得出共有3種方案．解：（1）設(shè)該垃圾處理廠購(gòu)買(mǎi)x臺(tái)A型號(hào)機(jī)器人．由題意得，解得，∴該垃圾處理廠最多購(gòu)買(mǎi)25臺(tái)A型號(hào)機(jī)器人；（2），解得，，且x為整數(shù)，或24或25，答：共有3種購(gòu)買(mǎi)方案．【點(diǎn)撥】本題考查一元一次不等式的應(yīng)用．能根據(jù)題中不等關(guān)系列出不等式是解題關(guān)鍵．舉一反三：【變式】（2021·山東濟(jì)寧市·七年級(jí)期末）某市出租車(chē)的起步價(jià)是7元（起步價(jià)是指不超過(guò)行程的出租車(chē)價(jià)格），超過(guò)3km行程后，其中除的行程按起步價(jià)計(jì)費(fèi)外，超過(guò)部分按每千米1.6元計(jì)費(fèi)（不足按計(jì)算）．如果僅去程乘出租車(chē)而回程時(shí)不乘坐此車(chē)，并且去程超過(guò)，那么顧客還需付回程的空駛費(fèi)，超過(guò)部分按每千米0.8元計(jì)算空駛費(fèi)（即超過(guò)部分實(shí)際按每千米2.4元計(jì)費(fèi)）．如果往返都乘同一出租車(chē)并且中間等候時(shí)間不超過(guò)3分鐘，則不收取空駛費(fèi)而加收1.6元等候費(fèi)．現(xiàn)設(shè)小文等4人從市中心A處到相距（）的B處辦事，在B處停留的時(shí)間在3分鐘以?xún)?nèi)，然后返回A處．現(xiàn)在有兩種往返方案：方案一：去時(shí)4人同乘一輛出租車(chē)，返回都乘公交車(chē)（公交車(chē)票為每人2元）；方案二：4人乘同一輛出租車(chē)往返．問(wèn)選擇哪種計(jì)費(fèi)方式更省錢(qián)？（寫(xiě)出過(guò)程）【答案】當(dāng)x小于5時(shí)，方案二省錢(qián)；當(dāng)x=5時(shí)，兩種方案費(fèi)用相同；當(dāng)x大于5且不大于12時(shí)時(shí)，方案一省錢(qián)【分析】先根據(jù)題意列出方案一的費(fèi)用：起步價(jià)+超過(guò)3km的km數(shù)×1.6元+回程的空駛費(fèi)+乘公交的費(fèi)用，再求出方案二的費(fèi)用：起步價(jià)+超過(guò)3km的km數(shù)×1.6元+返回時(shí)的費(fèi)用1.6x+1.6元的等候費(fèi)，最后分三種情況比較兩個(gè)式子的大?。猓悍桨敢坏馁M(fèi)用：7+（x-3）×1.6+0.8（x-3）+4×2=7+1.6x-4.8+0.8x-2.4+8=7.8+2.4x，方案二的費(fèi)用：7+（x-3）×1.6+1.6x+1.6=7+1.6x-4.8+1.6x+1.6=3.8+3.2x，①費(fèi)用相同時(shí)x的值7.8+2.4x=3.8+3.2x，解得x=5，所以當(dāng)x=5km時(shí)費(fèi)用相同；②方案一費(fèi)用高時(shí)x的值7.8+2.4x＞3.8+3.2x，解得x＜5，所以當(dāng)x＜5km方案二省錢(qián)；③方案二費(fèi)用高時(shí)x的值7.8+2.4x＜3.8+3.2x，解得x＞5，所以當(dāng)x＞5km方案一省錢(qián)．【點(diǎn)撥】此題考查了應(yīng)用類(lèi)問(wèn)題，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)題目所示的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)，列出x的關(guān)系式，再比較．類(lèi)型四、幾何問(wèn)題4.（2020·哈爾濱市虹橋初級(jí)中學(xué)校七年級(jí)月考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)．△ABC的邊BC在x軸上，A（0，4）．B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為B（m，0）、C（n，0），且m、n滿(mǎn)足：．（1）求線段BC的長(zhǎng)．（2）若點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度沿射線BO勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿線段CB向終點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)一個(gè)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)．如果時(shí)間為t，PQ的長(zhǎng)度為d，請(qǐng)用含t的式子表示d．（3）在（2）的條件下，若△APQ的面積不小于△ABC的面積的二分之一，求出t的范圍．【答案】（1）BC＝8；（2）當(dāng)0≤t≤時(shí)，d＝8﹣3t；當(dāng)＜t≤8時(shí)，d＝3t﹣8；（3）0≤t≤或4≤t≤8．【分析】（1）解方程組可求m，n的值，即可求解；（2）分相遇前和相遇后兩種情況討論，由路程＝速度×?xí)r間，可求解；（3）分兩種情況討論，由面積公式列出不等式，即可求解．解：（1）∵m、n滿(mǎn)足：，∴解得，∴點(diǎn)B（﹣5，0），點(diǎn)C（3，0），∴BC＝8；（2）點(diǎn)B（﹣5，0），點(diǎn)C（3，0），分兩種情況討論：當(dāng)0≤t≤時(shí)，即點(diǎn)P、Q相遇前，d＝8﹣3t；當(dāng)＜t≤8時(shí)，當(dāng)P、Q相遇后，d＝3t﹣8，綜上所述，d＝8﹣3t或d＝3t﹣8；（3）當(dāng)0≤t≤時(shí)，∵△APQ的面積不小于△ABC的面積的二分之一，∴×4×（8﹣3t）≥××4×8，∴t≤，∴0≤t≤；當(dāng)＜t≤8時(shí)，∵△APQ的面積不小于△ABC的面積的二分之一，∴×4×（3t﹣8）≥××4×8，∴t≥4，∴4≤t≤8，綜上所述：當(dāng)0≤t≤或4≤t≤8時(shí)，△APQ的面積不小于△ABC的面積的二分之一．【點(diǎn)撥】本題考查二元一次方程組的解法，其中涉及分類(lèi)討論法、線段上的動(dòng)點(diǎn)與線段的和差、一元一次不等式等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，難度一般，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．舉一反三：【變式】如圖，在矩形ABCD中，AB＝2cm，BC＝4cm．點(diǎn)M從A出發(fā)，沿矩形的邊A→B→C運(yùn)動(dòng)，速度為1.5cm/s；點(diǎn)N從B出發(fā)，沿矩形的邊B→C→D