2024年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)：平面向量 含解析

易錯(cuò)點(diǎn)11平面向量

易錯(cuò)分析

易錯(cuò)點(diǎn)1:向量的有關(guān)概念

⑴向量：既有大小又有方向的量稱為向量.用有向線段表示，此時(shí)有向線段的方向就是向量

的方向.向量適的大小稱為向量的模（或大小），記作矗1.

⑵零向量：始點(diǎn)和終點(diǎn)相同的向量稱為零向量.

⑶單位向量：模等于L的向量稱為單位向量.

⑷平行向量（共線向量）：如果兩個(gè)非零向量的方向相同或者相反,則稱這兩個(gè)向量平行.通常

規(guī)定零向量與任意向量平行.

⑸相等向量：大小相等、方向相同的向量.

⑹相反向量：大小相等、方向相反的向量.

易錯(cuò)點(diǎn)2.向量的線性運(yùn)算

向量運(yùn)算定義法則（或幾何意義）運(yùn)算律

⑴交換律：

a+b=b+a

求兩個(gè)向量和的運(yùn)a

加法三角形法則⑵結(jié)合律：

算

(a+b)+c=a±lb±_

a

平行四邊形法則

減去一個(gè)向量相當(dāng);

減法于加上.這個(gè)向量的a-b=a+[-H)

相反向量三角形法則

（1）當(dāng)R#0且a吳0時(shí)，Xa的模為X(|JLa)=()必)a；

[AM,而且aa的方向如下：(A+1a+

求實(shí)數(shù)人與向量a

數(shù)乘①當(dāng)4>0時(shí)，與a的方向相同;(JLa；

的積的運(yùn)算

②當(dāng)兒<0時(shí)，與a的方向相反.1(a+b)=>a+

（2）當(dāng)R=0或a=0時(shí)，Xa=0.Ab

易錯(cuò)點(diǎn)3.共線向量定理

如果存在實(shí)數(shù)A,使得6=4a（a關(guān)0）,則blLa.

易錯(cuò)點(diǎn)4.向量模的不等式

向量a,6的模與a+6的模之間滿足不等式

1

易錯(cuò)點(diǎn)4.平面向量基本定理

⑴平面向量的基底

平面內(nèi)不共線的兩個(gè)向量a與方組成的集合W必常稱為該平面上向量的一組基底，如果

c=xa+yb,則稱xa+勸為c在基底｛a,下的分解式.

⑵平面向量基本定理

如果平面內(nèi)兩個(gè)向量a與b不共線，則對(duì)該平面內(nèi)任意一個(gè)向量c,存在唯一的實(shí)數(shù)對(duì)(工

y),使得c=xa+功.

易錯(cuò)點(diǎn)5.平面向量的坐標(biāo)

一般地，給定平面內(nèi)兩個(gè)相互垂直的單位向量為，改，對(duì)于平面內(nèi)的向量a,如果a=xei+

yez,則稱(X力為向量a的坐標(biāo)，記作a=(x,y).

易錯(cuò)點(diǎn)6.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

⑴平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示

假設(shè)平面上兩個(gè)向量a,b滿足a=(xi,%),b=(&,⑸，則a±方=(x,士和,為士彩),Aa=(A.Yi.

AKi)(AGR),ua±vb=(uxi±函UK士/)(u,rER).

⑵向量模的坐標(biāo)計(jì)算公式

如果向量a=(x,y),則以=應(yīng)上Z

⑶向量坐標(biāo)的求法

①若向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo).

②設(shè)力⑶，Xi),坎Xz,亥)，

貝!］油=(加一xi,彩一片),

IASI=\l(x?-xi)2+(彩.一八)上

易錯(cuò)點(diǎn)7.向量平行的坐標(biāo)表示

設(shè)a=Ui,/J,b=(xi,J2),則all從＞用％=不反

易錯(cuò)點(diǎn)8.平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標(biāo)表示

設(shè)向量a=(m,%),b=(xz,場(chǎng))，9為向量a,6的夾角.

⑴數(shù)量積：a,b=lallZ>lcos0=不的+度彩.

(2)模：lai=\ja-a=3+近

(3)犬用，COSd--r--/-

IsllAI+Ji,

⑷兩非零向量a_L6的充要條件：a-6=。0入1茲+九為=0.

(5)la-la昉1(當(dāng)且僅當(dāng)a〃方時(shí)等號(hào)成立)0國(guó)&+凡弱

2

錯(cuò)題糾正

1.在A48C中，點(diǎn)。滿足質(zhì)5=2方e，￡為/。上一點(diǎn)，S.BE=mBA+nBC,m+An=},則

a=（）

3423

A-4B-iC-iD'I

【答案】D

UUD3ULID

【詳解】因?yàn)槎?2方乙所以比二萬(wàn)瓦），

___,___,___,___,3___,

貝！JBE=mBA+nBC=mBA+—nBD,

因?yàn)?E,。三點(diǎn)共線，

33

所以加+萬(wàn)“=1,所以

故選：D.

2.已知點(diǎn)48在單位圓上，AAOB=-TI,^OC=2OA+xOB（xeR）,貝”反「的最小值

是（）

A.2B.3C.5-2后D.4

【答案】A

【詳解】

\OCf=（WA+xOBy=AOA+x-OB^+Ax\OA\-\OB\cosy=x2-2V2x

+4=（無(wú)一行了+2N2,因止匕I或2.

故選：A.

3.若向量］滿足忖=1,⑹卜行，小伍+可，則々與］的夾角為（）

A—B.土C.史D,

4346

【答案】C

一/—一、八ci,b—1V2

【詳解】由已知得〃?（〃+q=0,a-b=-l,c°se=RW=&=一

6田0,用，所以8=?.

故選：C.

4.已知平面向量用田滿足|碼=2/Z=4,則后在2方向上的投影向量為（）

3

1ir一

A.—ciB.—bC.ciD.b

22

【答案】C

-*-彳1--彳

【詳解】否在I方向上的投影向量為(問(wèn)cos僅用言=F|x品2=7=1

故選：c.

5.已知平面向量Z=(4,-2)$=(1,-3),若Z+宓與石垂直，則大=()

A.-2B.2C.-1D.1

【答案】C

【詳解】因?yàn)?=(4,—2)5=(1,—3),故|力=[42+(—2)2=2行/二河,

由題意〃+與6垂直，「.(a+Ab)-b=a-b+Xb-0,

BP4+6+1OA=0,解得久=一1,

故選：C

舉一反三/>

1.已知向量2=(2,1)石=(-2,4),則自一”()

A.2B.3C.4D.5

【答案】D

【詳解】因?yàn)椤?5=(2,1)-(一2,4)=(4,-3),所以|力|=加+(-3)2=5.

故選：D

2.已知向量。=(1,⑼，S=(m,2),若a//B,則實(shí)數(shù)m等于()

A.-V2B.V2

C.-血或血D.0

【答案】C

【詳解】由Z//B知：1X2-療=0,即加=0或—VL

故選：C.

3.已知向量a,B滿足|刈=5,16|=6,a-b=-6,則COSVQ,Q+B>=()

4

【答案】D

【詳解】?「卜"，|同=6,2-b=-6,:.a-^a+b^=^+a-b=52-6=19.

卜+.="a+3)=戊2+歷+3之_也5-2x6+36=7,

一一一a-la+bj1919

因止匕，cos<a,a+b>=pr-p-=q-=-~~-=-~.

[5x735

故選：D.

4.已知單位向量Z石的夾角為60°,則在下列向量中，與石垂直的是()

A.a+2bB.2a+bC.a—2bD.2a—b

【答案】D

【詳解】由已知可得：tz-^=|?|?|^|-cos60°=1X1Xii.

A：因?yàn)?a+2坂)=a+2否=—+2xl=—^0,所以本選項(xiàng)不符合題意；

-*-?-*-*-*-*21

B：因?yàn)?2a+%>b=2a/+b=2x-+l=2^0,所以本選項(xiàng)不符合題意；

C：因?yàn)?0-26).，=。年-2%=i-2xl=-1^0,所以本選項(xiàng)不符合題意;

-*-?-*-*-*—*21..

D：因?yàn)?2a-6))=2“-b=2x--1=0,所以本選項(xiàng)付合題意.

故選：D.

5.已矢口向量之=(2,3))=(3,2),貝1之_司=

A.V2B.2

C.5^/2D.50

【答案】A

【詳解】由已知，a-S=(2,3)-(3,2)=(-l,l),

所以|力|=Jt-iy+F=也,

故選A

易錯(cuò)題通關(guān)

5

一、單選題

1.已知四邊形/BCD,設(shè)￡為。的中點(diǎn)，就-H5=10,|衣|=4,貝力西|=()

A.2瓜B.&C.2A/2D.V2

【答案】A

【詳解】在平面(空間同樣)四邊形48。中，

衣.而=(左+硝.(詬+而)=|詬反;『，

因?yàn)槿f(wàn)?通=10/荏|=4,所以|配|=",|函|=2新.

故選：A.

2.已知向量￡=(2,1),5=(-2,4),則|〉E=()

A.2B.3C.4D.5

【答案】D

【詳解】因?yàn)?=(2,1),3=(-2,4),

所以￡-2=(4,-3),

所以昨也2+(_3)2=5,

故選：D

3.已知向量4B滿足同=Lab=-l,則—儂-勺=()

A.4B.3C.2D.0

【答案】B

【詳解】a-^2a-b)=2\a\2-a-b=2+1=3.

故選：B.

4.已知非零向量I,b,c^^a+b+c=0,a,］的夾角為120。，且向=2向，則向量I,

己的數(shù)量積為()

A.0B.-2a2C.2a1D.-a2

【答案】A

【詳解】設(shè)|司=2同=2。0,因?yàn)镮,》的夾角為120。，

所以=同同儂120°=--，

因?yàn)榉橇阆蛄?,b,了滿足N+分+,=G,

所以己=一（7+后），

所以1■云=-a-^a+b^=-a2-a-b

=—15|2-a-b=—t2+12=0.

6

故選：A.

5.設(shè)向量Z,b,滿足|4=2,向=1,Z與刃的夾角為60。，則|￡+23=（）

A.273B.3亞C.4D.275

【答案】A

【詳解】解：因?yàn)閨4=2,⑻=1,￡與刃的夾角為60。，

所以a4=|a|-|/）|cos60。=2xlx；=l,

所以|Z+2H2=0+2折2=二+4工4+4片=?『+4工4+4彳^=22+4xl+4xl2=12.

所以1+2力|=2百.

故選：A.

6.設(shè)非零向量標(biāo)滿足|吊=2㈤,|￡+臼=6|加,則向量Z與句的夾角為（）

A.30°B,60°C,120°D,150°

【答案】C

【詳解】由0+加=6⑻得㈤2+20H加cos,［）+出『=3⑻2,

代人|=2㈤得cos

又0。?",可±180。

故夾角為120。.

故選：C

7.已知向量23的夾角為（，且內(nèi)=4,（產(chǎn)+否｝（213旬=12,則向量］在向量々方向上的

投影是（）

A.V2B.3C,472D.1

【答案】D

【詳解】由?（無(wú)_31）=12,忖2_|￡彳+2￡彳一3M『=12,忖2+；￡彳_3慟2=12,

16+|x4.p|cos-^-3^|2=12,3同2-碼4一4=0,（3忖+2礎(chǔ).一5）=0,

解得同=后，所以向量］在向量￡方向上的投影為Wcos￡=l

故選：D.

8.已知A,B,。是不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)，。是平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，若

歷—方=4（次+；前），入日0,+8）,則點(diǎn)尸的軌跡一定過(guò)△ABC的（）

7

A.外心B,重心C.垂心D.內(nèi)心

【答案】B

【詳解】解：如圖，取8c的中點(diǎn)。，連接4D,

---OP-OA=AAD,BP1?=AAD.

又We[0,+oo）；

；.P點(diǎn)在射線AD±..

故P的軌跡過(guò)AABC的重心.

故選：B.

二、多選題

9.已知向量￡=(1,3),3=(2,-4),則下列結(jié)論正確的是().

A.(a+b)1aB.\2a+b\=VlO

C.向量￡石的夾角為與D.加在￡方向上的投影向量是歷)

【答案】AC

【詳解】對(duì)于A,?+*=(3,-1),由伍+B"=3xl+(Tx3=0,貝唯+4J,故A正確；

對(duì)于B,23+辦=2(1,3)+(2,-4)=(4,2),悔+閘=打+2。=26,故B錯(cuò)誤;

對(duì)于C,a-b=1x2+3x(-4')=-10,|a|=Vl2+32=A/10,忖=也舊-4)。=2芯,貝U

3(“力)=酈=而%1=一3,即向量時(shí)的夾角為了，故C正確；

a-b--10一-

對(duì)于D,加在￡方向上的投影向量是可0=不7°=一氣故D錯(cuò)誤.

故選：AC.

10.在A48C中，M,N分別為NC的中點(diǎn)，G為九W的中點(diǎn)，O為A4BC所在平面

內(nèi)的任意一點(diǎn)，則()

8

A.GA+GB+GC=^B.OG=^（2OA+OB+

C.1AG-GM=GA-GND.（前?麗）|前|=（前,前）|麗|

【答案】BCD

取2C的中點(diǎn)連接G",顯然A,G,H三點(diǎn)共線，且G是AH■的中點(diǎn)，則

GA+GB+GC=GA+X}H=GH6,故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

因?yàn)椋?次+礪+玩）=，2況+2麗）={況+而）=加，故選項(xiàng)B正確；

因?yàn)檠?W4，所以前.血=就.標(biāo)=瓦.麗，故選項(xiàng)C正確；

因?yàn)樵?4麗，所以（前?麗）|就卜（前?麗）卜硼=4（前?麗）|麗,

（前.瑟）］麗卜（就?4麗）|麗卜4（前.麗,J麗］,所以（就?麗）|瑟卜（前.瑟）|麗

故選項(xiàng)D正確;

故選：BCD.

三、解答題

11.記A/BC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為。、b、c,已知萬(wàn).祝+2拓?瓦

⑴求學(xué)

smC

⑵記ANBC的面積為S,求二的最大值.

a

（1）

解：因?yàn)橐?就+2瓦?前=田.麗，

由平面向量數(shù)量積的定義可得c6cosN+2cacos8=6acosC,

,b2+c2-a1a2+c2-b2a2+b2-c2赦由-陽(yáng)〃rr

即Bnbe----------+lac----------=ab-----------,整理可得b=Y2c,

2bc2aclab

9

由正弦定理可得當(dāng)=2=0.

sinCc

⑵

1F）

解：S--besin^=—c2sinA,由余弦定理可得/=〃+。2_力℃0$/=3c?-26^cos4,

22

所以，S一Jsin"_siM,令2t>0,即

a13c2-2y/lc2cosA3?-4cos/"

可得3"=sin4+4/cos/=Jl+16/sin（4+0）wJl+16/,/為銳角，且tane=4，,

所以，18?vl+16”，