方程求根問題探索講義 高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

中外歷史上方程求根問題探索材料發(fā)散方向：1.求根公式（卡爾丹公式）2.伽羅瓦理論（群論）3.一類特殊的四次方程問題應(yīng)用舉例1．（多選題）群的概念由法國(guó)天才數(shù)學(xué)家伽羅瓦（1811-1832）在19世紀(jì)30年代開創(chuàng)，群論雖起源于對(duì)代數(shù)多項(xiàng)式方程的研究，但在量子力學(xué)?晶體結(jié)構(gòu)學(xué)等其他學(xué)科中也有十分廣泛的應(yīng)用.設(shè)是一個(gè)非空集合，“”是一個(gè)適用于中元素的運(yùn)算，若同時(shí)滿足以下四個(gè)條件，則稱對(duì)“”構(gòu)成一個(gè)群：（1）封閉性，即若，則存在唯一確定的，使得；（2）結(jié)合律成立，即對(duì)中任意元素都有；（3）單位元存在，即存在，對(duì)任意，滿足，則稱為單位元；（4）逆元存在，即任意，存在，使得，則稱與互為逆元，記作.一般地，可簡(jiǎn)記作可簡(jiǎn)記作可簡(jiǎn)記作，以此類推.正八邊形的中心為.以表示恒等變換，即不對(duì)正八邊形作任何變換；以表示以點(diǎn)為中心，將正八邊形逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)變換；以表示以所在直線為軸，將正八邊形進(jìn)行軸對(duì)稱變換.定義運(yùn)算“”表示復(fù)合變換，即表示將正八邊形先進(jìn)行變換再進(jìn)行變換的變換.以形如，并規(guī)定的變換為元素，可組成集合，則對(duì)運(yùn)算“”可構(gòu)成群，稱之為“正八邊形的對(duì)稱變換群”，記作.則以下關(guān)于及其元素的說法中，正確的有（

）A．，且B．與互為逆元C．中有無窮多個(gè)元素D．中至少存在三個(gè)不同的元素，它們的逆元都是其本身解析：我們有：由于兩次軸對(duì)稱等價(jià)與不變換，故；由于旋轉(zhuǎn)施行8次等價(jià)于旋轉(zhuǎn)也就是不變，故；由于先旋轉(zhuǎn)再關(guān)于對(duì)稱和先關(guān)于對(duì)稱再旋轉(zhuǎn)等效，故.一共是16個(gè)元素，變換后逆時(shí)針排列的有8個(gè)，順時(shí)針排列的有8個(gè).這就說明：，A正確；，B正確；一共是16個(gè)元素，C錯(cuò)誤；中，，D正確.故選：ABD2．（多選題）群的概念由數(shù)學(xué)家伽羅瓦在19世紀(jì)30年代開創(chuàng)，群論雖起源于對(duì)代數(shù)多項(xiàng)式方程的研究，但在量子力學(xué)、晶體結(jié)構(gòu)學(xué)等其他學(xué)科中也有十分廣泛的應(yīng)用.設(shè)是一個(gè)非空集合，“”是一個(gè)適用于中元素的運(yùn)算，若同時(shí)滿足以下四個(gè)條件，則稱對(duì)“”構(gòu)成一個(gè)群：（1）封閉性，即若，，則存在唯一確定的，使得；（2）結(jié)合律成立，即對(duì)中任意元素，，都有；（3）單位元存在，即存在，對(duì)任意，滿足，則稱為單位元；（4）逆元存在，即任意，存在，使得，則稱與互為逆元.根據(jù)以上信息，下列說法中錯(cuò)誤的是（

）A．關(guān)于數(shù)的乘法構(gòu)成群B．和均關(guān)于數(shù)的加法構(gòu)成群C．關(guān)于數(shù)的乘法構(gòu)成群D．平面向量集關(guān)于向量的數(shù)量積構(gòu)成群解析：對(duì)于A，、，有，且滿足（乘法結(jié)合律）；，使得，有；，，有，即關(guān)于數(shù)的乘法構(gòu)成群，故A正確；對(duì)于B，若，即為所有偶數(shù)組成的集合，、，有，且滿足（加法結(jié)合律），，使得，有；，，有，故關(guān)于數(shù)的加法構(gòu)成群；若，設(shè)、，，則，且對(duì)滿足，當(dāng)時(shí)，，滿足，，，使，故關(guān)于數(shù)的加法構(gòu)成群，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)?，且，但，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，設(shè)為平面向量集，、，但是為實(shí)數(shù)，即可，不滿足封閉性故平面向量集關(guān)于向量的數(shù)量積不構(gòu)成群，故D錯(cuò)誤；故選：CD3．（多選題）群論，是代數(shù)學(xué)的分支學(xué)科，在抽象代數(shù)中．有重要地位，且群論的研究方法也對(duì)抽象代數(shù)的其他分支有重要影響，例如一般一元五次及以上的方程沒有根式解就可以用群論知識(shí)證明．群的概念則是群論中最基本的概念之一，其定義如下：設(shè)G是一個(gè)非空集合，“．”是G上的一個(gè)代數(shù)運(yùn)算，如果該運(yùn)算滿足以下條件：①對(duì)所有的a、，有；②、b、，有；③，使得，有，e稱為單位元；④，，使，稱a與b互為逆元．則稱G關(guān)于“·”構(gòu)成一個(gè)群．則下列說法正確的有（

）A．關(guān)于數(shù)的乘法構(gòu)成群B．自然數(shù)集N關(guān)于數(shù)的加法構(gòu)成群C．實(shí)數(shù)集R關(guān)于數(shù)的乘法構(gòu)成群D．關(guān)于數(shù)的加法構(gòu)成群解析：對(duì)于A選項(xiàng)，對(duì)所有的、，有，且滿足①乘法結(jié)合律；②，使得，有；③，，有，故A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，①自然數(shù)滿足加法結(jié)合律；②，使得，有；但是對(duì)于，，不存在，使，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，對(duì)所有的、，有，①實(shí)數(shù)滿足加法結(jié)合律；②，使得，有；但對(duì)于，，不存在，使，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，對(duì)所有的、，可設(shè)，，，，，，則，①滿足加法結(jié)合律，即、、，有；②，使得，有；③，設(shè)，，，，使，故D正確．故選：AD．4．對(duì)一般的實(shí)系數(shù)一元三次方程，由于總可以通過代換消去其二次項(xiàng)，就可以變?yōu)榉匠蹋谝恍?shù)學(xué)工具書中，我們可以找到方程的求根公式，這一公式被稱為卡爾丹公式，它是以16世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家卡爾丹（J.Cardan）的名字命名的．卡爾丹公式的獲得過程如下：三次方程可以變形為，把未知數(shù)x寫成兩數(shù)之和，再把等式的右邊展開，就得到，即．將上式與相對(duì)照，得到，把此方程組中的第一個(gè)方程兩邊同時(shí)作三次方，，并把與看成未知數(shù)，解得，于是，方程一個(gè)根可以寫成．閱讀以上材料，求解方程．解析：令，方程化為：，令，則有，于是得，即，是關(guān)于的方程的二根，解得，即或，而，因此或，于是得，方程化為，解得或，因此或，所以方程的解為或或.下面討論一類特殊的四次方程問題：一個(gè)四次函數(shù)，把參數(shù)放在二次項(xiàng)上，即，做一次參數(shù)分離：，右邊利用或者，整體換元為二次函數(shù)即可.5.若函數(shù)的圖象恒在軸上方,則實(shí)數(shù)的取值范圍是A. B. C. D.解析：恒成立，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，其中，因?yàn)椋瑥亩?，因此?shí)數(shù)的取值范圍是，選A.6.已知曲線與無公共點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是A.B. C. D.解析:由于與無公共點(diǎn)，說明無實(shí)根，即無實(shí)數(shù)根..令則,由無實(shí)數(shù)根得無實(shí)數(shù)根，分別