2024年湖南省長沙市開福區(qū)立信中學(xué)中考數(shù)學(xué)二模試卷（含詳解）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024年湖南省長沙市開福區(qū)立信中學(xué)中考數(shù)學(xué)二模試卷一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.?2的絕對值是(

)A.?2 B.2 C.±2 D.?2.如圖是一個由5個相同的正方體組成的立體圖形，它的左視圖是(

)A.B.C.D.3.下列說法錯誤的是(

)A.必然事件發(fā)生的概率是1

B.通過大量重復(fù)試驗，可以用頻率估計概率

C.概率很小的事件不可能發(fā)生

D.投一枚圖釘，“釘尖朝上”的概率不能用列舉法求得4.下列運算正確的是(

)A.2m+3m=5m2 B.m2?m35.點P(2,?5)關(guān)于原點對稱點的坐標(biāo)是(

)A.(?5,?2) B.(2,5) C.(?2,5) D.(?5,2)6.一把直尺和一塊三角板ABC(其中∠B=30°，∠C=90°)擺放位置如圖所示，直尺一邊與三角板的兩直角邊分別交于點D，點E，另一邊與三角板的兩直角邊分別交于點F，點A，且∠CDE=50°，那么∠BAF的大小為(

)A.20° B.40° C.45° D.50°7.費爾茲獎是國際上享有崇高聲譽的一個數(shù)學(xué)獎項，每四年評選一次，主要授予年輕的數(shù)學(xué)家．下面的數(shù)據(jù)是部分獲獎?wù)攉@獎時的年齡(單位：歲)：29，32，33，35，35，40，則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)分別是(

)A.35，35 B.34，33 C.34，35 D.35，348.如圖，AB是⊙O的直徑，C，D是圓上兩點，連接AC，BC，AD，CD.若∠CAB=55°，則∠ADC的度數(shù)為(

)

A.55° B.45° C.35° D.25°9.《孫子算經(jīng)》中有個問題：若三人共車，余兩車空；若兩人共車，剩九人步.問人與車各幾何？意思是：若三個人乘一輛車，則空余兩輛車；若兩個人乘一輛車，則剩余9人需要步行.試問人和車輛各有多少？設(shè)有x輛車，則根據(jù)題意可列出方程為(

)A.3(x+2)=2x?9 B.3(x+2)=2x+9

C.3(x?2)=2x?9 D.3(x?2)=2x+910.如圖，在△ABC中，∠C=90°，利用尺規(guī)在BC，BA上分別截取BE，BD，使BE=BD，分別以D，E為圓心，以大12DE的長為半徑作弧，兩弧在∠CBA內(nèi)交于點F，作射線BF交AC于點G，若AC=9，AG=5，過點G作GP⊥AB交AB于點P，則GP的值為(

)A.2 B.3 C.4 D.5二、填空題：本題共6小題，每小題3分，共18分。11.二次根式x?3有意義，則x的取值范圍是

．12.分式方程32x=2x+1的解是13.已知a，b是一元二次方程x2?4x+2=0的兩根，則a+b=______．14.如圖，⊙O的半徑為13，弦AB的長為24，ON⊥AB，垂足為N，則ON的長為______．

15.為了解某區(qū)九年級3200名學(xué)生中觀看2022北京冬奧會開幕式的情況，隨機調(diào)查了其中200名學(xué)生，結(jié)果有150名學(xué)生全程觀看了開幕式，請估計該區(qū)全程觀看冬奧會開幕式的九年級學(xué)生人數(shù)約為______．16.高速公路某收費站出城方向有編號為A，B，C，D，E的五個小客車收費出口，假定各收費出口每20分鐘通過小客車的數(shù)量是不變的．同時開放其中的某兩個收費出口，這兩個出口20分鐘一共通過的小客車數(shù)量記錄如下：收費出口編號A，BB，CC，DD，EE，A通過小客車數(shù)量(量)260330300360240在A，B，C，D，E五個收費出口中，每20分鐘通過小客車數(shù)量最多的一個收費出口的編號是

．三、計算題：本大題共1小題，共6分。17.計算：(13)四、解答題：本題共8小題，共66分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。18.(本小題6分)

解不等式組：3x?4<2x+15x+32>x19.(本小題6分)

如圖，某樓房AB頂部有一根天線BE，為了測量天線的高度，在地面上取同一條直線上的三點C，D，A，在點C處測得天線頂端E的仰角為60°，從點C走到點D，測得CD=5米，從點D測得天線底端B的仰角為45°，已知A，B，E在同一條垂直于地面的直線上，AB=25米．

(1)求A與C之間的距離；

(2)求天線BE的高度．(參考數(shù)據(jù)：3≈1.73，結(jié)果保留整數(shù)20.(本小題6分)

為提高學(xué)生的安全意識，某學(xué)校組織學(xué)生參加了“安全知識答題”活動.該校隨機抽取部分學(xué)生答題成績進(jìn)行統(tǒng)計，將成績分為四個等級：A(優(yōu)秀)，B(良好)，C(一般)，D(不合格)，并根據(jù)結(jié)果繪制成如圖所示的兩幅不完整的統(tǒng)計圖．

根據(jù)圖中所給信息解答下列問題：

(1)這次抽樣調(diào)查共抽取______人，條形統(tǒng)計圖中的m=______；

(2)將條形統(tǒng)計圖補充完整，在扇形統(tǒng)計圖中，求C等所在扇形圓心角的度數(shù)；

(3)學(xué)校要從答題成績?yōu)锳等且表達(dá)能力較強的甲、乙、丙、丁四名學(xué)生中，隨機抽出兩名學(xué)生去做“安全知識宣傳員”，請用列表或畫樹狀圖的方法，求抽出的兩名學(xué)生恰好是甲和丁的概率．21.(本小題9分)

如圖，在△ABC中，D是BC的中點，DE⊥AB于E，DF⊥AC于點F，且∠BDE=∠CDF，

(1)求證：AD平分∠BAC．

(2)若AB=5，AD=4，求△ABC的面積．22.(本小題9分)

我校九年級學(xué)生準(zhǔn)備觀看電影《長津湖》.由各班班長負(fù)責(zé)買票，每班人數(shù)都多于40人，票價每張30元，一班班長問售票員買團(tuán)體票是否可以優(yōu)惠，售票員說：40人以上的團(tuán)體票有兩種優(yōu)惠方案可選：

方案一：全體人員打8折；

方案二：打9折，有5人可以免票．

(1)若一班有50人，則方案一需付______元錢，方案二需付款______元錢；

(2)一班班長思考一會兒說，我們班無論選擇哪種方案要付的錢是一樣的，你知道一班有多少人嗎？23.(本小題10分)

如圖，AB是⊙O的直徑，點C是⊙O上一點，AD與過點C的切線垂直，垂足為點D，直線DC與AB的延長線相交于點P，弦CE平分∠ACB，連接BE．

(1)求證：∠DAC=∠E；

(2)若tan∠ABC=43，BE=10，求線段AD24.(本小題10分)

如圖，在菱形ABCD中，點E是BC邊上一動點(且與點B、C不重合)，連接AE交BD于點G．

(1)若AE⊥BC，∠BAE=18°，求∠BGE的度數(shù)；

(2)若AG=BG，求證BE2?GE2=AG?GE；

(3)過點G作GM//BC交AB于點M，記.S△AMG為S1，S四邊形DGEC為S2，BC=xBE，S1S225.(本小題10分)

對于拋物線y=14ax2(a≠0)，我們發(fā)現(xiàn)其圖象上任意一點到點(0,a)的距離和到直線y=?a的距離總是相等，于是規(guī)定點(0,a)為拋物線的焦點，直線y=?a為拋物線的準(zhǔn)線．

例如：如圖1，y=14ax2(a>0)，其焦點為A(0,a)，準(zhǔn)線為直線y=?a，拋物線上任意一點P(x,y)到準(zhǔn)線的距離為PH，則PH=|y?(?a)|=|y+a|=|14ax2+a|，PA=(x?0)2+(y?a)2=x2+(14ax2?a)2=116a2x4+12x2+a2=(14ax2+a)2=|14ax2+a|，即PA=PH；同理可得a<0時，PA=PH也成立.答案解析1.【答案】B

解：?2的絕對值是2．

故選：B．

2.【答案】B

解：這個組合體的左視圖為：

故選：B．

3.【答案】C

解：A、必然事件發(fā)生的概率是1，正確；

B、通過大量重復(fù)試驗，可以用頻率估計概率，正確；

C、概率很小的事件也有可能發(fā)生，故錯誤；

D、投一枚圖釘，“釘尖朝上”的概率不能用列舉法求得，正確，

故選：C．

4.【答案】D

解：A、2m+3m=5m，故A不符合題意；

B、m2?m3=m5，故B不符合題意；

C、(m+7)2=m2+14m+49，故C不符合題意；

D、解：根據(jù)中心對稱的性質(zhì)，可知：點P(2,?5)關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)為：(?2,5)．

故選：C．

6.【答案】A

解：由圖可得，∠CDE=50°，∠C=90°，

∴∠CED=40°，

又∵DE/?/AF，

∴∠CAF=40°，

∵∠BAC=60°，

∴∠BAF=60°?40°=20°，

故選：A．

7.【答案】D

解：∵35出現(xiàn)的次數(shù)最多，

∴這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是35，

將這組數(shù)據(jù)按從小到大排列，排在中間的兩個數(shù)分別為33，35，故這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為33+352=34．

故選：D．

8.【答案】解：∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°，

∵∠CAB=55°，

∴∠B=35°，

∴∠ADC=∠B=35°．

故選C．9.【答案】D

解：設(shè)有x輛車，則可列方程：3(x?2)=2x+9．

故選：D．

10.【答案】C

解：由作法得BG平分∠ABC，

∵GP⊥BA，∠C=90°，

∴GP=GC=AC?AG=9?5=4，

故選：C．

11.【答案】x≥3

解：根據(jù)題意，得x?3≥0，

解得，x≥3；

故答案為：x≥3．12.【答案】x=3

解：32x=2x+1，

3(x+1)=4x，

解得：x=3，

檢驗：當(dāng)x=3時，2x(x+1)≠0，

∴x=3是原方程的解，13.【答案】4

解：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得a+b=4．

故答案為：4．

14.【答案】5

解：∵ON⊥AB，

∴AN=BN=12AB，

∵AB=24，

∴AN=BN=12，

在Rt△OAN中，ON2+AN2=OA2，

解：估計該區(qū)全程觀看冬奧會開幕式的九年級學(xué)生人數(shù)約為3200×150200=2400(人)，

故答案為：2400人．

16.解：∵330?260=70，330?300=30，360?300=60，360?240=120，260?240=20，

∴C>A，B>D，E>C，D>A，B>E，

由B>D和D>A得B>A，

由E>C和B>E得B>C，

∴每20分鐘通過小客車數(shù)量最多的一個收費出口的編號是B，

故答案為：B．

17.【答案】解：(13)?1?2sin60°+|?3|+(?2022)018.【答案】解：3x?4<2x+1①5x+32>x②，

解不等式①得：x<5，

解不等式②得：x>?1，

∴原不等式組的解集為：19.【答案】解：(1)由題意得，在Rt△ABD中，∠ADB=45°，

∴AD=AB=25米，

∵CD=5米，

∴AC=AD+CD=25+5=30(米)，

即A與C之間的距離是30米；

(2)在Rt△ACE中．∠ACE=60°，AC=30米，

∴AE=30?tan60°=303(米)，

∵AB=25米，

∴BE=AE?AB=(303?25)米，

∵3≈1.7320.解：(1)由統(tǒng)計圖可得，這次抽樣調(diào)查共抽?。?6÷32%=50(人)，m=50×14%=7，

故答案為：50，7．

(2)由(1)知，m=7，等級為A的有：50?16?15?7=12(人)，

補充完整的條形統(tǒng)計圖如圖所示，C等所在扇形圓心角的度數(shù)為：360°×1550=108°．

(3)樹狀圖如下所示：

由上可得，一共存在12種等可能性，其中抽出的兩名學(xué)生恰好是甲和丁的可能性有2種，

∴抽出的兩名學(xué)生恰好是甲和丁的概率為212=16．

21.【答案】(1)證明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，

∴∠DEB=∠DFC=90°，

∵D是BC的中點，

∴BD=CD，

在△BED和△CFD中，

∠BDE=∠CDF∠BED=∠CFD,BD=CD

∴△BED≌△CFD(AAS)，

∴DE=DF，

∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于點F，

∴AD平分∠BAC．

(2)解：∵△BED≌△CFD，

∴∠B=∠C，

∴AB=AC，

∵D是BC中點，

∴AD⊥BC，

∴BD=AB222.解：(1)由方案一：全體人員可打8折，

得方案一需付費30×80%×50=1200(元)，

由方案二：若打9折，有5人可以免票，

得方案二需付費30×90%×(50?5)=1215?(元)，

故答案為：1200；1215；

(2)設(shè)一班共有x人，依題意得，

30×80%?x=30×90%×(x?5)，

解得x=45，

答：一班共有45人．

23.【答案】(1)證明：連接OC，

∵PD切圓于C，

∴半徑OC⊥PD，

∵AD⊥PD，

∴OC/?/AD，

∴∠DAC=∠OCA，

∵OC=OA，

∴∠OAC=∠OCA，

∴∠DAC=∠OAC，

∵∠BEC=∠OAC，

∴∠DAC=∠BEC；

(2)解：連接AE，

∵弦CE平分∠ACB，

∴AE=BE，

∴AE=BE，

∵AB是圓的直徑，

∴∠AEB=∠ACB=90°，

∴△AEB是等腰直角三角形，

∴AB=2BE=102，

∵tan∠ABC=ACBC=43，

∴令BC=3x，AC=4x，

∵AB=AC2+BC2=5x=1024.【答案】(1)解：根據(jù)題意可得∠AEB=90°，∠BAE=18°，

∴∠ABE=90°?18°=72°，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴∠ABG=∠EBG=12∠ABE=12×72°=36°，

∴∠BGE=∠ABG+∠BAG=18°+36°=54°．

(2)證明：∵AG=BG，

∴∠ABG=∠BAG，

∵∠GBE=∠ABG，

∴∠GBE=∠BAG，

又∵∠AEB=∠GEB，

∴△AEB∽△BEG，

∴BEAE=GEBE，

∴BE2=AE?GE，

∴BE2=(AG+GE)GE，

∴BE2?GE2=AG?GE．

(3)①證明：∵GM//BC，BC//AD，

∴MG//AD，

∴△BMG∽△BAD，△AMG∽△ABE，

∴MGAD=BMAB，MGBE=AMAB，

兩式相加得