天津市和平區(qū)2024屆高三第三次質(zhì)量調(diào)查（三模）數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1天津市和平區(qū)2024屆高三第三次質(zhì)量調(diào)查（三模）數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.已知集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗，故.故選：A.2.命題“，”的否定為（）A.， B.，C.， D.，〖答案〗B〖解析〗命題“，”的否定為“，”.故選：B.3.設(shè)，，，則，，的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因為在定義域上單調(diào)遞減，所以，又在定義域上單調(diào)遞增，所以，在定義域上單調(diào)遞減，所以，所以.故選：B.4.若，則等于（）A. B.6 C. D.3〖答案〗C〖解析〗由，可得，即，所以.故選：C.5.已知數(shù)列滿足，，是數(shù)列的前項和，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因為，所以，由于，則，所以，所以數(shù)列是以2為公比，2為首項的等比數(shù)列，所以，所以，所以，故選：D.6.下列說法中，正確的個數(shù)為（）①樣本相關(guān)系數(shù)的絕對值大小可以反映成對樣本數(shù)據(jù)之間線性相關(guān)的程度；②用不同的模型擬合同一組數(shù)據(jù)，則殘差平方和越小的模型擬合的效果越好；③隨機變量服從正態(tài)分布，若，則；④隨機變量服從二項分布，若方差，則．A.1個 B.2個 C.3個 D.4個〖答案〗C〖解析〗相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近于1，成對樣本數(shù)據(jù)之間線性相關(guān)的程度越強，故①正確；用不同的模型擬合同一組數(shù)據(jù)，則殘差平方和越小的模型擬合的效果越好，故②正確；已知隨機變量服從正態(tài)分布，若，則，故③正確；若隨機變量服從二項分布，則方差，所以，所以，所以或，故④錯誤.故選：C.7.已知正方體的棱長為6，點，分別在棱，上，且滿足，點為底面的中心，過點，，作平面，則平面截正方體所得的截面面積為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗連接，，與交點即為，因為，所以‖，因為‖，所以‖，所以共面，所以平面截正方體所得的截面為梯形，因為正方體的棱長為6，且，所以，在中，，則，在中，，則，在，，則，過作于，則，所以,所以等腰梯形的面積為,故選：A.8.已知函數(shù)（，且），，若函數(shù)在區(qū)間上恰有3個極大值點，則的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗，，，函數(shù)在區(qū)間上恰有3個極大值點，故，解得.故選：D.9.雙曲線與拋物線交于，兩點，若拋物線與雙曲線的兩條漸近線分別交于兩點，（點，均異于原點），且與分別過，的焦點，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗設(shè)雙曲線的兩個焦點分別為，拋物線的焦點為，由過的焦點，可設(shè)，，又在雙曲線上，可得，由，解得由過的焦點，可得，即有，代入，可得，解得，則.故選：C.二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分．試題中包含兩個空的，答對1個的給3分，全部答對的給5分）10.為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)的虛部為______．〖答案〗〖解析〗因為，所以，所以復(fù)數(shù)的虛部為，故〖答案〗為：.11.在的展開式中，常數(shù)項為______（請用數(shù)字作答）．〖答案〗〖解析〗二項式展開式的通項公式為：，由或，得或，所以展開式的常數(shù)項為.12.拋擲兩顆質(zhì)地均勻的骰子，其中白色骰子與黑色骰子各一顆，記事件為“白色骰子的點數(shù)為或”，事件為“兩顆骰子點數(shù)之和大于”，則______；______．〖答案〗〖解析〗拋擲白、黑兩顆骰子，事件總數(shù)為，事件的基本事件數(shù)為，易知，用中的表示拋擲白、黑兩顆骰子的點數(shù)，則事件包含：，，所以，，所以，.13.已知圓以點為圓心，且與直線相切，則滿足以上條件的圓的半徑最大時，圓的標準方程為______．〖答案〗〖解析〗直線，可化為，所以，解得，所以直線過定點，當(dāng)與直線垂直時，圓的半徑最大，半徑為，所以圓的標準方程為.14.已知中，點是中點，點滿足，記，，請用，表示______；若，向量在向量上的投影向量的模的最小值為______．〖答案〗〖解析〗根據(jù)題意，可得，由點是中點，可得，所以，向量在向量上的投影向量，因為，所以，所以向量在向量上的投影向量的模為：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以向量在向量上的投影向量的模的最小值為.15.已知函數(shù)，，且有，若關(guān)于的方程有8個相異實根，則實數(shù)的取值范圍為______．〖答案〗〖解析〗由題意設(shè)，，由此可知，的對稱軸均為，且當(dāng)時，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，當(dāng)時，單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，且，由此可以畫出這兩函數(shù)的大致圖像如圖所示：所以，所以直線與函數(shù)至多有4個不同的交點，關(guān)于方程至多有2個不同的根，由題意若關(guān)于的方程有8個相異實根，則當(dāng)且僅當(dāng)兩個關(guān)于的方程，共有8個不同的根，其中，，是關(guān)于的方程的兩個根，令，則關(guān)于的方程有兩個不同的根，，即有兩個不同的根，，設(shè)，由對勾函數(shù)性質(zhì)得，當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，單調(diào)遞減，所以，，所以有兩個不同的根，，當(dāng)且僅當(dāng)，綜上所述：實數(shù)的取值范圍是.三、解答題（本大題共5小題，共75分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）16.在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，若，，的面積為，．（1）求的值；（2）求的值；（3）求的值．解：（1）因為．由正弦定理有①．又因為，所以，代入①式有．又因為三角形內(nèi)角，因此，所以，．（2）因為的面積為，即，所以②．又由余弦定理，，可得③．因為．由②③式可知，．（3）由正弦定理有，有，，，，．17.如圖，平面平面，，，，．（1）求直線與平面所成角的大??；（2）求平面與平面所成夾角的正弦值；（3）求點到平面的距離．解：（1）因為平面平面，平面平面，，平面，所以平面，又因為，則以點為坐標原點，，，的方向分別為軸，軸，軸的正方向，建立如下圖所示的空間直角坐標系，由已知，所以，，，，．因為,平面的法向量為，設(shè)直線與平面所成角為，則，又，所以直線與平面所成角為．（2）設(shè)平面的法向量為，，則，令，則，又因為設(shè)平面與平面所成夾角為，則，又，所以，所以平面與平面所成夾角的正弦值為．（3）因為，平面的法向量為，所以點到平面的距離為．18.已知橢圓的焦距為，離心率為．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)直線與橢圓相交于不同兩點，已知點的坐標為，點在線段的垂直平分線上，且滿足，求的值．解：（1）設(shè)橢圓焦距為，依題意：，解得又因為，所以，所以，橢圓的方程為．（2）由（1）可知，設(shè)點，，中點為，（?。┤糁本€的斜率不存在，，線段的垂直平分線為軸，，代入，，有．（ⅱ）如圖所示：若直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，整理得，解得，（舍去），即，則中點，由題意，所以．線段的垂直平分線方程為，令，則，所以，，，，解得，代入，則，綜上：或．19.等差數(shù)列的前項和為，（且），．（1）求的通項公式與前項和；（2）記，當(dāng)，時，試比較與的大??；（3）若，正項等比數(shù)列中，首項，數(shù)列是公比為4的等比數(shù)列，且，求的通項公式與．解：（1）設(shè)數(shù)列公差為，由公式，，又，有，所以．則，．（2）因為，所以有，，，，，當(dāng)，時，，即，所以，當(dāng)時，；當(dāng)時，．（3）因為，所以，設(shè)正項等比數(shù)列的公比為，，所以，因為，所以，又，，設(shè)①，則②，①式-②式得，，所以，，所以，.20.已知函數(shù)，，．（1）若，函數(shù)存在斜率為3的切線，求實數(shù)的取值范圍；（2）若，試討論函數(shù)的單調(diào)性；（3）若，設(shè)函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象交于兩點，過線段的中點作軸的垂線分別交于點，問是否存在點，使在處的切線與在處的切線平行？若存在，求出點的橫坐標；若不存在，請說明理由．解：（1）因為，所以，，因為函數(shù)存在斜率為3的切線，所以在有解，所以，得，所以實數(shù)的取值范圍為.（2）因為，所以，，令，即，，（ⅰ）當(dāng)時，即，，在上單調(diào)遞增．（ⅱ）當(dāng)時，即，或，有兩根，，，①當(dāng)時，，時，，在上單調(diào)遞增．②當(dāng)時，，時，，時，，時，，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．