2025版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)核心素養(yǎng)測評(píng)三十八8.3等比數(shù)列文含解析北師大版

PAGE核心素養(yǎng)測評(píng)三十八等比數(shù)列(30分鐘60分)一、選擇題(每小題5分,共25分)1.已知數(shù)列a,a(1-a),a(1-a)2,…是等比數(shù)列,則實(shí)數(shù)a滿意的條件是 ()A.{a|a≠1} B.{a|a≠0或a≠1}C.{a|a≠0} D.{a|a≠0且a≠1}【解析】選D.由等比數(shù)列定義可知a≠0且1-a≠0,即a≠0且a≠1.【變式備選】數(shù)列{an}滿意:an+1=λan-1(n∈N*,λ∈R且λ≠0),若數(shù)列{an-1}是等比數(shù)列,則λ的值等于 ()A.1B.-1C.12【解析】選D.由an+1=λan-1,得an+1-1=λan-2=λ(an-2λ).由于數(shù)列{an-1}是等比數(shù)列,所以2λ=1,2.公元前5世紀(jì),古希臘哲學(xué)家芝諾發(fā)表了聞名的阿基里斯悖論.他提出讓烏龜在阿基里斯前面1000米處起先,和阿基里斯賽跑,并且假定阿基里斯的速度是烏龜?shù)?0倍.當(dāng)競賽起先后,若阿基里斯跑了1000米,此時(shí)烏龜便領(lǐng)先他100米;當(dāng)阿基里斯跑完下一個(gè)100米時(shí),烏龜仍舊領(lǐng)先他10米;當(dāng)阿基里斯跑完下一個(gè)10米時(shí),烏龜仍舊領(lǐng)先他1米……所以阿基里斯恒久追不上烏龜.依據(jù)這樣的規(guī)律,若阿基里斯和烏龜?shù)木嚯x恰好為10-2米時(shí),A.104-1C.105-990【解析】選B.由題意知,烏龜每次爬行的距離(單位:米)構(gòu)成等比數(shù)列an,且首項(xiàng)a1=100,公比q=110,易知a5=10-2,則烏龜爬行的總距離(單位:米)為S5=100-10-3.已知各項(xiàng)不為0的等差數(shù)列{an}滿意a6-a72+a8=0,數(shù)列{bn}是等比數(shù)列,且b7=a7,則b2·b8·bA.1 B.2 C.4 【解析】選D.由等差數(shù)列的性質(zhì)得a6+a8=2a7.由a6-a72+a8=0可得a7=2,所以b7=a7=2.由等比數(shù)列的性質(zhì)得b2b8b11=b2b7b12=b7【變式備選】已知方程(x2-mx+2)(x2-nx+2)=0的四個(gè)根組成以12為首項(xiàng)的等比數(shù)列,則mnA.32B.32C.23 D.【解析】選B.設(shè)a,b,c,d是方程(x2-mx+2)(x2-nx+2)=0的四個(gè)根,不妨設(shè)a<c<d<b,則a·b=c·d=2,a=12,故b=4,依據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì),得到:c=1,d=2,則m=a+b=92,n=c+d=3或m=c+d=3,n=a+b=92,則mn=324.已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn=a·2n-1+16,則a的值為A.-13 B.13 C.-12【解析】選A.當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=a·2n-1-a·2n-2=a·2n-2,當(dāng)n=1時(shí),a所以a+16=a2,所以a=-【變式備選】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=Aqn+B(q≠0),則“A=-B”是“數(shù)列{an}是等比數(shù)列”的 ()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【解析】選B.若A=B=0,則Sn=0,故數(shù)列{an}不是等比數(shù)列;若數(shù)列{an}是等比數(shù)列,則a1=Aq+B,a2=Aq2-Aq,a3=Aq3-Aq2,由a3a2=a5.已知三角形的三邊構(gòu)成等比數(shù)列,它們的公比為q,則q的一個(gè)可能值為 世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(hào)()A.12 B.35 C.58【解析】選C.設(shè)三角形的三邊分別為a,aq,aq2,其中q>0.則由三角形三邊不等關(guān)系知:當(dāng)q>1時(shí).a+aq>a·q2,即q2-q-1<0,所以1-52<q<1+52當(dāng)0<q<1時(shí).a為最大邊.aq+a·q2>a,則q2+q-1>0,所以q>5-12或所以5-當(dāng)q=1時(shí),滿意題意,綜上知,C滿意題意.【變式備選】在遞增的等比數(shù)列{an}中,已知a1+an=34,a3·an-2=64,且前n項(xiàng)和Sn=42,則n等于 ()A.3 B.4 C.5 【解析】選A.因?yàn)閧an}為等比數(shù)列,所以a3·an-2=a1·an=64.又a1+an=34,所以a1,an是方程x2-34x+64=0的兩根,解得a1=2又因?yàn)閧an}是遞增數(shù)列,所以a由Sn=a1-a解得q=4.由an=a1qn-1=2×4n-1=32,解得n=3.二、填空題(每小題5分,共15分)6.已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且a1+a3=52,a2+a4=54,則Sn【解析】設(shè){an}的公比為q,因?yàn)閍1+由①②可得1+q2q+q3=2,所以q=12,將q=所以an=2×12n-1=42n,所以Sn=2×1-1答案:2n-1【變式備選】在等比數(shù)列{an}中,已知a1=-1,a4=64,則q=,S4=.

【解析】因?yàn)閍4=a1·q3,所以q3=-64,q=-4,S4=-1×[答案:-4517.(2024·全國卷Ⅰ)記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.若a1=13,a42=a6,則S5【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為q,由已知a1=13,a42=a6,所以13q32=13q5,又q≠0,所以q=3,所以S答案:121【變式備選】等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為實(shí)數(shù),其前n項(xiàng)和為Sn.已知S3=74,S6=634,則a8=【解析】設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,則由S6≠2S3得q≠1,則S3=a1(1-q3)1-q=74,S6=a1(1-q6)1-q答案:328.等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù),且a1a5=4,則log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log【解析】由等比數(shù)列的性質(zhì)可知a1a5=a2a4=a32,于是由a1a5=4得a3=2,故a1a2a3a4a5=32,則log2a1+log2a2+log2a答案:5三、解答題(每小題10分,共20分)9.(2024·全國卷Ⅲ)等比數(shù)列an中,a1=1,a5=4a3. (1)求an的通項(xiàng)公式(2)記Sn為an的前n項(xiàng)和.若Sm=63,求【解析】(1)設(shè){an}的公比為q,由題設(shè)得an=qn-1.由已知得q4=4q2,解得q=0(舍去),q=-2或q=2.故an=(-2)n-1或an=2n-1.(2)若an=(-2)n-1,則Sn=1-(-由Sm=63得(-2)m=-188,此方程沒有正整數(shù)解.若an=2n-1,則Sn=2n-1.由Sm=63得2m=64,解得綜上,m=6.10.設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a1=1,且數(shù)列{Sn}是以2為公比的等比數(shù)列. 世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(hào)(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.(2)求a1+a3+…+a2【解析】(1)因?yàn)镾1=a1=1,且數(shù)列{Sn}是以2為公比的等比數(shù)列,所以Sn=2n-1,又當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=2n-1-2n-2=2n-2.當(dāng)n=1時(shí),a1=1,不適合上式.所以an=1(2)a3,a5,…,a2n+1是以2為首項(xiàng),4為公比的等比數(shù)列,所以a3+a5+…+a2n+1=2(1-4n)1-4=2(15分鐘35分)1.(5分)中國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中有這樣一個(gè)問題:今有牛、馬、羊食人苗,苗主責(zé)之粟五斗.羊主曰:“我羊食半馬.”馬主曰:“我馬食半牛.”今欲衰償之,問各出幾何?此問題的譯文是:今有牛、馬、羊吃了別人的禾苗,禾苗主子要求賠償5斗粟.羊主子說:“我的羊所吃的禾苗只有馬的一半.”馬主子說:“我的馬所吃的禾苗只有牛的一半.”準(zhǔn)備按此比率償還,他們各應(yīng)償還多少?已知牛、馬、羊的主子各應(yīng)償還粟a升,b升,c升,1斗為10升,則下列推斷正確的是A.a,b,c成公比為2的等比數(shù)列,且a=50B.a,b,c成公比為2的等比數(shù)列,且c=50C.a,b,c成公比為12的等比數(shù)列,且a=D.a,b,c成公比為12的等比數(shù)列,且c=【解析】選D.由題意可得,a,b,c成公比為12的等比數(shù)列,b=12a,c=12b,三者之和為50升,故4c+2c+c=50,【變式備選】已知等比數(shù)列{an}的公比q=2,前100項(xiàng)和為S100=90,則其偶數(shù)項(xiàng)a2+a4+…+a100為 ()A.15B.30C.45D.60【解析】選D.S100=a1+a2+…+a100=90,設(shè)S=a1+a3+…+a99,則2S=a2+a4+…+a100,所以S+2S=90,S=30,故a2+a4+…+a100=2S=60.2.(5分)在等比數(shù)列{an}中,a2,a16是方程x2-6x+2=0的根,則a2a16A.-2+22 C.2 D.-2或2【解析】選D.由題意可得a2a16=2,又由等比數(shù)列的性質(zhì)可知a2a16=a92=2,所以a9=±2,所以a2a16【變式備選】在等比數(shù)列{an}中,a3,a15是方程x2+6x+2=0的兩根,則a2aA.-2+22C.2 D.-2或2【解析】選B.設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,因?yàn)閍3,a15是方程x2+6x+2=0的根,所以a3·a15=a92=2,a3+a15=-6,所以a3<0,a15<0,則a9=-2,所以a2a16a93.(5分)(2024·全國卷Ⅰ)記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.若a1=1,S3=34,則S4=【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為q,由已知S3=a1+a1q+a1q2=1+q+q2=34,即q2+q+1解得q=-12,所以S4=a1(1-答案:5【變式備選】設(shè){an}是公比為q的等比數(shù)列,Sn是它的前n項(xiàng)和,若{Sn}是等差數(shù)列,則q為.

【解析】若q=1,則Sn=na1,所以{Sn}是等差數(shù)列;若q≠1,則當(dāng){Sn}是等差數(shù)列時(shí),肯定有2S2=S1+S3,所以2·a1(1-q即q3-2q2+q=0,故q(q-1)2=0,所以q=0或q=1,而q≠0,q≠1,所以此時(shí)不成立.綜上可知,q=1.答案:14.(10分)已知數(shù)列{an}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列,若a1=1,a2a4=16. (1)設(shè)bn=log2an,求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式.(2)求數(shù)列{an·bn}的前n項(xiàng)和Sn.【解析】(1)因?yàn)閍1=1,a2·a4=16,由等比數(shù)列的性質(zhì)可得,a2·a4=a32=16且a所以a3=4,所以q2=a3a1=4,所以q=2或所以an=2n-1,因?yàn)閎n=log2an=log22n-1=n-1,所以bn=n-1.(2)由(1)得an·bn=(n-1)·2n-1,Sn=0·20+1·21+2·22+…+(n-1)·2n-1①2Sn=0·21+1·22+…+(n-2)·2n-1+(n-1)·2n②①-②得-Sn=2+22+23+…+2n-1-(n-1)·2n=2-2n1=2n(2-n)-2所以Sn=(n-2)·2n+2.5.(10分)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且an=Sn+n2(n∈(1)若數(shù)列{an+t}是等比數(shù)列,求t的值.(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.【解析】(1)當(dāng)n=1時(shí),由a1=S1+12=a1當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=2an-n-2an-1+(n-1),即an=2an-1+1,所以a2=3,a3=7.依題意得(3+t)2=(1+t)(7+t),解得t=1,當(dāng)t=1時(shí),an+1=2(an-1+1),n≥2,即{an+1}為等比數(shù)列成立,故實(shí)數(shù)t的值為1.(2)由(1)知當(dāng)n≥2時(shí),an+1=2(an-1+1),又因?yàn)閍1+1=2,所以數(shù)列{an+1}是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列,所以an+1=2×2n-1=2n,所以an=2n-1.【變式備選】1.已知在正項(xiàng)數(shù)列{an}中,a1=2,點(diǎn)An(an,an+1)在雙曲線y2-x2=1上,數(shù)列{bn}中,點(diǎn)(bn,Tn)在直線y=-12x+1上,其中Tn是數(shù)列{bn}(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.(2)求證:數(shù)列{bn}是等比數(shù)列.【解析】(1)由點(diǎn)An在y2-x2=1上知an+1-an=1,所以數(shù)列{an}是一個(gè)以2為首項(xiàng),1為公差的等差數(shù)列,所以an=a1+(n-1)d=2+n-1=n+1.(2)因?yàn)辄c(diǎn)(bn,Tn)在直線y=-12x+1上所以Tn=-12bn所以Tn-1=-12bn-1+1(n≥①-②得bn=-12bn+12bn-1(n所以32bn=12bn-1,所以bn=13bn-1在①式中令n=1,得T1=b1=-12b1+1,所以b1=23,所以{bn}是一個(gè)以23為首項(xiàng),以2.已知首項(xiàng)為32的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn(n∈N*),且-2S2,S3,4S4成等差數(shù)列(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.(2)證明:Sn+1Sn≤136(n∈【解析】(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,因?yàn)?2S2,S3,4S4成等差數(shù)列,所以2S3=4S4-2S2,即S3=2S4-S2,即S4-S3=S2-S4,可得2a4=-a3,于是q=a4a3又a1=32,所以等比數(shù)列{an}an=32×-12n-(2)由(1)知,Sn=1--1Sn+1Sn=1--=2+當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),Sn+1Sn隨n所以Sn+1Sn≤S1+1S當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),Sn+1Sn隨n所以Sn+1Sn≤S2+1S故對(duì)于n∈N*,有Sn+1Sn≤1.“十二平均律”是通用的音律體系,明代朱載堉最早用數(shù)學(xué)方法計(jì)算出半音比例,為這個(gè)理論的發(fā)展做出了重要貢獻(xiàn).十二平均律將一個(gè)純八度音程分成十二份,依次得到十三個(gè)單音,從其次個(gè)單音起,每一個(gè)單音的頻率與它的前一個(gè)單音的頻率的比都等于122.若第一個(gè)單音的頻率為f,則第八個(gè)單音的頻率為 世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(hào)A.32fB.322fC.12【解析】選D.這13個(gè)單音構(gòu)成了一個(gè)以f為首項(xiàng),122為公比的等比數(shù)列,所以an=a1qn-1=f·(2112)n-1,即a82.(2024·鄭州模擬)設(shè)首項(xiàng)為1的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且an=a若Sm>2020,則正整數(shù)m