2025屆江蘇省常州市前黃國際中學高三3月高考診斷性測試（一模）數學試題試卷含解析

2025屆江蘇省常州市前黃國際中學高三3月高考診斷性測試（一模）數學試題試卷注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知復數滿足，則的最大值為（）A． B． C． D．62．已知雙曲線的一條漸近線方程為，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．3．已知實數，滿足，則的最大值等于()A．2 B． C．4 D．84．在中，角、、所對的邊分別為、、，若，則（）A． B． C． D．5．已知數列的前項和為，且，，則()A． B． C． D．6．博覽會安排了分別標有序號為“1號”“2號”“3號”的三輛車，等可能隨機順序前往酒店接嘉賓．某嘉賓突發(fā)奇想，設計兩種乘車方案．方案一：不乘坐第一輛車，若第二輛車的車序號大于第一輛車的車序號，就乘坐此車，否則乘坐第三輛車；方案二：直接乘坐第一輛車．記方案一與方案二坐到“3號”車的概率分別為P1，P2，則（）A．P1?P2＝ B．P1＝P2＝ C．P1+P2＝ D．P1＜P27．如圖所示，三國時代數學家在《周脾算經》中利用弦圖，給出了勾股定理的絕妙證明.圖中包含四個全等的直角三角形及一個小正方形（陰影），設直角三角形有一個內角為，若向弦圖內隨機拋擲200顆米粒（大小忽略不計，?。瑒t落在小正方形（陰影）內的米粒數大約為（）A．20 B．27 C．54 D．648．已知雙曲線的左、右焦點分別為，，點P是C的右支上一點，連接與y軸交于點M，若（O為坐標原點），，則雙曲線C的漸近線方程為（）A． B． C． D．9．設、分別是定義在上的奇函數和偶函數，且，則（）A． B．0 C．1 D．310．關于函數有下述四個結論：（）①是偶函數；②在區(qū)間上是單調遞增函數；③在上的最大值為2；④在區(qū)間上有4個零點.其中所有正確結論的編號是（）A．①②④ B．①③ C．①④ D．②④11．下列與的終邊相同的角的表達式中正確的是()A．2kπ＋45°(k∈Z) B．k·360°＋π(k∈Z)C．k·360°－315°(k∈Z) D．kπ＋(k∈Z)12．已知拋物線上一點的縱坐標為4，則點到拋物線焦點的距離為（）A．2 B．3 C．4 D．5二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若方程有兩個不等實根，則實數的取值范圍是_____________.14．如圖，兩個同心圓的半徑分別為和，為大圓的一條直徑，過點作小圓的切線交大圓于另一點，切點為，點為劣弧上的任一點（不包括兩點），則的最大值是__________．15．某公司生產甲、乙兩種桶裝產品.已知生產甲產品1桶需耗原料1千克、原料2千克；生產乙產品1桶需耗原料2千克，原料1千克.每桶甲產品的利潤是300元，每桶乙產品的利潤是400元.公司在生產這兩種產品的計劃中，要求每天消耗原料都不超過12千克.通過合理安排生產計劃，從每天生產的甲、乙兩種產品中，公司共可獲得的最大利潤是__________元.16．某種產品的質量指標值服從正態(tài)分布，且．某用戶購買了件這種產品，則這件產品中質量指標值位于區(qū)間之外的產品件數為_________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）隨著科技的發(fā)展，網絡已逐漸融入了人們的生活．網購是非常方便的購物方式，為了了解網購在我市的普及情況，某調查機構進行了有關網購的調查問卷，并從參與調查的市民中隨機抽取了男女各100人進行分析，從而得到表（單位：人）經常網購偶爾或不用網購合計男性50100女性70100合計（1）完成上表，并根據以上數據判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為我市市民網購與性別有關？（2）①現從所抽取的女市民中利用分層抽樣的方法抽取10人，再從這10人中隨機選取3人贈送優(yōu)惠券，求選取的3人中至少有2人經常網購的概率；②將頻率視為概率，從我市所有參與調查的市民中隨機抽取10人贈送禮品，記其中經常網購的人數為，求隨機變量的數學期望和方差．參考公式：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82818．（12分）中的內角，，的對邊分別是，，，若，.（1）求；（2）若，點為邊上一點，且，求的面積.19．（12分）班主任為了對本班學生的考試成績進行分析，決定從本班24名女同學，18名男同學中隨機抽取一個容量為7的樣本進行分析.（1）如果按照性別比例分層抽樣，可以得到多少個不同的樣本？（寫出算式即可，不必計算出結果）（2）如果隨機抽取的7名同學的數學，物理成績（單位：分）對應如下表：學生序號1234567數學成績60657075858790物理成績70778085908693①若規(guī)定85分以上（包括85分）為優(yōu)秀，從這7名同學中抽取3名同學，記3名同學中數學和物理成績均為優(yōu)秀的人數為，求的分布列和數學期望；②根據上表數據，求物理成績關于數學成績的線性回歸方程（系數精確到0.01）；若班上某位同學的數學成績?yōu)?6分，預測該同學的物理成績?yōu)槎嗌俜?？附：線性回歸方程，其中，.768381252620．（12分）設函數，.（1）求函數的極值；（2）對任意，都有，求實數a的取值范圍.21．（12分）在直角坐標系中，曲線的參數方程為以為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，設點在曲線上，點在曲線上，且為正三角形．（1）求點，的極坐標；（2）若點為曲線上的動點，為線段的中點，求的最大值．22．（10分）已知非零實數滿足．（1）求證：；（2）是否存在實數，使得恒成立？若存在，求出實數的取值范圍；若不存在，請說明理由

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．B【解析】

設，，利用復數幾何意義計算.【詳解】設，由已知，，所以點在單位圓上，而，表示點到的距離，故.故選：B.本題考查求復數模的最大值，其實本題可以利用不等式來解決.2．B【解析】

由題意得出的值，進而利用離心率公式可求得該雙曲線的離心率.【詳解】雙曲線的漸近線方程為，由題意可得，因此，該雙曲線的離心率為.故選：B.本題考查利用雙曲線的漸近線方程求雙曲線的離心率，利用公式計算較為方便，考查計算能力，屬于基礎題.3．D【解析】

畫出可行域，計算出原點到可行域上的點的最大距離，由此求得的最大值.【詳解】畫出可行域如下圖所示，其中，由于,，所以，所以原點到可行域上的點的最大距離為.所以的最大值為.故選：D本小題主要考查根據可行域求非線性目標函數的最值，考查數形結合的數學思想方法，屬于基礎題.4．D【解析】

利用余弦定理角化邊整理可得結果.【詳解】由余弦定理得：，整理可得：，.故選：.本題考查余弦定理邊角互化的應用，屬于基礎題.5．C【解析】

根據已知條件判斷出數列是等比數列，求得其通項公式，由此求得.【詳解】由于，所以數列是等比數列，其首項為，第二項為，所以公比為.所以，所以.故選：C本小題主要考查等比數列的證明，考查等比數列通項公式，屬于基礎題.6．C【解析】

將三輛車的出車可能順序一一列出，找出符合條件的即可.【詳解】三輛車的出車順序可能為：123、132、213、231、312、321方案一坐車可能：132、213、231，所以，P1＝；方案二坐車可能：312、321，所以，P1＝；所以P1+P2＝故選C.本題考查了古典概型的概率的求法，常用列舉法得到各種情況下基本事件的個數，屬于基礎題.7．B【解析】

設大正方體的邊長為，從而求得小正方體的邊長為，設落在小正方形內的米粒數大約為，利用概率模擬列方程即可求解。【詳解】設大正方體的邊長為，則小正方體的邊長為，設落在小正方形內的米粒數大約為，則，解得：故選：B本題主要考查了概率模擬的應用，考查計算能力，屬于基礎題。8．C【解析】

利用三角形與相似得，結合雙曲線的定義求得的關系，從而求得雙曲線的漸近線方程?！驹斀狻吭O，，由，與相似，所以，即，又因為，所以，，所以，即，，所以雙曲線C的漸近線方程為.故選：C.本題考查雙曲線幾何性質、漸近線方程求解，考查數形結合思想，考查邏輯推理能力和運算求解能力。9．C【解析】

先根據奇偶性，求出的解析式，令，即可求出。【詳解】因為、分別是定義在上的奇函數和偶函數，，用替換，得，化簡得，即令，所以，故選C。本題主要考查函數性質奇偶性的應用。10．C【解析】

根據函數的奇偶性、單調性、最值和零點對四個結論逐一分析，由此得出正確結論的編號.【詳解】的定義域為.由于，所以為偶函數，故①正確.由于，，所以在區(qū)間上不是單調遞增函數，所以②錯誤.當時，，且存在，使.所以當時，；由于為偶函數，所以時，所以的最大值為，所以③錯誤.依題意，，當時，，所以令，解得，令，解得.所以在區(qū)間，有兩個零點.由于為偶函數，所以在區(qū)間有兩個零點.故在區(qū)間上有4個零點.所以④正確.綜上所述，正確的結論序號為①④.故選：C本小題主要考查三角函數的奇偶性、單調性、最值和零點，考查化歸與轉化的數學思想方法，屬于中檔題.11．C【解析】

利用終邊相同的角的公式判斷即得正確答案.【詳解】與的終邊相同的角可以寫成2kπ＋(k∈Z)，但是角度制與弧度制不能混用，所以只有答案C正確.故答案為C（1）本題主要考查終邊相同的角的公式，意在考查學生對該知識的掌握水平和分析推理能力.(2)與終邊相同的角=+其中.12．D【解析】試題分析：拋物線焦點在軸上，開口向上，所以焦點坐標為，準線方程為，因為點A的縱坐標為4，所以點A到拋物線準線的距離為，因為拋物線上的點到焦點的距離等于到準線的距離，所以點A與拋物線焦點的距離為5.考點：本小題主要考查應用拋物線定義和拋物線上點的性質拋物線上的點到焦點的距離，考查學生的運算求解能力.點評：拋物線上的點到焦點的距離等于到準線的距離，這條性質在解題時經常用到，可以簡化運算.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

由知x＞0，故.令，則.當時，；當時，.所以在（0，e）上遞增，在（e，+）上遞減.故，即.14．【解析】

以為坐標原點，所在的直線為軸，的垂直平分線為軸，建立平面直角坐標系，從而可得、，，，然后利用向量數量積的坐標運算可得，再根據輔助角公式以及三角函數的性質即可求解.【詳解】以為坐標原點，所在的直線為軸，的垂直平分線為軸，建立平面直角坐標系，則、，由，且，所以，所以，即又平分，所以，則,設，則，，所以，所以，，所以的最大值是.故答案為：本題考查了向量數量積的坐標運算、利用向量解決幾何問題，同時考查了輔助角公式以及三角函數的性質，屬于中檔題.15．1元【解析】設分別生產甲乙兩種產品為桶，桶，利潤為元

則根據題意可得目標函數，作出可行域，如圖所示作直線然后把直線向可行域平移，

由圖象知當直線經過時，目標函數的截距最大，此時最大，

由可得，即此時最大，

即該公司每天生產的甲4桶，乙4桶，可獲得最大利潤，最大利潤為1．【點睛】本題考查用線性規(guī)劃知識求利潤的最大值，根據條件建立不等式關系，以及利用線性規(guī)劃的知識進行求解是解決本題的關鍵．16．【解析】

直接計算，可得結果.【詳解】由題可知：則質量指標值位于區(qū)間之外的產品件數：故答案為：本題考查正太分布中原則，審清題意，簡單計算，屬基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）①；②數學期望為6，方差為2.4.【解析】

（1）完成列聯(lián)表，由列聯(lián)表，得，由此能在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為我市市民網購與性別有關．（2）①由題意所抽取的10名女市民中，經常網購的有人，偶爾或不用網購的有人，由此能選取的3人中至少有2人經常網購的概率．②由列聯(lián)表可知，抽到經常網購的市民的頻率為：，由題意，由此能求出隨機變量的數學期望和方差．【詳解】解：（1）完成列聯(lián)表（單位：人）：經常網購偶爾或不用網購合計男性5050100女性7030100合計12080200由列聯(lián)表，得：，∴能在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為我市市民網購與性別有關．（2）①由題意所抽取的10名女市民中，經常網購的有人，偶爾或不用網購的有人，∴選取的3人中至少有2人經常網購的概率為：．②由列聯(lián)表可知，抽到經常網購的市民的頻率為：，將頻率視為概率，∴從我市市民中任意抽取一人，恰好抽到經常網購市民的概率為0.6，由題意，∴隨機變量的數學期望，方差D（X）=．本題考查獨立檢驗的應用，考查概率、離散型隨機變量的分布列、數學期望、方差的求法，考查古典概型、二項分布等基礎知識，考查運算求解能力，是中檔題．18．（1）（2）10【解析】

（1）由二倍角的正弦公式以及正弦定理，可得，再根據二倍角的余弦公式計算即可；（2）由已知可得，利用余弦定理解出，由已知計算出與，再根據三角形的面積公式求出結果即可.【詳解】（1），，在中，由正弦定理得，，又，，，（2），，，由余弦定理得，，則，化簡得，，解得或（負值舍去），，，，，，的面積.本題考查了三角形面積公式以及正弦定理、余弦定理的應用，考查了二倍角公式的應用，考查了運算能力，屬于基礎題.19．（1）不同的樣本的個數為.（2）①分布列見解析，.②線性回歸方程為.可預測該同學的物理成績?yōu)?6分.【解析】

（1）按比例抽取即可，再用乘法原理計算不同的樣本數.（2）名學生中物理和數學都優(yōu)秀的有3名學生，任取3名學生，都優(yōu)秀的學生人數服從超幾何分布，故可得其概率分布列及其數學期望.而線性回歸方程的計算可用給出的公式計算，并利用得到的回歸方程預測該同學的物理成績.【詳解】（1）依據分層抽樣的方法，24名女同學中應抽取的人數為名，18名男同學中應抽取的人數為名，故不同的樣本的個數為.（2）①∵7名同學中數學和物理成績均為優(yōu)秀的人數為3名，∴的取值為0，1，2，3.∴，，，.∴的分布列為0123∴.②∵，.∴線性回歸方程為.當時，.可預測該同學的物理成績?yōu)?6分.在計算離散型隨機變量的概率時，注意利用常見的概率分布列來簡化計算（如二項分布、超幾何分布等）．20．（1）當時，無極值；當時，極小值為；（2）.【解析】

（1）求導，對參數進行分類討論，即可容易求得函數的極值；（2）構造函數，兩次求導，根據函數單調性，由恒成立問題求參數范圍即可.【詳解】（1）依題，當時，，函數在上單調遞增，此時函數無極值；當時，令，得，令，得所以函數