2024-2025新教材高中數(shù)學(xué)課時(shí)檢測(cè)8點(diǎn)到直線的距離含解析蘇教版選擇性必修第一冊(cè)

PAGEPAGE4點(diǎn)到直線的距離[A級(jí)基礎(chǔ)鞏固]1．點(diǎn)P(1，－1)到直線l：3y＝2的距離是()A．3 B.eq\f(5,3)C．1 D.eq\f(\r(2),2)解析：選B點(diǎn)P(1，－1)到直線l的距離d＝eq\f(|3×（－1）－2|,\r(02＋32))＝eq\f(5,3)，選B.2．已知點(diǎn)M(1，4)到直線l：mx＋y－1＝0的距離為3，則實(shí)數(shù)m＝()A．0 B.eq\f(3,4)C．3 D．0或eq\f(3,4)解析：選D點(diǎn)M到直線l的距離d＝eq\f(|m＋4－1|,\r(m2＋1))＝eq\f(|m＋3|,\r(m2＋1))，所以eq\f(|m＋3|,\r(m2＋1))＝3，解得m＝0或m＝eq\f(3,4)，選D.3．(多選)已知A(－2，－4)，B(1，5)兩點(diǎn)到直線l：ax＋y＋1＝0的距離相等，則實(shí)數(shù)a的值可能為()A．－3 B．3C．－2 D．1解析：選AB由題意得eq\f(|－2a－4＋1|,\r(a2＋1))＝eq\f(|a＋5＋1|,\r(a2＋1))，解得a＝－3或a＝3.4．(多選)與直線l：2x＋y＋1＝0平行且到l的距離等于eq\f(\r(5),5)的直線方程為()A．2x＋y＝0 B．2x＋y＋2＝0C．2x＋y－2＝0 D．2x＋y＋1＝0解析：選AB設(shè)所求直線方程為2x＋y＋c＝0，由題意得eq\f(|c－1|,\r(22＋12))＝eq\f(\r(5),5)，解得c＝0或c＝2.5．已知點(diǎn)A(1，3)，B(3，1)，C(－1，0)，則△ABC的面積等于()A．3 B．4C．5 D．6解析：選C設(shè)AB邊上的高為h，則S△ABC＝eq\f(1,2)|AB|·h.|AB|＝eq\r(（3－1）2＋（1－3）2)＝2eq\r(2)，AB邊上的高h(yuǎn)就是點(diǎn)C到直線AB的距離．AB邊所在的直線方程為eq\f(y－3,1－3)＝eq\f(x－1,3－1)，即x＋y－4＝0.點(diǎn)C到直線x＋y－4＝0的距離為eq\f(|－1＋0－4|,\r(2))＝eq\f(5,\r(2))，因此，S△ABC＝eq\f(1,2)×2eq\r(2)×eq\f(5,\r(2))＝5.6．若點(diǎn)(2，k)到直線5x－12y＋6＝0的距離是4，則k的值是________．解析：∵eq\f(|5×2－12k＋6|,\r(52＋122))＝4，∴|16－12k|＝52，∴k＝－3或k＝eq\f(17,3).答案：－3或eq\f(17,3)7．已知直線3x＋y－3＝0和6x＋my＋1＝0相互平行，則m＝________，它們之間的距離是________．解析：∵3x＋y－3＝0和6x＋my＋1＝0相互平行，∴m＝2.直線6x＋2y＋1＝0可以化為3x＋y＋eq\f(1,2)＝0，由兩條平行直線間的距離公式，得d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋3)),\r(32＋12))＝eq\f(7\r(10),20).答案：2eq\f(7\r(10),20)8．經(jīng)過點(diǎn)P(－3，4)，且與原點(diǎn)的距離等于3的直線l的方程為________．解析：(1)當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，原點(diǎn)到直線l：x＝－3的距離等于3，滿意題意；(2)當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y－4＝k(x＋3)，即kx－y＋3k＋4＝0.原點(diǎn)到直線l的距離d＝eq\f(|3k＋4|,\r(k2＋（－1）2))＝3，解得k＝－eq\f(7,24).直線l的方程為7x＋24y－75＝0.綜上可知，直線l的方程為x＝－3或7x＋24y－75＝0.答案：x＝－3或7x＋24y－75＝09．求過點(diǎn)P(0，2)且與點(diǎn)A(1，1)，B(－3，1)等距離的直線l的方程．解：法一：∵點(diǎn)A(1，1)與B(－3，1)到y(tǒng)軸的距離不相等，∴直線l的斜率存在，設(shè)為k.又直線l在y軸上的截距為2，則直線l的方程為y＝kx＋2，即kx－y＋2＝0.由點(diǎn)A(1，1)與B(－3，1)到直線l的距離相等，得eq\f(|k－1＋2|,\r(k2＋1))＝eq\f(|－3k－1＋2|,\r(k2＋1))，解得k＝0或k＝1.∴直線l的方程是y＝2或x－y＋2＝0.法二：當(dāng)直線l過線段AB的中點(diǎn)時(shí)，直線l與點(diǎn)A，B的距離相等．∵AB的中點(diǎn)是(－1，1)，又直線l過點(diǎn)P(0，2)，∴直線l的方程是x－y＋2＝0；當(dāng)直線l∥AB時(shí)，直線l與點(diǎn)A，B的距離相等．∵直線AB的斜率為0，∴直線l的斜率為0，∴直線l的方程為y＝2.綜上所述，滿意條件的直線l的方程是x－y＋2＝0或y＝2.10．已知直線l過點(diǎn)P(0，1)，且分別與直線l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0交于B，A兩點(diǎn)，線段AB恰被點(diǎn)P平分．(1)求直線l的方程；(2)設(shè)點(diǎn)D(0，m)，且AD∥l1，求△ABD的面積．解：(1)∵點(diǎn)B在直線l1上，∴可設(shè)B(a，8－2a)．又P(0，1)是AB的中點(diǎn)，∴A(－a，2a－6)．∵點(diǎn)A在直線l2上，∴－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即B(4，0)．故直線l的方程是x＋4y－4＝0.(2)由(1)，知A(－4，2)．又AD∥l1，∴kAD＝eq\f(2－m,－4－0)＝－2，∴m＝－6.點(diǎn)A到直線l1的距離d＝eq\f(|2×（－4）＋2－8|,\r(22＋12))＝eq\f(14\r(5),5)，|AD|＝eq\r(（－4－0）2＋（2＋6）2)＝4eq\r(5)，∴S△ABD＝eq\f(1,2)|AD|·d＝eq\f(1,2)×4eq\r(5)×eq\f(14\r(5),5)＝28.[B級(jí)綜合運(yùn)用]11．已知兩平行直線l1，l2分別過點(diǎn)P(－1，3)，Q(2，－1)，它們分別繞P，Q旋轉(zhuǎn)，但始終保持平行，則l1，l2之間的距離的取值范圍是()A．(0，＋∞) B．[0，5]C．(0，5] D．[0，eq\r(17)]解析：選C當(dāng)直線l1，l2與直線PQ垂直時(shí)，它們之間的距離d達(dá)到最大，此時(shí)d＝eq\r([2－（－1）]2＋（－1－3）2)＝5，∴0＜d≤5.12．(多選)已知在△ABC中，A(3，2)，B(－1，5)，點(diǎn)C在直線3x－y＋3＝0上．若△ABC的面積為10，則點(diǎn)C的坐標(biāo)可以為()A．(－1，0) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)，8))C．(1，6) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,3)，－2))解析：選AB由|AB|＝5，△ABC的面積為10，得點(diǎn)C到直線AB的距離為4.設(shè)C(x，3x＋3)，利用點(diǎn)到直線的距離公式可求得x＝－1或x＝eq\f(5,3).故點(diǎn)C坐標(biāo)為(－1，0)或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)，8)).13．已知5x＋12y＝60，則eq\r(x2＋y2)的最小值是________．解析：eq\r(x2＋y2)表示直線5x＋12y＝60上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，在全部這些點(diǎn)到原點(diǎn)距離中，過原點(diǎn)且垂直于直線5x＋12y＝60的垂線段的長(zhǎng)最小，故最小值為d＝eq\f(60,\r(52＋122))＝eq\f(60,13).答案：eq\f(60,13)14．如圖，已知直線l1：x＋y－1＝0，現(xiàn)將直線l1向上平移到直線l2的位置，若l2，l1和坐標(biāo)軸圍成的梯形的面積為4，求直線l2的方程．解：設(shè)l2的方程為y＝－x＋b(b>1)，則A(1，0)，D(0，1)，B(b，0)，C(0，b)．∴|AD|＝eq\r(2)，|BC|＝eq\r(2)b.梯形的高h(yuǎn)就是A點(diǎn)到直線l2的距離，故h＝eq\f(|1＋0－b|,\r(2))＝eq\f(|b－1|,\r(2))＝eq\f(b－1,\r(2))(b>1)，由梯形的面積公式得eq\f(\r(2)＋\r(2)b,2)×eq\f(b－1,\r(2))＝4，∴b2＝9，b＝±3.又b>1，∴b＝3.從而得直線l2的方程是x＋y－3＝0.[C級(jí)拓展探究]15．已知實(shí)數(shù)x，y滿意x＋y＋1＝0，摸索究S＝eq\r(（x－1）2＋（y－1）2)的最